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  • 数学算法对计算机编程的优化

    千次阅读 2019-02-27 10:47:45
    下面来探讨一下数学算法对计算机编程的优化过程,具体如下: 1、数学算法和计算机编程的关系 数学算法就是把数学的数字和几何两种数学逻辑关系进行合理的组合,形成一个全新的数字模型运行动作,同时进行数学算法...

    下面来探讨一下数学算法对计算机编程的优化过程,具体如下:

    1、数学算法和计算机编程的关系

    数学算法就是把数学的数字和几何两种数学逻辑关系进行合理的组合,形成一个全新的数字模型运行动作,同时进行数学算法的总结归纳,找到数字的变化规律和逻辑关系;计算机程序是在数学算法规律的基础上,进行数字信息的整合归纳并运作。通过数学知识的数字循环模式及数列规律等内容,进行计算机程序的信息整合,达到计算机运行处理速度加快的效果。在进行数学算法编程时,实际就是进行建立数学模型,把相对复杂的问题,转化为合理的有规律的数学结构。数学算法的应用,可以根据数学规律,进行计算机语言的转化,实现解决问题的目的。对于编程,是利用某个程序进行解决问题。在进行编程时,就是要对事物规律进行数学算法研究,建设模型,完成编程。

    2、数学算法对计算机编程优化

    1》编程数据信息的统计和整合:计算机编程运作是在计算机原来的数据信息的基础上,进行数据信息的再一次运作。计算机程序的编制过程中,每次运作都会生成一系列的程序信息,可是我们进行编程运算时,一般只是获得最后的信息,忽略编程运作的过程信息显示。假如只是一直关注计算机编程运作的最后信息结果,不进行编程信息的整合,容易使计算机内部的编程数据信息的运行时间不断加长,最后对计算机后期的编程运行结果的准确度有影响。应用数学算法进行计算机编程优化是对其内部数据库的优化,根据计算机每次编程的运行结果,都对数据信息的需求进行检验,假如数学算法判断部分对运行的数据信息判定有效,那么数据信息就进行在计算机数据库当中存储,假如数学算法判断部分对运行的数据信息判定无效,那么数据算法就会直接把这部分信息去除,进而节省了计算机的应用空间。

    2》多元化的编程模式:计算机编程模式的有效运作可以使数字的计算速率提高,通过学习数学算法内容分析和总结,数学算法是根据计算机的编程指令模式进行分析数字重组规律,要进行数学算法对计算机编程的优化,可以应用数学内容中的串行方法,对计算机编程模式进行重新组合。计算机的编程模式是数学传输模式的综合应用,还可以应用数学算法中的数字规律进行编程,实现计算机编程的不断优化。就是让计算机编程的各个命令,根据数学计算的规律,把计算后的数据按照一定的规律进行排列。假如进行计算机编程过程中,把计算机输出的结果列为一个整体,依次进行程序编排,就可以对计算机编程信息进行控制,这样就融入了数学规律的编程,同样可以提升编程数据运算的速率。

    3》调整编程运作结构:数学算法可以给计算加编程提供开发程序的规律,可以说是计算级程序开发的基础,经过分析和研究,数学算法和计算机编程在进行数据信息处理时,具有不同的命令,实现数学算法的结构调整和优化。例如,进行100以内的整数连(1+2+3+……+99),假如应用数学算法进行计算,可以应用首尾相加的方式计算,从而得到题目结果;如果进行计算机编程计算时,可以设定首次输入值,“if……and”进行检验程序的最大值,进行数据算法的总结和整理,进而得出数据的结果。进行优化以后的计算机编程程序,根据数学算法的计算规律,把检验程序进行分为简化运作和普通运作两种模式,在进行输入要进行计算的数据时,假如数字可应用简便模式运算,可以直接按照命令进运算;如果不能简便运算,就根据普通模式进行编程运作,这样可以应用计算机程序进行简便运算。

    4》整体考虑完善编程优化:进行计算机编程优化就是优化数学模型,是在数学模型完成的情况下实现的,进行数学算法的选择是进行编程优化的关键。在实际编程过程中,需要根据算法进行选择规律,确定程序运行的命令。数学算法是程序运行速度的决定因素,所以应用数学算法进行编程优化可以加快运行时间,提高程序效率。同一个问题可以应用不同的算法进行解决,必须进行研究和选择,把程序和算法进行结合,达到和实际运算相符合而加快计算机编程运行速度的目的。例如,进行运算求“1×2×3×……×n”(100<n<10000)的结果数值末尾有多少个0?那么进行数n的分解,让它变成“a×10x”的方式,式子中的a是正整数,不能被10整除,进行去x的值。可以运行的编程方法是,从1到n相乘,每次相乘都做出选择和判断,如果有0就进行去除,并记下0的个数。为了方便计数,可以把前面的0去掉,只是保留后面的有效数,经过n次的计算,最后得出0的个数。

    5》选择最优进行C语言编程的优化:C语言是计算机编程的高级语言,具有高级语言的特性,同时还具有汇编语言的优点。可重点是,它在进行编程过程中,仍然具有很多问题,最多的问题是重复编译。这是C语言的最常见的问题,在编程时过程复杂不简洁,在严重的时候会影响计算机的运作效率。其中的原因是太多重视逻辑性没有关注语言本身的特性。数学算法可以帮助C语言进行代码的简化,实现编程的优化,提高计算机运作效率。在利用数学算法进行C语言的优化时,要进行整体逻辑的分析,进行设计程序流程,利用编程语言进行编程。在这个过程中,利用数学算法进行解决C语言编程解决不了的问题,会一定程度减少资源的浪费,实现效率的提高。

    最后,总的来说,进行计算机编程研究的过程中,注重事物规律和数字规律的研究和寻找,可以提高效率,加大计算机编程优化的效果。所以说数学算法对计算机编程作用重大,加强进行数学算法的深层次研究,为科技发展创造更先进的技术方法。

     

     

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    线性筛素数: int prime[maxn]; bool not_prime[maxn]; void Make_prime(int max){ //筛出1到max内的所有素数储存在prime中,prime[0]为素数数量 not_prime[1]=true; for(int i=2;... prime[++prime

    线性筛素数:

    int prime[maxn];
    bool not_prime[maxn];
    
    void Make_prime(int max){     //筛出1到max内的所有素数储存在prime中,prime[0]为素数数量
    	not_prime[1]=true;
    	for(int i=2;i<=max;i++){
    		if(!not_prime[i])
    			prime[++prime[0]]=i;
    		for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=max;j++){
    			not_prime[prime[j]*i]=true;
    			if(!(i%prime[j]))break;
    		}
    	}
    }




    线性逆元递推:(O(n)求出1~n内所有数对于mod p的逆元)

    inv[1]=1

    inv[n]=(p-p/n)*inv[p%n]%p

    int inv[maxn],mod;
    
    void Make_inv(int max){
    	inv[1]=1;
    	for(int i=2;i<=max;i++)
    		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }




    求x对于mod p的逆元:

    1.扩展欧几里得:(要求gcd(x,p)==1,即x、p互素)

    int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    	if(!b){
    		x=1;y=0;
    		return a;
    	}
    	int re=gcd(a,b,y,x);
    	y-=a/b*x;
    	return re;
    }
    int inv(int x,int p){
    	int iv,temp;
    	exgcd(x,p,iv,temp);
    	return (iv%p+p)%p;
    }


    2.费马小定理:

    p 是素数的情况下,对任意整数 x 都有 xpx(mod)p
    如果 x 无法被 p 整除,则有 xp11(mod p)
    可以在 p 为素数的情况下求出一个数的逆元, xxp21(mod p) xp2 即为逆元。



    3.欧拉函数:(要求gcd(x,p)==1,即x、p互素

    ϕ(m) 表示小于等于 m 且与 m 互素的正整数的个数。
    如果 x m 互质,则有 xϕ(m)1(mod m) ,即 x×xϕ(m)11(modm) xϕ(m)1 即为 x 的逆元。
    m 为质数的情况下, ϕ(m)=m1 ,即为费马小定理。

    对于任意整数 n ,可以将它分解 n=pk11pk22pk33...pkmm ,其中 pi 为质数。

    其中 ϕ(n)=ϕ(p1k1)ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)

    最后转化为 ϕ(n)=n(pi1)/pi

    求欧拉函数值:

    int phi(int n){
    	int res=n;
    	for(int i=2;i*i<=n;i++){
    		if(!(n%i)){
    			res=res*(i-1)/i;
    			while(!(n%i))n/=i;
    		}
    	}
    	if(n!=1)res=res*(n-1)/n;	//说明n是质数
    	return res;
    }
    线性筛出欧拉函数:

    void Make_phi(){
        phi[1]=1;not_prime[1]=true;
        for(int i=2;i<=maxn;i++){
            if(!not_prime[i]){
                prime[++prime[0]]=i;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(int j=1;j<=prime[0];j++){
                if(i*prime[j]>maxn)break;
                not_prime[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0){
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                else{
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                }
            }
        }
    }
    
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    万次阅读 多人点赞 2019-09-08 14:28:50
    数据分析类算法一览 100个经典动态规划方程 优化问题 线性规划 简介:线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,...

    相关模型解决的问题
    数据分析类算法一览
    100个经典动态规划方程

    优化问题

    • 线性规划
    1. 简介:线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性规划的标准形式为
      线性规划
      其中 c 和 x 为 n 维列向量, A 、 Aeq 为适当维数的矩阵, b 、 beq 为适当维数的列向量。
    2. 代码实现

    MATLAB实现:MATLAB中求解线性规划的命令为:
    [ x,fval ]=linprog(f,A,b)
    [ x,fval ]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
    [ x,fval ]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    其中:返回的x为决策向量的取值; 返回的fval是目标函数的最大值;f为价值向量;A和b对应的是线性不等式约束;Aeq和beq对应的是线性等式约束;lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。
    eg1:线性规划
    (1)化为Matlab标准型,即线性规划
    (2)求解的Matlab程序如下:

    f=[-2,-3,5]'
    A=[-2,5,-1;1,3,1];  b=[-10;12];
    Aeq=[1,1,1];    beq=7;
    [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1));
    x
    fval=-fval
    

    这里的zeros(3,1)是为了产生3行1列的全0矩阵,对应着x1,x2,x3均大于等于0的约束条件。
    eg2:可以转化为线性规划的问题
    线性规划
    线性规划
    可进一步把模型改写为:线性规划
    参考链接
    应用:运输问题(产销平衡)、指派问题(匈牙利算法)、对偶理论与灵敏度分析、投资的收益和风险

    • 非线性规划
    1. 简介:如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到。
      非线性规划
      其中f(x)是标量函数, Beq,Aeq,B,A 是相应维数的矩阵和向量, Ceq(x),C(x) 是非线性向量函数。
    2. 代码实现

    MATLAB代码实现:
    x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
    1.fun为目标函数
    2.x0为初始值
    3.A是不等式约束AX<=b的系数矩阵
    4.b是不等式约束AX<=b的常数项
    5.Aeq是等式约束AeqX=beq的系数矩阵,
    6.beq是等式约束AeqX=beq的常数项,
    7.lb是X的下限,
    8.ub是X的上限,
    9.nonlcon为非线性不等式约束
    10.option为设置fmincon的参数
    eg:非线性规划
    形如上述这样的就是非线性规划:

    function f=fun1(x)
    f=x(1)^2+x(2)^2+8;
    
    function [g,h]=fun2(x)
    g=-x(1)^2+x(2);
    h=-x(1)-x(2)^2+2;%约束等式
    
    options=optimset;
    [x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'fun2',options)
    
    x =
    
        1.0000
        1.0000
    y =
    
       10.0000
    

    参考链接

    • 整数规划
    1. 简介:规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法,往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。如不加特殊说明,一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类:
      1 变量全限制为整数时,称纯(完全)整数规划。
      2 变量部分限制为整数的,称混合整数规划。
    2. 代码实现

    参考链接
    马尔可夫过程

    • 动态规划
    1. 简介:动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decisionprocess)最优化的数学方法。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
    2. 代码实现

    参考链接
    具体问题具体分析

    排队论

    PPT参考
    参考资料
    案例与代码
    排队论详解及Lingo实现

    1. 简介:排队论(Queuing Theory)也称随机服务系统理论,就是为解决上述问题而发展 的一门学科。它研究的内容有下列三部分:
      (i)性态问题,即研究各种排队系统的概率规律性,主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等,包括了瞬态和稳态两种情形。
      (ii)优化问题,又分静态优和动态优,前者指优设计。后者指现有排队系统的优运营。
      (iii)排队系统的统计推断,即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型,以便根据排队理论进行分析研究。
    2. 符号说明
      排队模型用六个符号表示,在符号之间用斜线隔开,即 X/Y/Z/A/B/C 。

    第一 个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布;
    第二个符号Y 表示服务时间的 分布;
    第三个符号Z 表示服务台数目;
    第四个符号 A是系统容量限制;
    第五个符号B 是 顾客源数目;
    第六个符号C 是服务规则,如先到先服务 FCFS,后到先服务 LCFS 等。
    并约定,如略去后三项,即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。我们只讨论先到先服务 FCFS 的情形,所以略去第六项。

    表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的约定符号为:

    M —指数分布(M 是 Markov 的字头,因为指数分布具有无记忆性,即 Markov 性);
    D—确定型(Deterministic);
    Ek —k 阶爱尔朗(Erlang)分布;
    G —一般(general)服务时间的分布;
    GI —一般相互独立(General Independent)的时间间隔的分布。
    例如,M/M/1表示相继到达间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台、等待制系统。
    D/M/c/表示确定的到达时间、服务时间为指数分布、c个平行服务台(但顾客是一队)的模型。

    1. 参数指标:为了研究排队系统运行的效率,估计其服务质量,确定系统的优参数,评价系统 的结构是否合理并研究其改进的措施,必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标,这些数量指标通常是:

    (i)平均队长:指系统内顾客数(包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客)的数学期望,记作Ls 。
    (ii)平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望,记作 Lq 。
    (iii)平均逗留时间:顾客在系统内逗留时间(包括排队等待的时间和接受服务的时间)的数学期望,记作Ws 。
    (iv)平均等待时间:指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望,记作Wq 。
    (v)平均忙期:指服务机构连续繁忙时间(顾客到达空闲服务机构起,到服务机构再次空闲止的时间)长度的数学期望,记为 Tb

    层次分析法

    PPT参考
    详细实现
    代码实现

    1. 简介:层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
    2. 步骤

    (i)建立递阶层次结构模型;
    (ii)构造出各层次中的所有判断矩阵;
    (iii)层次单排序及一致性检验;
    (iv)层次总排序及一致性检验。

    1. 概念:应用 AHP 分析决策问题时,首先要把问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
      这些层次可以分为三类:

    (i)最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。
    (ii)中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。
    (iii)最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。

    递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

    多属性决策

    PPT资料
    参考资料

    简介:多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分,它的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中有着广泛的应用,如:投资决策、项目评估、维修服务、武器系统性能评定、工厂选址、投标 招标、产业 部门发展排序和经济效益综合评价等.多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组( ( 有限个) ) 备选方案进行排序或择优.它主要由两部分组成:

    (l) 获取决策信息.决策信息一般包括两个方面的内容:属性权重和属性值( ( 属性值主要有三种形式:实数、区间数和语言) ) .其中,属性权重的确定是多属性决策中的一个重要研究内容;
    (2)通过一定的方式对决策信息进行集结并对方案进行排序和择优.

    ###主成分分析法

    PPT资料
    参考资料
    Python实现

    简介:主成分分析(Principal Component Analysis,PCA), 是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量,转换后的这组变量叫主成分。

    商权法

    参考资料
    基本步骤

    简介:按照信息论基本原理的解释,信息是系统有序程度的一个度量,熵是系统无序程度的一个度量;如果指标的信息熵越小,该指标提供的信息量越大,在综合评价中所起作用理当越大,权重就应该越高。因此,可利用信息熵这个工具,计算出各个指标的权重,为多指标综合评价提供依据。

    插值与拟合

    1. 简介:插值:求过已知有限个数据点的近似函数。
      拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
      插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题,究竟应该用插值还是拟合,有时容易确定,有时则并不明显。
    • 插值方法:
      几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

    • 曲线拟合的线性最小二乘法(线性最小二乘法):
      最小二乘优化(lsqlin 函数、lsqcurvefit 函数、lsqnonlin 函数、lsqnonneg 函数)

    1. 代码实现

    参考链接

    方差分析

    PPT资料
    案例分析
    SPSS实现

    1. 简介:为了使生产过程稳定,达到优质、高产,需要对影响产品质量的因素进行分析,找出有显著影响的那些因素,除了从机理方面进行研究外,常常要作许多试验,对结果作分析、比较,寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析(Analysis Of Variance),记作 ANOVA。
    2. 分类:
      §1 单因素方差分析
      只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响, A 取几个水平,在每个水平上作若干个试验,试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变(只有随机因素存在),我们的任务是从试验结果推断,因素 A 对指标有无显著影响,即当 A 取不同水平时指标有无显著差别。A 取某个水平下的指标视为随机变量,判断 A 取不同水平时指标有无显著差别,相当于检验若干总体的均值是否相等。
      §2 双因素方差分析
      如果要考虑两个因素 B A, 对指标的影响, B A, 各划分几个水平,对每一个水平组合作若干次试验,对所得数据进行方差分析,检验两因素是否分别对指标有显著影响,或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。
      §3 正交试验设计与方差分析
      由于因素较少时,我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验,这叫做全面试验。当因素较多时,虽然理论上仍可采用前面的方法进行全面试验后再做相应的方差分析,但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问题。如果考虑更多的因素及水平,则全面试验的次数可能会大得惊人。因此在实际应用中,对于多因素做全面试验是不现实的。于是我们考虑是否可以选择其中一部分组合进行试验,这就要用到试验设计方法选择合理的试验方案,使得试验次数不多,但也能得到比较满意的结果。

    回归分析

    概念理解
    PPT参考
    参考资料
    代码实现
    多元回归分析代码
    SPSS分析

    1. 简介:曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间的一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常,函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定,要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看,问题似乎已经完全解决了,还有进一步研究的必要吗?从数理统计的观点看,这里涉及的都是随机变量,我们根据一个样本计算出的那些系数,只是它们的一个(点)估计,应该对它们作区间估计或假设检验,如果置信区间太大,甚至包含了零点,那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析,对拟合的优劣给出评价。简单地说,回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
    2. 研究的问题

    (i)建立因变量 y 与自变量 x1,x2,……,xm之间的回归模型(经验公式);
    (ii)对回归模型的可信度进行检验;
    (iii)判断每个自变量xi=(i=1,2,……,m)对 y 的影响是否显著;
    (iv)诊断回归模型是否适合这组数据;
    (v)利用回归模型对 y 进行预报或控制。

    微分方程建模

    PPT资料
    微分方程求解代码

    1. 简介:微分方程建模是数学建模的重要方法,因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题,大体上可以按以下几步:
    • 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
    • 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
    • 运用这些规律列出方程和定解条件。
    1. 方法:列方程常见的方法有:

    (i)按规律直接列方程
    在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉,并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
    (ii)微元分析法与任意区域上取积分的方法
    自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题,我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式,而是通过微元分析法,利用已知的规律建立一些变量(自变量与未知函数)的微元之间的关系式,然后再通过取极限的方法得到微分方程,或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
    (iii)模拟近似法
    在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂,因而需要根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设。在一定的假设下,给出实际现象所满足的规律,然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中,也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法,通常要根据实际情况,作出一定的假设与简化,并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证,以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。

    马氏链模型

    PPT资料
    通俗解释
    Python代码实现

    简介:马尔可夫链的定义
    现实世界中有很多这样的现象:某一系统在已知现在情况的条件下,系统未来时刻的情况只与现在有关,而与过去的历史无直接关系。比如,研究一个商店的累计销售额,如果现在时刻的累计销售额已知,则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。上节中的几个例子也均属此类。描述这类随机现象的数学模型称为马氏模型。

    时间序列模型

    概念理解
    参考资料

    简介:时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域,即时间序列分析。
    时间序列根据所研究的依据不同,可有不同的分类。

    1.按所研究的对象的多少分,有一元时间序列和多元时间序列。
    2.按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
    3.按序列的统计特性分,有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间 t 无关,则称该序列为严格的(狭义的)平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在,而且对任意时刻 t 满足:
    (1)均值为常数
    (2)协方差为时间间隔 τ 的函数。
    则称该序列为宽平稳时间序列,也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
    4.按时间序列的分布规律来分,有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。

    模糊数学模型

    PPT资料
    参考资料

    简介:模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中,也有这种模糊的现象,如选举一个好干部,但怎样才算一个好干部?好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。

    灰色系统理论及其应用

    灰色预测
    PPT资料
    代码实现

    简介:客观世界的很多实际问题,其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解,人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚,只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统。

    聚类分析

    PPT资料
    K-means算法实现及详解
    SPSS聚类分析

    简介:将认识对象进行分类是人类认识世界的一种重要方法,比如有关世界的时间进程的研究,就形成了历史学,也有关世界空间地域的研究,则形成了地理学。又如在生物学中,为了研究生物的演变,需要对生物进行分类,生物学家根据各种生物的特征,将它们归属于不同的界、门、纲、目、科、属、种之中。事实上,分门别类地对事物进行研究,要远比在一个混杂多变的集合中更清晰、明了和细致,这是因为同一类事物会具有更多的近似特性。在企业的经营管理中,为了确定其目标市场,首先要进行市场细分。因为无论一个企业多么庞大和成功,它也无法满足整个市场的各种需求。而市场细分,可以帮助企业找到适合自己特色,并使企业具有竞争力的分市场,将其作为自己的重点开发目标。通常,人们可以凭经验和专业知识来实现分类。而聚类分析(cluster analyses)作为一种定量方法,将从数据分析的角度,给出一个更准确、细致的分类工具。

    存贮论

    PPT资料
    参考资料及Lingo实现

    简介:存贮论(或称为库存论)是定量方法和技术最早的领域之一,是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科,是运筹学的重要分支。存贮论的数学模型一般分成两类:一类是确定性模型,它不包含任何随机因素,另一类是带有随机因素的随机存贮模型。

    现代优化算法

    • 模拟退火

    概念理解
    PPT资料啊
    参考资料
    模拟退火TSP问题
    代码实现

    • 遗传算法

    概念理解
    参考资料
    Python实现
    代码实现

    简介:遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型,是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。其主要特点是直接对结构对象进行操作,不存在求导和函数连续性的限定;具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力;采用概率化的寻优方法,不需要确定的规则就能自动获取和指导优化的搜索空间,自适应地调整搜索方向。遗传算法以一种群体中的所有个体为对象,并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。其中,选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作;参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定五个要素组成了遗传算法的核心内容。

    • 禁忌搜索

    概念理解
    PPT资料

    简介:禁忌搜索(Tabu Search,TS)是一种现代启发式算法,由美国科罗拉多大学教授Fred Glover在1986年左右提出的,是一个用来跳脱局部最优解的搜索方法。算法基于局部搜索算法改进而来,通过引入禁忌表来克服局部搜索算法容易陷入局部最优的缺点,具有全局寻优能力。

    • 蚁群算法

    参考过程
    算法详解及代码
    Python实现

    神经网络模型

    PPT资料
    概念理解
    模型一览
    案例及代码实现
    Python实现

    简介:人工神经网络(artificial neural network,以下简称 NN)有三个基本要素:

    (i)一组连接(对应于生物神经元的突触),连接强度由各连接上的权值表示,权值为正表示激活,为负表示抑制。
    (ii)一个求和单元,用于求取各输入信号的加权和(线性组合)。
    (iii)一个非线性激活函数,起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内(一般限制在 (0,1) 或(-1,1) 之间)。

    粒子群优化算法

    PPT资料
    代码实现

    图论算法

    算法汇总

    • 迪杰斯特拉算法

    算法理解及实现

    简介:Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。

    • 弗洛伊德Floyd算法

    PPT资料
    Python实现

    简介:Floyd算法又称为插点法,是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法,与Dijkstra算法类似。

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  • 主要内容包括时间序列、支持向量机、偏最小二乘面归分析、现代优化算法、数字图像处理、综合评价与决策方法、预测方法以及数学建模经典算法等内容。
  • 数学建模算法与应用》由国防工业出版社于2011年8月出版,作者是司守奎、孙玺菁。本书涵盖了很多同类型书籍较少涉及的新算法和热点技术,主要内容包括时间序列等。参加数学建模竞赛的利器!《数学建模算法与应用》...
  • 数学建模算法与程序

    2017-12-17 11:31:27
    本人获得美赛O奖,国赛国二,研赛国二,附件是常用的数学建模算法与程序。
  • 数学十大算法列表

    2020-09-08 21:24:21
    今天小编给大家带来了另外一篇文章——《真正统治世界的十大算法》,到底谁能跻身TOP10,看完文章相信你们心中自有答案—————————原文分割线—————————不久前的某一天,我在浏览Reddit发现了一篇...

    小伙伴们看了上一期《统治世界的十大算法》后,有没有对这十大算法有异议呢?今天小编给大家带来了另外一篇文章——《真正统治世界的十大算法》,到底谁能跻身TOP10,看完文章相信你们心中自有答案


    —————————原文分割线—————————

    不久前的某一天,我在浏览Reddit发现了一篇有趣的文章《统治世界的十大算法》,作者George Dvorsky在那篇文章中试图解释算法之于当今世界的重要性,以及哪些算法对人类文明最为重要。

    此时此刻,如果你已经学过算法的话,那么在你阅读那篇文章时,你脑海中所浮现的第一件事也许是“作者是否明白算法是什么?”或是“Facebook的新闻提要是一种算法?”,因为如果Facebook的新闻提要也算是一种算法的话,那么最终你可以把几乎所有的东西都归类为算法。因此,在本文中我会试着去解释什么是算法,以及哪十个(也许更多)算法是真正统治世界的。

    什么是算法?

    直白地说,算法就是任何明确定义的计算过程,它接收一些值或集合作为输入,并产生一些值或集合作为输出。这样,算法就是将输入转换为输出的一系列计算过程。来源:Thomas H. Cormen, Chales E. Leiserson (2009), 《算法导论第三版》。**

    简而言之,我们可以说算法就是用来解决一个特定任务的一系列步骤(是的,不止计算机在使用算法,人类也同样如此)。目前,一个有效的算法应该含有三个重要特性:

    1. 它必须是有限的:如果你设计的算法永无休止地尝试解决问题,那么它是无用的。
    2. 它必须具备明确定义的指令:算法的每一步都必须准确定义,在任何场景下指令都应当没有歧义。
    3. 它必须是有效的:一个算法被设计用以解决某个问题,那么它就应当能解决这个问题,并且仅仅使用纸和笔就能证明该算法是收敛的。

    还有一个要点需要指出,算法不仅仅在计算机科学中使用,同时也存在于数学领域中。事实上,首个被记载的数学算法要追溯到公元前1600年,古巴比伦人开发了已知最早的算法,用作因式分解和计算平方根。这里,我们回答了前面所提到的那篇文章中的第一个问题,它认为算法是计算机范畴的实体,但如果你知晓算法这个词的真正内涵的话,真正统治世界的十大算法也能在数学书籍中找到(加法、减法、乘积等等)。

    不过在这篇文章中,让我们将算法的定义限定在计算机算法上,所以剩下的问题是:哪十个算法统治了世界?在此我整理了一个小型列表,排名不分先后。


    0 1
    归并排序,快速排序和堆排序



    哪个排序算法最好?这取决于你的需求,这也是为什么我要将这三个使用频率较高的排序算法置于一处的原因。可能你比较偏爱其中一个,但它们都是同等重要的。

    归并排序算法是目前为止我们拥有的最重要的算法之一。它是一种基于比较的排序算法,使用分治法解决那些原本复杂度为O(N^2)的问题。归并排序是由数学家John von Neumann于1945年发明的。

    快速排序是解决排序问题的另一种途径,它使用就地分解算法,同时它也是一种分治算法。这个算法的问题在于它是不稳定的排序算法,但它在基于内存的数组排序上确实非常高效。

    最后,堆排序算法使用一个优先队列降低数据的查找时间,它也是一种就地排序算法,同样也是不稳定的排序算法。

    相较于曾经使用的其他排序算法(如冒泡排序),上述算法带来了显著的改进。事实上,多亏了它们,今天我们才有了数据挖掘、人工智能、链接分析,以及世界上大部分的计算机工具,也包括网络在内。

    (推荐阅读:《视觉直观感受 7 种常用的排序算法》)


    0 2
    傅立叶变换与快速傅立叶变换



    整个数字世界都在使用这些简单而又强大的算法,将信号从频域转换为时域,反之亦然。事实上,正是归功于这些算法,你才能看到这篇文章。

    互联网、你的WIFI、智能手机、电话、计算机、路由器、卫星,几乎所有内置计算机的东西都会以各种方式使用这些算法实现各自的功能。如果你没有学习这些重要的算法,你将无法获得电子、计算机或通信方面的学位。

    编注:关于傅里叶变换,可以看看韩昊写的这篇文章《通俗讲解傅里叶变换【完整版】》。


    0 3
    Dijkstra 算法



    毫无不夸张地说,如果没有这个算法,当今互联网将无法有效工作。这是一种图搜索算法,它被广泛应用在能够建模为图的问题中,用以找出两个节点之间的最短路径。

    目前,即便我们已经拥有了解决最短路径问题的更好方法,Dijkstra 算法依然在那些重视稳定性的系统中得到应用。


    0 4
    RSA算法

    如果没有信息加密和网络安全,互联网不会像现在那么重要。你可以认为“安全问题理所当然应该是美国国家安全局和其他情报机构的事情”或“你认为你身处在互联网是安全的,这太天真了”。但是,人们需要在他们花钱时保有安全感,毕竟你不会在网络服务器上输入你的信用卡号,如果你知道它是不安全的话。

    在信息加密领域,有一个算法始终是世界上最重要的算法之一,它就是RSA算法。这个算法是由RSA公司的创始人所建立的,它使信息加密惠及千家万户,奠定了当今信息加密的运作基础。RSA算法用来解决一个简单而又复杂的问题:怎样在不同平台和终端用户之间共享公钥,继而实现信息加密(我想说明一下这个问题还没完全解决,我想我们需要基于这个方向做更多工作)。


    0 5
    安全哈希算法

    准确地说,它不能称之为是算法,它是美国国家标准暨技术学会定义的加密散列函数族中的一员,但是这族算法对整个世界的运作至关重要。从你的应用商店,你的邮件,你的杀毒软件,到你的浏览器等等,所有这些都在使用安全哈希算法,它能判断你是否下载了你想要的东西,也能判断你是否是中间人攻击或网络钓鱼攻击的受害者。

    (推荐阅读:《加盐密码哈希:如何正确使用》)


    0 6
    整数因式分解

    这是在计算机领域被大量使用的数学算法,没有这个算法,信息加密会更不安全。该算法定义了一系列步骤,得到将一合数分解为更小因子的质数分解式。这被认为是一种FNP问题,它是NP分类问题的延伸,极其难以解决。

    许多加密协议(如RSA算法)都基于这样一个原理:对大的合数作因式分解是非常困难的。如果一个算法能够快速地对任意整数进行因式分解,RSA的公钥加密体系就会失去其安全性。

    量子计算的诞生使我们能够更容易地解决这类问题,同时它也打开了一个全新的领域,使得我们能够利用量子世界中的特性来保证系统安全。


    0 7
    链接分析



    在互联网时代,分析不同实体间的关系是相当重要的。从搜索引擎,社交网络,到营销分析工具,每个人都在不停寻找互联网的真正结构。

    有证据显示,链接分析是公众心目中伴随着最多谬见和误解的算法之一。这里的问题在于,有很多不同的方式可以进行链接分析,也存在很多特性使这些算法看起来有细微的区别(这些区别允许该算法独立申请专利),但它们本质上是类似的。

    链接分析背后的理念非常简单,以矩阵形式描绘出一张图,将问题转换为特征值问题。特征值是一种很好的渠道,它有助于展现图的结构以及每个节点的相对重要性。该算法是由Gabriel Pinski和Francis Narin于1976年建立的。

    谁在使用这个算法?Google的Page Rank算法,Facebook向你展示的新闻提要(这就是为什么Facebook的新闻提要不是算法,只是使用算法的结果而已),Google+和Facebook的好友推荐,LinkedIn的工作和联系人推荐,Netflix和Hulu的电影,YouTuBe的视频,等等。虽然每个都有不同的目标和参数,但它们背后的数学理念是相同的。

    最后,我想说明一点,尽管看上去Google是第一家使用这类算法的公司,然而在1996年(Google之前两年),Robin Li(李彦宏)所建立的一个小型搜索引擎“RankDex”就已经在它的网页排名机制中使用了这项理念。后来,HyperSearch的创始人Massimo Marchiori基于各网页之间的关系使用了另一种网页排名算法。(Google在它的专利中提到了这两位创始者)

    (推荐阅读:《张洋:浅析PageRank算法)


    0 8
    比例积分微分算法



    你是否曾经用过飞机、汽车、卫星服务或手机网络?你是否曾经在工厂工作或是看见过机器人?如果回答是肯定的,那么你应该已经见识过这个算法了。

    大体上,这个算法使用一种控制回路反馈机制,将期望输出信号和实际输出信号之间的错误最小化。无论何处,只要你需要进行信号处理,或者你需要一套电子系统,用来自动化控制机械、液压或热力系统,这个算法都会有用武之地。

    可以这样说,如果没有这个算法,现代文明将不复存在。


    0 9
    数据压缩算法

    要判断哪种数据压缩算法最为重要是很困难的,因为它取决于不同的应用环境。它们可以应用在zip和mp3上,也可以应用在JPEG和MPEG-2上。但众所周知,在所有结构中这些算法都极其重要。

    除了显而易见的zip文件,在哪我们能够找到这些算法?这张网页就进行了数据压缩并被下载到你本地,同时我们还能在电子游戏、视频、音乐、数据存储、云计算、数据库等等地方找到这些算法。可以说,数据压缩算法处处可见,它们使系统成本更低、效率更高。


    10
    随机数生成



    现在我们还没有一个“真正的”随机数生成器,但我们已经有了一些伪随机数生成器,这够用了。随机数生成器的用途非常广泛,从互联联络、数据加密、安全哈希算法、电子游戏、人工智能、优化分析,到问题的初始条件、金融等等,都有它们的身影。

    (推荐阅读:《当随机不够随机:一个在线扑克游戏的教训》)

    最后,我想强调一下,上面这个列表经供参考,它并不完整。因为在机器学习、矩阵乘法、分类化等领域也有一些算法,它们对我们的世界同样重要,但在这里还没有提到。

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  • 主要内容包括时间序列、支持向量机、偏最小二乘面归分析、现代优化算法、数字图像处理、综合评价与决策方法、预测方法以及数学建模经典算法等内容
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空空如也

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