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  • 几何分布GeometricDistribution 千次阅读
    2021-02-26 11:00:48

    几何分布

    几何分布用于描述这种分布：独立事件的结果只有2个：”1和0“ 或”成功和失败“等，成功的概率为 p p p, 失败的概率为 q = 1 − p q=1-p q=1−p; 第r次成功的概率为
    P ( X = r ) = p ⋅ q r − 1 P(X=r)=p\cdot q^{r-1} P(X=r)=p⋅qr−1

    即用来描述进行多次伯努利事件，第1次成功次数的概率；换句话说每一次事件都有成功和失败的可能，所关心的是第一次成功的概率或取得第一次成功需要试验的次数。

    期望 ： E ( X ) = 1 p \displaystyle E(X)=\frac {1}{p} E(X)=p1​

    方差： D ( X ) = E ( X − E ( X ) ) = p q 2 \displaystyle D(X)=E(X-E(X)) = \frac {p}{q^2} D(X)=E(X−E(X))=q2p​

    由几何分布密度函数可以得出第1, 2, 3, … , k,k+1, …发生的概率为比例系数为q的等比数列，即：

    p ,   p q ,   p q 2 ,   . . . , p q k − 1 ,   p q k ,   . . . p,\ pq, \ pq^2,\ ..., pq^{k-1}, \ pq^k, \ ... p, pq, pq2, ...,pqk−1, pqk, ...

    P ( X = k + 1 ) P ( X = k ) = q \displaystyle \frac {P(X=k+1)}{P(X=k)}=q P(X=k)P(X=k+1)​=q

    一种说法是等比数列又被称为几何数列，故该分布称为几何分布。

    性质

    1. 任何几何分布的众数为1， 看似违反直觉，但第1次成功的概率最大；

    2. 大于r次成功的概率，即前r次均失败，为 P ( X > r ) = q r \large P(X>r)=q^r P(X>r)=qr

    3. 小于等于r次成功的概率，即 P ( X ) ≤ 1 − q r \large P(X)\le 1-q^r P(X)≤1−qr, 其实就是等比数列求和：
      P ( X ≤ r ) = ∑ n = 0 r p ⋅ q n − 1 = p ( 1 − q r ) 1 − q = 1 − q r \large P(X\le r) = \sum_{n=0}^r{p\cdot q^{n-1}=\frac{p(1-q^r)}{1-q}} = 1-q^r P(X≤r)=n=0∑r​p⋅qn−1=1−qp(1−qr)​=1−qr

    举例

    掷色子，1-6点的概率均为1/6，掷出1点算赢，其它点算输，记 X为第一次掷出赢的次数，则：

    P ( X = r ) = p q r − 1 \Large P(X=r)=pq^{r-1} P(X=r)=pqr−1

    其中p为1/6, q为5/6。

    scipy.stats 中有geom模块，可以方便的计算各种参数：

    """po = stats.poisson(mu) 	#用于构造均值与μ的泊松分布；
po.pmf(k, mu, loc=0) 	# Probability mass function. 概率质量函数；
po.cdf(k, mu, loc=0) 	#Cumulative distribution function.累积分布函数；
po.ppf(q, mu, loc=0)	# Percent point function 百分点函数（cdf的倒数-百分位数）。
"""
p=1./6
N=20
x=np.arange(N+1)
po = stats.geom(p)		#构造发生概率为p的几何分布
pm = po.pmf(x)			#计算第1次发生次数的概率
# 图形
fig = plt.figure()
ax = plt.gca()
line1 = ax.stem(x,pm,basefmt='k',label='第1次掷出1点概率');
ax.set_xlabel('随机变量：掷出1点的次数');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title('几何分布：p=1/6');

ax2=plt.twinx()
y=po.cdf(x)				#计算第1次时间发生的累积分布概率
line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.65,0.8));
ax2.legend(loc=(0.65,0.7))

    在这里插入图片描述

    # 打印累积发生概率大于等于50%的次数
po.ppf(0.5)

    输出为：4.0 。

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    几何分布

    几何分布是伯努利分布的推广，不断重复伯努利试验，直到首次成功为止，随机变量 X X X表示首次成功时已经完成的试验次数，我们称 X X X 是一个服从几何分布的随机变量

    适用情况举例

    实际中有不少随机变量服从几何分布，譬如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 X ～ Geom ( 0.05 ) X ～ \text{Geom}(0.05) X～Geom(0.05) 【引用自：几何分布】

    截图来源：Geometric distribution



    截图来源：几何分布

    第一种情况对应上面第一种几何分布、第二种情况对应上面第二种几何分布

    截图来源：Geometric distribution

    我们这里介绍的是第一种几何分布


    均值和方差
    我们用 μ X \mu_X μX​ 表示均值
    第一轮试验：第一次试验成功，成功概率为 p p p，已经完成的试验次数 X = 1 X=1 X=1，此轮试验的期望 1 ⋅ p 1\cdot p 1⋅p
    第二轮试验：第一次试验失败，已经完成试验次数 X = 1 X=1 X=1，期望为 1 ⋅ ( 1 − p ) 1\cdot (1-p) 1⋅(1−p)，试验重新开始，前 E [ X ] E[X] E[X] 次试验失败，失败概率 1 − p 1-p 1−p，已经完成的试验次数 X = E [ X ] X=E[X] X=E[X]，期望约为 E [ X ] ( 1 − p ) E[X](1-p) E[X](1−p)，
    第二轮试验的期望 1 ⋅ ( 1 − p ) + E [ X ] ( 1 − p ) = ( E [ X ] + 1 ) ( 1 − p ) = E [ 1 + X ] ( 1 − p ) 1\cdot (1-p)+E[X](1-p)=(E[X]+1)(1-p)=E[1+X](1-p) 1⋅(1−p)+E[X](1−p)=(E[X]+1)(1−p)=E[1+X](1−p)，
    其中 E [ 1 + X ] E[1+X] E[1+X]代表第一次试验失败，试验重新开始后，试验 E [ X ] E[X] E[X]次失败

    E [ X ] = 1 ⋅ p + E [ X + 1 ] ( 1 − p )   p E [ X ] = 1   μ X = E [ X ] = 1 p E[X]=1\cdot p+E[X+1](1-p)\\ ~\\ pE[X]=1\\ ~\\ \mu_X=E[X]=\frac{1}{p} E[X]=1⋅p+E[X+1](1−p) pE[X]=1 μX​=E[X]=p1​

    E [ X 2 ] = 1 ⋅ p + E [ ( 1 + X ) 2 ] ( 1 − p )   E [ X 2 ] = p + ( 1 + 2 E [ X ] + E [ X 2 ] ) ( 1 − p )   E [ X 2 ] = 1 + 2 ( 1 − p ) E [ X ] p   Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = 1 − p p 2 E[X^2]=1\cdot p+E[(1+X)^2](1-p)\\ ~\\ E[X^2]=p+(1+2E[X]+E[X^2])(1-p)\\ ~\\ E[X^2]=\frac{1+2(1-p)E[X]}{p}\\ ~\\ \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1-p}{p^2} E[X2]=1⋅p+E[(1+X)2](1−p) E[X2]=p+(1+2E[X]+E[X2])(1−p) E[X2]=p1+2(1−p)E[X]​ Var=E[X2]−E[X]2=p21−p​

    例子：

    截图来源：Geometric distribution

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    老是记不住各种分布及其意义，每次用时，回查各个课本资料也很麻烦，一些分布的重要性质也是各处散布，经常找不到，故这里做个总结，当作个资料卡用。

    内容有各种常见概率分布，一般会写含义、密度函数形式、期望、方差、特征函数，其它性质感觉重要就添加（有趣但感觉没什么用的不会添加）。

    先介绍下在R中的使用随机数，密度函数，分布函数，分位函数的命令，使用正态分布为示例。以下不做说明均是使用 R 语言。

    • 随机数

    从服从某种分布的总体中抽出样本

    > rnorm(5)
[1]  0.2858567 -0.7578348  0.6322224  0.6289619 -0.6743083
    • 概率密度函数(probability density function pdf)

    分布的概率密度函数值

    。有时直接称密度函数。 
    > dnorm(0)
[1] 0.3989423
> dnorm(3.2)
[1] 0.002384088

    使用这个函数就可以画出概率密度函数图，

    x = seq(-5,5,by=0.01)
y = dnorm(x)
plot(x,y)

    2f8f0df890a1bc86d0892efb0a5ffa34.png
    • 累积分布函数(cumulative distribution function cdf)

    含义为对pdf的积分函数

    。有时直接称分布函数。 
    > pnorm(0)
[1] 0.5
> pnorm(1.3)
[1] 0.9031995
> pnorm(3.6)
[1] 0.9998409
    • 分位函数

    cdf的反函数，从pdf理解更简单，pdf下方总的面积为1，q(0.9)表示从

    到值q(0.9)处，累积概率为0.9。显然这个函数一个用处是计算否定域 
    > qnorm(0.5)
[1] 0
> qnorm(0.9031)
[1] 1.29942

> qnorm(0.025)    #显著性水平为0.05，拒绝域(-1.95,1.95)
[1] -1.959964

    用随机数理解，如果随机抽取，90%的数在

    到值q(0.9)之间， 
    > qnorm(0.9)
[1] 1.281552

> sum(rnorm(1e5)<1.281552)/1e5
[1] 0.90048

    1.退化分布；2.伯努利分布；3.Categorical 分布；4.二项分布；5.多项分布；6.中餐馆分布

    7.泊松分布；8.几何分布；9.超几何分布；10.负二项分布（又称巴斯卡分布)；11.正态分布；

    12.均匀分布；13.指数分布；14.卡方分布；15.t分布；16.F分布；17.柯西分布；

    18.Gamma分布；19.beta分布；20.对数正态分布；21.Weibull分布；22.逻辑分布；23.狄利克雷分布；

    1.退化分布(degenerate distribution)

    [1]基本

    • 密度函数

    随机变量值只取常数

    。事实上它并不随机，但把它看作随机变量的退化情况，因此称为退化分布。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    2.伯努利分布

    [1]基本

    随机变量只取0或1，表示事件不发生或发生，也可以说是事件发生0次或发生1次

    • 密度函数

    为随机变量，
    为该分布的参数。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    3.Categorical分布

    [1]基本

    伯努利分布为一次只有两种可能结果{0,1}的试验，Categorical 分布可以有多种可能{1,2,...,K}。

    • 密度函数

    d58e70b0c18479247667f3a4e9074a40.png
    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    4.二项分布

    [1]基本

    也称为

    重伯努利分布，某伯努利事件成功的概率为
    ，重复进行
    次伯努利事件，成功的次数为
    的概率。随机变量为
    ，可取
    • 密度函数

    画个密度图看看，

    k = 0:15      #随机变量
p = dbinom(k,15,0.7)   #15重伯努利，成功概率取0.7
plot(k,p)

    ac1eb6fd80969c91e7c26cabab605ed4.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.几个二项式系数的关系式

    14fcf61d3990ddfe09ca403f7ae8a8f4.png

    2b8804e3a954b381a3c13c7a1ceb2349.png

    81b219c28c03f9fb2917d24aad3b9b52.png

    4f910e5e5a2d976fb0678c6f95022c5c.png

    2.二项分在

    时近似为正态分布 
    k = 0:100     
p = dbinom(k,100,0.4)   
plot(k,p)

    be91ffae2bd9959ea6e7365c8c984749.png

    5.多项分布(Multinomial Distribution)

    [1]基本

    也可以进行多次Categorical 分布试验，Categorical 分布的事件用

    表示，对应的概率为
    ，进行
    次试验（每次都会发生
    中的一个）各个事件发生的次数为
    ，注意有
    ，概率为，
    • 密度函数

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.从离散分布抽iid的样本，样本发生的概率都可以看作是多项分布。多项分布在推导皮尔逊卡方定理、列联表的卡方检验都有用到。是一个重要且很有用的分布。

    6.中餐馆分布（Chinese restaurant process CRP ）

    这是本专栏中“狄利克雷过程和中餐馆过程”的部分内容，里面同时也说明了该分布的用处。

    多次伯努利分布（每次试验只有两种结果）得到二项分布，多次Categorical 分布（每次试验有K种结果）得到多项分布。进一步考虑。如果每次试验有无穷种可能结果，进行多次试验又会如何。

    [1]基本

    把过程想象成客人进入餐馆就坐的过程，餐馆中有无穷个桌子。每一次试验相当于一个客人选择一个桌子坐下。

    c88fcd9c157833a83ec2306bd567979a.png

    圆圈表示餐桌，数字表示客人，1号客人选择了第一个餐桌，4号客人选择了第3个餐桌。

    看看上图发生的概率，

    首先所有桌都没人，1号进入直接坐在1桌；

    2号进入，分别以概率

    坐在1桌和一个新的空桌，结果是坐在了1桌；

    3号进入，分别以概率

    坐在1桌和一个新空桌，结果坐在了一个新空桌2桌；

    ...

    8号进入，分别以概率

    分别为进入第1,2,3,4个桌和一个新空桌的概率，结果坐在了3桌；

    故上图发生的概率为，

    • 概率密度函数

    关于这个概率的计算前人早就算好了，

    867398e0147a141349ae973b50ce16cc.png

    A是

    ，
    为第
    类的数量，即坐在第k个桌的人数，
    当前非空的桌数量。 
    library(nimble)

> rCRP(n=1, conc = 2, size=15)     #alpha也称concentration，即这里的conc参数。15个客人
 [1] 1 2 3 1 1 4 5 1 5 1 3 4 1 1 1
> rCRP(n=1, conc = 2, size=15)    #该函数目前只能一次产生一个随机样本，即 n 只能为1
 [1] 1 2 2 2 3 4 3 2 2 3 2 5 5 3 6
> rCRP(n=1, conc = 2, size=15) 
 [1] 1 2 1 3 1 4 4 2 4 4 2 4 1 4 4
> rCRP(n=1, conc = 2, size=15)
 [1] 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
#可以看到有时分为5类，有时分为6类，有时分为4类，...

z = c(1,1,2,3,1,3,4,3)
dCRP(z, conc = 1, size=8)  #这里看看上面例子发生的概率。注意size要和z的长度值相等
[1] 9.920635e-05

    从上面的分析可知

    越大，客人坐到空桌的概率越大
    ，也就
    参数越大，上面产生随机样本时类越多。

    如果已知c(1,1,2,3,1,3,4)，看上面可以算出

    条件概率分布，懒得自己编程，也可以利用dCRP()函数和关系
    计算， 
    a = c()

for(i in 1:5){
  
  z7 = c(1,1,2,3,1,3,4)
  z8 = c(1,1,2,3,1,3,4,i)
  a = c(a,dCRP(z8, conc = 1, size=8)/dCRP(z7, conc = 1, size=7))
}

> a    #即已知前7个情况，第8个客人选择各个餐桌的概率
[1] 0.375 0.125 0.250 0.125 0.125

    这里有一个问题是dCRP()可能会很小，看上面size=8时会计算出9.920635e-05，如果size更大概率会更小使得R语言认为该值为0，导致除法没法算，方法自然是计算时使用概率的对数值，dCRP()设置参数log即可，

    > dCRP(z1, conc = 1, size=400)   #z1的size=400，即试验了400次
[1] 0

> dCRP(z1, conc = 1, size=i,log=1)  #实际计算时，应该注意这个值为概率对数值
[1] -922.6469

    其实可以看到R语言里面很多计算概率的函数都会设置log这个参数，也是预防这个问题。

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    7.泊松分布(

    )

    [1]基本

    泊松分布起初是作为二项分布的近似引出的。当二项分布中

    很大（计算
    困难），而
    很小时，取
    ，有
    ，其中
    。
    • 密度函数

    为随机变量，可取0, 1, 2, ...

    密度图，

    k = 0:20    #随机变量取值，可取到无穷大，这里只取到20
p = dpois(k,0.8)
plot(k,p)

    fbb5b44a44f00809c3a1891e2689c828.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.这个分布的期望方差相等

    2.极限分布(

    )为正态分布

    画个 图看看，

    k = 0:50
p = dpois(k,20)  #lambda = 20
plot(k,p)

    fb9830c2c67496c4dec60fe46bf9911b.png

    [3]为何要引入泊松分布来近似二项分布

    5e79e49cb73cb4e220d948450f373714.png

    [4]泊松分布也可以不由二项分布推出来，而由一些条件独立于二项分布推出来

    4453b7d220bb480962499d1c8d2f71f6.png

    53a26e22721e5d027a0fdc4b7ebde4f2.png

    d521d7601b97b13555d1601edb057f51.png

    19190b71f9a812668ac46e439b914adc.png

    [5]广义泊松分布

    泊松分布的期望和方差值相等是一个特点，也是一个很强的限制，然而现实生活中大多数据是不符合期望方差相等的，于是创建一个不限制期望方差相等的离散分布。

    389fdf2c73eeb7fde27bc3a54d45aa85.png

    对应期望方差，

    9e3708b6c6705e97a8593736a2482ee8.png

    时就回到了一般的泊松分布。

    8.几何分布

    [1]基本

    进行多次伯努利试验，直到第

    ​次才首次成功的概率，​
    为随机变量可取1，2，...
    • 密度函数

    概率密度图，

    k = 0:50      #注意，随机变量确实应该从1开始，但R语言中k=0，实际是+1后再代入计算
p = dgeom(k,0.3)  #在使用rgeom()产生的随机数也是从0开始，应+1
plot(k,p)

    b06dd3d4ae3d79380a4c9d8ad13fd4a2.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.无记忆性

    ​表示首次成功时的已经试验的次数。一种情况是第​
    次首次成功，概率为
    ；另一种情况，前​次
    没有成功，那么再试验​
    次首次成功的概率为
    。再试验​
    次和直接试验​
    次概率相同，好像前​
    次没有发生，称为无记忆性。只有几何分布有这种无记忆性。

    9.超几何分布

    [1]基本

    一批产品共有

    个，次品共有
    个，从中抽取
    个，则次品
    为个的概率。然而，一般是无法提前知道一批产品中共有多少次品。
    • 密度函数

    a9bc4fe339d95d7f0781a668d5c51938.png

    随机变量为

    ，可取0, 1, 2, ...,

    密度图，

    k1 = 0:8
p = dhyper(k1,m=10,n=30,k=8)  #产品中次品10个，好品30个，每次抽8个
plot(k1,p)

    ab6b790404a8314bdabb0c73d236a30c.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    3e6ceae519f1e161ed0876315ca0cb23.png

    [2]重要性质

    10.负二项分布（又称巴斯卡分布)

    [1]基本

    多重伯努利事件中，已知成功​

    次，则达成成功​
    次时的试验次数为
    ​的概率，第​
    次试验刚好达到第​
    次成功。随机变量为试验次数
    ​。如，要成功3次，进行5次试验就出现第3次成功的概率
    • 密度函数

    e210eb542d117f42c79ef289b1cdfe26.png 
    k1 = 0:10   #计算时，会自动 k1+4 ，于是随机变量取值为，4,5,...,14
p = dnbinom(k1,size=4,prob=0.3)  #伯努利试验成功的概率为0.3，需要成功4次
plot(k1,p)

    de4b643a6da8b3c8a8874143de62b2ce.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    800c895ac0270d734d4e971fef151b73.png

    [2]重要性质

    1.期望方差的计算：

    巴斯卡分布

    是重复独立试验（成功概率
    ）中成功
    次所需要的试验次数 可以把它分解为
    ，其中
    为在前一次成功后，再成功一次所需要的试验次数，
    服从几何分布,期望为
    ，方差是
    。得，

    “ 常用概率分布总结(2)”接其它分布。

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  • 几何分布定义

     2022-04-02 16:44:41
    几何分布定义

    在伯努利试验中，记每次试验中A事件发生的概率P（A）=p（0<p<1），设随机变量X表示A事件首次出现时已经试验的次数，则X的取值为1，2，…，n，…，相应的分布律为

    P(X=k)=p(1-p)^{k-1},0<p<1,k=1,2,...,n,....

    P（X=k）=p（1-p）k-1，0<p<1，k=1，2，…，n，…．

    称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为X~Ge（p）．几何分布也是一种常用的离散型分布，例如：

    （1）抛掷一枚均匀的骰子，首次出现6点时的投掷次数X~Ge（1/6）

    （2）投篮首次命中时投篮的次数X~Ge（p），p为每次投篮时的命中率；

    （3）任课教师每次上课随机抽取10%的学生签到，某位学生首次被老师要求签到时已经开课次数X~Ge（0.1）．

    负二项分布是几何分布的一个延伸．在伯努利试验中，记每次试验中A事件发生的概率P（A）=p（0<p<1），设随机变量X表示A事件第r次出现时已经试验的次数，则X的取值为r，r+1，…，r+n，…，相应的分布律为

    P(X=k)=C_{r-1}^{k-1}p^r(1-p)^{k-r},0<p<1,k=r,r+1,...,r+n,....

    称随机变量X服从参数为r，p的负二项分布，记为X~NB（r，p）．其中当r=1时，即为几何分布．

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    　这个分布就是几何分布（Geometric distribution），X服从几何分布，记为X～GE(p)。 　下面的python代码展示了r取不同值时的P(X=r)。 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy ...
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    公式推导

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