2.2析取范式与合取范式

 

本节给出命题公式的两种规范表示方法,这种规范的表达式能表达真值表所能提供的一切信息

定义2.2命题变项及其否定统称作文宇.仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式

P,┓g;pV┓p,┓pVq和┓pV┓qVr,pV┓pVr都是简单析取式,分别由1个文字,2个文字和3个文字构成

┓p,q;p^p,P^┓q和p∧q^┓r, ┓P^P^q都是简单合取式,分别由1个文字,2个文字和3个文字构成.注意,一个文字既是简单析取式、又是简单合取式

设A是含n个文字的简单析取式,若Ai中既含某个命题变项Pj又含它的否定式┓Pj,由交换律、排中律和零律可知,Ai为重言式.反之,若Ai为重言式,则它必同时含某个命题变项及它的否定式.否则若将A,中的不带否定符的命题变项都取0值,带否定符的命题变项都取1值,此赋值为Ai的成假赋值,这与Ai是重言式相矛盾.类似地,设Ai是含n个命题变项的简单合取式若Ai中既含某个命题变项Pj又含它的否定式┓Pj则Ai,为矛盾式.反之,若Ai为矛盾式,则Ai中必同时含某个命题变项pj及它的否定式.于是,得到下面的定理

定理2.1 (1)简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式

1. 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式

定义2.3由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式,由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式,

析取范式与合取范式统称为范式析取范式的一般形式为A1VA2V…VAi,其中A,(i=1,2,…,s)为简单合取式;合取范式的般形式为B1^B2^...^Bj,其中B(j=1,2,…,t)为简单析取式例如,(P^┓q)V(┓q^┓r)Vp为析取范式(pVqVr)^(┓pV┓q)^(┓pV┓rVs)为合取范式.┓P^q^r既是由一个简单合取式构成的析取范式,又是由3个简单析取式构成的合取范式;类似地, pv┓qvr既是由3个简单合取式构成的析取范式,又是由一个简单析取式构成的合取范式。(看定义)

析取范式和合取范式具有下述性质

定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

(2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

到现在为止,我们研究的命题公式中含有5个联结词{∧,V,┓,→,<->},如何把这样的命题公式化成等值的析取范式和合取范式？

首先,可以利用蕴涵等值式与等价等值式

A→B<=>┓AVB |

A<->B<=>(┓AVB)∧(AV┓B) |(2.17)

消去任何公式中的联结词→和<->

其次,在范式中不出现如下形式

┓┓A, (┓A^B), ┓(AVB)

对其利用双重否定律和德摩根律,可得

┓┓A<=>A |

┓(A^B)<=>┓AV┓B |

┓(AVB)<=>┓A^┓B |(2.18)

再次,在析取范式中不出现如下形式:

A^(BVC)

在合取范式中不出现如下形式

AV(B^C)

利用分配律,可得

A^(BVC)<=>(A^B)V(A^C)

AV(B^C)<=>(AVB)^(AVC)

上述3步,可将任一公式化成与之等值的析取范式和合取范式.于是,得到下述定理

定理2.3(范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式

求给定公式范式的步骤

1. 为消去联结词->,<=>
2. 用双重否定律消去双重否定符,用德摩根律内移否定符3.
3. 使用分配律:求析取范式时使用^对V的分配律,求合取范式时使用V对^的分配律

例2.7求下面公式的析取范式与合取范式:

(p->q)<->r

解为了清晰和无误,利用交换律使每个简单析取式和简单合取式中命题变项都按字典顺出现。

1. 先求合取范式

(p->q)<->r

<=> (┓pVq)<->r (消去→)

<=> ((┓pVq)→r)∧(r→(┓pVq)) (消去<->)

<=> (┓(┓pVq)Vr)∧(┓rV┓pVq) (消去→)

<=> ((P∧┓q)Vr)∧(┓pVqV┓r) (否定符内移)台

<=> (PVr)∧(qVr)∧(┓pVq┓r) (v对∧的分配律)

含3个简单析取式的合取范式

1. 求析取范式求析取范式与求合取范式的前两步是相同的,只是在利用分配律时有所不同,因而前4步与(1)相同,接着使用∧对V的分配律

(p-q)<->r

<=>((p^┓q)Vr)^( ┓pVqV┓r)

<=>(p^┓q^┓p)V(P^┓q^q)V(p^┓q^┓r)

V(r^q)V(r^┓q) (^对V的分配律)

<=>(p^┓q^┓r)V(┓p^r)V(q^r) (矛盾律和同一律)

最后两步的结果都是析取范式,一般地,命题公式的析取范式是不惟一的同样,合取范式也是不惟一的为了使命题公式的范式惟一,进一步将简单合取式和简单析取式规范化,定义如下

定义2.4在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典顺序排列,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项)

由于每个命题变项在极小项中以原形或否定形式出现且仅出现一次,因而n个命题变项共可产生2"个不同的极小项.每个极小项都有且仅有一个成真赋值.若极小项的成真赋值所对应内二进制数等于十进制数i,就将这个极小项记作mi类似地,n个命题变项共可产生2"个不同的极大项,每个极大项只有一个成假赋值,将其对应的十进制数i做极大项的角标,记作Mi 表2.3和表2.4分别列出含p,q与p,q,r的全部极小项和极大项

 

根据表2.3和表2.4可以直接验证极小项与极大项之间有下述关系

定理2.4设mi与Mi是命题变项含P1,P2,...,P3的极小项和极大项,则

┓mi<=Mi ┓Mi<=>mi

定义2.5所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)为主析取范式(主合取范式)

下面讨论如何求出与给定公式等值的主析取范式和主合取范式,首先证明它的存在性和惟一性,再给出它的求法

定理2.5任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的

证 这里只证主析取范式的存在性和惟一性

首先证明存在性设A是任一含n个命题变项的公式.由定理2.3可知,存在与A等值的析取范式A',即A<=>A’·若A'的某个简单合取式A,中既不含命题变项Pj,也不含它的否定式┓Pj,则将Ai展成如下等值的形式

A1^(PjV┓pj)<=>(Ai^Pj)V(Ai^┓Pj)继续这个过程,直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式

若在演算过程中出现重复出现的命题变项以及极小项和矛盾式时,都应“消去”:如用p代替p∧p,m代替miVmi,0代替矛盾式等.最后就将A化成与之等值的主析取范式A"

下面再证明惟一性.假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C,那么必有B<=>C由于B和C是不同的主析取范式,不妨设极小项mi只出现在B中而不出现在C中.于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值,而为C的成假赋值,这与B<=>C矛盾

主合取范式的存在惟一性可类似证明

在证明定理2.5的过程中,已经给出了求主析取范式的步骤为了醒目和便于记忆,求出某公式的主析取范式(主合取范式)后,将极小项(极大项)都用名称写出,并且按极小项(极大项)名称的角标由小到大顺序排列

例2.8求例2.7中公式的主析取范式和主合取范式

解(1)求主析取范式在

例2.7中已给出公式的析取范式,即

(p-q)<->r

<=>(p^┓q^┓r)V(┓p^r)V(q^r)

在此析取范式中,第一项p^┓q^┓r是极小项m4。,另外两个简单合取式┓p^r,q^r都不是极小项.下面先分别求出它们派生的极小项,注意,因为公式含有3个命题变项,所以极小项均由3个文字组成

┓p^r

<=> ┓p^(┓qVq)^r

<=> (┓p^┓q^r)V(┓p^qVr)

<=> m1Vm3

Q^r

<=>(┓pVp)^q^r

<=>(┓p^q^r)V(p^q^r)

<=>m3Vm7

于是

(p->q)<->r<=>m1Vm3Vm4Vm7

(2)求主合取范式

由例2.7已求出公式的合取范式，

(p->q)<->r

<=> (pVr)^(┓qVr)^(┓pVqV┓r)

其中┓pVqV┓r已是极大项M5，利用矛盾律和同一律将另两人个简单析取式化成极大项

Pvr

<=>pV(q^┓q)Vr

<=>(pVqVr)^(pV┓qVr)

<=>M0Vm2

┓qVr

<=>(p^┓p)V┓qVr)

<=>(pV┓qVr)^(┓pV┓qVr)

<=>M2Vm6

于是

(p->q)<->r<=>M0VM2VM3VM6

例2.9 求命题公式p->q的主析取范式与主合取范式。

解 本公式 中含两人个命题变项，所心权小项和极大项均含两个文字。

1. P->q

<=>┓pVq

<=>M2 (主合取范式)

1. P->q

<=>┓pVq

<=>(┓p^(┓qVq))V((┓pVp)^q)

<=>(┓p^┓q)V(┓p^q)V(┓p^q)V(p^q)

<=>(┓p^┓q)V(┓p^q)V(p^q)

<=>m0Vm1Vm3 (主析取范式)

由例2.8与2.9可知,在求给定公式的主析取范式(主合取范式)时,一定要根据公式中命题变项的个数决定极小项(极大项)中文字的个数.

下面讨论主析取范式的用途(主合取范式可类似讨论).主析取范式像真值表一样,可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息

1. 求公式的成真赋值与成假赋值

若公式A中含n个命题变项,A的主析取范式含s(0≤s≤2n)个极小项,则A有s个成真赋值,它们是所含极小项角标的二进制表示,其余2n-s个赋值都是成假赋值.例如,例2.8中(p→q)<->r<=>m1Vm3Vm4Vm7.这里有3个命题变项,将主析取范式中各极小项的角标1,3,4,7写成长为3的二进制数,它们分别为001,011,100,111这4个赋值即为该公式的成真赋值.而主析取范式中未出现的极小项m0,m2,m3,m6。的角标的二进制表示000,010,101,110为该公式的成假赋值.又如例2.9中,p→q<=>m0Vm,Vm3,含两个命题变项,极小项的角标的二进制表示00,01,11为该公式的成真赋值,而10是它的成假赋值

1. 判断公式的类型

设公式A中含n个命题变项,容易看出

1. A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2°个极小项
2. A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项.此时,记A的主式为0
3. A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项

例2.10用公式的主析取范式判断下述公式的类型

1. ┓(p->q)^q
2. p→(PVq)
3. (pVg)→r

解 注意,(1),(2)中公式含两个命题变项,极小项含两个文字,而(3)中公式含3个命题变项,因而极小项中应含3个文字

1.  ┓(p->q)^q

<=> ┓(┓pVq)^q

<=> (p^┓q)^q

<=>0

这说明该公式是矛盾式。

1. P->(pVq)

<=>┓pVpVq

<=>(┓p^(┓qVq))V(p^(┓qVq))V((┓pVp)^q)

<=>(┓p^┓q)V(┓p^q)V(p^┓q)V(p^q)V(┓p^q)V(p^q)

<=>(┓p^┓q)V(┓p^q)V(p^┓q)V(p^q)

<=>m0Vm1Vm2Vm3

由于主析取范式含两个命题变项的全部22=4个极小项，故该公式为重言式。

其实,以上演算到第就已知该公式等值于1,因而它为重言式,如果要写出它的主析取范式,由1可直接写出全部极小项：

1. >(pVq)

<=>┓pVpVq

<=>1

<=>m0Vm1Vm2Vm3

1. (pVq)->r

<=>┓(pVq)Vr

<=>(┓p^┓q)Vr

<=>(┓p^┓q)Vr(下为凑式子）

<=>(┓p^┓q^(┓rVr))V((┓pVp)^(┓qVq)^r)

<=>(┓p^┓q^┓r)V(┓p^┓q^r)V(┓p^q^r)v(p^┓

<=>(┓p^┓q^┓r)V(┓p^┓q^r)V(┓p^q^r)V(p^┓q^r)V(p^q^r)

<=>m0Vm1Vm3Vm5Vm7

该公式是可满足的，但不是重言式，因为它的主析取范式没含全部8个极小项。

1. 判断两个命题公式是否等值

1. 设公式A,B共含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B=B’,则A<=>B，否则A<≠>B

例2.11判断下面两组公式是否等值

1. P与(P^q)V(p^┓q)
2. (P→q)→r与(P^q)->r

解 (1)这里有2个命题变项,因而极小项含2个文字

P

<=>p^(┓qVq)

<=>(p^┓q)V(p^q)

<=>m2 Vm3

(p^q)V(p^┓q)

<=>m2,Vm3

所以

P<=>(p^┓q)V(p^q)

这里有3个命题变项,因而极小项含3个文字.经过演算得到

(p->q)->r

<=>m1Vm3Vm4Vm5Vm7

(p^q)->r

<=>m0Vm1Vm2Vm3Vm4Vm5Vm7

两者的主析取范式不同，所以

(p->q)->r <≠> (p^q)->r

最后举一个应用主析取范式分析和解决实际问题的例子

例2.12某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1~2名出国进修.由于工作需要，选派时要满足以下条件：

1. 若A去,则C同去.
2. 若B去,则C不能去
3. 若C不去,则A或B可以去

问所里有哪些选派方案?

解 设p:派A去

q:派B去

R:派C去

由已知条件可得公式(p->r)^(q->┓r)^(┓r->(pvq))

该公式的成真赋值即为可行的选派方案.经过演算得到

(p->r)^(q->┓r)^(┓r->(pvq))

<=>(┓pVr)^(┓qV┓r)^(┓┓rV(pVq))

<=>((┓pVr)^┓q)V((┓pVr)^┓r)^(pVqVr)

<=>((┓p^┓q)V(r^┓q))V((┓p^┓r)V(r^┓r))^(pVqVr)

<=>(┓p^┓q^p)V(p^┓q^r)V...(此处展开大量计算略)

<=>(┓p^┓q^r)V(┓p^q^┓r)V(p^┓q^r)

<=>m1, V m2, V m3故有3种选派方案

1. C去,A,B都不去
2. B去,A,C都不去
3. A,C同去,B不去

以上讨论了主析取范式的求法与用途,也可对主合取范式做类似的讨论.关于主合取范式还要说明以下两点

1. 由主析取范式求主合取范式

设公式A含n个命题变项,A的主析取范式含s(0<s<2n)个极小项,即

A=mi1Vmi2...Vmin, 0<ij<2n-1,j=1,2,...s.

没出现的极小项为mj1,mj2,...,mj2n-1它们的角标的二进制表示为┓A的成真赋值,因而┓A的主析取范式为

┓A=mj1Vmj2V...Vmj2n-1

 

这就由公式的主析取范式直接求出它的主合取范式

例2.13利用公式的主析取范式,求主合取范式:

1. A<=>m1Vm2(A中含2个命题变项p,q)
2. B<=>m1Vm2Vm3(B中含3个命题变项p,q,r)

解(1)由题可知,没出现在主析取范式中的极小项为m0和m3,所以A的主合取范式中含两个极大项M0与M3,故

A<=>M0^M3

(2)B的主析取范式中没出现的极小项为mo,m4,m5,m6,m7因而

B<=>M0^M4^M5^M6^M7

反之,也可由公式的主合取范式给出主析取范式

1. 重言式与矛盾式的主合取范式

矛盾式无成真赋值,因而矛盾式的主合取范式含全部2n(n为公式中命题变项个数)个极大项.而重言式无成假赋值,主合取范式不含任何极大项,规定重言式的主合取范式为1.至于可满足式,它的主合取范式中极大项的个数一定小于2n

最后,要问:n个命题变项的主析取范式(主合取范式)共有多少个?n个命题变项共可产生个极小项(极大项),因而共可产生22n

个不同的主析取范式(主合取范式).这与在1.2节中对真值表个数的讨论情况是一样的

事实上,A<=>B当且仅当A与B有相同的真值表,又当且仅当A与B有相同的主析取范式(主合取范式).因而可以说,真值表与主析取范式(主合取范式)是描述命题公式的两种等价的不同标准形式,两者可以相互确定,由A的主析取范式(主合取范式)可以立刻确定A的真值表由A的真值表也可以立刻确定A的主析取范式(主合取范式).

 

1.4 析取范式与合取范式

这一小节内容较多，我们由浅入深的来。首先要明白简单析取式和简单合取式的定义。

定义：我们将命题变项及其否定统称作$文字$。 $简单析取式$是仅由有限个文字构成的析取式。 $简单合取式$是仅由有限个文字构成的合取式。

注意：一个简单文字既是简单析取式，又是简单合取式。

例如：

• p ， ¬q既是一个简单析取式，又是一个简单合取式
• p $\vee$ ¬q , p $\vee$ r 均是有两个文字的简单析取式
• p $\wedge$ q $\wedge$ r , ¬ p$\wedge$ q $\wedge$ ¬q 均是有三个文字的简单合取式

性质：

1. 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
2. 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。

定义：

1. 由有限个$简单合取式$构成的$析取式$被称为$析取范式$

2.由有限个$简单析取式$构成的$合取式$被称为$合取范式$

3. 析取范式与合取范式统称为$范式$

性质：

1. 一个文字既是一析取范式又是一合取范式
2. 一个析取范式为矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
3. 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式

范式存在定理：任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。

范式，顾名思义即规范的式子。我们想找到对某一命题公式有唯一规范的式子，显然析取范式和合取范式还不能达到我们的目的。所以我们又在此基础上对析取范式和合取范式加一些限制，使得他们的形式是唯一的。即引申出主析取范式和主合取范式。而主析取范式和主合取范式分别是由极小项和极大项组成的。

定义：

极小项：包含公式A中$每一个$命题变元或其否定$一次且仅一次$的简单合取式

极大项：包含公式A中$每一个$命题变元或其否定$一次且仅一次$的简单析取式

主析取范式：设由n个命题变项构成的析取范式中所有的简单合取范式都是极小项，则称该析取范式为主析取范式

主合取范式：设由n个命题变项构成的合取范式中所有的简单析取范式都是极大项，则称该合取范式为主合取范式

1.若$A$的主析取范式中不含任何极小项，则$A$的主析取范式为$0$

2.若$A$的主合取范式中不含任何极大项，则$A$的主合取范式为$1$

定理：任何命题公式的主析取范式（主合取范式）都是存在的，并且是$唯一$的

对此定理的证明也是主析取范式（主合取范式）的求解过程，如下：

例题：

这个转化过程看似很麻烦，其实求出析取范式后只需一步便可转化为主析取范式。如下：

析取范式中第一项：（¬ p $\wedge$ ¬ q）$\iff$ $m_{000}$ $\vee$ $m_{001}$ 二进制转十进制为 $m_0$ $\vee$ $m_1$
析取范式中第二项：（¬ p $\wedge$ ¬ r）$\iff$ $m_{000}$ $\vee$ $m_{010}$ 二进制转十进制为 $m_0$ $\vee$ $m_2$
析取范式中第二项：（ p $\wedge$ q $\wedge$ r）$\iff$ $m_{111}$ 二进制转十进制为 $m_7$

$\therefore$ 主析取范式为 $m_0$ $\vee$ $m_1$ $\vee$ $m_2$ $\vee$ $m_7$ 即 $\sum (0,1,2,7)$

同上，这个也可以简便转化，如下：

合取范式中第一项：（¬ p $\vee$ q）$\iff$ $M_{100}$ $\wedge$ $M_{101}$ 二进制转十进制为 $M_4$ $\wedge$ $M_5$
合取范式中第二项：（¬ p $\vee$ r）$\iff$ $M_{100}$ $\wedge$ $M_{110}$ 二进制转十进制为 $M_4$ $\wedge$ $M_6$
合取范式中第二项：（ p $\vee$ ¬q $\vee$ ¬r）$\iff$ $M_{011}$ 二进制转十进制为 $M_3$

$\therefore$ 主合取范式为 $M_3$ $\wedge$ $M_4$ $\wedge$ $M_5$ $\wedge$ $M_6$ 即 $\prod (3,4,5,6)$

因为我们求m时取的是成真赋值，求M时取得是成假赋值。所以m与M的十进制下标在0 ~ $2^n-1$这个范围内互补。

主析取范式与主合取范式的用途：

1.判断命题公式是否等价

$\because$ 任意命题公式的主析（合）取范式都是存在且唯一的。
$\therefore$ 通过比较他们的主析（合）取范式可以判断两公式是否等价，如下：

2.求公式的成真赋值和成假赋值

这个在上面求m与M的过程中已充分体现，不再赘述。

3.判断公式类型

例如：

4.解决实际问题

还记得我们在等值演算那一小节中的压轴题吗？此类题目也可以用今天讲的东西解，但其实思路都是一样的。都是筛除矛盾的式子，如下：

总结：

练习：

一、前言

析取范式和合取范式是命题逻辑等值演算中的重要内容，其目的是为了标准化命题公式。下面我将给出析取范式和合取范式的计算步骤。又由于析取范式和合取范式的形式不唯一，为了便于比较命题公式之间的关系，因此衍生出了主析取范式和主合取范式。所以，也将给出主析取范式和主合取范式的求解方法。

二、范式存在定理

范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。

求解给定公式范式的步骤：

（1）消去连接词 

（2）用双重否定律消去双重否定符，用德摩根律内移否定符

（3）使用分配律：求析取范式时使用对的分配律，求合取范式时使用对的分配律

三、主析取范式

所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式；

所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式。

                               

                                表1-1 含p，q的极小项和极大项