前言

阵列信号处理利用多个麦克风的的空间信息对接受信号做空域滤波和信号合成，是除时域和频域外的一种新的信号处理手段。常用的多麦克风波束形成技术有：

DSB(delay-sum beamforming), MVDR(minimum variance distortionless response), GSC(generalized sidelobe canceller).

阵列流形矢量

• 任意阵列

在一个三维直角坐标系中，假设麦克风的位置为P坐标，当语音信号a从某个方位传递到位于各个P坐标的麦克风时，各个麦克风接受到的语音信号就可以表示成如图右边的列向量形式，这表明对于每个麦克风而言，我们可以以直角坐标的原点为参考点，计算语音信号在传播过程中，相对于坐标原点的时间延迟。

• 时延估计 

 针对时延的计算，在已知入射波和Z轴的夹角和入射波和X，Y轴的平面夹角（ 两个未知参数的估计在阵列信号处理中有专门的技术TDOA，这里略过），那么就可以通过上图的公式计算时延。

根据傅里叶变换公式，

时域的延时等价与频域的相位，那么就可以得到频域表达式：

 这个黄框中的列向量就称为阵列流形矢量，表征了原始语音谱和实际麦克风接受到的信号谱的关系。

ULA

 ULA是最为简单的均匀线性阵列，假设现在有M个麦克风，均匀分布在Z轴上。

那么每个麦克风的时延就可以表示成

 DSB

通过前面的描述，应该已经清楚。针对每一路麦克风的接收信号，其实就是原始信号在时间上的延迟，如果我们将这个延迟给补偿上，那么N路麦克风信号就会在时间上对齐了。

 每个输入信号在时域乘上这个时间补偿函数，那么就会相当于在频域乘上对应的列向量

这种波束形成方式就称为延时求和波束形成方法。

从零开始

本人要开始做关于相控阵的毕设了。无奈基础太差，技术太菜，遂开始从零学起阵列处理方面的知识——以供复习和参考。
使用的教材是 H.L.Vans Trees ，Optimum Array Processing

啥是阵列处理

你想嘛，接收一个复杂的信号 拿着一根天线/麦克风在那杵着多捞啊。一个OV开头的摄像头模块都有很多感光阵元（这个。。其实和本文内容无关）。阵列处理中要经历加权处理（后文将提到） 所以理论上，阵列处理更能消除误差（或者更敏感，反正学着学着就知道了，不是吗）。

阵列流形矢量（Array Manifold Vector）

Now, 这里有个阵列，我们认为里面的每个阵元p都能接收到一个信号。简单来说，因为接收信号是在空间里采样，所以对信号的采样叫 空域采样（Spatial Sampling） 。
通过采样，我们可以得到一个矢量：
$$\mathbf{f}(t,\mathbf{p})=\left[\begin{array}{c}f(t,{\mathbf{p}}_0)\\ f(t,{\mathbf{p}}_1)\\ .\\ .\\ .\\ f(t,{\mathbf{p}}_{\mathbf{N}-1})\end{array}\right]$$
我们可以把这个矢量看成一个对于时间的一个函数表。对于这一坨数据。我们通常要用一个LTI滤波器处理：

卷积积分的形式：
$$y(t)=\sum _{n=0}^{N-1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{h}_n(t-\tau )f_n(\tau ,{\mathbf{p}}_{\mathbf{n}})d\tau$$
简洁点，我们把$h_n$变成一个向量：
$$\mathbf{h}(\tau )=\left[\begin{array}{c}{h}_0(\tau )\\ h_1(\tau )\\ .\\ .\\ .\\ h_{N-1}(\tau )\end{array}\right]$$
我们又可以矢量表示$y(t)$:
$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathbf{h}}^T(t-\tau )\mathbf{f}(\tau ,\mathbf{p})d\tau$$
让我们对$y(t)$做傅里叶变换——时域卷积，频域乘积：
$$\begin{array}{rl}Y(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\mathbf{H}}^{\mathbf{T}}(\omega )\mathbf{F}(\omega )\end{array}$$
到这 稍微有点迷糊，作为CTFT的前提条件——时间=$\infty$显然不可实现。其实我们这里有个前提：假设观察时间足够长以至于可以考虑为无限长。这样的话，我们就可以得到一个频域的向量了。
强调：频域向量内的每一个元素是各个阵元所收到的信号的频谱。
接下来，考虑一般情况，收到了一个平面波：

你看，收到的信号肯定有相位差吧！
我们令原点收到的信号为$f(t)$：
$$\mathbf{f}(t,\mathbf{p})=\left[\begin{array}{c}f(t-{\tau }_0)\\ f(t-{\tau }_1)\\ .\\ .\\ .\\ f(t-{\tau }_{N-1})\end{array}\right]$$
考虑如下的球形坐标系：

我们设这个平面波的传播方向为(在直角坐标系下）：
$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}-\sin \theta cos\varphi \\ -\sin \theta sin\varphi \\ -cos\theta \end{array}\right]$$
不用动脑子了，其相位差为：
$${\tau }_n=\frac{{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{n}}}{c}=-\frac{1}{c}[sin\theta cos\varphi {\mathbf{p}}_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}}+sin\theta sin\varphi {\mathbf{p}}_{{\mathbf{y}}_{\mathbf{n}}}+cos\theta {\mathbf{p}}_{{\mathbf{z}}_{\mathbf{n}}}]$$
书上还有负方向的情况，简简单单定义$\mathbf{u}=-\mathbf{a}$不赘述了。

咱们接着鼓捣式子：
讨论$\omega {\tau }_n$, $\omega {\tau }_n=\frac{\omega }{c}{\mathbf{a}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{n}}$
在波$cos(\omega t+{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x})$中，$\mathbf{k}=\frac{\omega }{c}\mathbf{a}$被称为波数（电磁场学过的，明明是个向量。。。）.
根据傅里叶时移频域变化情况，我们可以知道$\mathbf{F}(\omega )$的第n个分量是：$e^{-j\omega {\tau }_n}{F}_{在零点的频谱！这句话以后都省略了！}(\omega )$
我们的讨论主题阵列流形矢量(AMV)就呼之欲出了。
$\mathbf{F}(\omega )=F(\omega ){\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k}),{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k})$就是AMV。
$${\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k})=\left[\begin{array}{c}{e}^{-j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_0}\\ e^{-j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_1}\\ .\\ .\\ .\\ e^{-j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{N}-1}}\end{array}\right]$$

波束形成器（重构器）

课本上歪歪斜斜的写着‘波束形成器（beamformer)’五个字。我横竖睡不着，仔细看了半夜，才从字缝里看出字来，满本都写着两个字是‘重构’！

哎哟，这几个函数怎么鼓捣不完了，
我们设一个阵元的基函数（gay basis function）也就是每个阵元接收到的波为：
$$f_n(t,{\mathbf{p}}_n)=e^{j(\omega t-{{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}\mathbf{p}}_n)}$$
或整个阵列接收到的信号矢量
$$\begin{array}{rl}\mathbf{f}(t,\mathbf{p})& =e^{j\omega t}{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k})\\ & =\left[\begin{array}{c}{e}^{j(\omega t-{{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}\mathbf{p}}_0)}\\ e^{j(\omega t-{{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}\mathbf{p}}_1)}\\ .\\ .\\ .\\ e^{j(\omega t-{{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}\mathbf{p}}_{N-1})}\end{array}\right]\end{array}$$
看看上文我们提到的${\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{H}}({\mathbf{k}}_{\mathbf{s}})$我们可以知道上面的阵列处理器对这个平面波的响应是：
$$\mathbf{h}(\tau )=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{N}\delta (\tau +{\tau }_0)\\ \frac{1}{N}\delta (\tau +{\tau }_1)\\ .\\ .\\ .\\ \frac{1}{N}\delta (\tau +{\tau }_{N-1})\end{array}\right]$$
而频（空）域我们可以写成更聪明的形式，我们一共轭，复指数的幂直接变了个符号。
$${\mathbf{H}}^{\mathbf{T}}(\omega )=\frac{1}{N}{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{H}}({\mathbf{k}}_{\mathbf{s}})=\frac{1}{N}{\left[\begin{array}{c}{e}^{j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_0}\\ e^{j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_1}\\ .\\ .\\ .\\ e^{j{\mathbf{k}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{p}}_{\mathbf{N}-1}}\end{array}\right]}^T$$
其中${\mathbf{k}}_{\mathbf{s}}$是我们感兴趣的电磁波波数。
再傻瓜点：
$$\mathbf{H}(\omega )=\frac{1}{N}{\mathbf{v}}_{\mathbf{k}}^{\ast }({\mathbf{k}}_{\mathbf{s}})$$

频率-波数响应函数（Frequency-wavenumber response function）

别忘了，阵列处理是为了得到更好的结果。也就是得到一个更好的结果。
通过分析上面的式子，我们可以得到一个有趣的结论：
$$y(t,\mathbf{k})={\mathbf{H}}^T(\omega ){\mathbf{v}}_k(\mathbf{k})e^{j\omega t}=e^{j\omega t}$$
我们发现，一个频域矢量和一个时域的矢量相乘了，最后得到的是一个时域的响应。请记住，这不是特殊情况。我们可以做一个定义：
$$\mathbf{\gamma }(\omega ,\mathbf{k})\triangleq {\mathbf{H}}^T(\omega ){\mathbf{v}}_k(\mathbf{k})$$
我们把它称为频率-波数响应函数（Frequency-wavenumber response function）。课本上的介绍如下（中文不好复制，遂复读英文版）：
The frequency-wavenumber response function describes the response to an arbitrary plane wave. In most physical applications there is a coupling bet,ween the temporal frequency $\omega$ and the spatial wavenumber $\mathbf{k}$ through the wave equation governing the propagation of the plane wave. Sometimes this can be a very simple relationship such as a plane wave in a homogeneous (and infinite) space; in other instances it can be quite complicated, such as the modal behavior in layered media that often occurs in underwater acoustics（水下声纳） and seismology（地震学）.