1. 在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=m
则.此时我们称随机变量X服从超几何分布
1）超几何分布的模型是不放回抽样
2）超几何分布中的参数是M,N,n
X ~ H (n,M,N) 例 N个球 有M个黑球 取 n个黑球 

则 EX = nM/N


2. 有放回的期望也是   nM/N






3. 一个口袋里有5个白球2和黑球。摸到一个黑球放回，摸到白球就停止。求取球的次数的期望。


设取球k次时摸到白球，则概率是(1-5/7)^(k-1) * 5/7


取球次数的期望是1/ (5/7) = 7/5


4. a只黑球，b只白球。一只一只的摸出球，不放回。第k次摸到黑球的概率。k<=a+b。


第m次，m< k，也可能摸到黑球。
p = a/(a+b)
期望是？






http://wenku.baidu.com/view/1faa30791711cc7931b716b9.html

导语

       对于任何一个学习概率论的童鞋来说，各种分布都是很头痛的一件事情，本篇主要讨论的是离散型随机变量.



伯努利分布

       伯努利分布就是我们常见的0-1分布，即它的随机变量只取0或者1，各自的频率分别取$1-p$和$p$，当$x=0$或者$x=1$时，我们数学定义为： 

        
 $$p(x)=p^x*(1-p)^{1-x}$$  

       其它情况下$p(x)=0$，伯努利分布是一个非常好理解的分布，也是很多其它分布的基础。



  
离散型随机变量期望：$E(x)=\sum x*p(x)$ 

  方差：$D(x)=E(x^2)-E^2(x)$


       对于伯努利分布来说，$E(x)=1*p+0*(1-p)=p,D(x)=1^2*p-p^2=p(1-p)$



二项分布

       二项分布是这样一种分布，假设进行n次独立实验，每次实验“成功”的概率为$p$，失败的概率为$1-p$，所有成功的次数$X$就是一个参数为$n$和$p$的二项随机变量.数学公式定义为： 

 $$p(k)=\binom{n}{k}*p^k*(1-p)^{n-k}$$  

       二项分布公式基于伯努利分布得到，因为二项分布中每项实验都是独立的，因此每一次实验都是一次伯努利实验，在$n$次实验中，成功$k$次，排列方式有$\binom{n}{k}$种，根据乘法原理，即可得到二项分布的公式。



  
话外：对于均值和方差的计算，$X_i$是标准的伯努利分布，总发生次数$X=\sum_1^n X_i$，所以$E(X)=E(\sum_1^n X_i)=\sum_1^n E(X_i)=n*p$，同理方差$D(x)=\sum_1^nD(X_i)=n*p*(1-p)$




几何分布和负二项分布

       这是一个比较简单的分布，其中负二项分布是几何分布的一般形式，几何分布与二项分布类似，也是由$n$次伯努利分布构成，随机变量$X$表示第一次成功所进行试验的次数，则 

 $$p(k)=P(X=k)=p*(1-p)^{k-1},k=1,2,3,...$$  

       负二项分布是几何分布的一般形式，表示直到成功r次停止，显而易见，当r=1时，它就是几何分布，则 

 $$P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r*(1-p)^{k-r}$$ 



  
关于几何分布的期望与方差，$E(X)=1/p$，$D(x)=(1-p)/p^2$，关于期望的证明，$E(X)=\sum_{n=1}^\infty n*p*q^{n-1}=p*\sum_{n=1}^\infty (q^n)'=p*(\sum_{n=1}^\infty q^n)'=1/p$，方差证明与期望证明类似，不再赘述…




超几何分布

       非常常见的一种分布，常用来表示在$N$个物品中有指定商品$M$个，不放回抽取$n$个，抽中指定商品的个数，即$X$~$H(N,n,M)$，则抽中k件的概率为： 

 $$p(k)=P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}*\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$  

       实际应用中超几何分布例子很多，比如彩票开奖你所符合的数字个数等。




泊松分布

       泊松分布是离散型随机变量分布中相对较难的一种，泊松频率函数定义为： 

 $$P(X=k)=\frac{\lambda^k*e^{-\lambda}}{k!}，k=0,1,2,3,...$$  

       泊松分布是二项分布的极限形式，可有二项分布概率公式推导得出，其中$\lambda=n*p$，当$n>>p$时， 

 $$p(k)=\binom{n}{k}*p^k*(1-p)^{n-k}=\frac{n!*p^k*(1-p)^{n-k}}{k!*(n-k)!}=\frac{n!*({\lambda \over n})^k*(1-{\lambda \over n})^{n-k}}{k!*(n-k)!}=
{\lambda^k \over k!}*{n! \over {(n-k)!*k!}}*{(1-{\lambda \over n})^n}*{(1-{\lambda \over n})^{-k}}$$  

当$n$->$\infty$时，$\lambda \over n$->0，${n! \over {(n-k)!*k!}}$->1，${(1-{\lambda \over n})^n}$->$e^{-\lambda}$，${(1-{\lambda \over n})^{-k}}$->1，所以 

 $$p(k)->{{\lambda^k*e^{-\lambda}} \over k!}$$ 



  
泊松分布的期望和方差均为$\lambda$，证明过程严格按照定义即可，注意在证明过程中使用到了$e^{\lambda}的泰勒展开$


       泊松分布主要用来研究单位时间或单位空间内某时间的发生次数，同时事件的发生必须是相互独立的，比如单位时间内通过某一交通灯的车辆数等。$\lambda$大概等于20时，泊松分布基本可以近似为正态分布进行处理。 

       泊松分布用来衡量事件的稳定性是一个不错的方法，再配合一些统计学上的检验方法，能够做很多东西，在之后的连续型随机变量中，有一种分布叫指数分布，它与泊松分布密不可分，可由泊松分布推导出…..敬请期待.

伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布都是离散型随机变量。

1 伯努利分布：就是常见的0-1 分布，各自的频率为1-p和p ，当x=0 或者x=1 的时候，：

p(x) =

期望：   方差： 

对于伯努利分布来说 ，期望

2 二项分布：

假设·n次独立实验，每次实验成功的概率为p，所有成功的次数X就是一个参数为n和p的二项随机变量，数据公式为：



二项分布的每一次实验都是伯努利分布，n次实验，成功k次，排列方式有种。

总发生次数，，均值：，方差：

 

3 几何分布和二项分布：

负二项分布是几何分布的一般形式，与二项分布类似，也是有n次伯努利分布构成，随机变量X 表示第一次成功所进行试验的次数：

p(k)=P(X=k)=,k=1,2,3,...

负二项分布是几何分布的一般形式，表示直到成功r次停止，显而易见，当r=1 的时候，它就是几何分布：

几何分布的期望和方差

：

4 超几何分布：

常用来表示N个物品中有指定商品M个，不放回抽取n个，抽中指定商品的个数，即X-H(N,n,M) 则抽中k件的概率为：



5 泊松分布：

频率函数定义为,k=0,1,2,3,...

泊松分布是二项分布的极限形式。

 

 

概率分布

概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律，包括连续分布和离散分布。

下面作了这些概率分布的一个思维导图。



文章目录
概率分布
1、离散概率分布
1.1、两点分布
2.2、 二项分布
1.3、几何分布
1.4、超几何分布
1.5、泊松分布
2、连续概率分布
2.1、均匀分布
2.2、正太分布
2.3、beta分布
2.4、柯西分布
2.5、卡方分布
3、参考资料

概率分布
1、离散概率分布
1.1、两点分布
意义：指的是一次实验中有两个事件，成功或者失败，出现的概率记为p，1-p。

分布律：




数字特征：


举例：比如一个口袋中有十个球，其中红球3个，白球7个，问从中取到红球的概率？

f=0.31 ×0.70=0.3
2.2、 二项分布
意义：两点分布独立重复n次，则实验成功的次数服从一个参数为(n,p)的二项分布

分布律：



或者

数字特征：




举例：比如一个口袋中有100个球，其中红球30个，白球70个，重复有放回地取30次，其中有10次取到红球的概率？

f=C3010 (0.3)10*(0.7)20
1.3、几何分布
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

分布律：




数字特征：




举例：比如一个口袋中有100个球，其中红球30个，白球70个，第10次取到红球的概率？

f=0.3×0.79
1.4、超几何分布
定义：它描述了从有限N个物件中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则




数字特征：




1.5、泊松分布
泊松分布是经济生活中一种非常重要的分布形式，在生活中有很多应用，如：物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港发货船期的调度。

分布律：


数字特征




例子：

1、通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p=0.0001，假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口，则求此时间段内发生交通事故次数X的概率分布。
通过路口的1000辆车是否发生交通事故，可以看成n=1000次伯努利试验，所以X服从二项分布，由于n=1000很大，p=0.0001很小，且np=0.1，所以X服从泊松分布，




此段时间内发生两次交通事故为：




2、连续概率分布
2.1、均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）

密度函数：




数字特征：




例：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900ΩΩ~ 1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。

解：R的概率密度为




因此：




2.2、正太分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ， σ2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

密度函数：




数字特征




正太曲线的性质：


2.3、beta分布
贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数。

在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。
我们先来举个例子，一个袋子里面有很多球，我们不知道球的个数只知道球的颜色（红，白），我们现在从中取出一个球（二次实验），根据先验经验我们猜测红白概率为（0.5，0.5），服从两点分布。那么我们开始有放回地从中抽取100次（多次二项试验），得到红球为70次，黄球为30次，这时候我们又重新猜测红白概率（0.7，0.3）。那么如果我们再将上面试验做150次，即重复150次的多次二次实验，最后得到红白概率为{0.7,0.3}这样概率为多少？这就是beta分布。
函数密度：




数字特征：




2.4、柯西分布
柯西分布主要应用于物理中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。

密度函数：





数字特征：均值和方差不存在

2.5、卡方分布
若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布
密度函数：




数字特征：




3、参考资料
https://wenku.baidu.com/view/142ccef848d7c1c708a145e3.html

https://wenku.baidu.com/view/8133c0056edb6f1aff001f1c.html

https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9341681.html

https://wenku.baidu.com/view/2b4c13730242a8956bece4e9.html