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  • Python解决高等数学问题

    万次阅读 多人点赞 2021-03-15 13:00:40
    Python解决高等数学问题,妈妈再也不用担心我的学习 from sympy import * 输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号 x = Symbol("x") y = Symbol("y") 求极限limit limit(sin(x)/x,x,0) 1\displaystyle 11 f2=...

    使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题

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    Sympy是一个Python的科学计算库,它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分,代数,离散数学和量子物理学的功能。 它可以在 LaTeX 中显示结果。

    Sympy官网


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    看到这图,是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。

    from sympy import *
    import sympy
    

    输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号

    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")
    

    1. 实用技巧

    1.1 符号函数

    sympy提供了很多数学符号,总结如下

    • 虚数单位
    sympy.I
    
    • 自然对数
    sympy.E 
    
    • 无穷大
    sympy.oo
    
    • 圆周率
     sympy.pi
    
    • 求n次方根
     sympy.root(8,3)
    
    • 取对数
    sympy.log(1024,2)
    
    • 求阶乘
    sympy.factorial(4)
    
    • 三角函数
    sympy.sin(sympy.pi)
    sympy.tan(sympy.pi/4)
    sympy.cos(sympy.pi/2)
    

    1.2 展开表达式expand

    f = (1+x)**3
    expand(f)
    

    x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 \displaystyle x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 x3+3x2+3x+1

    1.3 泰勒展开公式series

    ln(1+x).series(x,0,4)
    

    x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) \displaystyle x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right) x2x2+3x3+O(x4)

    sin(x).series(x,0,8)
    

    x − x 3 6 + x 5 120 − x 7 5040 + O ( x 8 ) \displaystyle x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + O\left(x^{8}\right) x6x3+120x55040x7+O(x8)

    cos(x).series(x,0,9)
    

    1 − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + x 8 40320 + O ( x 9 ) \displaystyle 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \frac{x^{8}}{40320} + O\left(x^{9}\right) 12x2+24x4720x6+40320x8+O(x9)

    (1/(1+x)).series(x,0,5)
    

    1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + O ( x 5 ) \displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + O\left(x^{5}\right) 1x+x2x3+x4+O(x5)

    tan(x).series(x,0,4)
    

    x + x 3 3 + O ( x 4 ) \displaystyle x + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right) x+3x3+O(x4)

    (1/(1-x)).series(x,0,4)
    

    1 + x + x 2 + x 3 + O ( x 4 ) \displaystyle 1 + x + x^{2} + x^{3} + O\left(x^{4}\right) 1+x+x2+x3+O(x4)

    (1/(1+x)).series(x,0,4)
    

    1 − x + x 2 − x 3 + O ( x 4 ) \displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + O\left(x^{4}\right) 1x+x2x3+O(x4)

    1.4 符号展开

    a = Symbol("a")
    b = Symbol("b")
    #simplify( )普通的化简
    simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
    #trigsimp( )三角化简
    trigsimp(sin(x)/cos(x))
    #powsimp( )指数化简
    powsimp(x**a*x**b)
    

    x a + b \displaystyle x^{a + b} xa+b

    2. 求极限limit

    limit(sin(x)/x,x,0)
    

    1 \displaystyle 1 1

    f2=(1+x)**(1/x)
    
    f2
    

    ( x + 1 ) 1 x \displaystyle \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} (x+1)x1

    重要极限

    f1=sin(x)/x
    f2=(1+x)**(1/x)
    f3=(1+1/x)**x
    lim1=limit(f1,x,0)
    lim2=limit(f2,x,0)
    lim3=limit(f3,x,oo)
    print(lim1,lim2,lim3)
    
    1 E E
    

    dir可以表示极限的趋近方向

    f4 = (1+exp(1/x))
    f4
    

    e 1 x + 1 \displaystyle e^{\frac{1}{x}} + 1 ex1+1

    lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")
    lim4
    

    1 \displaystyle 1 1

    lim5 = limit(f4,x,0,dir="+")
    lim5
    

    ∞ \displaystyle \infty

    3. 求导diff

    diff(函数,自变量,求导次数)

    3.1 一元函数

    求导问题

    diff(sin(2*x),x)
    

    2 cos ⁡ ( 2 x ) \displaystyle 2 \cos{\left(2 x \right)} 2cos(2x)

    diff(ln(x),x)
    

    1 x \displaystyle \frac{1}{x} x1

    3.2 多元函数

    求偏导问题
    例如求解该函数对x的偏导和对y的偏导

    ( x 1 + x 2 + 6 ) 2 + ( − x 1 x 2 − 3 x 1 − 3 x 2 + 2 ) 2 \displaystyle \left(x_{1} + x_{2} + 6\right)^{2} + \left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} + 2\right)^{2} (x1+x2+6)2+(x1x23x13x2+2)2

    f关于x的偏导数,y是常量

    f = (6+x1+x2)*(6+x1+x2)+(2-3*x1-3*x2-x1*x2)*(2-3*x1-3*x2-x1*x2)
    fx = diff(f,x1)
    

    2 x 1 + 2 x 2 + ( − 2 x 2 − 6 ) ( − x 1 x 2 − 3 x 1 − 3 x 2 + 2 ) + 12 \displaystyle 2 x_{1} + 2 x_{2} + \left(- 2 x_{2} - 6\right) \left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} + 2\right) + 12 2x1+2x2+(2x26)(x1x23x13x2+2)+12

    如果需要求特定点的值,我们可以通过subs()方法来填入

    fx.subs({x1: -4, x2: 6})
    

    − 344 \displaystyle -344 344

    4. 积分integrate

    4.1 定积分

    • 函数的定积分: integrate(函数,(变量,下限,上限))
    • 函数的不定积分: integrate(函数,变量)
    f = x**2 + 1
    integrate(f,(x,-1.1))
    

    − 1.54366666666667 \displaystyle -1.54366666666667 1.54366666666667

    integrate(exp(x),(x,-oo,0))
    

    1 \displaystyle 1 1

    4.2 不定积分

    f = 1/(1+x*x)
    integrate(f,x)
    

    atan ⁡ ( x ) \displaystyle \operatorname{atan}{\left(x \right)} atan(x)

    举例:

    from sympy import *
    x = Symbol('x'); t = Symbol('t')    # 定义两个变量
    lmt = limit(
        (integrate(t*cos(t),(t,0,x))-1+cos(x)) / (sqrt(x*tan(x)+1)-sqrt(x*sin(x)+1)), 
        x,
        0)
    print(lmt)  # -1/3
    
    -1/3
    

    4.3 双重积分

    f = (4/3)*x + 2*y
    integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))
    

    11.6666666666667 \displaystyle 11.6666666666667 11.6666666666667

    5. 求解方程组solve

    #解方程组
    #定义变量
    f1=x+y-3
    f2=x-y+5
    solve([f1,f2],[x,y])
    

    {x: -1, y: 4}

    6. 计算求和式summation

    计算求和式可以使用sympy.summation函数,其函数原型为sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)

    加粗样式
    **

    sympy.summation(2 * n,(n,1,100))
    

    10100

    到这里就结束了,如果对你有帮助,欢迎点赞关注评论,你的点赞对我很重要。在此也祝愿大家可以把数学学好


    参考:

    https://docs.sympy.org/latest/index.html

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    展开全文
  • 尚未解决的10个最困难的数学问题

    万次阅读 2019-09-29 19:15:09
    《尚未解决的10个最困难的数学问题》 1.科拉兹猜想 2.哥德巴赫猜想 3.双素猜想 4.黎曼假设 5.Birch和Swinnerton-Dyer猜想 6.接吻数问题 7.难题 8.大型基数计划 9.与???? + e有何关系? 10. ????理性...

                                                                         《尚未解决的10个最困难的数学问题


    尚未解决的10个最困难的数学问题

    世界上最聪明的人无法破解他们。也许您会有更好的运气。

     

    对于我们在数学领域取得的最新进展,例如超级计算机如何最终解决了困扰数学家65年的“三次求和”问题,我们一直在努力进行计算,以寻求更深入的数值知识。几个世纪以来,一些数学问题一直在挑战着我们,尽管像随后的那些大脑破坏者似乎不可能,但最终有人一定会解决它们。也许。

    现在,先解决男人,女人和机器已知的最棘手的数学问题。

    1.科拉兹猜想

     

    本月初,得益于多产的数学家陶伦斯·陶(Terence Tao),有关这个已有82年历史的问题的新闻爆出。尽管陶行长的突破故事是个好消息,但问题仍未完全解决。

    关于Collat​​z猜想的更新:上面显示的是函数f(n)的全部内容,该函数取偶数并将其减半,而奇数取三倍,然后加到1。取任何自然数,应用f,然后一次又一次地应用f。我们最终检查过的每个数字最终都会落在1上。猜想是,所有自然数都是如此。

    陶最近的工作在某种程度上是对科拉兹猜想的一个接近解决方案。但是,正如他随后解释的那样,他的方法很可能无法适应该问题的完整解决方案。因此,我们可能会为此工作数十年。

    猜想属于数学学科,称为动态系统,或者是研究以半可预测的方式随时间变化的情况。它看起来像一个简单,无害的问题,但这就是它与众不同的原因。为什么这样一个基本问题很难回答?它是我们理解的基准;一旦解决,我们就可以处理更复杂的事情。

    对动力系统的研究可能会比今天任何人所想像的都要强大。但是,我们需要解决科拉兹猜想才能使该学科蓬勃发展。

     

    2.哥德巴赫猜想

    数学上最大的未解之谜之一也很容易写。哥德巴赫的猜想是:“每个偶数(大于2)是两个质数的和。”您在脑海中检查了较小的数字:18是13 + 5,而42是23 + 19。计算机已经检查了猜想中的数值是否达到一定程度。但是我们需要证明所有自然数。

    哥德巴赫猜想源于1742年德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)和传奇的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)之间的信件,被认为是数学史上最伟大的猜想之一。正如欧拉所说:“尽管我无法证明它,但我仍将其视为完全确定的定理。”

    欧拉可能已经感觉到是什么使直觉上的问题难以解决。当您查看较大的数字时,它们有更多的质数之和而不是更少的写法。就像3 + 5是将8分解成两个素数的唯一方法一样,但是42可以分解成5 + 37、11 + 31、13 + 29和19 + 23。因此,感觉像哥德巴赫的猜想对于很多人来说都是轻描淡写的。

    尽管如此,直到今天,数学家仍无法证明所有数字都是猜想的。它是所有数学中最古老的开放式问题之一。

     

     

    3.双素猜想

    图片

     

    孪生素数猜想与哥德巴赫猜想一道,在数学学科中最著名,称为数论,即对自然数及其性质的研究,通常涉及素数。由于您从小学起就已经知道这些数字,因此陈述这些猜测很容易。

    当两个素数之差为2时,它们称为孪生素数。因此11和13是双质数,而599和601都是双质数。现在,第1天数论事实表明存在无限多个质数。那么,有无限多个素数吗?双生素数猜想是肯定的。

    让我们更深入一点。一对双素数中的第一个素数总是比6的倍数小1。因此,第二个双素数素数总是比6的倍数大1。您可以理解为什么,如果您准备好遵循一些数论。

    2之后的所有素数都是奇数。偶数始终比6的倍数大0、2或4,而奇数始终比6的倍数大1、3或5。好吧,这三种奇数可能性之一引起了问题。如果数字3大于6的倍数,则其系数为3。系数为3表示数字不是质数(唯一的例外是3本身)。这就是为什么每个第三个奇数都不是质数的原因。

    那段时间过后你的头怎么样?现在,想象一下在过去170年中试图解决此问题的每个人的头痛。

    好消息是,过去十年来我们取得了可喜的进展。数学家已经设法解决越来越接近的孪生素数猜想。这就是他们的想法:难于证明有多少个质数相差2?如何证明有无数个质数相差70,000,000的质数。2013年,新罕布什尔大学的Yitang Zhang巧妙地证明了这一点。

    在过去的六年中,数学家一直在用张的证明来提高这个数字,从数百万减少到数百。将其降低到2将是Twin Prime Conjecture的解决方案。根据一些细微的技术假设,我们得出最接近的数字是6。时间将证明从6到2的最后一步是否即将到来,或者该最后一步是否会挑战数学家数十年。

     

     

    4.黎曼假设

    图片

    当今的数学家可能会同意,黎曼假设是所有数学中最重要的开放问题。它是七个“ 千年奖”问题之一,并为其解决方案悬赏一百万美元。它对数学的各个分支都有着深远的影响,但是它也很简单,我们可以在这里解释其基本概念。

    上图中编写了一个称为Riemann zeta函数的函数。

    对于每个s,此函数给出一个无穷大的和,这需要一些基本演算才能求出s的最简单值。例如,如果s = 2,则?(s)是众所周知的级数 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…,这奇怪地加起来恰好是?² / 6。当s是一个复数(一个看起来像a +b?的复数)时,使用虚数?查找?是很棘手的。

    如此棘手,实际上,它已成为最终的数学问题。具体地说,黎曼假设大约是当?(s)= 0时;正式声明是:“黎曼zeta函数的每个非平凡零都具有实部1/2。”在复数平面上,这意味着该函数沿特殊的垂直线具有一定的行为。您可以在上面的函数的可视化效果中看到这一点-它沿着彩虹和红色的边界。假设是行为无限地沿着那条线继续。

    假设和zeta函数来自德国数学家Bernhard Riemann,他们在1859年对其进行了描述。Riemann在研究素数及其分布时开发了它们。自从160年来,我们对质数的理解一直在蓬勃发展,而黎曼(Riemann)从未想象过超级计算机的力量。但是,缺乏解决黎曼假设的方法是一个重大的挫折。

    如果黎曼假设在明天得到解决,它将掀起进一步发展的雪崩。这将是整个数论与分析学科的重大新闻。直到那时,黎曼假设仍然是数学研究之河上最大的水坝之一。

     

    5. Birch和Swinnerton-Dyer猜想

    图片

    桦木和斯维讷代尔猜想是另一个六项未解千禧年大奖难题,而且它是唯一另外一个我们可以用简单的英语远程描述。此猜想涉及称为椭圆曲线的数学主题。

    当我们最近撰写有关已解决最棘手的数学问题的文章时,我们提到了20世纪数学的最大成就之一:费马最后定理的解决方案。它由安德鲁·威尔斯爵士使用椭圆曲线解决。因此,您可以称其为非常强大的数学新分支。

    简而言之,椭圆曲线是一种特殊的功能。它们采用看起来没有威胁的形式y²=x³+ ax + b。事实证明,像这样的函数具有某些属性,这些属性使人们对诸如代数和数论之类的数学主题有了深刻的了解。

    英国数学家Bryan Birch和Peter Swinnerton-Dyer在1960年代发展了他们的猜想。它的确切陈述是非常技术性的,并且经过多年的发展。这种演变的主要管理者之一就是威尔斯。要了解其当前状态和复杂性,请查看Wells在2006年发布的这一著名更新

     

    6.接吻数问题

    数学中的一类广泛的问题称为“ 球体堆积问题”。它们的范围从纯粹的数学到实际应用,通常将数学术语引入在给定空间中堆叠多个球体(例如杂货店的水果)的想法。本研究中的某些问题具有完整的解决方案,而一些简单的问题则使我们感到困惑,例如“接吻数问题”。

    当一堆球体堆积在某个区域中时,每个球体都有一个“接吻数”,即它所接触的其他球体的数量;如果您要触摸6个相邻的球体,那么您的接吻数为6。一堆球体将具有一个平均接吻数,这有助于从数学上描述情况。但是有关接吻号码的基本问题尚未得到解答。

    首先,要注意尺寸。尺寸在数学上有特定含义:它们是独立的坐标轴。x轴和y轴显示坐标平面的二维。当科幻节目中的角色说他们要去一个不同的维度时,这在数学上是没有意义的。您无法转到x轴。

    一维物体是线,二维物体是平面。对于这些较低的数字,数学家已经证明了这么多尺寸的球体的最大可能接吻数。在1-D线上时为2,即一个球在您的左侧,另一个球在您的右侧。尽管直到1950年代才有3个维度的确切数字的证明。

    超过3个维度,接吻问题大部分尚未解决。数学家慢慢地将可能性缩小到了多达24个维度的相当窄的范围,其中一些确切已知,如您在此图表中所见。对于较大的数字或一般形式,问题是普遍存在的。完整解决方案有几个障碍,包括计算限制。因此,预计未来几年将在此问题上取得逐步进展。

     

    7.难题

    图片

    最简单的“ 解开问题”版本已解决,因此该故事已经取得了一些成功。解决问题的完整版本将是更大的胜利。

    您可能还没有听说过数学科目“结理论”。几乎没有高中和几所大学都教过它。这个想法是尝试将形式上的数学思想(如证明)应用于打结(例如……),将鞋子绑在一起。

    例如,您可能知道如何打结“方结”和“ gr结”。它们的步骤相同,只是从方结到奶奶结的扭转是相反的。但是,您能证明那些结是不同的吗?结理论家可以。

    结理论家的圣杯问题​​是一种算法,该算法可以确定是否纠结了一些纠结的乱七八糟的东西,或者它是否可以解开。好消息是,这已经完成了!在过去的20年中,已经为此编写了几种计算机算法,其中一些甚至使该过程更加活跃

    未知问题仍然存在的地方是计算的。用技术术语来说,众所周知“解结问题”在NP中,而我们不知道它是否在P中。这​​大致意味着我们知道我们的算法能够解开任何复杂的结,但是随着它们变得越来越复杂,它开始花费很长时间。目前。

    如果有人提出了一种算法,该算法可以在所谓的多项式时间内消除任何打结,那么就可以完全解决“打结问题”。另一方面,有人可以证明这是不可能的,并且“解开问题”的计算强度不可避免地是深远的。最终,我们会找到答案。

     

    8.大型基数计划

    图片

    如果您从未听说过大型红衣主教,请准备学习。在19世纪末,一位名叫Georg Cantor的德国数学家发现无穷大的大小不同。实际上,某些无穷集在深度数学上比其他无穷集具有更多的元素,而Cantor证明了这一点。

    有第一个无穷大,最小无穷大,记为ℵ₀。那是希伯来语字母aleph;它的读数为“ aleph-零”。它是一组自然数的大小,因此被写为|ℕ| =ℵ₀。

    接下来,一些常见集合大于大小ℵ₀。Cantor证明的主要示例是实数集更大,用|ℝ|>ℵ₀表示。但是,实际收益并不大。我们才刚刚开始使用无限大小。

    对于真正的大东西,数学家不断发现越来越大的尺寸,或者我们称之为大红衣主教。这是一个纯数学的过程,如下所示:有人说:“我想到了一个红衣主教,我可以证明这个红衣主教比所有已知的红衣主教还大。”然后,如果他们的证明是好的,那就是新的最大的已知主教。直到有人提出更大的建议。

    在整个20世纪,已知的大型枢机主教的边界稳步向前发展。现在甚至有一个美丽的维基百科,以著名的红衣主教命名,以纪念Cantor。那么,这将永远结束吗?答案是肯定的,尽管它变得非常复杂。

    从某种意义上说,大型主教层级的顶端已可见。一些定理已经被证明,对大红衣主教的可能性施加了某种限制。但是仍然存在许多悬而未决的问题,新的枢机主教已在2019年确定下来。很可能我们会在未来几十年内发现更多的枢机。希望我们最终能得到所有大型红衣主教的详尽清单。

     

     

    9. 与? + e有何关系?

    鉴于我们对数学中最著名的两个常数?和e所了解的一切,这真让人惊讶,将它们加在一起时我们迷失了多少。

    这个奥秘全是关于代数实数的。定义:如果实数是某些具有整数系数的多项式的根,则实数是代数的。例如,x²-6是具有整数系数的多项式,因为1和-6是整数。x²-6= 0的根是x =√6和x =-√6,这意味着√6和-√6是代数数。

    所有有理数和有理数的根都是代数的。因此,可能感觉“最”的实数是代数的。原来实际上是相反的。代数的反义词是超验的,事实证明,几乎所有实数都是超验的,因为“几乎所有”的某些数学含义都是如此。那么谁是代数的,谁是超验的呢?

    实数real可以追溯到古代数学,而数字e自17世纪以来一直存在。您可能已经听说过这两种方法,并且您认为我们知道有关它们的每个基本问题的答案,对吗?

    好吧,我们确实知道?和e都是先验的。但是不知道? + e是代数的还是超验的。同样,我们不了解?e,? / e及其它们的其他简单组合。因此,关于我们几千年来知道的数字仍然存在着令人难以置信的基本问题,这些问题仍然是神秘的。

     

    10. ?理性吗?

    这是另一个很容易编写但很难解决的问题。您只需要记住有理数的定义。

    有理数可以p / q的形式编写,其中p和q是整数。因此42和-11/3是有理数,而?和√2不是有理数。这是一个非常基本的属性,因此您认为我们可以轻松判断数字何时是有理数,对吗?

    满足Euler-Mascheroni常数 ?,它是小写的希腊伽马。它是一个实数,大约为0.5772,其闭合形式并不难看。它看起来像上面的图片。

    在这些符号上加上单词的流畅方式是“伽马是谐波序列和自然对数之差的极限。”因此,它是两个非常容易理解的数学对象的组合。它具有其他简洁的封闭形式,并以数百种公式出现。

    但是不知何故,我们甚至都不知道?是否合理。我们已经将其计算为半万亿位数,但没有人能证明它是否合理。普遍的预测是?是非理性的。与前面的示例? + e一起,我们还有另一个问题,即众所周知的数字的简单属性,甚至无法回答。

     

     

     

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  • 希尔伯特的23个数学问题

    千次阅读 2019-01-21 17:01:28
    1900年,德国数学家希尔伯特向全世界数学家提出23个待解决非数学问题,给二十世纪数学发展指明了方向,指出了数学发展的重点是什么? 然而,很可惜的是,国内对希尔伯特的23个数学问题没有完整的介绍,本文附件列出...

    1900年,德国数学家希尔伯特向全世界数学家提出23个待解决非数学问题,给二十世纪数学发展指明了方向,指出了数学发展的重点是什么?

    然而,很可惜的是,国内对希尔伯特的23个数学问题没有完整的介绍,本文附件列出全部希尔伯特23个数学问题,然后再进行分析。

    袁萌  陈启清  1月21日

    附件:Hilbert’s 23 problems

    1st

    The continuum hypothesis (that is, there is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers)

    Proven to be impossible to prove or disprove within Zermelo–Fraenkel set theory with or without the Axiom of Choice (provided Zermelo–Fraenkel set theory is consistent, i.e., it does not contain a contradiction). There is no consensus on whether this is a solution to the problem.

    1940, 1963

    2nd

    Prove that the axioms of arithmetic are consistent(无矛盾性).

    There is no consensus on whether results of G?del and Gentzen give a solution to the problem as stated by Hilbert. G?del's second incompleteness theorem, proved in 1931, shows that no proof of its consistency can be carried out within arithmetic itself. Gentzen proved in 1936 that the consistency of arithmetic follows from the well-foundedness of the ordinal ε?.

    1931, 1936

    3rd

    Given any two polyhedra of equal volume, is it always possible to cut the first into finitely many polyhedral pieces that can be reassembled to yield the second?

    Resolved. Result: No, proved using Dehn invariants.

    1900

    4th

    Construct all metrics where lines are geodesics.

    Too vague to be stated resolved or not.[h]

    5th

    Are continuous groups automatically differential groups?

    Resolved by Andrew Gleason, depending on how the original statement is interpreted. If, however, it is understood as an equivalent of the Hilbert–Smith conjecture, it is still unsolved.

    1953?

    6th

    Mathematical treatment of the axioms of physics

    (a) axiomatic treatment of probability with limit theorems for foundation of statistical physics

    (b) the rigorous theory of limiting processes "which lead from the atomistic view to the laws of motion of continua"

    Partially resolved depending on how the original statement is interpreted.[9] Items (a) and (b) were two specific problems given by Hilbert in a later explanation.[citation needed] Kolmogorov's axiomatics (1933) is now accepted as standard. There is some success on the way from the "atomistic view to the laws of motion of continua."[10]

    1933–2002?

    7th

    Is ab transcendental, for algebraic a ≠ 0,1 and irrational algebraic b ?

    Resolved. Result: Yes, illustrated by Gelfond's theorem or the Gelfond–Schneider theorem.

    1934

    8th

    The Riemann hypothesis

    ("the real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ?")

    and other prime number problems, among them Goldbach's conjecture and the twin prime conjecture

    Unresolved.

    9th

    Find the most general law of the reciprocity theorem in any algebraic number field.

    Partially resolved.[i]

    10th

    Find an algorithm to determine whether a given polynomial Diophantine equation with integer coefficients has an integer solution.

    Resolved. Result: Impossible; Matiyasevich's theorem implies that there is no such algorithm.

    1970

    11th

    Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients.

    Partially resolved.[11]

    12th

    Extend the Kronecker–Weber theorem on Abelian extensions of the rational numbers to any base number field.

    Unresolved.

    13th

    Solve 7-th degree equation using algebraic (variant: continuous) functions of two parameters.

    The problem was partially solved by Vladimir Arnold based on work by Andrei Kolmogorov.[j]

    1957

    14th

    Is the ring of invariants of an algebraic group acting on a polynomial ring always finitely generated?

    Resolved. Result: No, a counterexample was constructed by Masayoshi Nagata.

    1959

    15th

    Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.

    Partially resolved.

    16th

    Describe relative positions of ovals originating from a real algebraic curve and as limit cycles of a polynomial vector field on the plane.

    Unresolved, even for algebraic curves of degree 8.

    17th

    Express a nonnegative rational function as quotient of sums of squares.

    Resolved. Result: Yes, due to Emil Artin. Moreover, an upper limit was established for the number of square terms necessary.

    1927

    18th

    (a) Is there a polyhedron that admits only an anisohedral tiling in three dimensions?

    (b) What is the densest sphere packing?

    (a) Resolved. Result: Yes (by Karl Reinhardt).

    (b) Widely believed to be resolved, by computer-assisted proof (by Thomas Callister Hales). Result: Highest density achieved by close packings, each with density approximately 74%, such as face-centered cubic close packing and hexagonal close packing.[k]

    (a) 1928

    (b) 1998

    19th

    Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?

    Resolved. Result: Yes, proven by Ennio de Giorgi and, independently and using different methods, by John Forbes Nash.

    1957

    20th

    Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions?

    Resolved. A significant topic of research throughout the 20th century, culminating in solutions for the non-linear case.

    21st

    Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group

    Partially resolved. Result: Yes/No/Open depending on more exact formulations of the problem.

    22nd

    Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions

    Unresolved.

    23rd

    Further development of the calculus of variations

    Too vague to be stated resolved or not.

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  • 其中一些程序能提供强大的计算功能来解决一些数学问题。这些程序能求出方程的解,计算数据集之间的相关性,确定函数的最大值,等等。在其他程序中,我们将模拟现实生活中的事件,如抛物运动、掷硬币或掷骰子。使用...

    我们将编写程序,把数字和公式作为输入,进行一些计算,然后得到解或绘制出图形。其中一些程序能提供强大的计算功能来解决一些数学问题。这些程序能求出方程的解,计算数据集之间的相关性,确定函数的最大值,等等。在其他程序中,我们将模拟现实生活中的事件,如抛物运动、掷硬币或掷骰子。使用程序来模拟这样的事件,让我们可以用一个简单的方法来更好地分析和了解事情本身。

    也许你会发现一些不借助计算机程序会非常难于探索的主题,例如,即使在最好的情况下,手工绘制分形图也是一件极为乏味的工作,而如果在最困难的情况下,这简直就是一项不可能完成的任务。有了计算机程序,我们需要做的仅仅是在一个循环中执行相关运算。我想,你会发现,在这种“用Python 学数学”的情境下,学习编程和学习数学都会变得更加令人兴奋、有趣和有益。

     

     

    今天推荐的这本《Python数学编程》将三个主题—程序设计、数学与科学结合在一起。更确切地说,学习本书后,我们会通过编程解决高中水平的一些问题,如处理测量单位,研究抛物运动,计算均值、中位数和众数,确定线性相关系数,求解代数方程,描述单摆运动,模拟骰子游戏,创建几何图形,求函数的极限、导数和积分。这是许多人熟悉的话题,不过我们不用钢笔和纸,而是用计算机程序来研究它们。

    谁应该读这本书

    如果你正在学习编程,你应该会喜欢本书所演示的用计算机解决问题的方法。同样地,如果你是老师,你可以借助这本书的实际应用来训练学生的编程能力,这样做回避了有些抽象的计算机科学。这本书假定读者了解使用 Python 3 进行编程的基础,例如函数、函数的参数、Python 类和类对象的概念、循环。附录B 涵盖了本书程序所使用的其他Python 主题,但本书不详细讲解这些附加主题。如果你觉得自己需要更多的背景知识,建议阅读Jason Briggs 的Python for kids(No Starch 出版社,2013)。

    这本书里有什么?

    本书由7 章和2 个附录组成。每章结束时都给读者留下了挑战题目。我建议你放手一试,因为在自己编写程序的过程中会学习到更多。这些挑战将要求你探索新的主题,这是提高学习能力的很棒的方法。

    • 第 1 章,处理数字。本章从基本的数学运算开始,逐步深入到需要更高层次的数学技巧的内容。
    • 第 2 章,数据可视化。本章使用matplotlib 库由数据生成图形。
    • 第 3 章,数据的统计学特征。本章将继续讲解处理数据集的主题,包括基本统计概念:均值、中位数、众数和数据集中的变量的线性相关性。还将介绍如何处理CSV 文件数据,这是一种流行的分发各种数据集的文件格式。
    • 第 4 章,用SymPy 包解代数和符号数学问题。本章使用SymPy 库介绍符号数学,从表示和处理代数表达式开始,之后介绍更复杂的问题,如求解方程。
    • 第 5 章,集合与概率。本章讨论了数学中集合的表示,接着深入到离散概率,还将讨论模拟均匀和非均匀随机事件。
    • 第 6 章,绘制几何图形和分形。本章讨论使用matplotlib 绘制几何图形、分形和创建动画。
    • 第 7 章,解微积分问题。本章讨论了一些在Python 标准库和SymPy 库中的数学函数,然后介绍了如何解微积分问题。
    • 附录 A,软件安装。涉及Python 3、matplotlib 和SymPy 在Microsoft Windows、Linux 和Mac OS X 平台下的安装问题。
    • 附录 B,Python 主题概览。讨论了Python 的一些主题,可能对初学者很有帮助。

    样章试读:

     

     

     

     

     

     

     

     

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