精华内容
下载资源
问答
  • 向量的点积和叉积
    万次阅读
    2018-11-14 21:05:09

    向量加减法:

    两向量a与b的和为一个向量,记为c,即   c = a + b

    c与两向量a与b的关系遵循平行四边形法则。

    设二维向量 P =(x1,y1)  , Q  = (x2 , y2),则向量的加法定义为:

                                                         P+Q = (x1+x2,y1+y2)

    同理,向量减法为:

                                                         P-Q = (x1-x2,y1-y2)

      显然有性质:

                           P+Q=Q+P                    P-Q=-(Q-P)

     

    向量的点积:

       两向量a和b的点积(或称为标积)为一个标量,记为  a·b  ,它的大小为:

                                               a · b = |a| |b|  cosθ

    其中,θ为两向量a 与 b 的夹角。如果已知两向量的点积,可以通过下公式计算出两向量夹角,

                                         θ = arccos(a · b) / (|a| |b|)

      特殊情况也有a = b ,此时的θ = 0 , 有a · a = |a|²,即向量自身的点积为其模的平方。

    a·a有时候也简写为 a²。

     

    若设向量P= (x1,y1) , Q = (x2,y2) 则

                                        P · Q = x1 × x2 + y1 × y2

     

    向量的叉积:

    设向量P = (x1 , y1) , Q = (x2 , y2),则向量a与向量b的叉积仍是一个向量,它的长度规定为:

                                   |PQ| = x1y2 + x2y1

    它的方向规定为:与向量P,Q 均垂直,并且使(P,Q,P×Q)成右手系,即当右手四指从a弯向b(转角小于 Π )时,拇指的指向即使P × Q 的方向。

     

    显然有性质:

                                          P×Q = -(Q*P)                     P ×(-Q) = -(P×Q)

     

     

    叉积的作用:

    叉积时一个非常重要的性质是可以通过它的符号判断两向量相互之间的顺逆时针关系:

    若P×Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向;

    若P×Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向;

    若P×Q = 0 , P与Q共线,可能是同向也可能是反向;

    图有点儿看着难受,先将就着看看吧。。。。。

     

     

    更多相关内容
  • 向量点积和叉积

    千次阅读 2019-11-11 18:34:13
    1.点积 2.叉积 1.点积: 一个向量在另一个向量上的投影的长度*另一个...点积大于0的时候代表投影在另一个向量上,也就是说两个向量的角度差不超90 等于0的时候代表90度 小于零代表角度差大于90度 如下图所示,a向量与...

    1.点积
    2.叉积

    1.点积:

    一个向量在另一个向量上的投影的长度*另一个向量的长度,正负代表方向。

    a(x1,y1),b(x2,y2) a,b向量的点积 = x1x2+y1y2。

    点积代表的含义为向量a在b上的投影与b长度的乘积(反过来b在a上一样)

    点积大于0的时候代表投影在另一个向量上,也就是说两个向量的角度差不超90

    等于0的时候代表90度

    小于零代表角度差大于90度

    如下图所示,a向量与b向量的点积为正,与b`向量的点积为负。

    在这里插入图片描述

    2.叉积

    叉积的概念: 叉积的绝对值代表a,b向量围合起来的四边形的面积,正负表示两个向量相对的位置。

    a,b向量的叉积 = x1y2 - y1x2。

    叉积的绝对值代表a,b向量围合起来的四边形的面积,而正负代表后一个向量位于前一个向量的什么位置(注意这里和点积有区别,向量相乘的先后对于叉积是有影响的)。

    现在a先b后,如果a位于b的顺时针方向(180度内),那么叉积为正。反之为负,如果共线,则为0。

    如下图所示,a向量与b向量的叉积为正,因为a在b的顺时针方向。而a向量与b`的向量的叉积为负。

    在这里插入图片描述
    这些所展示的都是二维空间里的表现形式,其应用可以扩展到多维空间.

    展开全文
  • 今天我们继续介绍向量点积和叉积以及如何求向量的长度。下一篇再讲矩阵相关知识。两个向量AB。则AB的点积由如下公式给出:点积的几何意义是一个向量在另一个向量上的投影。AB可以理解A在B上的投影与B相乘,也...

    点击上方蓝字关注 无距书乡 获取持续更新

    上一篇中我们说到了如何在matlab中创建向量以及向量的加减乘除方法。今天我们继续介绍向量的点积和叉积以及如何求向量的长度。下一篇再讲矩阵相关知识。

    两个向量A和B。

    2edf19a48374f99313b9a4c89e66df27.png

    则A和B的点积由如下公式给出:

    da8ae1e8660c7f40cee86cc47f20661e.png

    点积的几何意义是一个向量在另一个向量上的投影。AB可以理解A在B上的投影与B相乘,也可理解为B在A上的投影与A相乘。向量的点积也叫数量积,两个向量做点积得到的是一个数。

    在matlab中,两个向量的点击用dot(A,B)命令计算。

    838a0ce6e29964e8cbf114f42d083a66.png

    手动载入向量A,B后,用dot(A,B)就可以计算两个向量的点积,十分简便。点积可以用来计算向量的模,向量A的模由如下表达式计算:

    4ccf56fdb73666ed2fbd0ec1c447a94f.png

    即向量A与自身做点积后再开方。在matlab 中,开方计算使用sqrt()命令,示例如下:

    c603d97a571d083ecc041e086e4422c8.png

    如上图红色方框所示,可以将dot 和 sqrt 命令嵌套使用,这样可以使代码更紧凑。

    下面再来看看向量C与D的叉积,即 C X D。

    b320074e1a497309bf711a31aeb00138.png

    计算方式如下:

    676a1ad5645302f853ad6620c27597fb.png

    其中:i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1),分别表示x,y,z轴方向的单位向量。

    两个三维向量做叉积得到的是与A,B向量所在平面垂直的方向的一个向量;两个向量是二维的时候,叉积还有几何意义,表示两个向量构成的平行四边形的面积,面积 S=x1y2-x2y1。

    上面写了比较长的说明篇幅,但是在matlab中计算两个向量的叉积的命令十分简单,用cross(C,D)命令即可计算叉积。示例如下:

    4acb9582f26ceef7b67de40834afe514.png

    注意:向量的叉积只适用于二维向量和三维向量。

    有时候,对于给定的一个向量,我们只希望使用其中的某一个部分,这时就需要用到向量元素的引用方法了。我们使用序号来索引向量中的元素,B(i)就可以取出向量B的第i个元素,示例如下:

    56be5d4d82a179ece1d0e09a07b2742f.png

    使用B(1:3)取出向量的第一到第三个元素:

    3408efe788180735ff0baa659ccefddd.png

    使用B(:)取出向量所有的元素:

    52646a5e452db1f8eb2d72259ecd3d84.png

    有时候我们还希望知道一组数中的最大值和最小值,matlab中也是提供了这样的命令,max() 和 min() 函数就可以帮我们实现这个小小的愿望。

    ce5ba9d8dc6c1ff9658472b9d0b574d9.png

    总结如下,今天我们学习了几个简单的命令:

    1. 向量点积dot(A,B);

    2. 向量叉积cross(C,D);

    3. 向量的求模sqrt(dot(A,A));

    4. 向量的索引B(m:n),m, n 为整数且 0

    5. 向量元素的最大值和最小值。

    这么简单实用的工具,不来用一下吗!

    没有 matlab 安装包的同学可以私信我啦。

    觉得有用的小伙伴点个赞吧,也希望你把这个系列扩散给你身边的好朋友哦。

    长按识别二维码关注我

    adcb4273fca448467115e9dffeef08f1.png

    点个赞,携手共进

    回复“ishare”加入社区

    展开全文
  • 向量(点乘)(叉乘)概念及几何意义 ...ab的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内为 a·b = |a||b|cos...

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

    向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    a∙b=0→ 正交,相互垂直
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    展开全文
  • 前言计算几何应该是一...向量向量表示的是一个有大小方向的量,在平面坐标系下它与一样也用两个数来表示。这两个数的实际含义是将这个向量的起点移至原点后终点的坐标。通常,我们用\(\vec v\)来表示一个向量,...
  • 向量点积叉积

    千次阅读 2020-12-19 19:19:42
    向量点积可被分解为两个方向的乘积之,如下图:通俗的说,假如 x 方向表示苹果,y 方向表示橙子,表示有个苹果,个橙子,对苹果乘以,对橙子乘以,最终得到个水果;从极坐标角度来看,表示一个方向上能量被增强...
  • 向量点积和叉积理解

    2021-09-05 20:25:17
    引用blog 向量积和
  • 向量点积叉积

    千次阅读 2018-05-08 15:23:25
    向量点积点积又叫内,数量,有以下两个定义: a⃗ ⋅b⃗ =abcosθ\vec{a}\cdot \vec{b}=a b cos\theta a⃗ ⋅b⃗ =axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} 几何意义一个...
  • 点积的结果是一个标量,叉积的结果仍然是一个向量点积(dot product) 叉积(cross product) 向量长度: 向量方向:垂直于向量a和向量b构成的平面,方向满足右手法则!
  • 叉乘是向量积,记作a×b,a×b=|a|·|b|sinθ,其中|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 向量c的方向与a
  • 向量点积叉积PPT课件.pptx
  • 向量点积叉积的意义

    千次阅读 2016-12-11 23:08:28
    向量点积叉积的意义 1.向量点积意义 ①二维向量AB点积(结果为标量)定义为:A.dot(B) = |A|*|B|*cos(a) 比较重要的用途(数学意义)为: ②得到向量夹角。(根据cos(a)计算得到) ③...
  • 来源:http://wenku.baidu.com/link?url=w_nDRYq3nJlTOThC5_LYyri_MJYNNvfE47paEqeTTETwMtEEd38dXPqsaEKyG7ytKjSIuZerCAgy_DJBrJ3eGnbPmXqr1xAL24K85aPCDOy所谓点乘...符号不重要,叫法也不重要,我可以叫点乘,内...
  • 点积和叉积在计算机图形学的应用

    千次阅读 2020-05-29 23:05:20
    点积和叉积在计算机图形学中,是最为基础且重要的概念,初学者弄清它的概念的应用,是很重要的。 先说明下,以下均采用列向量的表示方法,线性代数书本上的行向量不同,采用列向量表示,则表达为列向量左乘矩阵,...
  • 点积和叉积的几何意义

    千次阅读 2022-03-29 23:17:15
    一、点积 向量向量点乘,得到的结果是一个标量,大小等于的模与的模的乘积与其夹角的余弦 由上可见,其符号由决定,即角的大小定。 几何方向 > 0 主要指向同一方向 = 0 = ...
  • 点积
  • 点积 定义 在二维平面直角坐标系中,设a⃗&nbsp;=(x1,y1),b⃗&nbsp;=(x2,y2)a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2),则a⃗&nbsp;⋅b⃗&nbsp;=|a⃗&nbsp;||b⃗&...
  • 计算几何是算法竞赛的一大块,而叉积是计算机的基础。 首先叉积是计算说向量之间的叉积,那么我们可以这样定义向量,以及向量的运算符重载。 struct Point { double x,y; Point(double x=0,double y=0):x(x),...
  • 第一种:两个三维矢量的点积是把两个矢量对应分量相乘然后再取,最后的结果是一个标量, 公式为:a•b = (ax, ay, az)•(bx, by, bz) = axbx + ayby + azbz 矢量的点积满足交换律,即a•b = b•a 点积的几何意义...
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。其应用也十分广泛,通常应用于...
  • //点积,如果 v1,v2 是单位向量,返回是u,v夹角的余弦 //返回值 //== 0,表示v1,v2垂直 //&gt; 0 ,两个向量之间的夹角大于90度 //&lt;0,两个向量之间的夹角小于90度 //D3DXVec3Dot float VecDotProduct(Vector...
  • 向量点积和叉积

    千次阅读 2017-02-24 21:22:07
    向量点积和叉积
  • ab的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内为a·b= |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a=a·0= 0;若a,b是非零向量,则a与...
  • 向量运算-叉积点积

    千次阅读 2018-03-11 14:52:39
    点积最后的结果是一个数,满足交换律,可用于算向量的长度,两个向量之间的夹角叉积最后的结果是一个向量,不满足交换律,可用于计算向量围成图形的面积///点积 double Dot(Vector v1,Vector v2) { return v1.x*v2....
  • 向量复习(一):定义、求解、四则运算、点积和叉积
  • 在3D游戏开发中,经常用到向量点积和叉积及其几何意义,为防止遗忘,在此记录一下。点积在数学中,点积(德语:Skalarprodukt、英语:Dot Product)又称数量或标量(德语:Skalarprodukt、英语:Scalar Product)...
  • 点积叉积

    万次阅读 多人点赞 2018-05-30 12:26:02
    1. 向量的点乘:向量点乘是其各个分量乘积的几何意义:点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的cos值的乘积。 a•b = |a||b|cosθ 如果ab都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。 a•b = cosθ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 7,079
精华内容 2,831
关键字:

向量的点积和叉积

友情链接: MY_FILL.rar