对一阶二阶低通数字滤波器的理解

2016年10月25日 23:32:53 阅读数：10120 标签： 一阶滤波 二阶滤波 数字滤波 收起

个人分类： C++



* 描述 ：滤波器相关函数。结论：一般阶次越高，传递函数越复杂。 

include "ANO_Filter.h"

/*

IIR滤波器是无限冲击响应滤波器，

其优点：

1. 采用模拟原型滤波的标准设计，容易理解。

2. 可以用低阶设计实现，并且可以高速运行

3. 对于相同公差设计方案，其阶数比FIR短。

4. 可以采用闭环设计

其缺点：

1. 非线性相位

2. 可能会出现极限环

3. 多频道设计困难，只能设计低通、高通和带通

4. 反馈会引入不稳定

5. 非常难得到高速流水线设计 

*/


/----------------------一阶低通滤波器系数计算-------------------------/

float ANO_Filter::LPF_1st_Factor_Cal(float deltaT, float Fcut)


//deltaT：时间差 F-CUT：超高速切割,低通滤波器截止频率,单位：Hz


{

return deltaT / (deltaT + 1 / (2 * M_PI * Fcut));

}


/*

想要达到更好的滤波效果，FIR或者IIR滤波器是更好的选择。

笔者测试2阶30Hz的Butterworth滤波器虽然在平滑性RMSE只比

窗口平均滑动差了一点（但是比LPF要好），但是数据实时性

性能指标上比前者响应速度提高了近一倍。因此在制作四轴的

进阶阶段，可以考虑将窗口平均滑动换成Butterworth滤波器。

*/ 


/----------------------一阶低通滤波器------------------------/

//lpf_factor：一阶滤波系数 oldData：ACC的上一次的数据 newData：ACC的最新数据


//算法基础：Yn = a * Xn + (1-a) * Yn-1 

//上式解释：a：滤波系数，其值通常远小于1 ；Xn:本次采样值： Yn-1；上次的滤波输出值；Yn：本次滤波的输出值。

/**********************************************************************************

由上式可以看出，本次滤波的输出值主要取决于上次滤波的输出值

（注意不是上次的采样值，这和加权平均滤波是有本质区别的），

本次采样值对滤波输出的贡献是比较小的，但多少有些修正作用，

这种算法便模拟了具体有教大惯性的低通滤波器功能。

功效：当目标参数为变化很慢的物理量时，这是很有效的。

**********************************************************************************/

Vector3f ANO_Filter::LPF_1st(Vector3f oldData, Vector3f newData, float lpf_factor)

{

return oldData * (1 - lpf_factor) + newData * lpf_factor;

}


/----------------------二阶低通滤波器系数计算-------------------------/

void ANO_Filter::LPF_2nd_Factor_Cal(LPF2ndData_t* lpf_data)

{

//截止频率(中心频率f0):30Hz 采样频率fs:500Hz

lpf_data->b0 = 0.1883633f;

lpf_data->a1 = 1.023694f;

lpf_data->a2 = 0.2120577f;

}

/*


输出公式:Y（n)= b0xn + b1xn-1 + b2xn-2 - (a1xn-1 + a2*xn-2) 

式中a1,a2,b0,b1,b2是二阶滤波器IIR系数，其决定滤波器的频响应曲线以及增益。

如何求a0,a1,a2,b0,b1,b2

对于一个二阶IIR滤波器，标准的技术指标如下：

1. 中心频率f0;

2. 采样频率fs;

3. 增益db;

4. 品质因数；


中心频率: 通常定义为带通滤波器（或带阻滤波器）的两个3 dB点之间的中点，一般用两个3 dB点的算术平均来表示 。其实低通和高通滤波器也有中心频率,只不过它的定义和带通就不一样了，它就等于我们通常说的截止频率.但我们在说低通高通时，都是用截止频率，而几乎不用其中心频率。不过在做归一化时就会有这个概念了。那时可以看到，低通高通的归一化,截止频率=截止频率/中心频率=1.


通常，对一个滤波器的要求，我们主要给出以下技术规格：中心频率frequency，采样频率sampleRate，增益dBgain，品质因数Q。


根据上面的技术指标，可以确定以下几个通用计算量：

A = sqrt[ 10^(dBgain/20) ]

omega = 2pifrequency/sampleRate //传说中的角频率


sin = sin(omega)


cos = cos(omega)

alpha = sin/(2*Q)


所以二阶IIR高通滤波器系数的计算：

b0=(1+cos)/2;

b1=-(1+cos);

b2=(1+cos)/2;

a0=1+alpha;

a2=1-alpha;

二阶IIR低通滤波器系数的计算：

b0=(1-cos)/2;

b1=1-cos;

b2=(1-cos)/2;

a0=1+alpha;

a1=-2cos; a2=1-alpha;

二阶IIR带通滤波器的系数的计算：

b0=sin/2=Qalhpa;

b1=0;

b2=-sin/2=-Qalpha; a0=1+alpha;

a1=-2cos;

a2=1-alpha; 
/ /

众所周知， 加速度计的高频噪声较严重，尤其是廉价的加速度传感器，针对加速度滤波，

目前所能想到的滤波方法无非是滑动平均滤波（低通滤波），至于效果能否满足需求，

现在还不得而知。
/ /----------------------二阶低通滤波器------------------------/ Vector3f ANO_Filter::LPF_2nd(LPF2ndData_tlpf_2nd, Vector3f newData)

{

Vector3f lpf_2nd_data;


//对于二阶IIR滤波器，输出公式:Y（n)= b0xn + b1xn-1 + b2xn-2 - (a1xn-1 + a2*xn-2)


//此处忽略了b1 * xn-1 + b2 * xn-2 ，b1和b2的系数为0 

lpf_2nd_data = (newData * lpf_2nd->b0)+ (lpf_2nd->lastout * lpf_2nd->a1) - (lpf_2nd->preout * lpf_2nd->a2);


//更新数值，留待下次运算 

lpf_2nd->preout = lpf_2nd->lastout;

lpf_2nd->lastout = lpf_2nd_data;


return lpf_2nd_data;

}


/----------------------互补滤波器系数计算-------------------------/

float ANO_Filter::CF_Factor_Cal(float deltaT, float tau)

{

return tau / (deltaT + tau);

}


/----------------------一阶互补滤波器-----------------------------/

/***********************************************************************************

科普：互补滤波

对mpu6050来说，加速度计对四轴或小车的加速度比较敏感，取瞬时值计算倾角误差比较大；

而陀螺仪积分得到的角度不受小车加速度的影响，但是随着时间的增加积分漂移和温度漂移带来

的误差比较大。所以这两个传感器正好可以弥补相互的缺点。不过要怎么弥补呢？经过上面的介绍

是否感觉到可以用滤波器做文章呢？ 

这里讲的互补滤波就是在短时间内采用陀螺仪得到的角度做为最优，定时对加速度采样来的角度

进行取平均值来校正陀螺仪的得到的角度。就是，短时间内用陀螺仪比较准确，以它为主；长时间用

加速度计比较准确，这时候加大它的比重，这就是互补了，不过滤波在哪里加速度计要滤掉高频信号，

陀螺仪要滤掉低频信号，互补滤波器就是根据传感器特性不同，通过不同的滤波器（高通或低通，互补的），

然后再相加得到整个频带的信号，例如，加速度计测倾角，其动态响应较慢，在高频时信号不可用，

所以可通过低通抑制高频；陀螺响应快，积分后可测倾角，不过由于零漂等，在低频段信号不好。

通过高通滤波可抑制低频噪声。将两者结合，就将陀螺和加表的优点融合起来，得到在高频和低频都较好

的信号，互补滤波需要选择切换的频率点，即高通和低通的频率。 

**********************************************************************************/

/***********************************************************************************

由于陀螺零点漂移和离散采样产生的累积误差， 由陀螺得到的四元数只能保证短期的精度， 需要

使用加速度计和磁力计对其进行矫正

由于四旋翼飞行器所使用的加速度计具有长期可信、短期噪声较大的特点；陀螺仪

具有短期可信，长期不稳定的特点，因此可以使用互补滤波对其进行融合。简而言之，

互补滤波相当于将低通滤波器与高通滤波器结合在一起，对加速度计进行低通滤波，而

对陀螺仪进行高通滤波，通过整定合适的参数来得到一个较好的滤波器特性

**********************************************************************************/

Vector3f ANO_Filter::CF_1st(Vector3f gyroData, Vector3f accData, float cf_factor)

{ 

return (gyroData * cf_factor + accData *(1 - cf_factor));


}

	

前言
   上篇文章介绍了数字滤波器设计的基本套路,设计并实现了一阶低通数字滤波器。由于一阶低通滤波器对高频信号幅值衰减能力有限，在实际应用中可能需要性能更加优异的低通滤波器。有时会出现有用信号和干扰信号的频率比较接近，希望滤波器对干扰信号尽量的衰减，有用信号不被衰减，这时候就需要用到高阶的低通滤波器。比如在逆变器中，提取交流电压或者电流的直流分量，直流分量幅值很小，工频和谐波幅值很大，这时候采样电路中加入二阶有源低通滤波电路就比较合适。
 正文：
      第一步:根据物理模型推导出传递函数，根据传递函数的波特图评估滤波器性能
       二阶有源低通滤波器有几个特性。截止频率点代表该频率处的幅值下降到-3db(对应的时域增益为1/sqrt(2))，也是低通滤波器的带宽，该频率点相位滞后90度。10倍截止频率处，幅值下降到-40db；100倍截止频率处，幅值下降到-80db,以-40db/十倍频程速率下降，比一阶低通滤波器对高频信号衰减的更快。从波特图看出，频率信号经过滤波器后，相位产生了延迟，频率越大相位延迟越大，频率无穷大时相位延迟趋近180度，对应时域增益为0。
     品质因数Q也是设计二阶低通滤波器的关键参数。当Q大于1时，截止频率附近的信号会被放大，跟需要滤除干扰信号是相违背的，所以实际低通滤波器设计中Q通常都是小于1。而当Q为较小的正值时，对低频信号相位影响又比较大，当Q小于0时，滤波电路又是不稳定的，实际工程中一般折中选择Q=0.707。
 第二步:已知典型滤波器的传递函数去设计数字滤波器。
      根据干扰信号幅值和频率，本着有用信号的幅值和相位不受滤波器影响，干扰信号被衰减掉，合理的选择滤波器类型和滤波器参数。
      以二阶低通滤波器为例，设定典型二阶低通滤波器的品质因数Q，采样周期Ts,以及滤波截止频率fc，分析其频率响应，是否达到设计要求。然后通过离散方法，得到离散域传递函数，再得到差分方程，有了差分方程，就可以写出滤波器函数。
第三步:仿真验证。
推荐书籍：
《电子技术基础.模拟部分》-康华光-第5版
《 数字信号处理教程》-程佩青
小结：
    本文内容讲述了时域、频域和离散域之间关系，连续系统函数怎么到离散系统函数，通过此方法可将传递函数变成MCU执行的代码，也可以用于控制器的设计。在设计滤波器或者控制器的时候，一定要把函数跟实际的物理模型联系起来，可加深理解，一切复杂的滤波器或者传递函数都是由基本单元组合而成，每个基本单元都有着对应的物理模型。
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关于本人：
     本人有多年的电源开发经验，涉及到的产品有单相光伏逆变器、三相组串逆变器、集中式光伏逆变器、双向DC/DC，PCS。涉及到的电路拓扑有H4、H6、Boost、Boost-Buck、两电平三相半桥、T字三电平三相半桥和I字型三电平半桥。近几年一直做双向变流器产品，主要做技术管理工作。在这个平台希望与更多的同行进行交流。

随着信息科技的发展，信号处理得到了大幅推动，已经被广泛应用于雷达、通信、自动化、航空航天等领域。在信号处理系统中，输入信号通常含有各种噪声和干扰。为对信号进行准确的测量和控制，必须削弱或滤除被测信号中的噪声和干扰。一般在系统中可选用硬件滤波和软件滤波。硬件滤波又分为无源滤波和有源滤波，无源滤波是通过 RC 滤波器或 LC 滤波器等模拟滤波器进行滤波。软件滤波也称数字滤波，是通过一定的算法削弱噪声的影响。硬件滤波的优势是不需要进行复杂的程序处理，反应灵敏。而软件滤波的优势是不需要硬件的投入，而且可靠稳定。
综合两者的优势，本文提出了一种以低通二阶 RC 无源滤波电路为基准，用 Matlab 和 Visual C++设计一个具有相同功能数字滤波器的方法即模拟电路数字化方法，以滤除信号中的高频杂波，得到了较为理想的波形。
模拟电路数字化的过程如下，首先从硬件滤波电路出发，计算电路的传递函数 H(s)。由于软件滤波的信号是离散的数字信号，所以将 H(s)转换成离散域的 H(z)，通过 Matlab 编程实现对信号的滤波。如果滤波效果不理想，则对传递函数中的参数进行调整，得到具有较理想滤波效果的 H(z)。
为最终用 Visual C++编程实现，需要将 H(z)反变换得时域的 h(t)，与信号进行卷积和运算以完成滤波。经过以上步骤，完成模拟滤波电路数字化的过程，并在 Matlab 和 Visual C++平台上实现滤波。
对于模拟电路的分析，通常采用传递函数的分析方法。电子电路往往是由若干个动态环节连在一起构成一个复杂电路。对于每个具体环节来说，都有它的输入量和输出量，而一定输入量的变化都会引起输出量的变化。根据一个环节中所进行的物理过程可以写出微分方程，它表示了该环节输出量和输入量的关系。
输入量与输出量都是时间 t 的函数，用微分方程直接表示输入量与输出量时间函数之间的关系比较复杂。但利用拉氏变换把时间函数变换为 s 的函数以后，原函数对于时间 t 的微分积分就简化为 s 的乘除法。
通常信号在进行放大之前，先对该信号进行滤波。以低频信号为例，使用经典的二阶 RC 无源滤波电路进行滤波，电路如图 1 所示。在接下来的部分将以此电路为例对模拟电路数字化方法进行详细的分析和讲解。
滤波器的滤波效果与 R1、R2、C1 和 C2 等参数相关，如果取值不当会造成滤波效果不理想。对于复杂的传递函数，谐振频率和带宽不易计算，所以本文采用控制变量法。
对于多因素的问题，常常采用控制因素的方法，把多因素的问题变成多个单因素的问题。每一次只改变其中的某一个因素，而控制其余几个因素不变，从而研究被改变的这个因素对事物的影响，分别加以研究，最后再综合解决，这种方法叫控制变量法，被广泛地运用在各种科学研究之中。
得到传递函数后，就可以对信号进行滤波。由于待处理的数据是数字信号，若想仿真需将频域的传递函数转换为 x 域的传递函数，即将模拟滤波器转换为数字滤波器。模拟滤波器转换为数字滤波器有两种方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
脉冲响应不变法是一个稳定的设计，主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的数字滤波器。这种变换法的主要特点是频率坐标的变换是线性的，即由于混叠现象，阻带边缘的衰减要比模拟滤波器稍差一些，但仍能满足技术指标的要求。脉冲响应不变法要求该模拟滤波器是带通滤波器或者低通滤波器，但这种方法在阻带没有起伏的情况下才有用。
双线性变换法映射也是一种稳定的设计，不存在混叠现象，对能够变换的滤波器类型没有限制。但这种方法也有固有缺陷：模拟频率和数字频率之间是非线性关系，它使得频率的标度弯曲，不能保持原来的模拟滤波器的相频特性;数字的频率响应与模拟的频率响应有明显的差别。一般情况下，可以通过频率的预畸变进行校正。但总体来说，双线性变换法的仿真结果比脉冲响应不变法更加理想。

 常见低通滤波电路
 L 一阶滤波
 C 一阶滤波
 CL 二阶滤波
 RC 二阶滤波
 LC 二阶滤波
 RCR T型三阶滤波
 LCL T型三阶滤波
 CRC π三阶滤波
 CLC π三阶滤波
 开关电源 单级低通滤波回路
 DLC 型二阶滤波器
 开关电源 双级串联式低通滤波回路
 CLC П型滤波器
 1、工作原理介绍
 a.输入正脉冲时,先给C1充电,充电电流为ic1,迅速充到脉冲的峰值电压Vi,同时电感器L中也有线性增长的电流,并在L中储存了磁能,随着电流的增长,储存的磁能越来越多,电容器C2通过电感L也充上了电压,充电电流为ic2,C2和C1上的电压基本相等,负载RL中的电流IRL也是由输入脉冲供给。
 b. 输入正脉冲消失,负载RL的电流由两路提供,一路是C2放电提供的电流为-ic2,,另一路是由电感L储存的磁能转换成电能,并与C1上的电压串联后提供-ic1。负载RL中的电流等于两个电容器放电电流的和，即IL= -(ic2+ic1)
 c.对直流而言:CLC型滤波器中的C1和C2, 相当于开路,而电感L对直流分量的感抗等于零,相当于短路,所以直流分量能顺利的通过电感L。
 d.对交流而言:电容器的容量大,相当于将其短路,而电感对各种正弦波的感抗很大,所以交流分量过不去,或过去的很少。
 2.优点:输出直流电压高,最高能达到矩形波的峰值电压,适用于负载电流较大，要求输出电压脉动较小的场合。
 3.弱点:用在没有稳压电路的电源中,负载能力差。
 4. CLC П型滤波器常用在脉幅式开关稳压电源,电容和电感值越大,滤波效果越好.
 DLC 型滤波器
 1、工作原理介绍
 a.当变压器次级绕组为上正下负时,由于变压器次级绕组输出的电压是正负交、变的矩形波,故加D1整流去掉负半周,正半周通过D1整流后,电流通过电感L储、存了磁能,这个电流一部分给C1充电,另一部分给负载RL用,D2截止。
 b.当输入正脉冲消失后,这时变压器次级绕组产生的自感电压为上负下正,所以整流管D1截止,滤波器没有输入电压,负载RL的电流供给由两部分组成,一部分由电感中储存的磁能转换为电能,电流方向与原来的电流方向一致,并通过续流二极管D2构成回路电流iL,另一路是C1放电提供的电流为-ic1。
 2. DLC型滤波器,输出的直流电压就是它输入的矩形波电压的平均值。
 3. DLC型滤波器常用在脉宽式开关稳压电源,DLC的输出端,对地需要并联一个电阻,习惯上叫做”释放电阻”,一般在释放电阻中有30-50mA电流就可以。
 CRC П型滤波器
 1、工作原理介绍
 a.经整流输出的电压,首先经过C1电容器的滤波,将大部分交流成分滤除,经C1后的电压,再加到由RL和C2够成的RC滤波电路中,电容C2进一步对交流成分进行滤波。
 b.C1小电容几乎不存在电感,它的容抗很小,这样高频干扰成分容易通过小电容C1滤波到地,对高频交流干扰滤波效果较好。
 c.而电容容量大(C2>C1),流过C2的是低频交流成分,对低频交流干扰滤波效果较好。
 d.电阻对交、直流均有压降和功率损耗，故CRC只适用于负载电流较小的场合。