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  • 几何分布和超几何分布

    千次阅读 2012-10-11 09:34:31
    1)超几何分布的模型是不放回抽样 2)超几何分布中的参数是M,N,n X ~ H (n,M,N) 例 N个球 有M个黑球 取 n个黑球  则 EX = nM/N 2. 有放回的期望也是 nM/N 3. 一个口袋里有5个白球

    1. 在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=m

    则.此时我们称随机变量X服从超几何分布

    1)超几何分布的模型是不放回抽样

    2)超几何分布中的参数是M,N,n

    X ~ H (n,M,N) 例 N个球 有M个黑球 取 n个黑球 

    则 EX = nM/N


    2. 有放回的期望也是   nM/N




    3. 一个口袋里有5个白球2和黑球。摸到一个黑球放回,摸到白球就停止。求取球的次数的期望。


    设取球k次时摸到白球,则概率是(1-5/7)^(k-1) * 5/7


    取球次数的期望是1/ (5/7) = 7/5


    4. a只黑球,b只白球。一只一只的摸出球,不放回。第k次摸到黑球的概率。k<=a+b。


    第m次,m< k,也可能摸到黑球。

    p = a/(a+b)

    期望是?




    http://wenku.baidu.com/view/1faa30791711cc7931b716b9.html

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  • 伯努利随机变量、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布导语 对于任何一个学习概率论的童鞋来说,各种分布都是很头痛的一件事情,本篇主要讨论的是离散型随机变量.伯努利分布 伯努利分布就是我们常见的0-1分布...

    导语

           对于任何一个学习概率论的童鞋来说,各种分布都是很头痛的一件事情,本篇主要讨论的是离散型随机变量.

    伯努利分布

           伯努利分布就是我们常见的0-1分布,即它的随机变量只取0或者1,各自的频率分别取1pp,当x=0或者x=1时,我们数学定义为:

    p(x)=px(1p)1x

           其它情况下p(x)=0,伯努利分布是一个非常好理解的分布,也是很多其它分布的基础。

    离散型随机变量期望:E(x)=xp(x)
    方差:D(x)=E(x2)E2(x)

           对于伯努利分布来说,E(x)=1p+0(1p)=p,D(x)=12pp2=p(1p)

    二项分布

           二项分布是这样一种分布,假设进行n次独立实验,每次实验“成功”的概率为p,失败的概率为1p,所有成功的次数X就是一个参数为np的二项随机变量.数学公式定义为:

    p(k)=(nk)pk(1p)nk

           二项分布公式基于伯努利分布得到,因为二项分布中每项实验都是独立的,因此每一次实验都是一次伯努利实验,在n次实验中,成功k次,排列方式有(nk)种,根据乘法原理,即可得到二项分布的公式。

    话外:对于均值和方差的计算,Xi是标准的伯努利分布,总发生次数X=n1Xi,所以E(X)=E(n1Xi)=n1E(Xi)=np,同理方差D(x)=n1D(Xi)=np(1p)

    几何分布和负二项分布

           这是一个比较简单的分布,其中负二项分布是几何分布的一般形式,几何分布与二项分布类似,也是由n次伯努利分布构成,随机变量X表示第一次成功所进行试验的次数,则

    p(k)=P(X=k)=p(1p)k1,k=1,2,3,...

           负二项分布是几何分布的一般形式,表示直到成功r次停止,显而易见,当r=1时,它就是几何分布,则
    P(X=k)=(k1r1)pr(1p)kr

    关于几何分布的期望与方差,E(X)=1/pD(x)=(1p)/p2,关于期望的证明,E(X)=n=1npqn1=pn=1(qn)=p(n=1qn)=1/p,方差证明与期望证明类似,不再赘述…

    超几何分布

           非常常见的一种分布,常用来表示在N个物品中有指定商品M个,不放回抽取n个,抽中指定商品的个数,即X~H(N,n,M),则抽中k件的概率为:

    p(k)=P(X=k)=(Mk)(NMnk)(Nn)

           实际应用中超几何分布例子很多,比如彩票开奖你所符合的数字个数等。

    泊松分布

           泊松分布是离散型随机变量分布中相对较难的一种,泊松频率函数定义为:

    P(X=k)=λkeλk!k=0,1,2,3,...

           泊松分布是二项分布的极限形式,可有二项分布概率公式推导得出,其中λ=np,当n>>p时,
    p(k)=(nk)pk(1p)nk=n!pk(1p)nkk!(nk)!=n!(λn)k(1λn)nkk!(nk)!=λkk!n!(nk)!k!(1λn)n(1λn)k

    n->时,λn->0,n!(nk)!k!->1,(1λn)n->eλ(1λn)k->1,所以
    p(k)>λkeλk!

    泊松分布的期望和方差均为λ,证明过程严格按照定义即可,注意在证明过程中使用到了eλ

           泊松分布主要用来研究单位时间或单位空间内某时间的发生次数,同时事件的发生必须是相互独立的,比如单位时间内通过某一交通灯的车辆数等。λ大概等于20时,泊松分布基本可以近似为正态分布进行处理。
           泊松分布用来衡量事件的稳定性是一个不错的方法,再配合一些统计学上的检验方法,能够做很多东西,在之后的连续型随机变量中,有一种分布叫指数分布,它与泊松分布密不可分,可由泊松分布推导出…..敬请期待.

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  • 伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布都是离散型随机变量。 1 伯努利分布:就是常见的0-1 分布,各自的频率为1-p和p ,当x=0 或者x=1 的时候,: p(x) = 期望: 方差: 对于伯努利分布来说 ,...

    伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布都是离散型随机变量。

    1 伯努利分布:就是常见的0-1 分布,各自的频率为1-p和p ,当x=0 或者x=1 的时候,:

    p(x) =

    期望:   方差: 

    对于伯努利分布来说 ,期望

    2 二项分布:

    假设·n次独立实验,每次实验成功的概率为p,所有成功的次数X就是一个参数为n和p的二项随机变量,数据公式为:

    二项分布的每一次实验都是伯努利分布,n次实验,成功k次,排列方式有种。

    总发生次数,,均值:,方差:

     

    3 几何分布和二项分布:

    负二项分布是几何分布的一般形式,与二项分布类似,也是有n次伯努利分布构成,随机变量X 表示第一次成功所进行试验的次数:

    p(k)=P(X=k)=,k=1,2,3,...

    负二项分布是几何分布的一般形式,表示直到成功r次停止,显而易见,当r=1 的时候,它就是几何分布:

    几何分布的期望和方差

    4 超几何分布:

    常用来表示N个物品中有指定商品M个,不放回抽取n个,抽中指定商品的个数,即X-H(N,n,M) 则抽中k件的概率为:

    5 泊松分布:

    频率函数定义为,k=0,1,2,3,...

    泊松分布是二项分布的极限形式。

     

     

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  • 文章目录概率分布1、离散概率分布1.1、两点分布2.2、 二项分布1.3、几何分布1.4、超几何分布1.5、泊松分布2、连续概率分布2.1、均匀分布2.2、正太分布2.3、beta分布2.4、柯西分布3、参考资料 概率分布 1、离散概率...

    概率分布
    概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律,包括连续分布和离散分布。
    下面作了这些概率分布的一个思维导图。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    概率分布

    1、离散概率分布

    1.1、两点分布

    意义:指的是一次实验中有两个事件,成功或者失败,出现的概率记为p,1-p。
    分布律:


    在这里插入图片描述

    数字特征:

    在这里插入图片描述

    举例:比如一个口袋中有十个球,其中红球3个,白球7个,问从中取到红球的概率?
    f=0.31 ×0.70=0.3

    2.2、 二项分布

    意义:两点分布独立重复n次,则实验成功的次数服从一个参数为(n,p)的二项分布
    分布律:

    在这里插入图片描述
    或者在这里插入图片描述

    数字特征:


    在这里插入图片描述

    举例:比如一个口袋中有100个球,其中红球30个,白球70个,重复有放回地取30次,其中有10次取到红球的概率?
    f=C3010 (0.3)10*(0.7)20

    1.3、几何分布

    其中一种定义为:在n次伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说是:前k-1次皆失败,第k次成功的概率。
    分布律:


    在这里插入图片描述

    数字特征:


    在这里插入图片描述

    举例:比如一个口袋中有100个球,其中红球30个,白球70个,第10次取到红球的概率?
    f=0.3×0.79

    1.4、超几何分布

    定义:它描述了从有限N个物件中抽出n个物件,成功抽出该指定种类的物件的次数
    在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,则


    在这里插入图片描述

    数字特征:


    在这里插入图片描述

    1.5、泊松分布

    泊松分布是经济生活中一种非常重要的分布形式,在生活中有很多应用,如:物料订单的规划,道路交通信号灯的设计,生产计划的安排,海港发货船期的调度。
    分布律:

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    数字特征


    在这里插入图片描述

    例子:
    1、通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p=0.0001,假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口,则求此时间段内发生交通事故次数X的概率分布。

    通过路口的1000辆车是否发生交通事故,可以看成n=1000次伯努利试验,所以X服从二项分布,由于n=1000很大,p=0.0001很小,且np=0.1,所以X服从泊松分布,


    在这里插入图片描述

    此段时间内发生两次交通事故为:


    在这里插入图片描述

    2、连续概率分布

    2.1、均匀分布

    在概率论和统计学中,均匀分布也叫矩形分布,它是对称概率分布,在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义,它们是数轴上的最小值和最大值,通常缩写为U(a,b)
    密度函数:


    在这里插入图片描述

    数字特征:


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    例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900ΩΩ~ 1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。
    解:R的概率密度为


    在这里插入图片描述

    因此:


    在这里插入图片描述

    2.2、正太分布

    正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布。
    若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布,记为N(μ, σ2)。
    其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。
    当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
    密度函数:


    在这里插入图片描述

    数字特征


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    正太曲线的性质:
    在这里插入图片描述

    2.3、beta分布

    贝塔分布(Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数。
    在概率论中,贝塔分布,也称Β分布,是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。

    我们先来举个例子,一个袋子里面有很多球,我们不知道球的个数只知道球的颜色(红,白),我们现在从中取出一个球(二次实验),根据先验经验我们猜测红白概率为(0.5,0.5),服从两点分布。那么我们开始有放回地从中抽取100次(多次二项试验),得到红球为70次,黄球为30次,这时候我们又重新猜测红白概率(0.7,0.3)。那么如果我们再将上面试验做150次,即重复150次的多次二次实验,最后得到红白概率为{0.7,0.3}这样概率为多少?这就是beta分布。

    函数密度:


    在这里插入图片描述

    数字特征:


    在这里插入图片描述

    2.4、柯西分布

    柯西分布主要应用于物理中,它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中,它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
    密度函数:


    在这里插入图片描述
    数字特征:均值和方差不存在

    2.5、卡方分布

    若n个相互独立的随机变量ξ₁,ξ₂,…,ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布

    密度函数:


    在这里插入图片描述

    数字特征:


    在这里插入图片描述

    3、参考资料

    https://wenku.baidu.com/view/142ccef848d7c1c708a145e3.html
    https://wenku.baidu.com/view/8133c0056edb6f1aff001f1c.html
    https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9341681.html
    https://wenku.baidu.com/view/2b4c13730242a8956bece4e9.html

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