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  • Kalman滤波

    2019-03-05 20:13:02
    仿真kalman滤波在2D目标运动中的应用,包含扩展kalman滤波与无迹kalman滤波
  • kalman滤波的仿真-kalman滤波的仿真.rar kalman方面的代码,以及kalman滤波的仿真,与工具箱
  • 实现KALMAN滤波算法通过跟踪估计物体运动轨迹-kalman滤波.rar 非常好得KALMAN滤波算法,通过跟踪,估计物体运动轨迹,和大家一起分享。 所含文件: Figure2.jpg KALMAN滤波算法,通过跟踪,...
  • kalman 滤波

    2019-04-21 20:55:33
    简要介绍了kalman 滤波的原理和算法 ,包含matlab 程序源代码
  • kalman滤波

    2014-09-19 21:04:46
    一维kalman滤波的程序,解决线性kalman滤波问题
  • kalman滤波一阶模型 带有详细的注释 通过测试
  • Kalman滤波: 其中 A~k~为状态转移矩阵, R为状态估计噪声, Q为观测噪声, C~k~为观测矩阵,, P~k~为状态的协方差,需要对 P~0~初始化。 Extended Kalman滤波: 预测: 更新卡尔曼增益: 计算后验概率...

    Kalman滤波:

    其中 Ak为状态转移矩阵, R为状态估计噪声, Q为观测噪声, Ck为观测矩阵,, Pk为状态的协方差,需要对 P0初始化。

    Extended Kalman滤波:

    预测:

    更新卡尔曼增益:

    计算后验概率分布:

     

     

    两个高斯分布乘积的理论推导[链接](https://www.cnblogs.com/rainbow70626/p/14070485.html)

     

     

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  • Kalman 滤波

    2020-06-22 21:27:31
    文章目录Kalman 滤波1. 简介2. 极大似然估计3. 状态空间参考 Kalman 滤波 1. 简介 Kalman 滤波常用于目标的追踪、预测等任务。滤波器被设计为最小化均方误差。此外,还可以用极大似然的方法得到滤波器。滤波器就是...

    Kalman 滤波

    1. 简介

    Kalman 滤波常用于目标的追踪、预测等任务。滤波器被设计为最小化均方误差。此外,还可以用极大似然的方法得到滤波器。滤波器就是用来从信号中提取出有用的信息,使用一个损失函数评价滤波器的性能。

    2. 极大似然估计

    使用极大似然的方法得到一个滤波器,最终的目标就是得到一个x^\hat{x} 使得yy的条件概率最大,即
    max[P(yx^)] max [P(y|\hat{x})]
    假设信号中的噪声是服从高斯分布的N(0,σk)\mathcal{N}(0,\sigma_k)。假设信号为
    yk=akxk+nk y_k=a_kx_k+n_k
    其中nkn_k是噪声,xkx_k是承载数据的信号,aka_k是系数,那么根据噪声服从高斯分布以及条件概率公式可以得到:
    P(ykx^k)=Kke((ykakxk^)22σk2) P(y_k|\hat{x}_k)=K_k \cdot e^{-\left(\frac{(y_k-a_k\hat{x_k})^2}{2\sigma_k^2}\right)}
    对上式求对数得到:
    logP(yx^)=12k((ykakx^k)2σk2)+C \log P(y|\hat{x})=-\frac{1}{2}\sum_{k}\left(\frac{(y_k-a_k\hat{x}_k)^2}{\sigma_k^2}\right)+C
    其中CC是常数项。

    3. 状态空间

    假设目标是要获得如下过程中变量的值:
    xk+1=Φxk+ωk x_{k+1}=\Phi x_k+\omega_k
    其中 xkx_ktt时刻的状态向量,Φ\Phi是从时刻 tt到时刻 t+1t+1的状态转移矩阵,并且是被认为时间平稳的,ωk\omega_k是高斯白噪声。

    变量的观察量定义为:
    zk=Hxk+vk z_k=H x_k+v_k
    其中 zkz_k是时刻ttxx的观测量,HH是将状态向量转换为观测向量的矩阵,并且被认为是时间平稳的,vkv_k是度量误差,是高斯白噪声。

    两个噪声的协方差被认为是时间平稳的,分别表示为:
    Q=E[ωkωkT]R=E[vkvkT] Q=E[\omega_k \omega_k^T]\\ R=E[v_kv_k^T]
    xkx_k的估计表示为 x^k\hat{x}_k,使用均方误差衡量滤波器的性能,并表示为
    f(ek)=(xkx^k)2 f(e_k)=(x_k-\hat{x}_k)^2

    Pk=E[ekekT]=E[(xkx^k)(xkx^k)T]P_k=E[e_ke_k^T]=E\left[(x_k-\hat{x}_k)(x_k-\hat{x}_k)^T\right],并将之前一次的估计记为x^k\hat{x}'_k,那么根据历史估计以及误差情况得到下面这个等式:
    x^k=x^k+Kk(zkHx^k) \hat{x}_k=\hat{x}'_k+K_k(z_k-H\hat{x}'_k)
    其中 KkK_k是Kalman 增益值,后面给出推导公式,后面一项zkHx^kz_k-H\hat{x}'_k为测量残留(measurement residual)。
    zkz_k的定义替换到上式中得到:
    x^k=x^k+Kk(Hxk+vkHx^k) \hat{x}_k=\hat{x}'_k+K_k(Hx_k+v_k-H\hat{x}'_k)
    再将x^k\hat{x}_k带入到上式PkP_k的等式中得到:
    Pk=E[[(IKkH)(xkx^k)Kkvk][(IKkH)(xkx^k)]]=(IKkH)E[(xkx^k)(xkx^k)T](IKkH)+KkE[vkvkT]KkT \begin{aligned} &P_k=E\left[\left[(I-K_kH)(x_k-\hat{x}_k')-K_kv_k\right]\left[(I-K_kH)(x_k-\hat{x}_k')\right]\right]\\ &=(I-K_kH)E\left[(x_k-\hat{x}_k')(x_k-\hat{x}_k')^T\right](I-K_kH)+K_kE[v_kv_k^T]K_k^T \end{aligned}
    将之前的预测PkP_k'以及RR替换上面等式中的均方误差项以及噪声的协方差项得到:
    Pk=(IKkH)Pk(IKkH)T+KkRKkT P_k=(I-K_kH)P_k'(I-K_kH)^T+K_kRK_k^T

    对于矩阵 PkP_k,其对角线上包含均方误差项,因此最小化均方误差的目标可以转换为最小化矩阵 PkP_k的迹(trace)。
    首先将上式展开得到

    Pk=PkKkHPkPkHTKkT+Kk(HPkHT+R)KkT P_k=P_k'-K_kHP_k'-P_k'H^TK_k^T+K_k(HP_k'H^T+R)K_k^T
    T[]T[]表示矩阵的迹,则上式两边表示为
    T[Pk]=T[Pk]2T[KkHPk]+T[Kk(HPkHT+R)KkT] T[P_k]=T[P'_k]-2T[K_kHP_k']+T[K_k(HP_k'H^T+R)K_k^T]
    KkK_k求导得到:
    dT[Pk]dKk=2(HPk)T+2Kk(HPkHT+R) \frac{dT[P_k]}{dK_k}=-2(HP_k')^T+2K_k(HP_k'H^T+R)
    并令其等于0,得到:
    (HPk)T=Kk(HPkHT+R) (HP'_k)^T=K_k(HP_k'H^T+R)
    并最终得到Kalman增益等式:
    Kk=PkHT(HPkHT+R)1 K_k=P_k'H^T(HP_k'H^T+R)^{-1}
    将该等式带入到上面PkP_k等式中,得到:
    Pk=PkPkHT(HPkHT+R)1HPk=PkKkHPk=(IKkH)Pk \begin{aligned} &P_k=P_k'-P_k'H^T(HP_k'H^T+R)^{-1}HP_k'\\ &=P_k'-K_kHP_k'\\ &=(I-K_kH)P_k' \end{aligned}

    前面已经定义了关于变量xkx_k从时刻kk到时刻 k+1k+1的转移:
    xk+1=Φx^k x_{k+1}'=\Phi\hat{x}_k
    对于均方误差中的 eke_k,更新方法为:
    ek+1=xk+1x^k+1=(Φxk+ωk)Φx^k=Φek+ωk \begin{aligned} &e_{k+1}'=x_{k+1}-\hat{x}'_{k+1}\\ &=(\Phi x_k+\omega_k)-\Phi \hat{x}_k\\ &=\Phi e_k+\omega_k \end{aligned}

    和前面PkP_k等式类似,k+1k+1时刻:
    Pk+1=E[ek+1ek+1T]=E[Φek(Φek)T]+E[ωkωkT]=ΦPkΦT+Q \begin{aligned} &P_{k+1}'=E[e^{'}_{k+1} e_{k+1}^{'T}]\\ &= E\left[\Phi e_k(\Phi e_k)^T\right]+E[\omega_k \omega_k^T]\\ &=\Phi P_k\Phi^T+Q \end{aligned}

    算法的整体流程如下图所示:
    在这里插入图片描述

    参考

    [1] The Kalman filter

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  • Kalman滤波算法

    2018-03-09 10:01:37
    Kalman滤波算法Kalman滤波算法Kalman滤波算法Kalman滤波算法
  • Kalman滤波论文

    2019-04-19 23:14:48
    内含两篇论文,一篇是Kalman老先生1960年关于Kalman滤波开山之作,一篇2012年的论文,非常生动解释了Kalman滤波的思想。
  • 卡尔曼滤波教程:kalman滤波全揭秘卡尔曼滤波教程:kalman滤波全揭秘卡尔曼滤波教程:kalman滤波全揭秘
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  • 多维Kalman滤波

    2020-05-18 18:13:16
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