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  • 矩阵对角化

    2015-11-02 12:15:57
    矩阵对角化
    矩阵对角化
    
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  • 1矩阵对角化方法摘要:本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向量,接着再判断矩阵是否可对角化。关键词:矩阵特征根特征向量对角化...

    1

    矩阵对角化方法

    摘要:

    本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向

    量,接着再判断矩阵是否可对角化。

    关键词:

    矩阵

    特征根

    特征向量

    对角化

    The Methods of the Diagonalization of the Matrix

    g

    Abstract:

    In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

    methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

    roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

    Key words:

    Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

    1

    、引言

    对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性,

    而矩阵对角化方法

    有很多,

    如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵,

    通过配方法将其化为标

    准形从而实现矩阵的对角化,再如通过求解特征根和特征向量方法,首先求解

    0

    |

    |

    A

    E

    得特征根

    i

    ,然后对每一个

    i

    ,解方程组

    0

    )

    (

    X

    A

    E

    i

    得特征向量,即

    寻找一个可逆矩阵

    T

    ,使得

    AT

    T

    1

    ,

    其中

    为对角阵,于是可得

    1

    T

    T

    A

    ,从而

    1

    T

    T

    A

    n

    n

    ,

    在这个对角化过程中,

    中的元素即为矩阵

    A

    的特征根,

    T

    中每个列向

    量即为矩阵

    A

    的属于每个特征根的特征向量。

    本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵

    对角化方法,

    即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角

    形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量,同时判断矩阵是否可对角化。

    2

    、讨论对于有

    n

    个特征单根的

    n

    阶方阵

    1

    .

    2

    基本原理

    引理

    1

    :设

    A

    是秩为

    r

    n

    m

    阶矩阵,且

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    Diagonalization 矩阵对角化

    现在我们假设一个矩阵

    , 他有
    n个相互线性独立的特征向量
    ,

    我们将其排列在一起,形成一个新的矩阵

    f7a2dc665c11c6ddd50f556cef4250fe.png

    那么如果将矩阵

    和矩阵
    相乘,就有如下的式子。

    0a375c02921656486da8f37f9398167a.png

    这里的矩阵乘法,可能有些朋友比较陌生, 有的朋友可能不是很能理解为什么一个大大的矩阵A可以乘进S的每一个column中去。不用担心,我一开始也不理解。

    还记得前文特征值和特征向量Eigenvalue & Eigenvector中在Ax = b 究竟代表了什么 这一小节我们所说的, Ax = b 表示的是将向量x进行矩阵A的坐标变换后,所得的向量为向量b。

    09f8328c9e80a8e0187a546c5f9a6ace.png
    如果看不懂,可以去看看前一篇文章

    但这能解释一个矩阵乘一个向量的情况。

    无法解释两个矩阵A和S相乘代表什么。

    其实两个矩阵A 和S 相乘: AS 代表的是,先将坐标按照矩阵S进行一个坐标变换,然后再按矩阵A再进行一次坐标变化。(注意顺序是从右往左)

    比如矩阵S

    表示的其实是坐标
    变成了
    ,坐标
    变成了

    做完矩阵S的变化之后,再做矩阵A的坐标变化。

    比如矩阵A

    表示的其实是坐标
    变成了
    ,坐标
    变成了

    可是等等,我们已经做了一次S的坐标变化了呀,所以此时的

    已经变成了
    ,此时的坐标
    已经变成了

    要想再S的基础上做A的坐标变化,就需要

    =
    (坐标
    最后变化的结果)

    =
    (坐标
    最后变化的结果)

    所以

    =

    可以看成分别对坐标

    做矩阵A的坐标变化。
    写的有点乱,如果不懂的话,请看3Blue1Brown 的视频

    我们有了这个式子

    0a375c02921656486da8f37f9398167a.png

    之后,还可以进行下面的分解

    a303e81acf02adeb0db318cb49203b8d.png

    这里的分解,可能又有朋友和我一样,看懵了。不过不用担心,这里的分解和上面的讲的乘法其实是一样的。

    11734896f47a9e4e17371821a5072ab4.png

    就是把矩阵S分别乘进

    做组成的对角矩阵中。

    因为矩阵S的每个column

    ,都代表将原来标准坐标里面的坐标转变成
    , 所以就有

    93fad00631cf8c2f71ad29e740211e27.png

    所以,我们有

    d9b498162a53a6cd30d4f4b1461a155a.png

    而因为S当中的column是相互线性独立的,所以S是可逆的。(参考维度,基,线性独立,与线性生成空间),于是我们有

    或者可以写成

    我们称A可以被对角化(diagonalizable


    完成了对角化的证明,我们需要注意以下几点。

    1. 并不是所有的矩阵A都有相互线性独立的特征向量的, 所以不是所有矩阵A都能对角化。准确来说,当矩阵A的特征值有重复的时候,比如
      ,其对应的特征向量也会重复
      , 这样,矩阵A的特征向量之间就不是相互线性独立的。所以无法对角化。

    2. 更进一步地说,如果矩阵

    有着n个不同的特征值。那么其n个特征向量将会相互线性独立(linearly independent)。 矩阵A能够被对角化。

    证明:

    假入

    有两个不同的特征值, 但是特征向量
    , 相互不线性独立,于是有对应的非零
    使得

    因为我们假设了

    ,所以
    , 同理可得
    , 于相互不线性独立冲突,所以特征向量
    相互线性独立。

    所以,如果矩阵

    如果有n个不同的特征值,其n个特征向量将会线性独立。
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    026 矩阵对角化

    026 矩阵对角化



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    2020-08-12 16:38:09
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