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  • LaTex中文模板

    万次阅读 2016-03-06 15:25:31
    LaTex中文模板一份之前想在网上找一份通用的latex模板来写文档,省去写导言等的时间。后来发现,网上的模板要么太复杂,要么一运行就出错,这里我提供一份自己常用的中文模板。一些宏包我以注释的形式给出,当需要的...

    LaTex中文模板一份

    之前想在网上找一份通用的latex模板来写文档,省去写导言等的时间。后来发现,网上的模板要么太复杂,要么一运行就出错,这里我提供一份自己常用的中文模板。一些宏包我以注释的形式给出,当需要的时候,将其释放即可。

    \documentclass[a4paper]{ctexart} %CTEX报告文章格式
    
    
    
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    %\lstset{language=Mathematica}%这条命令可以让LaTeX排版时将Mathematica键字突出显示
    %\lstset{extendedchars=false}%这一条命令可以解决代码跨页时,章节标题,页眉等汉字不显示的问题
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    %\author{陆嵩}
    
    
    
    
    
    \begin{document}
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    %\setcounter{page}{1}
    %\pagenumbering{Roman}
    %\noindent\addcontentsline{toc}{section}{摘要}
    \begin{center}\zihao{3}\textbf{牛顿方法在多项式求根方面的应用}\end{center}
    \begin{center}\zihao{5}\textbf{郑州大学\ 数学与统计学院 \ 信息与计算科学 \ 陆嵩}\end{center}
    %\begin{center}\zihao{4}\textbf{摘要}\quad\zihao{-4}\end{center}
    %\vspace{1em}
    %%\noindent\zihao{4}\textbf{关键词}\quad\zihao{-4} 最小旋转曲面;Mathematica;样条插值;变分法
    %%\tableofcontents
    %\setcounter{page}{1}
    %\pagenumbering{arabic}
    %\pagestyle{headings}
    
    %5.55.8节主要介绍了了多项式求根和一些典型的求根方法。其中有很多我们想不到的方法。比如说,正如我们看到的,Bauer1956)、JenkinsTraub1970)、Nickel1966)以及Henrici1974),这些人提到了一些。
    %
    %我们确定一般多项式的根的一般方法的重要性有时会被评价过高。在实际应用中的多项式大部分会以一种特定的形式给定,比如说,特征多项式就是这样。之后,你将学习到,多项式的根就是矩阵的特征值,进一步,我们将在第六章详细描述这个方法。
    %
    %我们将详细讲述牛顿方法在寻找给定多项式$p(x)$的根方面的应用。为了评价牛顿迭代方程,
    %\[{x_{k{\rm{ + }}1}}: = {x_k} - \frac{{p({x_k})}}{{p'({x_k})}}\]
    %我们不得不计算多项式以及多项式一阶导在点$x=x_k$ 处的值。假定多项式以下列的形式给出
    %\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]
    %那么$p(x_k)$和$p'(x_k)$可用如下方法计算:对于$x = \xi $,
    %\[p(\xi ) = ( \cdots (({a_0}\xi  + {a_1})\xi  + {a_2})\xi  +  \cdots )\xi  + {a_n}\].
    %对于在这个表达式中乘数$\xi$,可用如下的递归格式
    %\begin{equation}
    %\label{5.5.1}
    %\begin{array}{l}
    %{b_0}: = {a_0}\\
    %{b_i}: = {b_{i - 1}}\xi  + {a_i},i = 1,2,...,n.
    %\end{array}
    %\end{equation}
    %多项式$p$在$\xi$出的值可以这样给定:
    %\[p(\xi ) = {b_n}\]
    %
    %通过递归式子(\ref{5.5.1})评估多项式的算法被称作 Horner方法。我们所能得到的$b_i$的量,也正是以下多项式的的系数
    %\[{p_1}(x): = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}\]
    %用$x-\xi$去$p(x)$,我们能得到:
    %\begin{equation}\label{5.5.2}
    %p(x) = (x - \xi )p{}_1(x) + {b_n}
    %\end{equation}
    %这通过比较式(ref{5.5.2})两边的系数,很容易被证实。进一步,对式(ref{5.5.2})关于$x$两边求导,并让$x=\xi$,我们得到
    %\[p'(\xi ) = {p_1}(\xi )\]
    %因此,一阶导数$p'(\xi)$能通过重复使用Horner方法来确定,用前一个的结果来做后一个式子的系数。
    %\[p'(\xi ) = ( \cdots ({b_0}\xi  + {b_1})\xi {\rm{ + }} \cdots )\xi  + {b_{n - 1}}\]
    %
    %通常地,多项式$p(x)$一般是以除此之外的其他一些格式给出的,
    %\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]
    %特别重要一种情况是,$p(x)$正好是三对角矩阵的特征多项式
    %\[J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    %{{\alpha _1}}&{{\beta _2}}&{}&0\\
    %{{\beta _2}}& \ddots & \ddots &{}\\
    %{}& \ddots & \ddots &{{\beta _n}}\\
    %0&{}&{{\beta _n}}&{{a_n}}
    %\end{array}} \right]\]
    %其中,${\alpha _i},{\beta _i}$是实数。
    %也就是说,多项式是特征矩阵
    %\[{p_i}(x) = \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    %{{\alpha _1} - x}&{{\beta _2}}&{}&0\\
    %{{\beta _2}}& \ddots & \ddots &{}\\
    %{}& \ddots & \ddots &{{\beta _i}}\\
    %0&{}&{{\beta _i}}&{{a_i} - x}
    %\end{array}} \right]} \right)\]
    %原则上的顺序主子式。我们有递推序列:
    %\begin{equation}
    %\begin{array}{l}\label{5.5.3}
    %{p_0}(x): = 1\\
    %{p_1}(x): = ({\alpha _1} - x) \cdot 1\\
    %{p_i}(x): = ({\alpha _i} - x){p_{i - 1}}(x) - {\beta _i}^2{p_{i - 2}}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 2,3, \cdots n.\\
    %p(x): = det(J - xI): = {p_n}(x)
    %\end{array}
    %\end{equation}
    % 这些公式能够被用来计算对于任意$x=\xi$的$p(\xi)$,和任意给定的矩阵元素$\alpha_i,\beta_i$。类似地,我们通过对式(\ref{5.5.3}) 求导,可以推得$p'(x)$的递推方程如下:
    %\begin{equation}\label{5.5.4}
    %\begin{array}{l}
    %{p_0}'(x): = 0\\
    %{p_1}'(x): =  - 1\\
    %{p_i}'(x): =  - {p_{i - 1}}(x) + ({\alpha _i} - x)p{'_{i - 1}}(x) - {\beta _i}^2p{'_{i - 2}}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 2,3, \cdots n.\\
    %p'(x): = p{'_n}(x)
    %\end{array}
    %\end{equation}
    %两个递推公式(\ref{5.5.3})和(\ref{5.5.4})能够同时被计算。
    %
    %通过5.3节对牛顿方法一般性的讨论,我们清楚地知道,当且仅当初始点$x_0$足够接近零点$\xi$的时候,由牛顿方法确定的$x_k$是收敛的。一个糟糕的初始值可能会导致序列$x_k$发散,即使是对多项式也不例外。如果实多项式$p(x)$没有实根(例如:$p(x)=x_2+1$),那么牛顿方法对于任意的实数域内的初始值是不可能收敛的。对于任意的多项式个例,我们没有通用而保险的选取有效初值的方法。但是呢,在一种重要而特别的情况下,我们确实存在一种通用的方法。也就是这种情况,如果所有的根$\xi$是实的($i=1,2,...,n.)$),并且满足:
    %\[{\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.\]
    %在5.6部分,定理(5.6.5)将向我们证明,那么由式(\ref{5.5.3})定义的多项式在矩阵元素$\alpha_i,\beta_i$是实数的前提下将具备这种属性。
    %
    %\newtheorem{theorem}{Theorem}
    %\begin{theorem}\label{5.5.5}
    %$p(x)$是维度$n \ge 2$的实系数多项式,如果对于所有的根$\xi_i$都是实数,其中,
    %${\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.$
    %那么,牛顿方法对于任意的初值$x_0 \ge \xi_1$,都能产生一个严格递减的序列$x_k$.
    %\end{theorem}
    %\begin{proof}[证明]
    %不失一般性,我们可以假设$p(x_0) > 0$
    %既然$p(x_0)$对于$x>\xi_1$不换号,那么对于任意的$x>\xi_1$我们有,
    %\[p(x) = {a_0}{x^n} +  \cdots  + {a_n} > 0\]
    %因此,我们可以知道$a_0>0$.并且通过罗尔定理,我们知道,导数$p'(x)$有$n-1$个实根,并且
    %\[{\xi _1} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2} \ge {\alpha _2} \ge  \cdots  \ge {\alpha _{n - 1}} \ge {\xi _n}\]
    %因为$p'$的维度是$n-1$且大等于1,上面表示的$\alpha_i$恰好是它全部的根。因$a_0>0$容易推知,对于任意的$x>\alpha_1$,我们有$p'(x)>0$。再次运用罗尔定理,和重新使用条件$n \ge 2$,我们可以知道
    %\begin{equation}\label{5.5.6}
    %\begin{array}{l}
    %p''(x) > 0\;\;\;x > \alpha {}_1\\
    %p'''(x) \ge 0\;\;\;x \ge \alpha {}_1
    %\end{array}
    %\end{equation}
    %因此,对于任意的$x \ge \alpha_1$,$p,p'$都是下凸函数。
    %
    %
    %现在,由于$p'(x_k)>0 ,p(x_k)>0$$x_k>\xi_i$暗示着
    %\[{x_{k + 1}} = {x_k} - \frac{{p({x_k})}}{{p'({x_k})}} < {x_k}\]
    %现在还有待证明的是,我们用牛顿方法不能“过调”。从式(\ref{5.5.6}),我们知道$x_k>\xi_1 \ge \alpha_1$,进一步,由泰勒定理,我们可以推导得到
    %\[0 = p({\xi _1}) = p({x_k}) + ({\xi _1} - {x_k})p'({x_k}) + \frac{1}{2}{({\xi _1} - {x_k})^2}p''(\delta ) > p({x_k}) + ({\xi _1} - {x_k})p'({x_k})\;\;\;{\xi _1} < \delta  < {x_k}\]
    %由$x_{k+1}$的定义式,移向我们可以得到$p(x_k)=p'(x_k)(x_k-x_k+1)$,因此,
    %\[0 > p'({x_k})({x_k} - {x_{k + 1}} + {\xi _1} - {x_k}) = p'({x_k})({\xi _1} - {x_{k + 1}})\]
    %再由$p'(x_k)>0$,立得$x_k+1>\xi_1$
    %\end{proof}
    %
    %为了之后的使用,我们注意定理\ref{5.5.6}接下来的结果:
    %\newtheorem{lemma}{Lemma}
    %\begin{lemma}\label{5.5.7}
    %设$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}>0,$ 是一个维度$n \ge 2$且所有根都是实数的实系数多项式。假如$\alpha_1$是$p'$ 最大的根,那么对于任意的$x \ge \alpha_1$,有$p'''(x) \ge 0$,换言之,对于任意的$x \ge \alpha_1$,$p'$是一个下凸函数。
    %\end{lemma}
    %
    %
    %我们仍然面临一个问题。那就是在事前不知道$\xi_1$ 的前提下,如何寻找一个比$\xi_1$大的初值$x_0$呢?以下的定理可以解决这个问题:
    %\begin{theorem}\label{5.5.8}
    %对任意的一个多项式$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}$,它的所有根$\xi$都满足:
    %\[\left| {{\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {\left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_0}}}} \right|,1 + \left| {\frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_0}}}} \right|, \cdots ,1 + \left| {\frac{{{a_1}}}{{{a_0}}}} \right|} \right\}\]
    %\[\left| {{\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {1,\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {\frac{{{a_j}}}{{{a_0}}}} \right|} } \right\}\]
    %\[\left| {{\xi _i}} \right| \le \max \left\{ {\left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}}} \right|,2\left| {\frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_{n - 2}}}}} \right|, \cdots ,2\left| {\frac{{{a_1}}}{{{a_0}}}} \right|} \right\}\]
    %\[\left| {{\xi _i}} \right| \le \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left| {\frac{{{a_{j + 1}}}}{{{a_j}}}} \right|} \]
    %\[\left| {{\xi _i}} \right| \le 2\max \left\{ {\left| {\frac{{{a_1}}}{{{a_0}}}} \right|,\sqrt {\left| {\frac{{{a_2}}}{{{a_0}}}} \right|} ,\sqrt[3]{{\left| {\frac{{{a_3}}}{{{a_0}}}} \right|}} \cdots ,\sqrt[n]{{\left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_0}}}} \right|}}} \right\}\]
    %\end{theorem}
    %
    %这些差异中的一部分将在6.9节中证明,同时也和Househoder(1970)做一个比较。其他的不同将在Marden(1949)能找到。
    %
    %二次收敛并不意味着快速收敛。如果选取的初值离根非常远的话,那么牛顿方法在开始的时候可能就收敛得非常缓慢。事实上,如果$x_k$足够大,那么
    %\[{x_{k + 1}} = {x_k} - \frac{{x_k^n +  \cdots }}{{nx_k^{n - 1} +  \cdots }} \approx {x_k}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\]
    %导致在$x_k$和$x_{k+1}$之间变化非常小。这些结果导致我们去寻求更好的“双步法”来代替直接的牛顿方法,如下:
    %\[{x_{k + 1}} = {x_k} - 2\frac{{p({x_k})}}{{p'({x_k})}}\;\;\;k = 0,1,2, \ldots \]
    %
    %
    %当然,现在我们有了“过调”的风险。特别地,在多项式只有实根,且初值$x_0 \ge \xi_1$的情况下,迭代出的某些$x_{k+1}$可能会越过最大一个根$\xi_1$,从而失去了定理\ref{5.5.5}的优势。但是不要怕,这种“过调”导致的不收敛是可以被消除的。由于多项式的一些优良属性,在上述情况发生的前提下,我们可以找到一个好的新初值$y(\xi_1 \ge > \xi_2)$,接着用牛顿方法进行迭代,最后也能收敛。之后将给出以下定理的结果:
    %\begin{theorem}\label{5.5.9}
    %设$p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}>0,$ 是一个维度$n \ge 2$且所有根都是实数的实系数多项式。并且$p(x)$ 的根排序如下,${\xi _1} \ge {\xi _2} \ge  \cdots  \ge {\xi _n}.$ 另外,假如$\alpha_1$是$p'$最大的根,
    %\[{\xi _1} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2}\]
    %对于$n=2$,我们需要特别要求$\xi_1 \ge \xi_2$,那么对于每一个$z>\xi_1$,一些符号的定义如下:
    %\[z': = z - \frac{{p(z)}}{{p'(z)}},y: = z - 2\frac{{p(z)}}{{p'(z)}},y': = y - \frac{{p(y)}}{{p'(y)}}\]
    %(图\ref{Figure 8}很好地刻画了这个问题),则有以下结论:
    %\[\begin{array}{l}\label{5.5.10}
    %{\alpha _1} < y\\
    %{\xi _1} \le y' \le z'
    %\end{array}\]
    %\begin{figure}[!h]
    %\small
    %\centering
    %\includegraphics[width=12cm]{111.eps}
    %\caption{Geometric interpretation of the double-step method} \label{Figure 8}
    %\end{figure}
    %\end{theorem}
    %容易证明当$n=2$并$\xi_1=\xi_2$时,也就意味着对于任意的$z>\xi_1$,都有$y=\xi_1$
    %\begin{proof}[证明]
    %再次假设当$z>\xi_1$时$p(z)>0$。对于这样一个$z$值,我们假设有两个两个量$\Delta_0,\Delta_1$(如图\ref{Figure 8}所示)定义如下:
    %\[{\Delta _0}: = p(z') = p(z') - p(z) - (z' - z)p'(z) = \int_z^{z'} {\left[ {p'(t) - p'(z)} \right]} dt\]
    %\[{\Delta _1}: = p(z') - p(y) - (z' - y)p'(y) = \int_y^{z'} {\left[ {p'(t) - p'(y)} \right]} dt\]
    %当然,这两个量还可以分别地被解释为关于$p'(x)$的图上的两块区域,见图\ref{Figure 9}。
    %\begin{figure}[!h]
    %\small
    %\centering
    %\includegraphics[width=12cm]{222.eps}
    %\caption{The quantities $\Delta_0$ and $\Delta_1$ interpreted as areas} \label{Figure 9}
    %\end{figure}
    %通过引理\ref{5.5.7},$p'(x)$在$x \ge \alpha_1$是个下凸函数。因此,我们知道$z'-y=z-z'>0$(由定理\ref{5.5.5}知道它是正值),我们可以得到
    %\begin{equation}\label{5.5.11}
    %{\Delta _1} \le {\Delta _0}\;\;\;y \ge {\alpha _1}
    %\end{equation}
    %$\Delta_0=\Delta_1$当且仅当$p'$是线性函数,也就是说$p$是次数为2的多项式。现在我们分为$y>\xi_1,y=\xi_1,y<\xi_1$三种情况来讨论。对于$y>\xi_1$,由定理\ref{5.5.5},立证得。对于$y=\xi_1$,我们首先证明$\xi_2<\alpha_1<\xi_1$,也就是说$\xi_1$是$p$的单根。假如$y=\xi_1=\xi_2=\alpha_1$是复根,那么,通过$n \ge 3$的假设,由式\ref{5.5.11},我们能得到,$\Delta_1<\Delta_0$. 这样将导出矛盾
    %\[{\Delta _1} = p(z') - p({\xi _1}) - (z' - {\xi _1})p'({\xi _1}) = p(z') < {\Delta _0} = p(z')\]
    %因而,$\xi_1$一定是单根。因此$\xi_2<\xi_1<y<\alpha_1$,因此在第二种情况下,结论貌似也是对的。
    %
    %
    %现在只剩下$y<\xi_1$这种情况了。如果$alpha_1<y$,那么命题正确性可由如下方法建立。既然$p(x)>0$并且$\xi_2<\alpha_1<y<\xi_1$,我们可以得到$p(y)<0,p'(y)>0.$,特别是$y$是适定的情况。进一步,因为$p(y)=(y-y')p'(y)$且$\Delta_0 \ge \Delta_1$,我们有
    %\[{\Delta _0} - {\Delta _1} = p(y) + (z' - y)p'(y) = p'(y)(z' - y') \ge 0\]
    %因此$z' \ge y'$,泰勒展开,最后得到
    %\[p({\xi _1}) = 0 = p(y) + ({\xi _1} - y)p'(y) + \frac{1}{2}{({\xi _1} - y)^2}p''(\delta )\;\;\;y < \delta  < {\xi _1}\]
    %进一步,因为当$x \ge \alpha_1$时$p''(x) \ge 0$,$p(y)=(y-y')p'(y)$和$p'(y)>0$
    %\[0 \ge p(y) + ({\xi _1} - y)p'(y) = p'(y)({\xi _1} - y')\]
    %因此$y' \ge \xi_1$
    %
    %为了完成证明,我们接着要证明,对于任意的$z>\xi_1$,有这样的结论
    %\begin{equation}\label{5.5.12}
    %y = y(z) > {\alpha _1}
    %\end{equation}
    %我们再次分为两种情况。$\xi_1>\alpha_1>\alpha_2$和$\xi_1=\alpha_1=\xi_2$.
    %
    %如果$\xi_1>\alpha_1>\alpha_2$,那么由\ref{5.5.12},在任何情况下
    %\[{\xi _1} < z < {\xi _1} + ({\xi _1} - {\alpha _1})\]
    %这是因为定理\ref{5.5.5}暗示着$z>z' \ge \xi_1$,因此由$y=y(z)$的定义,可得
    %\[y = z' - (z - z') > {\xi _1} - ({\xi _1} - {\alpha _1}) = {\alpha _1}\]
    %从而我们可以选择一个$z_0$使$y(z_0)>\alpha_1$.假设存在一个$z_1>\xi_1$,使得$y(z_1) \le \alpha_1$,由连续函数的介值定理,存在一个$\overline z  \in [{z_0},{z_1}]$,使得$\overline y=y(\overline z)=\alpha_1$,从\ref{5.5.11},对于$z=\overline z$
    %\[{\Delta _1} = p(\overline z ') - p(\overline y ) - (\overline z ' - \overline y )p'(\overline y ) = p(\overline z ') - p(\overline y ) \le {\Delta _0} = p(\overline z ')\]
    %进而$p(\overline y)=p(alpha) \ge 0$。另一方面呢,由$\xi_1$是在我们的例子中是单根,导致$p(x)$变号,这是矛盾的,因此式\ref{5.5.12}必须对所有的$z>\xi_1$都要成立。
    %
    %如果$\xi_1=\alpha_1=\xi_2$,那么由假设$n \ge 3$,不失一般性,我们假定
    %\[p(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n}\]
    %进而
    %\[z' = z - \frac{{p(z)}}{{p'(z)}} = z - \frac{z}{n}\frac{{1 + \frac{{{a_1}}}{z} +  \cdots  + \frac{{{a_n}}}{{{z^n}}}}}{{1 + \frac{{n - 1}}{n}\frac{{{a_1}}}{z} +  \cdots  + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{n{z^{n - 1}}}}}} = z - \frac{z}{n}\left( {1 + O(\frac{1}{z})} \right)\]
    %从而
    %\[y = y(z) = z + 2(z' - z) = z - \frac{{2z}}{n}\left( {1 + O(\frac{1}{z})} \right) = z\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + O(1)\]
    %因为$n \ge 3$,那么随着$z$的增大到正无穷,$y(z)$的值也无限增大。因此,我们也再次推断存在一个$z_0>\xi$,使得$y_0=y(z_0)>\alpha_1$.假如并不是对所有的$z>\xi_1$,式\ref{5.5.12}成立的话,那么我们就能像前面推导那样,存在一个$\overline z$,使得$y=y(z)=alpha_1$,然而在证明的前面部分,我们已经知道了$\overline y=\alpha_1=\xi_1=\xi_2$是不可能的。
    %\end{proof}
    %
    %
    %这个定理的实际意义我们是这样子说的。如果我们开始时就有初值$x_0>\xi_1$,那么由"双步法"
    %\[{x_{k + 1}} = {x_k} - 2\frac{{p({x_k})}}{{p'({x_k})}}\]
    %产生的值满足
    %\[{x_0} \ge {x_1} \ge  \cdots  \ge {x_k} \ge {x_{k + 1}} \ge  \cdots  \ge {\xi _1}\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = {\xi _1}\]
    %或者呢,存在一个初值$x_{k_0}:=y$,满足
    %\[p({x_0})p(x{}_k) > 0\;\;\;0 \le k < {k_0}\]
    %\[p({x_k})p({x_{{k_0}}}) < 0\]
    %在这种情况下,所有的值$p_{x_k}$都是同号的。
    %\[p({x_0})p(x{}_k) \ge 0\]
    %$x_k$快速而直接地单调收敛到根$\xi_1$(肯定比直接用牛顿方法快啦)。第二种情况,
    %\[{x_0} > {x_1} >  \cdots  > {x_{{k_0} - 1}} > {\xi _1} > y = {x_{{k_0}}} \ge {\alpha _1} \ge {\xi _2}\]
    %使用$y_0:=y$牛顿方法子序列的新起点
    %\[{y_{k + 1}} = {y_k} - \frac{{p({y_k})}}{{p'({y_k})}}\;\;\;k = 0,1, \ldots \]
    %这样呢,也能够单调收敛
    %\[{y_1} \ge {y_2} \ge  \cdots  \ge {\xi _1}\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {y_k} = {\xi _1}\]
    %
    %既然已经找到了多项式最大的根,进一步,我们当然是要找到多项式其他的根咯。以下的方法告诉我们可以“除去”已经得到的根$\xi_1$。也就是说,我可以这样形成一个$n-1$次多项式
    %\[{p_1}(x): = \frac{{p(x)}}{{x - {\xi _1}}}\]
    %这个过程称为"降次"$p_1(x)$最大的根是$\xi_2$,也可以通过之前描述的方法来得到。这里的$\xi_1$,或者一个更好的值$y=x_{k_0}$ (通过第一次“过调”得到),都可以作为迭代的初值。以此类推,最后所有的根都可以被找到。
    %
    %当然,一般来说,“降次法”也不是十全十美的。因为舍入误差会带来$p_1(x)$一定程度上的磨损。实际上,用来代替$p_1(x)$的多项式有不同于$\xi_2,\xi_3,...,\xi_n$的根。没次使用“降次”都带来一定误差,累加起来,最后可能会产生大误差,乃至错误。当然,如果留心的话,“降次”也能保证数值上的稳定。除去一个根之后,降次后的多项式的系数
    %\[{p_1}(x) = a_0'{x^{n - 1}} + a_1'{x^{n - 2}} +  \cdots  + a_{n - 1}'\]
    %可以以顺序$a'_0,a'_1,...,a'_{n-1}$(前向降次),或者以相反的顺序(逆向降次)。如果最小绝对值的根被除掉,那么前者是数值稳定的。反之,后者是数值稳定的。而混合使用确定系数的方法,对于绝对值不大不小的根是稳定的。详见 PetersWilkinson(1971)。
    %
    %
    %
    %
    %
    %相对于“降次法”的“零点删去法”部分翻译和例子不写。
    \end{document}
    

    上面是我做计算方法作业时的一份源码,鉴于Markdown编辑器令人恶心的编译机制,可能我的代码黏贴上去,在拷贝下来运行就会出错。因为注释符号给他弄成了单独的一行,而且非注释高亮显示,看起来就比较乱。下面给出一份简洁版,不该分行的地方如果给编辑器分行了,记得处理一下。

    \documentclass[a4paper]{ctexart} %CTEX报告文章格式
    \usepackage[top=3cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} % 页边距
    \usepackage{amsthm}
    \usepackage{graphicx} %图片
    \begin{document}
    \begin{center}\zihao{3}\textbf{牛顿方法在多项式求根方面的应用}\end{center}
    \begin{center}\zihao{5}\textbf{郑州大学\ 数学与统计学院 \ 信息与计算科学 \ 陆嵩}\end{center}
    \end{document}

    运行我一般是用Latex编译,然后在把dvi转成pdf,应该用pdf编译不会出太大问题。哦,对了,我这里用的是ctex编译环境里自带的winedt编辑器,之前用的是texlive。

    • ctexart一般可以改成ctexrep和ctexbook。具体的区别官方是这样讲的:
    **book 类**
    可以有 part,chapter,section,subsection 等,但没有摘要。
    **report 类**
    可以有 part,chapter,section,subsection 等,也有摘要,且摘要位于单独一
    页上,有页码。
    **article 类**
    可以有 part,section,subsection 等,但没有 chapter,可以有摘要,摘要紧接标题头位于第一页上。
    • 上一次用latex命令编译,发现dvi转成的pdf图像缺失了,解决的方法是先转成ps格式,再转成pdf。
    • 至于为什么要用ctex呢?毕竟对中文支持比较好,不需要再下载ctex宏包了,而且可以winedt比起TeXworks更加人性化,比如可以有整片的选择注释。当然TeXworks的pdfLaTex一键出pdf和源码定位功能也是棒棒的。
    • 个人觉得ctex和texlive没有优劣之分,虽然ctex是个人作品,且不支持更新了,latex贴吧的吧主也是带着个人感情色彩抨击ctex。建议如果只是将latex作为工具常写中文的话,还是用ctex。假如想做这方面的开发的话,还是用texlive吧,毕竟姜还是老的辣。当然,如果你要参加美赛什么的,texlive中自带相应的包,安装即可,网上给出的各种模板都比较脆弱,一动就残了,不适合新手用。
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  • Latex 中文模板

    2019-09-06 09:26:13
    转自latex常用中文模板,拿走直接很使用 \documentclass{article} \usepackage{CJK} %要运行该模板,LaTex需要安装CJK库以支持汉字. %字体大小为12像素,文档类型为article %如果你要写论文,就用report代替...

    转自latex常用中文模板,拿走直接很使用

    \documentclass{article}
    \usepackage{CJK}
     
    %要运行该模板,LaTex需要安装CJK库以支持汉字.
    %字体大小为12像素,文档类型为article
    %如果你要写论文,就用report代替article
    %所有LaTex文档开头必须使用这句话
    %使用支持汉字的CJK包
     
    %开始CJK环境,只有在这句话之后,你才能使用汉字
    %另外,如果在Linux下,请将文件的编码格式设置成GBK
    %否则会显示乱码
    \begin{CJK*}{GBK}{song}
    %这是文章的标题
    \title{LaTex 常用模板}
    %这是文章的作者
    \author{Kevin}
    %这是文章的时间
    %如果没有这行将显示当前时间
    %如果不想显示时间则使用 \date{}
    \date{2008/10/12}
    %以上部分叫做"导言区",下面才开始写正文
    \begin{document}
    %先插入标题
    \maketitle     %主要的作用是用于生成标题的作用 content contain \title \author \date
    %再插入目录
    \tableofcontents   %主要的作用适用于生成目录的作用
    \section{LaTex 简介}
    LaTex是一个宏包,目的是使作者能够利用一个
    预先定义好的专业页面设置,
    从而得以高质量的排版和打印他们的作品.
    %第二段使用黑体,上面的一个空行表示另起一段
    \CJKfamily{hei}LaTex 将空格和制表符视为相同的距离.
    多个连续的空白字符 等同为一个空白字符
    \section{LaTex源文件}
    %在第二段我们使用隶书
    \CJKfamily{li}LaTex 源文件格式为普通的ASCII文件,
    你可以使用任何文本编辑器来创建.
    LaTex源文件不仅包括你要排版的文本, 还包括LaTex
    所能识别的,如何排版这些文本的命令.
    \section{结论}
    %在结论部分我们使用仿宋体
    \CJKfamily{fs}LaTeX, 我看行!
    \end{CJK*}
    \end{document}

     

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  • LaTeX中文模板

    2013-04-28 09:54:11
    转自:http://marvin-space.info/blog/my_latex/ \documentclass{article} ...\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}%数学公式|数学符号blablabl ...\usepackage{CJK} %这个包需要下载,中文

    转自:http://marvin-space.info/blog/my_latex/


    \documentclass{article}

    \usepackage[english]{babel}
    \usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}%数学公式|数学符号blablabl
    \usepackage{CJK} %这个包需要下载,中文支持包
    \usepackage{listings} %这个包需要下载,是用来支持在LaTeX中插入程序代码的
    \usepackage{indentfirst}%缩进
    \usepackage[top=0.8in, bottom=0.8in, left=1.1in, right=1.1in]{geometry}%定义页边Margin
    \usepackage{graphicx}%在文档中插入图片用的。不用另外下载包

    \setlength{\baselineskip}{30pt}
    \setlength{\parindent}{2em}

    \begin{CJK*}{UTF8}{song} %有时可能是{CJK*}{UTF8}{gsbn}

    \title{文档标题}
    \author{作者信息}

    \begin{document}%文档开始
    \maketitle %输出(1)标题(2)作者信息(3)当天日期。如果不需要输出日期,需要手动将\date{}置空

    \section{4-1}
    \subsection{1} %{}必不可少,否则报莫名其妙的错

    \textbf{加粗字体} %加粗文字
    \newline\par

    %行内数学公式,等价于
    $ \frac{分子}{分母} $

    %行间数学公式

    ????

    %常用符号:
    %\times(乘号), \div(除号), \pm(加减号), \circ(小圆圈)

    %插入图片
    \includegraphics[width=160mm]{FileName.Extension}%0.7\columnwidth

    %插入程序代码段
    \begin{lstlisting}[language={C++}]
    class Node

    {

    char element;

    int weight;

    Node leftChild,rightChild;

    }
    \end{lstlisting}

    \end{document}
    \end{CJK*}

     

    其他:

    1.大块注释:

    usepackage{comment} %使用包comment

    \begin{comment}

    需要注释的部分...

    ...

    \end{comment}


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  • latex中文模板问题

    2021-03-05 12:30:16
    latex中文模板问题 计算机学报模板用ctex+winedt 能够顺利编译,但生成的pdf出现个别字无法正常显示的问题,个别汉字会显示成诸如“?”、“·”、“&”等。 换成texstudio+xelatex,按照网上配置中文的做法进行...

    latex中文模板问题


    **初始问题:**计算机学报模板用ctex+winedt 能够顺利编译,但生成的pdf出现个别字无法正常显示的问题,个别汉字会显示成诸如“?”、“·”、“&”等。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    换成texstudio+xelatex,按照网上配置中文的做法进行配置与修改,最终能够顺利编译,但依然无法正常显示中文。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    最后换成texwork+miktex,按照网上做法配置与修改,并将模板中的gbk改为utf8,终于正常显示了。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    现在还有一个问题不知如何解决:首页摘要较长情况下不会换页?

    展开全文
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空空如也

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