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  • 2021-02-26 11:00:48

    几何分布

    几何分布用于描述这种分布:独立事件的结果只有2个:”1和0“ 或”成功和失败“等,成功的概率为 p p p, 失败的概率为 q = 1 − p q=1-p q=1p; 第r次成功的概率为
    P ( X = r ) = p ⋅ q r − 1 P(X=r)=p\cdot q^{r-1} P(X=r)=pqr1

    即用来描述进行多次伯努利事件,第1次成功次数的概率;换句话说每一次事件都有成功和失败的可能,所关心的是第一次成功的概率或取得第一次成功需要试验的次数。

    期望 E ( X ) = 1 p \displaystyle E(X)=\frac {1}{p} E(X)=p1

    方差 D ( X ) = E ( X − E ( X ) ) = p q 2 \displaystyle D(X)=E(X-E(X)) = \frac {p}{q^2} D(X)=E(XE(X))=q2p

    由几何分布密度函数可以得出第1, 2, 3, … , k,k+1, …发生的概率为比例系数为q的等比数列,即:

    p ,   p q ,   p q 2 ,   . . . , p q k − 1 ,   p q k ,   . . . p,\ pq, \ pq^2,\ ..., pq^{k-1}, \ pq^k, \ ... p, pq, pq2, ...,pqk1, pqk, ...

    P ( X = k + 1 ) P ( X = k ) = q \displaystyle \frac {P(X=k+1)}{P(X=k)}=q P(X=k)P(X=k+1)=q

    一种说法是等比数列又被称为几何数列,故该分布称为几何分布。

    性质

    1. 任何几何分布的众数为1, 看似违反直觉,但第1次成功的概率最大

    2. 大于r次成功的概率,即前r次均失败,为 P ( X > r ) = q r \large P(X>r)=q^r P(X>r)=qr

    3. 小于等于r次成功的概率,即 P ( X ) ≤ 1 − q r \large P(X)\le 1-q^r P(X)1qr, 其实就是等比数列求和:
      P ( X ≤ r ) = ∑ n = 0 r p ⋅ q n − 1 = p ( 1 − q r ) 1 − q = 1 − q r \large P(X\le r) = \sum_{n=0}^r{p\cdot q^{n-1}=\frac{p(1-q^r)}{1-q}} = 1-q^r P(Xr)=n=0rpqn1=1qp(1qr)=1qr

    举例

    掷色子,1-6点的概率均为1/6,掷出1点算赢,其它点算输,记 X为第一次掷出赢的次数,则:

    P ( X = r ) = p q r − 1 \Large P(X=r)=pq^{r-1} P(X=r)=pqr1

    其中p为1/6, q为5/6。

    scipy.stats 中有geom模块,可以方便的计算各种参数:

    """po = stats.poisson(mu) 	#用于构造均值与μ的泊松分布;
    po.pmf(k, mu, loc=0) 	# Probability mass function. 概率质量函数;
    po.cdf(k, mu, loc=0) 	#Cumulative distribution function.累积分布函数;
    po.ppf(q, mu, loc=0)	# Percent point function 百分点函数(cdf的倒数-百分位数)。
    """
    p=1./6
    N=20
    x=np.arange(N+1)
    po = stats.geom(p)		#构造发生概率为p的几何分布
    pm = po.pmf(x)			#计算第1次发生次数的概率
    # 图形
    fig = plt.figure()
    ax = plt.gca()
    line1 = ax.stem(x,pm,basefmt='k',label='第1次掷出1点概率');
    ax.set_xlabel('随机变量:掷出1点的次数');
    ax.set_ylabel('发生概率');
    ax.set_title('几何分布:p=1/6');
    
    ax2=plt.twinx()
    y=po.cdf(x)				#计算第1次时间发生的累积分布概率
    line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
    ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
    ax.legend(loc=(0.65,0.8));
    ax2.legend(loc=(0.65,0.7))
    

    在这里插入图片描述

    # 打印累积发生概率大于等于50%的次数
    po.ppf(0.5)
    

    输出为:4.0 。

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  • 几何分布(一种离散分布)

    千次阅读 2022-02-16 10:48:50
    几何分布 几何分布是伯努利分布的推广,不断重复伯努利试验,直到首次成功为止,随机变量XXX表示首次成功时已经完成的试验次数,我们称 XXX 是一个服从几何分布的随机变量 截图来源:Geometric distribution ...

    几何分布

    几何分布是伯努利分布的推广,不断重复伯努利试验,直到首次成功为止,随机变量 X X X表示首次成功时已经完成的试验次数,我们称 X X X 是一个服从几何分布的随机变量

    适用情况举例

    实际中有不少随机变量服从几何分布,譬如,某产品的不合格率为0.05,则首次查到不合格品的检查次数 X ~ Geom ( 0.05 ) X ~ \text{Geom}(0.05) XGeom(0.05) 【引用自:几何分布

    截图来源:Geometric distribution



    截图来源:几何分布

    第一种情况对应上面第一种几何分布、第二种情况对应上面第二种几何分布

    截图来源:Geometric distribution

    我们这里介绍的是第一种几何分布


    均值和方差
    我们用 μ X \mu_X μX 表示均值
    第一轮试验:第一次试验成功,成功概率为 p p p,已经完成的试验次数 X = 1 X=1 X=1,此轮试验的期望 1 ⋅ p 1\cdot p 1p
    第二轮试验:第一次试验失败,已经完成试验次数 X = 1 X=1 X=1,期望为 1 ⋅ ( 1 − p ) 1\cdot (1-p) 1(1p),试验重新开始,前 E [ X ] E[X] E[X] 次试验失败,失败概率 1 − p 1-p 1p,已经完成的试验次数 X = E [ X ] X=E[X] X=E[X],期望约为 E [ X ] ( 1 − p ) E[X](1-p) E[X](1p)
    第二轮试验的期望 1 ⋅ ( 1 − p ) + E [ X ] ( 1 − p ) = ( E [ X ] + 1 ) ( 1 − p ) = E [ 1 + X ] ( 1 − p ) 1\cdot (1-p)+E[X](1-p)=(E[X]+1)(1-p)=E[1+X](1-p) 1(1p)+E[X](1p)=(E[X]+1)(1p)=E[1+X](1p)
    其中 E [ 1 + X ] E[1+X] E[1+X]代表第一次试验失败,试验重新开始后,试验 E [ X ] E[X] E[X]次失败

    E [ X ] = 1 ⋅ p + E [ X + 1 ] ( 1 − p )   p E [ X ] = 1   μ X = E [ X ] = 1 p E[X]=1\cdot p+E[X+1](1-p)\\ ~\\ pE[X]=1\\ ~\\ \mu_X=E[X]=\frac{1}{p} E[X]=1p+E[X+1](1p) pE[X]=1 μX=E[X]=p1

    E [ X 2 ] = 1 ⋅ p + E [ ( 1 + X ) 2 ] ( 1 − p )   E [ X 2 ] = p + ( 1 + 2 E [ X ] + E [ X 2 ] ) ( 1 − p )   E [ X 2 ] = 1 + 2 ( 1 − p ) E [ X ] p   Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = 1 − p p 2 E[X^2]=1\cdot p+E[(1+X)^2](1-p)\\ ~\\ E[X^2]=p+(1+2E[X]+E[X^2])(1-p)\\ ~\\ E[X^2]=\frac{1+2(1-p)E[X]}{p}\\ ~\\ \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2=\frac{1-p}{p^2} E[X2]=1p+E[(1+X)2](1p) E[X2]=p+(1+2E[X]+E[X2])(1p) E[X2]=p1+2(1p)E[X] Var=E[X2]E[X]2=p21p

    例子:

    截图来源:Geometric distribution

    展开全文
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    老是记不住各种分布及其意义,每次用时,回查各个课本资料也很麻烦,一些分布的重要性质也是各处散布,经常找不到,故这里做个总结,当作个资料卡用。

    内容有各种常见概率分布,一般会写含义、密度函数形式、期望、方差、特征函数,其它性质感觉重要就添加(有趣但感觉没什么用的不会添加)。

    先介绍下在R中的使用随机数,密度函数,分布函数,分位函数的命令,使用正态分布为示例。以下不做说明均是使用 R 语言。

    • 随机数

    从服从某种分布的总体中抽出样本

    > rnorm(5)
    [1]  0.2858567 -0.7578348  0.6322224  0.6289619 -0.6743083
    • 概率密度函数(probability density function pdf)

    分布的概率密度函数值

    。有时直接称密度函数。
    > dnorm(0)
    [1] 0.3989423
    > dnorm(3.2)
    [1] 0.002384088

    使用这个函数就可以画出概率密度函数图,

    x = seq(-5,5,by=0.01)
    y = dnorm(x)
    plot(x,y)

    2f8f0df890a1bc86d0892efb0a5ffa34.png
    • 累积分布函数(cumulative distribution function cdf)

    含义为对pdf的积分函数

    。有时直接称分布函数。
    > pnorm(0)
    [1] 0.5
    > pnorm(1.3)
    [1] 0.9031995
    > pnorm(3.6)
    [1] 0.9998409
    • 分位函数

    cdf的反函数,从pdf理解更简单,pdf下方总的面积为1,q(0.9)表示从

    到值q(0.9)处,累积概率为0.9。显然这个函数一个用处是计算否定域
    > qnorm(0.5)
    [1] 0
    > qnorm(0.9031)
    [1] 1.29942
    
    > qnorm(0.025)    #显著性水平为0.05,拒绝域(-1.95,1.95)
    [1] -1.959964

    用随机数理解,如果随机抽取,90%的数在

    到值q(0.9)之间,
    > qnorm(0.9)
    [1] 1.281552
    
    > sum(rnorm(1e5)<1.281552)/1e5
    [1] 0.90048

    1.退化分布;2.伯努利分布;3.Categorical 分布;4.二项分布;5.多项分布;6.中餐馆分布

    7.泊松分布;8.几何分布;9.超几何分布;10.负二项分布(又称巴斯卡分布);11.正态分布;

    12.均匀分布;13.指数分布;14.卡方分布;15.t分布;16.F分布;17.柯西分布;

    18.Gamma分布;19.beta分布;20.对数正态分布;21.Weibull分布;22.逻辑分布;23.狄利克雷分布;

    1.退化分布(degenerate distribution)

    [1]基本

    • 密度函数

    随机变量值只取常数

    。事实上它并不随机,但把它看作随机变量的退化情况,因此称为退化分布。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    2.伯努利分布

    [1]基本

    随机变量只取0或1,表示事件不发生或发生,也可以说是事件发生0次或发生1次

    • 密度函数

    为随机变量,
    为该分布的参数。
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    3.Categorical分布

    [1]基本

    伯努利分布为一次只有两种可能结果{0,1}的试验,Categorical 分布可以有多种可能{1,2,...,K}。

    • 密度函数

    d58e70b0c18479247667f3a4e9074a40.png
    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    4.二项分布

    [1]基本

    也称为

    重伯努利分布,某伯努利事件成功的概率为
    ,重复进行
    次伯努利事件,成功的次数为
    的概率。随机变量为
    ,可取
    • 密度函数

    画个密度图看看,

    k = 0:15      #随机变量
    p = dbinom(k,15,0.7)   #15重伯努利,成功概率取0.7
    plot(k,p)

    ac1eb6fd80969c91e7c26cabab605ed4.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.几个二项式系数的关系式

    14fcf61d3990ddfe09ca403f7ae8a8f4.png

    2b8804e3a954b381a3c13c7a1ceb2349.png

    81b219c28c03f9fb2917d24aad3b9b52.png

    4f910e5e5a2d976fb0678c6f95022c5c.png

    2.二项分在

    时近似为正态分布
    k = 0:100     
    p = dbinom(k,100,0.4)   
    plot(k,p)

    be91ffae2bd9959ea6e7365c8c984749.png

    5.多项分布(Multinomial Distribution)

    [1]基本

    也可以进行多次Categorical 分布试验,Categorical 分布的事件用

    表示,对应的概率为
    ,进行
    次试验(每次都会发生
    中的一个)各个事件发生的次数为
    ,注意有
    ,概率为,
    • 密度函数

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.从离散分布抽iid的样本,样本发生的概率都可以看作是多项分布。多项分布在推导皮尔逊卡方定理、列联表的卡方检验都有用到。是一个重要且很有用的分布。

    6.中餐馆分布(Chinese restaurant process CRP )

    这是本专栏中“狄利克雷过程和中餐馆过程”的部分内容,里面同时也说明了该分布的用处。

    多次伯努利分布(每次试验只有两种结果)得到二项分布,多次Categorical 分布(每次试验有K种结果)得到多项分布。进一步考虑。如果每次试验有无穷种可能结果,进行多次试验又会如何。

    [1]基本

    把过程想象成客人进入餐馆就坐的过程,餐馆中有无穷个桌子。每一次试验相当于一个客人选择一个桌子坐下。

    c88fcd9c157833a83ec2306bd567979a.png

    圆圈表示餐桌,数字表示客人,1号客人选择了第一个餐桌,4号客人选择了第3个餐桌。

    看看上图发生的概率,

    首先所有桌都没人,1号进入直接坐在1桌;

    2号进入,分别以概率

    坐在1桌和一个新的空桌,结果是坐在了1桌;

    3号进入,分别以概率

    坐在1桌和一个新空桌,结果坐在了一个新空桌2桌;

    ...

    8号进入,分别以概率

    分别为进入第1,2,3,4个桌和一个新空桌的概率,结果坐在了3桌;

    故上图发生的概率为,

    • 概率密度函数

    关于这个概率的计算前人早就算好了,

    867398e0147a141349ae973b50ce16cc.png

    A是

    为第
    类的数量,即坐在第k个桌的人数,
    当前非空的桌数量。
    library(nimble)
    
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)     #alpha也称concentration,即这里的conc参数。15个客人
     [1] 1 2 3 1 1 4 5 1 5 1 3 4 1 1 1
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)    #该函数目前只能一次产生一个随机样本,即 n 只能为1
     [1] 1 2 2 2 3 4 3 2 2 3 2 5 5 3 6
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15) 
     [1] 1 2 1 3 1 4 4 2 4 4 2 4 1 4 4
    > rCRP(n=1, conc = 2, size=15)
     [1] 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
    #可以看到有时分为5类,有时分为6类,有时分为4类,...
    
    z = c(1,1,2,3,1,3,4,3)
    dCRP(z, conc = 1, size=8)  #这里看看上面例子发生的概率。注意size要和z的长度值相等
    [1] 9.920635e-05

    从上面的分析可知

    越大,客人坐到空桌的概率越大
    ,也就
    参数越大,上面产生随机样本时类越多。

    如果已知c(1,1,2,3,1,3,4),看上面可以算出

    条件概率分布,懒得自己编程,也可以利用dCRP()函数和关系
    计算,
    a = c()
    
    for(i in 1:5){
      
      z7 = c(1,1,2,3,1,3,4)
      z8 = c(1,1,2,3,1,3,4,i)
      a = c(a,dCRP(z8, conc = 1, size=8)/dCRP(z7, conc = 1, size=7))
    }
    
    > a    #即已知前7个情况,第8个客人选择各个餐桌的概率
    [1] 0.375 0.125 0.250 0.125 0.125

    这里有一个问题是dCRP()可能会很小,看上面size=8时会计算出9.920635e-05,如果size更大概率会更小使得R语言认为该值为0,导致除法没法算,方法自然是计算时使用概率的对数值,dCRP()设置参数log即可,

    > dCRP(z1, conc = 1, size=400)   #z1的size=400,即试验了400次
    [1] 0
    
    > dCRP(z1, conc = 1, size=i,log=1)  #实际计算时,应该注意这个值为概率对数值
    [1] -922.6469

    其实可以看到R语言里面很多计算概率的函数都会设置log这个参数,也是预防这个问题。

    • 期望
    • 方差
    • 特征函数

    [2]重要性质

    7.泊松分布(

    )

    [1]基本

    泊松分布起初是作为二项分布的近似引出的。当二项分布中

    很大(计算
    困难),而
    很小时,取
    ,有
    ,其中
    • 密度函数

    为随机变量,可取0, 1, 2, ...

    密度图,

    k = 0:20    #随机变量取值,可取到无穷大,这里只取到20
    p = dpois(k,0.8)
    plot(k,p)

    fbb5b44a44f00809c3a1891e2689c828.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.这个分布的期望方差相等

    2.极限分布(

    )为正态分布

    画个 图看看,

    k = 0:50
    p = dpois(k,20)  #lambda = 20
    plot(k,p)

    fb9830c2c67496c4dec60fe46bf9911b.png

    [3]为何要引入泊松分布来近似二项分布

    5e79e49cb73cb4e220d948450f373714.png

    [4]泊松分布也可以不由二项分布推出来,而由一些条件独立于二项分布推出来

    4453b7d220bb480962499d1c8d2f71f6.png

    53a26e22721e5d027a0fdc4b7ebde4f2.png

    d521d7601b97b13555d1601edb057f51.png

    19190b71f9a812668ac46e439b914adc.png

    [5]广义泊松分布

    泊松分布的期望和方差值相等是一个特点,也是一个很强的限制,然而现实生活中大多数据是不符合期望方差相等的,于是创建一个不限制期望方差相等的离散分布。

    389fdf2c73eeb7fde27bc3a54d45aa85.png

    对应期望方差,

    9e3708b6c6705e97a8593736a2482ee8.png

    时就回到了一般的泊松分布。

    8.几何分布

    [1]基本

    进行多次伯努利试验,直到第

    ​次才首次成功的概率,​
    为随机变量可取1,2,...
    • 密度函数

    概率密度图,

    k = 0:50      #注意,随机变量确实应该从1开始,但R语言中k=0,实际是+1后再代入计算
    p = dgeom(k,0.3)  #在使用rgeom()产生的随机数也是从0开始,应+1
    plot(k,p)

    b06dd3d4ae3d79380a4c9d8ad13fd4a2.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    [2]重要性质

    1.无记忆性

    ​表示首次成功时的已经试验的次数。一种情况是第​
    次首次成功,概率为
    ;另一种情况,前​次
    没有成功,那么再试验​
    次首次成功的概率为
    。再试验​
    次和直接试验​
    次概率相同,好像前​
    次没有发生,称为无记忆性。只有几何分布有这种无记忆性。

    9.超几何分布

    [1]基本

    一批产品共有

    个,次品共有
    个,从中抽取
    个,则次品
    为个的概率。然而,一般是无法提前知道一批产品中共有多少次品。
    • 密度函数

    a9bc4fe339d95d7f0781a668d5c51938.png

    随机变量为

    ,可取0, 1, 2, ...,

    密度图,

    k1 = 0:8
    p = dhyper(k1,m=10,n=30,k=8)  #产品中次品10个,好品30个,每次抽8个
    plot(k1,p)

    ab6b790404a8314bdabb0c73d236a30c.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    3e6ceae519f1e161ed0876315ca0cb23.png

    [2]重要性质

    10.负二项分布(又称巴斯卡分布)

    [1]基本

    多重伯努利事件中,已知成功​

    次,则达成成功​
    次时的试验次数为
    ​的概率,第​
    次试验刚好达到第​
    次成功。随机变量为试验次数
    ​。如,要成功3次,进行5次试验就出现第3次成功的概率
    • 密度函数

    e210eb542d117f42c79ef289b1cdfe26.png
    k1 = 0:10   #计算时,会自动 k1+4 ,于是随机变量取值为,4,5,...,14
    p = dnbinom(k1,size=4,prob=0.3)  #伯努利试验成功的概率为0.3,需要成功4次
    plot(k1,p)

    de4b643a6da8b3c8a8874143de62b2ce.png
    • 期望

    • 方差

    • 特征函数

    800c895ac0270d734d4e971fef151b73.png

    [2]重要性质

    1.期望方差的计算:

    巴斯卡分布

    是重复独立试验(成功概率
    )中成功
    次所需要的试验次数 可以把它分解为
    ,其中
    为在前一次成功后,再成功一次所需要的试验次数,
    服从几何分布,期望为
    ,方差是
    。得,

    “ 常用概率分布总结(2)”接其它分布。

    展开全文
  • 几何分布定义

    2022-04-02 16:44:41
    几何分布定义

    在伯努利试验中,记每次试验中A事件发生的概率P(A)=p(0<p<1),设随机变量X表示A事件首次出现时已经试验的次数,则X的取值为1,2,…,n,…,相应的分布律为

    P(X=k)=p(1-p)^{k-1},0<p<1,k=1,2,...,n,....

    P(X=k)=p(1-p)k-1,0<p<1,k=1,2,…,n,….

    称随机变量X服从参数为p的几何分布,记为X~Ge(p).几何分布也是一种常用的离散型分布,例如:

    (1)抛掷一枚均匀的骰子,首次出现6点时的投掷次数X~Ge(1/6)

    (2)投篮首次命中时投篮的次数X~Ge(p),p为每次投篮时的命中率;

    (3)任课教师每次上课随机抽取10%的学生签到,某位学生首次被老师要求签到时已经开课次数X~Ge(0.1).

    负二项分布是几何分布的一个延伸.在伯努利试验中,记每次试验中A事件发生的概率P(A)=p(0<p<1),设随机变量X表示A事件第r次出现时已经试验的次数,则X的取值为r,r+1,…,r+n,…,相应的分布律为

    P(X=k)=C_{r-1}^{k-1}p^r(1-p)^{k-r},0<p<1,k=r,r+1,...,r+n,....

    称随机变量X服从参数为r,p的负二项分布,记为X~NB(r,p).其中当r=1时,即为几何分布.

    展开全文
  • 概率统计14——几何分布

    千次阅读 2020-01-17 16:26:05
     这个分布就是几何分布(Geometric distribution),X服从几何分布,记为X~GE(p)。  下面的python代码展示了r取不同值时的P(X=r)。 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy ...
  • 无意间解出来《吴军的数学讲义》这本书,看到概率论的部分有点疑惑,加上当年概率论基本没去上课,于是自己上网研究了半天,终于算是搞明白了其中的区别,下面就从一个近似数学小白的角度说一下各种分布的使用场景。...
  • 几何分布及其期望计算

    千次阅读 2021-08-02 20:16:20
    几何分布 以抛硬币为例:抛到正面则继续抛,抛到不是正面为止,记录这时抛硬币的次数X。假设出现正面的概率为ppp,那么非正面概率为1−p1-p1−p。发生抛k次事件的概率为:P{X=k}=pk−1(1−p)P\{X=k\}=p^{k-1}(1-p)P{...
  • 几何分布定义

    2022-04-02 16:33:20
    几何分布定义
  • 本文给可供有兴趣的高中生以及大一新生了解统计学的几种特殊分布及它们之间的关系。由于篇幅所限,文章重点在于解释其内在联系,对于较为繁琐的推导进行了略去。...超几何分布常见的取球模型,是...
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  • 几何分布HyperGeometricDistribution 超几何分布描述不放回抽样的抽取试验,即每进行一次抽样,事件发生的概率均有一定的变化。 如: 在含有M个红球的N个球中,任取n个球,其中恰有X个红球,则事件{X=k}发生的概率...

空空如也

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