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  • 微分流形数学书

    2018-05-25 08:12:51
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  • 本文主要是微分流形课(一般是指第一次上的微分流形课)的计算公式一览。因为不同的体系和作者,使用的记号和叙述可能不一样(比如联络那里),所以这里特别强调课本对应陈省身先生的《微分几何初步》。以下是pdf...

    本文主要是微分流形课(一般是指第一次上的微分流形课)的计算公式一览。因为不同的体系和作者,使用的记号和叙述可能不一样(比如联络那里),所以这里特别强调课本对应陈省身先生的《微分几何初步》。以下是pdf截图,文末附latex的tex文件。

    因为对于初学者,可能有同学会进入一种“看了,懂了,原来如此,但是计算一做就废”的感觉,所以笔者整理了一下公式。

    笔者整理时难免有错漏,欢迎指正多多包涵。

    内容主要涉及从张量开始到Gauss-Bonnet公式。并且部分公式后面还有证明简述。(下面为pdf截图)

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    tex文件:由于zh管理员硬是认为学习资料是辣鸡广告链接 所以我没法放了 要的私信一下吧

    (不再补充更深入的知识点了咕咕咕,更深入知识点请各位找书继续学习吧

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  • 基于微分流形的图像复原方法
  • 微分流形初步(陈维桓)(第二版) 微分流形初步(陈维桓)(第二版)
  • 我们知道[公式]中存在一个整体的坐标...刚接触微分流形的概念理解起来还是比较困难,因此找来一些具体的例子,可以帮助大家理解微分流形的概念。 微分流形 例1: nnn维球面Sn={(x1,…,xn+1)∈Rn+1∣∑i=1n+1xi2=1}\ma.

    在这里插入图片描述

    我们知道[公式]中存在一个整体的坐标系,使得每个点都有一个坐标与之一一对应,大学之前学习的几何内容,都是在[公式]空间中处理问题。但是存在一些空间,在其上不存在一个整体的坐标系,如三维空间中的球面:[公式]。要想在其上处理问题,就需要将其分为若干个部分,在每个部分上建立坐标系,这就引出了微分流形的概念。

    刚接触微分流形的概念理解起来还是比较困难,因此找来一些具体的例子,可以帮助大家理解微分流形的概念。

    微分流形

    例1: nn维球面Sn={(x1,,xn+1)Rn+1i=1n+1xi2=1}\mathrm{S}^n=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in \mathrm{R}^{n+1}|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\}nnCC^\infty微分流形。

    证明:Sn\mathrm{S}^n的拓扑为其作为Rn+1\mathrm{R}^{n+1}子空间的拓扑,则Sn\mathrm{S}^n是Hausdorff拓扑空间。令
    Ui+={(x1,,xn+1)Snxi>0}Ui={(x1,,xn+1)Snxi<0} U_i^+=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i>0\}\\ U_i^-=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i<0\}

    φi+:Ui+Rn, (x1,,xn+1)(x1,,xi^,,xn+1)φi:UiRn, (x1,,xn+1)(x1,,xi^,,xn+1) \varphi_i^+:U_i^+\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})\\ \varphi_i^-:U_i^-\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})

    其中i=1,2,,n+1i=1,2,\dots,n+1,则φi+\varphi_i^+φi\varphi_i^-都是可逆映射,有
    (φi+)1:φ(Ui+)Ui+, (x1,,xn)(x1,,xi1,1j=1nxj2,xi,,xn)(φi)1:φ(Ui)Ui, (x1,,xn)(x1,,xi1,1j=1nxj2,xi,,xn). (\varphi_i^+)^{-1}:\varphi(U_i^+)\to U_i^+,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n)\\ (\varphi_i^-)^{-1}:\varphi(U_i^-)\to U_i^-,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},-\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n).
    考虑映射
    φ2(φ1+)1:φ1+(U1+U2)φ2(U1+U2)(x1,,xn)(1j=1nxj2,x2,,xn), \varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}:\varphi_1^+(U_1^+\cap U_2^-)\to\varphi_2^-(U_1^+\cap U_2^-)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_2,\dots,x_n),
    可知φ2(φ1+)1\varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}CC^\infty映射,因此坐标图(U1+,φ1+)(U_1^+,\varphi_1^+)(U2,φ2)(U_2^-,\varphi_2^-)CC^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui±,φi±)i=1,2,,n+1}\{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)|i=1,2,\dots,n+1\}CC^\infty相容坐标图册,因此唯一确定Sn\mathrm{S}^n上的CC^\infty微分结构,因此Sn\mathrm{S}^nnnCC^\infty微分流形。

    例2: 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nnnCC^\infty微分流形。

    证明: 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n是Hausdorff空间。令X=Rn+10X=\mathrm{R}^{n+1}-{0},在XX上定义等价关系\sim:对x,yX\forall x,y\in Xxyx\sim y当且仅当存在tRt\in\mathrm{R}t>0t>0使得y=txy=tx,则RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n即为X/X/\sim.令
    Ui={[(x1,,xn+1)](x1,,xn+1)Xxi0}, i=1,2,,n+1 U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1
    其中[x][x]表示xXx\in X关于等价关系\sim的等价类。令(x1,,xn+1)X(x_1,\dots,x_{n+1})\in Xxi0x_i\ne 0,对(y1,,yn+1)X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X,可知
    (x1xi,,xn+1xi)=(y1yi,,yn+1yi)    (x1,,xn+1)(y1,,yn+1) (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1})
    因此,下面的映射φi\varphi_i是良定义的单射
    φi:UiRn, [(x1,,xn+1)](x1xi,,xi1xi,xi+1xi,,xn+1xi), i=1,2,,n+1. \varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1.
    因此φi\varphi_i存在逆映射
    φi1:φi(Ui)Ui, (x1,,xn)[(x1,,xi1,1,xi+1,,xn+1)]. \varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})].
    考虑映射
    φ2(φ1)1:φ1(U1U2)φ2(U1U2)(x1,,xn)(1x1,x2x1,,xnx1), \varphi_2(\varphi_1)^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\frac{1}{x_1},\frac{x_2}{x_1},\dots,\frac{x_{n}}{x_1}),
    可知φ2(φ1)1\varphi_2(\varphi_1)^{-1}CC^\infty映射,因此坐标图(U1,φ1)(U_1,\varphi_1)(U2,φ2)(U_2,\varphi_2)CC^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui,φi)i=1,2,,n+1}\{(U_i,\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nCC^\infty相容坐标图册,因此RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^nnnCC^\infty微分流形。

    例3: 复射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n2n2nCC^\infty微分流形。

    证明: 实射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n是Hausdorff空间。令X=Cn+10X=\mathrm{C}^{n+1}-{0},在XX上定义等价关系\sim:对x,yX\forall x,y\in Xxyx\sim y当且仅当存在tCt\in\mathrm{C}t>0t>0使得y=txy=tx,则CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n即为X/X/\sim.令
    Ui={[(x1,,xn+1)](x1,,xn+1)Xxi0}, i=1,2,,n+1 U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1
    其中[x][x]表示xXx\in X关于等价关系\sim的等价类。令(x1,,xn+1)X(x_1,\dots,x_{n+1})\in Xxi0x_i\ne 0,对(y1,,yn+1)X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X,可知
    (x1xi,,xn+1xi)=(y1yi,,yn+1yi)    (x1,,xn+1)(y1,,yn+1) (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1})
    因此,下面的映射φi\varphi_i是良定义的单射
    φi:UiRn, [(x1,,xn+1)](x1xi,,xi1xi,xi+1xi,,xn+1xi), i=1,2,,n+1. \varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1.
    因此φi\varphi_i存在逆映射
    φi1:φi(Ui)Ui, (x1,,xn)[(x1,,xi1,1,xi+1,,xn+1)]. \varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})].
    π:CR2, x+yi(x,y)\pi:\mathrm{C}\to \mathrm{R}^2,\ x+y\mathrm{i}\mapsto (x,y),显然π\piCC^\infty同胚,因此πφi\pi\varphi_iUiU_iπφi(Ui)R2n\pi\varphi_i(U_i)\in \mathrm{R}^{2n}CC^\infty微分同胚映射,考虑映射
    πφ2(πφ1)1:πφ1(U1U2)πφ2(U1U2)(π(x1),,π(xn))(π(1x1),π(x2x1),,π(xnx1)), \pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}:\pi\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \pi\varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (\pi(x_1),\dots,\pi(x_n))\mapsto (\pi(\frac{1}{x_1}),\pi(\frac{x_2}{x_1}),\dots,\pi(\frac{x_{n}}{x_1})),
    可知πφ2(πφ1)1\pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}CC^\infty映射,因此坐标图(U1,πφ1)(U_1,\pi\varphi_1)(U2,πφ2)(U_2,\pi\varphi_2)CC^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui,πφi)i=1,2,,n+1}\{(U_i,\pi\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^nCC^\infty相容坐标图册,因此CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n2n2nCC^\infty微分流形。

    积流形:MMNN分别是mm维和nnCkC^k微分流形,它们的微分结构分别为{(Ui,φi)iI}\{(U_i,\varphi_i)|i\in I\}{(Vj,ϕj)jJ}\{(V_j,\phi_j)|j\in J\}IIJJ分别是相应的指标集。显然,{(Ui×Vj)iI,jJ}\{(U_i\times V_j)|i\in I,j\in J\}是拓扑空间M×NM\times N的开覆盖。定义映射
    φi×ϕj:Ui×VjRm×Rn=Rm+n(p,q)(φi(p),ϕj(q)), (p,q)Ui×VjM×N, \varphi_i\times \phi_j:U_i\times V_j\to\mathrm{R}^m\times\mathrm{R}^n=\mathrm{R}^{m+n}\\ (p,q)\mapsto(\varphi_i(p),\phi_j(q)),\ (p,q)\in U_i\times V_j\subset M\times N,
    则容易证明{(Ui×Vj,φi×ϕj)iI,jJ}\{(U_i\times V_j,\varphi_i\times\phi_j)|i\in I,j\in J\}M×NM\times NCkC^k相容坐标图册,因此M×NM\times Nm+nm+nCkC^k微分流形。此时,称M×NM\times NMMNN的积流形。

    例4: nn维环面Tn=S1×,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1,是nnCC^\infty微分流形。

    证明: Tn=S1×,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1nn个圆环S1\mathrm{S}^1的积空间,而S1\mathrm{S}^1CC^\infty微分流形。因此,根据积流形的定义,容易验证Tn\mathrm{T}^nnnCC^\infty微分流形。

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  • 从这篇开始讲讲光滑微分流形。 第一次学到流形是在尤承业的基础拓扑学讲义中的拓扑流形,也就是具有Hausdorff性质的拓扑,而且每一点都有一个同胚于欧氏空间Rn的开邻域\textbf{每一点都有一个同胚于欧氏空间}\mathbb...

    从这篇开始讲讲光滑微分流形。

    7.1 拓扑流形

    第一次学到流形是在尤承业的基础拓扑学讲义中的拓扑流形,也就是具有Hausdorff性质的拓扑,而且每一点都有一个同胚于欧氏空间Rn的开邻域\textbf{每一点都有一个同胚于欧氏空间}\mathbb{R}^n\textbf{的开邻域},并且这个流形的维数顺势定义为nn.
     

    下面关于流形维数的定义啰嗦几句:
    这里的定义,只要认同了(或者已经学过同调群)Rm\mathbb{R}^mRn\mathbb{R}^n,当mnm\neq n时,不同胚,那流形维数的定义是没有问题的。

    但仔细想一想,要是用“每一点都有一个同胚于欧氏空间的开领域\textbf{每一点都有一个同胚于欧氏空间的开领域}”,这里便需要验证维数的良定义,也就是:是否存在某一点,它既有一个邻域同胚与Rm\mathbb{R}^m又同胚于Rn\mathbb{R}^n,且mnm\neq n呢?如果是,情况就会相当糟糕,因为流形的维数定义就会出问题。好在这种情况不会出现,齐震宇老师的课程中开始就提到了,Invariance of domain theorem 确保了我们可以良定义流形的维数。
     

    以前学点集拓扑学完之后还不知道在干嘛,现在微分流形是用到挺多拓扑的,大概才意识到拓扑之所以是top,是因为它从开集这个已经简单到不行的结构出发去看我们能得到什么性质。

    一般我们考虑的拓扑往往不会太糟糕,往往不止假设Hausdorff, 还假设是第二可数的,Hausdorff保证流形中的开集不会“粘”在一起分不开,从而序列的极限是唯一的。

    当然我们也有拓扑流形的例子,分别不是第二可数(不可数个欧氏空间的无交并),或者不是Hausdorff的(取平面中的两条直线y=±1y=\pm1MM为商空间:当x0x\neq 0时,(x,1)(x,1)(x,1)\sim(x,-1),从而(0,1),(0,1)(0,-1),(0,1)不存在不相交的开邻域)。

    要理解第二可数得先理解拓扑基,拓扑基是用来生成拓扑的,比方说度量空间中的有理数中心,有理数半径的开球,可数的拓扑基可以理解为对开集有一个可数的“分解”或者“近似”,可以参见这个回答:
    https://math.stackexchange.com/questions/2131530/why-is-important-for-a-manifold-to-have-countable-basis
    最近要用到的应该是单位分解定理的证明,到时候会说明 局部紧致+C2C_2+Hausdorff 可以推出仿紧。
     

    这样就可以给出一个拓扑流形的定义:

    Definition 7.1.1 拓扑流形(Topological manifold)
    MM是一个拓扑空间,如果还满足:
    (1) MM作为拓扑空间是Hausdorff的;
    (2) MM是第二可数的;
    (3) MM局部同胚于nn维欧氏空间:对流形上任意一点,存在邻域,同胚于Rn\mathbb{R}^n中的某个开集。

    最简单的例子当然是欧氏空间 Rn\mathbb{R}^n 自身就是一个n维拓扑流形;再比如说一维圆周 S1S^1,可以先去掉北极点,剩下的开区间有一个到 R1\mathbb{R}^1 的同胚,再去掉南极点,也有一个到 R1\mathbb{R}^1 的同胚,根据定义 S1S^1 是一个一维拓扑流形;再比如 SnS^n ;有限维线性空间; 更进一步一般线性群GL(n,R)GL(n,\mathbb{R}),都是拓扑流形。
     

    7.2 微分流形

    动机是一件很重要的事,所谓拓扑,是讨论在连续的意义下不变的性质,要是我们不满足于此,比如之前欧氏空间中的曲率,都是需要微分运算的,那还想在流形上进行微积分,就得先引入微分的概念,我们熟悉的只有欧氏空间的微积分,所以得想办法把欧氏空间的微分结构抽象出来,赋给拓扑流形。

    根据拓扑流形的定义(3),我们可以在拓扑流形MM上取个集合,连同这个集合上规定的同胚映射凑成一对,用 (Uα,φα)(U_\alpha,\varphi_\alpha) 的形式表示,这就是一个坐标卡(cooridinate chart),因为拓扑流形的每一点都包含在一个邻域 UαU_\alpha 中,所以每个点都包含在至少一个这样的坐标卡中。

    我们想说一个定义在流形上的函数是光滑的,可以通过已经有的流形上到欧氏空间的同胚φα:UαRn\varphi_\alpha:U_\alpha\rightarrow \mathbb{R}^n,以及复合映射fφα1:RnRf\circ\varphi^{-1}_\alpha:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} 来定义流形上的可微:我们称 f:MRf:M\rightarrow \mathbb{R} 光滑当且仅当fφα1f\circ\varphi^{-1}_\alpha光滑。

    既然我们的目的是说 ff 光滑,那么应该对于复合怎么样的 φ\varphi 是无关的,这就对 {Uα,φα}\{U_\alpha,\varphi_\alpha\} 这个集合本身有一定的要求:我们说两个坐标卡(U,φ),(V,ψ)(U,\varphi),(V,\psi)相容的 ,确切的说在这里是微分相容的,是指要么UV=U\cap V=\emptyset, 要么 MM 上的既属于(U,φ)(U,\varphi) 又属于 (V,ψ)(V,\psi) 的公共部分,有一个转移函数,定义为:ψφ1:φ(UV)ψ(UV)\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\rightarrow \psi(U\cap V) 是一个微分同胚。
    之所以要这样定义,最本质的点在于流形是局部定义的,我们只能在一个小开集上讨论可微性,要想超出这个小开集的范围,得先转移到与别的开集相交的部分。

    在这里插入图片描述

    什么样的相容条件,就决定了什么样的微分流形,比如要是 ψφ1\psi\circ\varphi^{-1} 及它的逆都是CkC^k的,那么我们可以类似的定义CkC^k-微分流形。在这里讨论的所有坐标卡相容,都是光滑相容。
    两两相容的一族坐标卡 {Uα,φα}\{U_\alpha,\varphi_\alpha\}并且αλUα=M\bigcup_{\alpha\in\lambda} U_\alpha=M,就称为一个地图册,图册或者坐标卡集(atlas),要是所有互相相容的坐标卡,都已经放在了同一个地图册里,称这样的地图册是极大地图册(maximal atlas)

    那么这样,我们就可以定义本篇最重要的概念了:

    Definition 7.2.1 微分结构 (Differential structure)
    一个极大地图册,就是定义在nn-维拓扑流形上的微分结构。

    我觉得入门微分流形的第一个重要的地方就是理解什么是微分结构。他定义前提是在拓扑流形上,包含了坐标卡,相容性条件(转移函数),极大地图册。

    那么当然会有问题了,我要验证一个拓扑流形是微分流形,就需要给出微分结构,也就是极大地图册,而极大地图册中可以有很多坐标卡,可数个,不可数个都有可能,我不可能写的出来。好在有定理保证了,只要给出了一个地图册,也就是定义域覆盖住了MM,且其中的坐标卡两两相容,那么这个地图册就唯一的包含在一个极大地图册中,从而使拓扑流形MM成为微分流形:

    Lemma 7.2.2
    (1) 每一个地图册唯一的包含在一个极大地图册中;
    (2) 两个地图册,都被包含在同一个极大地图册中当且仅当这两个地图册是相容的。

    证明思路:
    (1) 现在已经有一个地图册A\mathcal{A},我们这样给出一个新的集合:A\overline{\mathcal{A}}是所有与A\mathcal{A}相容的坐标卡的集合。
    接着首先说明A\overline{\mathcal{A}}就是一个地图册:其中任意给定的两个坐标卡,都和A\mathcal{A}中的任意一个坐标卡相容,通过A\mathcal{A}中的坐标卡作为桥梁,即可说明相容性。
    极大性从构造中就可以看出。
    唯一性是因为假设还有极大地图册,必然包含于A\overline{\mathcal{A}},反过来A\overline{\mathcal{A}}也包含于极大地图册中,所以唯一。

    (2) 充分性:这两个地图册相容,从而可以合并成一个新地图册,由(1)知他们包含在同一个极大地图册中。
    必要性:极大地图册中坐标卡两两相容,从而原本的两个地图册相容。

     
    有了这个定理保证,在验证微分结构的时候就方便了很多。

    比方说我们就可以验证,之前在拓扑流形中举的几个例子Rn\mathbb{R}^nSnS^n,有限维线性空间,GL(n,R)GL(n,\mathbb{R}),都可以给出相容的坐标卡,从而他们也是光滑流形。

     
    综上,我们要证明一个空间 MM 是微分流形,首先要说明他是一个拓扑流形,这就意味着要先给出 MM 上的拓扑,验证其是一个拓扑流形之后再给出一个覆盖住 MM 的地图册,从而有了微分结构。

    事实上,MM上的拓扑是由地图册唯一决定的,我们可以把欧氏空间的拓扑局部的赋予到流形上,这样就避免了在 MM 上重新定义拓扑。
     
     

    Theorem 7.2.3 从集合到光滑流形
    给定集合 MM 的一个覆盖 {Uα}\{U_\alpha\},且在每个UαU_\alpha上有一个单射 φα:UαRn\varphi_\alpha: U_\alpha\rightarrow \mathbb{R}^n,并且满足下列条件:
    (1) α\forall \alphaφα(Uα)\varphi_\alpha(U_\alpha)Rn\mathbb{R}^n中开集;
    (2) α,β\forall \alpha,\betaφα(UαUβ),φβ(UαUβ)\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta),\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)也都是Rn\mathbb{R}^n中开集;

    (3) 当UαUβU_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset时,φαφβ1:φβ(UαUβ)φα(UαUβ)\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1}_\beta:\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\rightarrow \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)是光滑的;

    (4) 存在可数多个 UαU_\alpha覆盖住 MM
    (5) 对MM上不同的两点p,qp,q,他们要不包含在同一个UαU_\alpha中,要不分别包含在不相交的两个集合Uα,UβU_\alpha,U_\beta中。

    这样MM是一个光滑流形,并且有唯一的拓扑和微分结构{Uα,φα}\{U_\alpha, \varphi_\alpha\}.

    证明思路:
    这个定理的条件很多,但其实各司其职(1)(2)(3)让我们可以对MM定义拓扑,并且(3)保证了坐标卡的相容性,从而有唯一微分结构,(4)保证第二可数性,(5)保证Hausdorff.

    先在MM上定义拓扑:
    U~α=φα(Uα)Rn\tilde{U}_\alpha=\varphi_\alpha(U_\alpha)\subset\mathbb{R}^n,从而φα:UαU~α\varphi_\alpha:U_\alpha\rightarrow\tilde{U}_\alpha是双射,取VU~α\forall V\subset \tilde{U}_\alpha是开集,定义φα1(V)\varphi_\alpha^{-1}(V)MM中开集。接着证明在(1)(2)(3)条件下,像φα1(V)\varphi_\alpha^{-1}(V)这样的集合构成了MM的拓扑基,从而有了在MM上的拓扑:
    WWU~β\tilde{U}_\beta中开集,那么可以知道φαφβ1(W)\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1}(W)U~α\tilde{U}_\alpha中的开集,从而pφα1(V)φβ1(W)\forall p\in\varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W)pφα1(Vφαφβ1(W))=φα1(V)φβ1(W)p\in\varphi^{-1}_\alpha(V\cap \varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1}(W))=\varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W),这样就证明了把欧氏空间中的开集通过 φ\varphi 逆回去确实成为了MM上的拓扑基。

    第二可数是因为可数个UαU_\alpha,每个同胚于欧氏空间,从而有可数拓扑基,逆回到MM上,总共的拓扑基依旧是可数的;Hausdorff是显然的。

    这个拓扑的唯一性:首先由于φ\varphi是单射和(1)就意味着MM上的拓扑不能比我们定义的拓扑更细,否则映到欧式空间就不是开集了。其次要保证φ\varphi的连续性,MM上的拓扑必然包含我们定义的拓扑,同时不能比我们定义的更粗了。
     
     

    在Nigel Hitchin的讲义中类似通过坐标卡定义了MM上的拓扑:条件和定理中的条件是一样的,定义VMV\subset M是开集,当且仅当α,φα(VUα)\forall \alpha, \varphi_\alpha(V\cap U_\alpha)Rn\mathbb{R}^n中开集。这与我们定义的拓扑是等价的。

    总而言之,流形的本质是他不像欧氏空间是平直的,流形是一个扭曲的空间,我们有的只是局部性质。

    参考:
    [1]John M. Lee.  Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218. Springer-Verlag, New York, 2000.
    [2]N. Hitchin.   DIFFERENTIABLE MANIFOLDS Course C3.1b 2012 .
    [3]厦门大学宋翀老师讲义.

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