精华内容
下载资源
问答
  • 关于全概率和贝叶斯公式的使用场景说明
    千次阅读
    2016-07-20 16:55:02
     
    
    1.全概率公式:首先建立一个完备事件组的思想,其实全概就是已知第一阶段求第二阶段,比如第一阶段分A、B、C三种,然后A、B、C中均有D发生的概率,最后让你求D的概率
    P(D)=P(A)*P(D|A)+ P(B)*P(D|B)+ P(C)*P(D|C)
    2.贝叶斯公式:其实原本应该叫逆概公式,为了纪念贝叶斯这样取名而已.在全概公式理解的基础上,贝叶斯其实就是已知第二阶段反推第一阶段,这时候关键是利用条件概率公式做个乾坤大挪移,跟上面建立的A、B、C、D模型一样,已知P(D),求是在A发生下D发生的概率,这就是贝叶斯
    P(A|D)=P(AD)/P(D)=P(A)*P(D|A)/P(D)
    
     
    
    例题:甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%。
    问题:(1)甲乙同时射击,求命中率;
               (2)甲乙先取一人,由其射击,求命中率;
               (3)甲乙先取一人,由其射击,已知目标被命中,求是甲命中的概率。
    解:
    设 事件A={甲中},事件B={乙中},事件C={命中}。P(A)=50%,P(B)=60%,C=A+B
    (1)P(C) = P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.8;
    (2)令A1 = {选甲},A2 = {选乙},则 P(A1)=1/2,P(A2)=1/2;
             P(C) = P(A1)P(C|A1) + P(A2)P(C|A2) =  0.55
    (3)P(A1|C) = P(A1C)/P(C) = P(A1)P(C|A1)/P(C) = P(A1)P(C|A1)/[P(A1)P(C|A1) + P(A2)P(C|A2)]
    注:一个问题分了两步,如果解决第二步,求第二步的概率要使用全概率公式;而要解决第一步的概率,要使用贝叶斯公式。
    
                                            
    更多相关内容
  • 全概率公式和贝叶斯公式.它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式.
  • 文章目录一、条件概率二、使用步骤1.引入库2.读入数据总结 一、条件概率 按字面意思理解,即事件A在事件B已经发生的情况下发生的概率。记作 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B), 二、使用步骤 1.引入库 代码如下(示例): ...


    前言

    本文仅用于记录自己的学习过程!若有不对之处欢迎批评指正。

    一、条件概率

    按字面意思理解,即事件A在事件B已经发生的情况下发生的概率。记作 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(AB).
    给出条件概率的一般定义:
    设 A 与 B 是 两 个 事 件 , 且 P ( B ) > 0 , 称 : P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) 设A与B是两个事件,且P(B)>0,称:\\P(A|B)=\frac{P(AB)} {P(B)} ABP(B)>0P(AB)=P(B)P(AB)
    因为条件概率满足概率的标准化定义,因此在一中所说的六条性质对于条件概率同样成立。
    举个例子,比如原来有 P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) P(A)=1-P(\overline A) P(A)=1P(A),则如今有 P ( A ∣ B ) = 1 − P ( A ‾ ∣ B ) P(A|B)=1-P(\overline{A}|B) P(AB)=1P(AB)
    由上述定义,可以很自然的引出乘法公式
    若 P ( A ) > 0 , 则 有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) 若 P ( B ) > 0 , 则 有 P ( A B ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) 若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)\\ 若P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0P(AB)=P(A)P(BA)P(B)>0P(AB)=P(B)P(AB)
    要记忆的话也比较容易,谁大于0,谁就出现的次数多。
    关于这个P(A)>0的理解:A、B可能为互斥事件,这时当A或B中一个发生时,另外一个概率就为0了。

    乘法公式还是比较重要的。并且其可以拓展至无限项,这边给出三项的乘法公式:
    P ( A B C ) = P ( C ∣ A B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A)

    二、全概率公式与贝叶斯公式

    1.全概率公式

    全概率的完整定义看起来很多,让人生厌。个人感觉从例子入手会更好理解.

    例1:有三个箱子,分别编号为1,2,3. 1号箱装有1个红
    球4个白球, 2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球.
    某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球, 求取得
    红球的概率.

    在这里插入图片描述

    记A={摸到红球}, B i B_i Bi ={在第i个箱子里摸球},
    按照条件概率的定义,红球可在1,2,3中都摸到,列式
    P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) + P ( A ∣ B 3 ) P(A)=P(A|B_1)+P(A|B_2)+P(A|B_3) P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3),
    解释一下就是:在1中摸到球的概率+在2中摸到球的概率+在3中摸到球的概率,这样你就写出了一个全概率公式。

    总结一下全概率公式,给出一般式:
    P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) P(A)=i=1nP(Bi)P(ABi)

    2.贝叶斯公式

    设 B 1 , B 2 , B 3 … B n 是 样 本 空 间 S 的 一 个 划 分 , A 为 S 中 的 任 何 一 个 事 件 , 且 P ( A ) > 0 , 则 有 : 设B_1,B_2,B_3…B_n是样本空间S的一个划分,A为S中的任何一个事件,且P(A)>0,则有: B1,B2,B3BnSASP(A)>0,
    P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) = P ( B i ) P ( A ∣ B i ) ∑ k = 1 n P ( B k ) P ( A ∣ B k ) , i = 1 , 2 , 3... n P(B_i|A)=\frac {P(AB_i)} {P(A)}=\frac {P(B_i)P(A|B_i)} {\sum_{k=1}^{n}P(B_k)P(A|B_k)},i=1,2,3...n P(BiA)=P(A)P(ABi)=k=1nP(Bk)P(ABk)P(Bi)P(ABi),i=1,2,3...n
    说明一下:
    第一个等号后面,其本质就是条件概率的变式,然后分别把P(A|B_i)用乘法公式展开,把P(A)用全概率公式展开。之后会有一个例题来熟悉一下贝叶斯公式。

    特别要注意的是:贝叶斯公式的应用场景是先知道结论,比如已知摸出红球,问从某个盒子里摸出的概率(例一变种)

    三、事件的独立性

    1、独立性

    只需记住这一条定律即可:
    A 、 B 两 事 件 独 立 的 充 要 条 件 是 : P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) A、B两事件独立的充要条件是:\\P(AB)=P(A)P(B) ABP(AB)=P(A)P(B)
    几个的注意点:
    1、若A、B相互独立,则 A 与 B ‾ , A ‾ 与 B , A ‾ 与 B ‾ , 也 相 互 独 立 A与\overline{B},\overline{A}与B,\overline{A}与\overline{B},也相互独立 AB,ABAB
    2、该定律可拓 n n n个事件,下面给出三个事件的相互独立公式(需同时满足下列4个式子):
    P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

    2、贝努里公式

    n n n次重复实验中,设 P ( A ) = k P(A)=k P(A)=k,事件A发生 k k k次的概率为:
    P n ( k ) = ∁ n k p k ( 1 − p ) k P_n(k)=\complement_n^kp^k(1-p)^k Pn(k)=nkpk(1p)k
    高中公式,没啥好说的,不理解记住就好。

    四、 看个例题

    在这里插入图片描述
    稍微解释一下吧:
    分析一下题干,抓住重点结果发现向上的一面全是国徽,看到“结果”二字,马上想到这是利用贝叶斯公式。那在本题中所谓的样本空间划分就是“取到正品”和“取到废品”,实在无法理解的话就理解成在一个装满正品的箱子和一个装满废品的箱子中摸硬币,但是摸到废品箱子的概率是 b a + b \frac{b}{a+b} a+bb,摸到正品的概率是 a a + b \frac{a}{a+b} a+ba然后套公式就完事了。


    总结

    这篇主要讲了条件概率,其实贝叶斯公式就是条件概率的一种形式嘛。至于独立性,比较简单。虽然一般来说事件是否独立题目不会明说,但是靠常识就能分清。比如两颗种子,1号种子发芽与否会影响到2号种子吗?显然不会的嘛!

    展开全文
  • 条件概率全概率和贝叶斯公式

    千次阅读 2021-03-26 16:25:29
    1、条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) 分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事件A事件B都是同一...

    1、条件概率公式

            设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                         P(A|B)=P(AB)/P(B)

    分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事件A和事件B都是同一实验下的不同的结果集合,事件A和事件B一般是有交集的,若没有交集(互斥),则条件概率为0,例如:

    ① 扔骰子,扔出的点数介于[1,3]称为事件A,扔出的点数介于[2,5]称为事件B,问:B已经发生的条件下,A发生的概率是多少?

    也即,做一次实验时,即有可能仅发生A,也有可能仅发生B,也有可能AB同时发生,

    ② 同时扔3个骰子,“三个数都不一样”称为事件A,“其中有一个点数为1”称为事件B。这一题目中,AB也是有交集的。

    用图更能容易的说明上述问题,我们进行某一实验,某一实验所有的可能的样本的结合为Ω(也即穷举实验的所有样本),圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,圆圈B代表事件B所能囊括的所有样本。

    由图再来理解一下这个问题:“B已经发生的条件下,A发生的概率”,这句话中,“B已经发生”就相当于已经把样本的可选范围限制在了圆圈B中,其实就等价于这句话:“在圆圈B中,A发生的概率”,显然P(A|B)就等于AB交集中样本的数目/B的样本数目。为什么这里用的是样本的数目相除,而上面的公式却是用的概率相除,原因很简单,用样本数目相除时,把分子分母同除以总样本数,这就变成了概率相除。

    2、乘法公式

             1.由条件概率公式得:

                           P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

                 上式即为乘法公式;

             2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                     P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

    3、全概率公式

            1. 如果事件组B1,B2,.... 满足

                   1.B1,B2....两两互斥,即 Bi ∩ Bj = ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

                   2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

              设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

    题1:

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A的样本数 / 总样本数Ω?

    题2:

    已知:各个A∩Bi的概率、Bi的概率,
    求A的概率?

     

    上图中,某一实验所有的可能的样本的集合为Ω,圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,把总集合Ω分为n个小集合,依次为B1、B2···Bn,这些小集合两两互斥,那么显然,A的样本数目可以通过与Bi的交集来获得,也即=(A∩B1的样本数)+(A∩B2的样本数)+····+(A∩Bn的样本数)。前文已经说过,样本数公式和概率公式,本质上是一样的东西, 题1与题2的是完全相同的题目。

    4、贝叶斯公式

          1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有

    上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A∩B3的样本数 / A的样本数?

    例子:发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“∪”时,收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”;又当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时,发报台确系发出“∪”的概率。

    解析:贝叶斯这一概念,所探讨的问题,也是事件A和事件B都是某一实验的不同的结果集合,然后把事件B这个结果集合分为n小份,每一小份也是结果集合,只不过这些小集合一定位于B集合内部,每一小份结果集合称为Bi(i∈[1,n]),Bi之间两两互斥,所有Bi并起来就是B。
    本例中,实验为“发一次报,收一次报,然后记录发、收的字符”,事件A为“收到了U”,事件B为"发出了信号",事件B1为“发出了U”,事件B2为“发出了—”,显然这里B1∪B2=B,B1∩B2=∅。要想求P(B1 | A),根据条件概率公式,P(B1 | A)=P(B1 A)/P(A),只要分别计算出分子分母就行了,显然分子可以用上面的乘法公式来求,分母为已知(若分母未知,就得用全概率公式来求)。(0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.9231

    贝叶斯公式,根本不用记忆,其实就是条件概率、乘法公式、全概率公式的组合。

    更多例子

    https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/96422817

    总结:

    (1)以上四个公式的研究对象,都是“同一实验下的不同的结果集合”

    (2)为了容易理解这四个概率公式,可以把用“样本数目公式”来代替“概率公式”,来求概率。
     

    展开全文
  • 浅谈全概率公式和贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2017-07-15 16:25:56
    一、条件概率公式 条件概率由文氏图出发,比较容易理解: 表示B发生后A发生的概率,由上图可以看出B发生后,A再发生的概率就是,因此: 由: 得: 这就是条件概率公式。 假如事件A与B相互独立,那么: 注...

    一、条件概率公式

        举个例子,比如让你背对着一个人,让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少?直接猜测,肯定是只有50%的概率,假如现在告诉你背后这个人是个长头发,那么女的概率就变为90%。所以条件概率的意义就是,当给定条件发生变化后,会导致事件发生的可能性发生变化。

        条件概率由文氏图出发,比较容易理解:

        表示B发生后A发生的概率,由上图可以看出B发生后,A再发生的概率就是,因此:


    由:



    得:


    这就是条件概率公式。

    假如事件A与B相互独立,那么:


    注:

    相互独立:表示两个事件发生互不影响。而互斥:表示两个事件不能同时发生,(两个事件肯定没有交集)。互斥事件一定不独立(因为一件事的发生导致了另一件事不能发生);独立事件一定不互斥,(如果独立事件互斥, 那么根据互斥事件一定不独立,那么就矛盾了),但是在概率形式上具有一些巧合性,一般地:


    但是,对于两个独立事件,依然可以等于0,因为事件A或者事件B发生的概率可能为0.所以,并不是一定表示互斥。互斥和独立的理解还是要究其真正意义,而不是表达形式。

    二、全概率公式

        先举个例子,小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如下图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:


    每天上述三条路不拥堵的概率分别为:


    假设遇到拥堵会迟到,那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少?


    其实不迟到就是对应着不拥堵,设事件C为到公司不迟到,事件为选择第i条路,则:




        全概率就是表示达到某个目的,有多种方式(或者造成某种结果,有多种原因),问达到目的的概率是多少(造成这种结果的概率是多少)?

    全概率公式:

        设事件是一个完备事件组,则对于任意一个事件C,若有如下公式成立:


    那么就称这个公式为全概率公式。

    三、贝叶斯公式

        仍旧借用上述的例子,但是问题发生了改变,问题修改为:到达公司未迟到选择第1条路的概率是多少?

    不是因为0.5这个概率表示的是,选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到,只是因为距离公司近才知道选择它的概率,而现在我们是知道未迟到这个结果,是在这个基础上问你选择第一条路的概率,所以并不是直接就可以得出的。

    故有:




    所以选择第一条路的概率为0.28.

        贝叶斯公式就是当已知结果,问导致这个结果的第i原因的可能性是多少?执果索因!

    贝叶斯公式:

    在已知条件概率和全概率的基础上,贝叶斯公式是很容易计算的:




    展开全文
  • 引申公式: 2.概率测度 如果事件B的概率P(B) > 0,那么Q(A) =P(A|B) 在所有事件A上所定义的函数Q就是概率测度。 如果P(B) = 0,P(A|B) 没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算 3.联合概率 表示两个事件...
  • 1、全概率公式是由加法公式和乘法公式作为基础的
  • 贝叶斯公式理解 条件概率公式 要理解贝叶斯推断,必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。 所谓条件概率,就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示 根据韦恩图,可以...
  • 我们想要到达B处,需要经过不同的路A1 A2 ...An可以去到,选择An这条路的概率记作P(An),从路An到达B的概率记作P(B|An),...一步一步来,由因求果,这就是全概率公式。 上面是知道P(An)求P(B),如果已知P(B)去求...
  • 全概率公式和贝叶斯公式的应用 (概统1)

    万次阅读 多人点赞 2018-01-05 10:25:29
    全概率公式和贝叶斯公式的应用(概统1) 全概率公式是计算由若干复杂“原因”引起的复杂事件概率的一个有效公式。贝叶斯公式是用来计算在复杂事件已经发生的情况下,求某一种”原因“引起的条件概率全概率公式 ...
  • 全概率公式与贝叶斯公式使用例题

    万次阅读 多人点赞 2019-12-21 15:49:15
    只有大量的实践才能记住,不然都是拿来应付考试了。 下面就是给你做到想吐,干啥都想一下公式 全概率公式 贝叶斯公式
  • 条件概率/全概率/贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-17 11:39:05
    1、条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) 分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事...
  • 本文主要介绍条件概率,全概率和贝叶斯公式的定理公式
  • 理解全概率公式与贝叶斯公式

    千次阅读 2018-02-27 14:49:28
    来源http://blog.csdn.net/luc9910/article/details/54377626在概率论与数理统计中,有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在,二来不...
  • 全概率公式和贝叶斯公式,可以理解为贝叶斯是概论的一个一小部分发生的概率,也可以理解为在某一个确定已经发生的条件下(也就是概论)发生另一间事情的概率为多少(贝叶斯,也可以说是由果求因) 例题: ...
  • 如果能找到一伴随A发生的完备事件组B1、B2```,而计e68a8462616964757a686964616f31333433653966算各个B的概率与条件概率P(A/Bi)相对又要容易些,这是为了计算与事件A有关的概率,可能需要使用全概率公式和Bayes公式...
  • 概率论---全概率公式和贝叶斯公式

    千次阅读 2018-11-08 19:34:04
    (一)全概率公式 先给全概率公式一个通俗一点的解释:一个工厂要生产一批零件,这批零件由B1,B2,B3三个车间完成,B1,B2,B3提供零件的份额分别为a,b,c。若从这个工厂中抽取一件零件,这个零件为次品的事件为A...
  • 全概率和贝叶斯公式

    千次阅读 2017-04-14 14:20:54
    全概率和贝叶斯公式 引言:到什么山头唱什么歌! 0. 条件概率P(A | B) = P(AB) / P(B),变形P(AB)=P(A)*P(B|A) 1. 若某个事件B的发生是由于多个原因(Ai)引起,且这些原因构成一个完备的事件组,则常将事件B...
  • 概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式PPT课件.pptx
  • 1 条件概率公式: ...2 全概率公式 A代表结果,B代表原因。导致A发生的原因B可以细化为B1、B2......Bn 。其中B1----Bn事件互斥,不可能同时出现。 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.....+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 33,557
精华内容 13,422
关键字:

全概率和贝叶斯公式