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  • 偏微分方程

    2018-07-27 11:35:50
    偏微分方程丘成桐偏微分方程丘成桐偏微分方程丘成桐偏微分方程丘成桐
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    偏微分方程:指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)及其若干阶偏导数的关系式
    F(x,u,ux1,ux2,...,uxn,...,mux1m1x2m2...xnmn)=0 F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0
    其中,最高阶导数的阶数m=m1+m1+...+mnm=m_1+m_1+...+m_n
    方程的阶

    线性偏微分方程:偏微分方程中与未知函数有关的部分是uuuu的偏导数的线性组合(系数与uuuu的偏导数无关)。

    常系数线性微分方程:方程中u和u的偏导数的系数是常数

    意义:偏微分方程反映了变量u及多个自变量x=(x1,x2,...,xn)\bold x=(x_1,x_2,...,x_n)间的相互制约关系。

    数学物理方程:从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程。有时还包括常微分方程和积分方程。

    偏微分方程的定解问题:泛定方程+定解条件

    • 泛定方程
    1. 波动方程 :2ut2=a2Δu+f(t,x),a=Tρ,f(t,x)=g(t,x)ρ\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{\rho}

    2. 扩散方程:ut=a2Δu+f(t,x), a=κcρ,f(t,x)=g(t,x)cρ\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho}

    3. 场位方程:Δu=f(x)x=(x1,x2,...,xn),n=1,2,3\Delta u=-f(x) \quad \bold x=(x_1,x_2,...,x_n),\quad n=1,2,3

    • 定解条件
    1. 初始条件(历史情况的影响)

    2. 边界条件(周围环境对边界的影响)

      第I类边界条件(给顶端点值):ux=xi=μi(t)u|_{x=x_i}=\mu_i(t)

      第II类边界条件(给定端点梯度):unx=xi=fi(t)\frac{\partial u}{\partial n}|_{x=x_i}=f_i(t)

      第III类边界条件(混合I&II):[aiu+βiun]x=xi=Fi(t)[a_iu+\beta_i\frac{\partial u}{\partial n}]_{x=x_i}=F_i(t)

    3. 衔接条件(系统内部边界)

    实际应用:找出泛定方程+定解条件,然后利用多种方法解偏微分方程

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  • 参考《常微分方程》第三版(王高雄)主要内容:...7.1基本概念对于自变量 与未知函数 的一阶偏导数 一阶偏微分方程: (7.1)一阶线性偏微分方程: (7.2)a一阶齐次线性偏微分方程: (7.2)b一阶拟线性偏微分方...

    参考《常微分方程》第三版(王高雄)

    主要内容:一阶线性偏微分方程的解可看成积分曲线,而首次积分表示为特征曲线,由特征曲线构成积分曲线。因此 ,可以用常微分方程方法解一阶线性偏微分方程。

    7.1基本概念

    对于自变量

    与未知函数
    的一阶偏导数

    一阶偏微分方程

    (7.1)

    一阶线性偏微分方程

    (7.2)a

    一阶齐次线性偏微分方程

    (7.2)b

    一阶拟线性偏微分方程

    (7.3)

    可以想象为在空间
    中的一张n维曲面,通常称为偏微分方程(7.1)的
    积分曲面

    (7.5)为(7.2)b的特征方程。(7.3)的求解问题则可化为(7.2)b的方程类型来处理。

    7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系

    考虑初值问题(p344)

    3e0642b7be70a9c7faf31fb59548ddbd.png

    首次积分

    7aef09d7be1ed48ed0dfd1b6b1aea18f.png

    n个首次积分称为彼此独立的:

    8139000caa5bd8e04d074cc6206cab86.png

    常微分方程组与一阶线性偏微分方程之间的关系

    90241cdd37778015dc5e7b614ba65ffa.png

    e80ae3c1c4c8c36e82de5685b6aa00aa.png

    7.3 利用首次积分求解常微分方程组

    考虑方程组

    06891d4199056d80935622e80a54a918.png

    通积分:方程组(7.11)的n个彼此独立的首次积分的全体(7.12)称为(7.11)的通积分。

    如何求首次积分:(p350)

    (1)如果能得到常微分方程的含任意常数的通解

    ,则当
    时,可解出
    ,
    即为首次积分。

    (2)还可以通过构造全微分

    得到首次积分

    7.4 一阶线性偏微分方程的解法

    这一节将讨论一阶齐次线性和拟线性偏微分方程的通解的结构.

    对于(7.2)b的通解结构,有

    58c88f54056617f3676251cdf9d61d15.png

    4c0410dacf47b77cb5d3d2e590a910eb.png

    关于一阶拟线性偏微分方程的通解结构,有如下定理:

    c956851c5b7eb3d9afd24c20c92c02f4.png

    7.5 柯西问题

    f2c45639d8ccda92f1354133b5653ee5.png

    所谓柯西问题,用几何的语言说,就是求一阶偏微分方程(7.29)或(7.30)的通过某一给定曲线的积分曲面.这里必须指出,对于某些曲线(譬如特征曲线)柯西问题是不确定的,因为对一条特征曲线而言,可以有无穷多个特征曲面经过它;而对于另外一些曲线,柯西问题甚至没有解存在.但是我们有下面的一般结果.

    670d9847fee3eda34377e7e8b4fbe848.png

    关于拟线性一阶偏微分方程的柯西问题类似地有:

    9062911f354d9f5ea335f4b2697986f1.png

    b3605683e208b66f410458e5c4257d3e.png

    2020.11.26

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  • 偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...

    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


    目录

    1 图形界面解法简介       

    2 图形界面解法的使用步骤


    1 图形界面解法简介

    对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:

    (1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。

    (2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。

    (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。

    在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮

    2 图形界面解法的使用步骤

    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:

    (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω

    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件

    (3)利用 PDE 模式指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

    在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解

    (1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。

    (2)在 solve 模式下,求解

    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。

    注意:

    1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。

    2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

    3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

    4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。

    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。

    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。


    例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                    例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

    边界条件为Dirichlet条件u = 0。

    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

    2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。

    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:

    function f=fun1(x,y);
    f=zeros(length(x),1);
    ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
    f(ix)=1; 

    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:

    时间框中输入:linspace(0,0.1,20);

    初值框中输入:fun1。

    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

    5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。


     

     


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    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


    目录

    3.1 工具箱命令介绍

    3.2 求解一维偏微分方程

    例 2 试解以下之偏微分方程式

    例 3 试解以下联立的偏微分方程系统


    3.1 工具箱命令介绍

    MATLAB 提供了一个指令 pdepe,用以解以下的 PDE 方程式

     

    其中 x 为两端点位置,即a 或b

    用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程的 MATLAB 命令 pdepe 的用法如 下:

     sol = pdepe(m, pdepe,icfun,bcfun, xmesh,tspan,options)

    注:

    1.  MATLAB PDE 求解器 pdepe 的算法,主要是将原来的椭圆型和拋物线型偏微分 方程转化为一组常微分方程。此转换的过程是基于使用者所指定的 mesh 点,以二阶空 间离散化(spatial discretization)技术为之(Keel and Berzins,1990),然后以 ode15s 的指令 求解。采用 ode15s 的 ode 解法,主要是因为在离散化的过程中,椭圆型偏微分方程被 转化为一组代数方程,而拋物线型的偏微分方程则被转化为一组联立的微分方程。因而, 原偏微分方程被离散化后,变成一组同时伴有微分方程与代数方程的微分代数方程组, 故以 ode15s 便可顺利求解。

    2.  x 的取点(mesh)位置对解的精确度影响很大,若 pdepe 求解器给出“…has difficulty finding consistent initial considition”的讯息时,使用者可进一步将 mesh 点取密 一点,即增加 mesh 点数。另外,若状态u 在某些特定点上有较快速的变动时,亦需将 此处的点取密集些,以增加精确度。值得注意的是 pdepe 并不会自动做 xmesh 的自动取 点,使用者必须观察解的特性,自行作取点的操作。一般而言,所取的点数至少需大于 3 以上。

    3.  tspan 的选取主要是基于使用者对那些特定时间的状态有兴趣而选定。而间距(step size)的控制由程序自动完成。

    4. 若要获得特定位置及时间下的解,可配合以 pdeval 命令。使用格式如下:

    [ uout, duoutdx ] = pdeval(m, xmesh,ui, xout)

    其中 m 代表问题的对称性。m =0 表示平板;m =1 表示圆柱体;m =2 表示球体。其意 义同 pdepe 中的自变量m 。

    ref. Keel,R.D. and M. Berzins,“A Method for the Spatial Discritization of Parabolic Equations in One Space Variable”,SIAM J. Sci. and Sat. Comput.,Vol.11,pp.1-32,1990.

    以下将以数个例子,详细说明 pdepe 的用法。

    3.2 求解一维偏微分方程

    例 2 试解以下之偏微分方程式

    解 下面将叙述求解的步骤与过程。当完成以下各步骤后,可进一步将其汇总为一 主程序 ex20_1.m,然后求解。

    步骤 1 将欲求解的偏微分方程改写成如式的标准式

    步骤 2 编写偏微分方程的系数向量函数

    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx) 
    c=pi^2;
    f=dudx;
    s=0;
     

    步骤 3 编写起始值条件。

    function u0=ex20_1ic(x)
    u0=sin(pi*x);

    步骤 4 编写边界条件

    在编写之前,先将边界条件改写成标准形式,如式(37), 找出相对应的 p(⋅) 和 q(⋅) 函数,然后写出 MATLAB 的边界条件函数,例如,原边界条 件可写成

    因而,边界条件函数可编写成

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=ul;
    ql=0;
    pr=pi*exp(-t);
    qr=1; 

    步骤 5 取点。例如

    x=linspace(0,1,20); %x 取 20 点
    t=linspace(0,2,5); %时间取 5 点输出

    步骤 6 利用 pdepe 求解。

    m=0; %依步骤 1 之结果
    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t); 

    步骤 7 显示结果。

    u=sol(:,:,1);
    surf(x,t,u)
    title('pde 数值解')
    xlabel('位置')
    ylabel('时间' )
    zlabel('u')

    若要显示特定点上的解,可进一步指定 x 或 t 的位置,以便绘图。例如,欲了解时 间为 2(终点)时,各位置下的解,可输入以下指令(利用 pdeval 指令):

    figure(2); %绘成图 2
    M=length(t); %取终点时间的下标
    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
    plot(xout,uout); %绘图
    title('时间为 2 时,各位置下的解')
    xlabel('x')
    ylabel('u') 

    综合以上各步骤,可写成一个程序求解例 2。其参考程序如下

    function ex20_1
    %************************************
    %求解一维热传导偏微分方程的一个综合函数程序
    %************************************
    m=0;
    x=linspace(0,1,20); %xmesh
    t=linspace(0,2,20); %tspan
    %************
    %以 pde 求解
    %************
    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);
    u=sol(:,:,1); %取出答案
    %************
    %绘图输出
    %************
    figure(1)
    surf(x,t,u)
    title('pde 数值解')
    xlabel('位置 x')
    ylabel('时间 t' )
    zlabel('数值解 u')
    %*************
    %与解析解做比较
    %*************
    figure(2)
    surf(x,t,exp(-t)'*sin(pi*x));
    title('解析解')
    xlabel('位置 x')
    ylabel('时间 t' )
    zlabel('数值解 u')
    %*****************
    %t=tf=2 时各位置之解
    %*****************
    figure(3)
    M=length(t); %取终点时间的下表
    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
    plot(xout,uout); %绘图
    title('时间为 2 时,各位置下的解')
    xlabel('x')
    ylabel('u')
    %******************
    %pde 函数
    %******************
    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)
    c=pi^2;
    f=dudx;
    s=0;
    %****************** 
    %初始条件函数
    %******************
    function u0=ex20_1ic(x)
    u0=sin(pi*x);
    %******************
    %边界条件函数
    %******************
    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=ul;
    ql=0;
    pr=pi*exp(-t);
    qr=1;

    例 3 试解以下联立的偏微分方程系统

    解 步骤 1:改写偏微分方程为标准式

     

    步骤 2:编写偏微分方程的系数向量函数

    function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
    c=[1 1]';
    f=[0.024 0.170]'.*dudx;
    y=u(1)-u(2);
    F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
    s=[-F F]';

    步骤 3:编写初始条件函数

    function u0=ex20_2ic(x)
    u0=[1 0]';

    步骤 4:编写边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=[0 ul(2)]';
    ql=[1 0]';
    pr=[ur(1)-1 0]';
    qr=[0 1]'; 

    步骤 5: 取点。 由于此问题的端点均受边界条件的限制,且时间t 很小时状态的变动很大(由多次求 解后的经验得知),故在两端点处的点可稍微密集些。同时对于t 小处亦可取密一些。例 如,

    x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
    t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2]; 

    以上几个主要步骤编写完成后,事实上就可直接完成主程序来求解。此问题的参考 程序如下:

    function ex20_2
    %*************************************** 
    %求解一维偏微分方程组的一个综合函数程序
    %***************************************
    m=0;
    x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
    t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2];
    %*************************************
    %利用 pdepe 求解
    %*************************************
    sol=pdepe(m,@ex20_2pdefun,@ex20_2ic,@ex20_2bc,x,t);
    u1=sol(:,:,1); %第一个状态之数值解输出
    u2=sol(:,:,2); %第二个状态之数值解输出
    %*************************************
    %绘图输出
    %*************************************
    figure(1)
    surf(x,t,u1)
    title('u1 之数值解')
    xlabel('x')
    ylabel('t')
    %
    figure(2)
    surf(x,t,u2)
    title('u2 之数值解')
    xlabel('x')
    ylabel('t')
    %***************************************
    %pde 函数
    %***************************************
    function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
    c=[1 1]';
    f=[0.024 0.170]'.*dudx;
    y=u(1)-u(2);
    F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
    s=[-F F]';
    %****************************************
    %初始条件函数
    %****************************************
    function u0=ex20_2ic(x)
    u0=[1 0]';
    %****************************************
    %边界条件函数
    %****************************************
    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=[0 ul(2)]';
    ql=[1 0]';
    pr=[ur(1)-1 0]';
    qr=[0 1]';

    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

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  • MATLAB程序分享求解偏微分方程扩散方程有限差分法-MATLAB求解偏微分方程(扩散方程)有限差分法 源程序代码.rar 程序代码见附件,拿资料请顺便顶个贴~~ 如果下载有问题,请加我 qq 1530497909,给你在线传

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