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  • 3.3当题目只涉及圆锥曲线上一点时,如何用解析法说明三种圆锥曲线的共性 3.4当题目涉及圆锥曲线上两点的情形 3.5论证椭圆及双曲线时要注意的几个情况,三种圆锥曲线的个性 第4章用仿射变换解关于椭圆的问题 4.1引言 ...
  • 神奇的圆锥曲线与解题秘诀 学习圆锥曲线的同学可以参考一下,此文档对你肯定很有帮助。
  • 此处介绍的函数集允许您使用 3x3 矩阵构建、绘制、拟合和获取圆锥曲线(椭圆和双曲线)的参数。 此外,函数允许您绘制以其齐次矢量形式表示的线。 我希望这些功能对需要创建、处理和可视化此类表格的研究人员有用。
  • 圆锥曲线拟合

    2015-09-13 09:02:18
    用于拟合各种圆锥曲线 如椭圆、双曲线、抛物线等
  • 对椭圆形线电流中心以及圆锥曲线电流焦点的磁场进行讨论,并进行了数值分析.结果当椭圆离心率e从0开始增大时,椭圆形线电流在中心(焦点)处的磁感应强度开始增大,当双曲线离心率e由1开始增大时,双曲线形线电流在其...
  • 常用GeoGebra指令—16.圆锥曲线.pdf 圆形 圆形[ <圆心>, <半径长度> ] 画出一个圆形如:圆形[(0,0),5]
  • 圆锥曲线146个结论
  • 圆锥曲线的几何性质

    2018-10-01 18:35:05
    圆锥曲线的几何性质》采用综合法,从图形到图形,以平面几何知识为主,立体几何知识为辅,介绍了圆锥曲线的大批几何性质。主要内容包括:抛物线、正射影、椭圆、双曲线、直角双曲线、圆柱面和圆锥面的截线等等。
  • 基于数学核心素养的圆锥曲线教学研究
  • 数学0109圆锥曲线[精选].docx
  • 文章目录椭圆双曲线抛物线极坐标方程 作为让高中生心脏骤停的四个字,对于高考之后的人来说可谓刻骨铭心,所以定义不再赘述,直接撸图,其标准方程分别为 椭圆 双曲线 抛物线 x2a+y2b=1\frac{x^2}{a}+\frac{...

    作为让高中生心脏骤停的四个字,对于高考之后的人来说可谓刻骨铭心,所以定义不再赘述,直接撸图,其标准方程分别为

    椭圆双曲线抛物线
    x 2 a + y 2 b = 1 \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1 ax2+by2=1 x 2 a − y 2 b = 1 \frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1 ax2by2=1 y 2 = 2 p x y^2=2px y2=2px

    在Python中,绘制动图需要用到matplotlib中的animation包,其调用方法以及接下来要用到的参数为

    ani = animation.FuncAnimation(fig, func, frames, interval)
    

    其中fig为绘图窗口,func为绘图函数,其返回值为图像,frames为迭代参数,如果为整型的话,其迭代参数则为range(frames)

    椭圆

    为了绘图方便,椭圆的参数方程为

    { x = a cos ⁡ t y = b sin ⁡ t \left\{ \begin{aligned} x = a\cos t\\ y = b\sin t \end{aligned}\right. {x=acosty=bsint

    a = 5 , b = 3 , c = 4 a=5,b=3,c=4 a=5,b=3,c=4,则焦点为 ( 4 , 0 ) , ( − 4 , 0 ) (4,0),(-4,0) (40),(4,0),则有

    在这里插入图片描述

    代码为:

    # 这三个包在后面的程序中不再复述
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib.animation as animation
    
    a,b,c = 5,3,4
    fig = plt.figure(figsize=(12,9))
    ax = fig.add_subplot(autoscale_on=False, 
        xlim=(-a,a),ylim=(-b,b))
    ax.grid()
    
    line, = ax.plot([],[],'o-',lw=2)
    trace, = ax.plot([],[],'-', lw=1)
    theta_text = ax.text(0.02,0.85,'',transform=ax.transAxes)
    textTemplate = '''theta = %.1f°\n
    lenL = %.1f, lenR = %.1f\n
    lenL+lenR = %.1f'''
    
    xs,ys = [], []
    
    def animate(i):
        if(i==0):
            xs.clear()
            ys.clear()
        theta = i*0.04
        x = a*np.cos(theta)
        y = b*np.sin(theta)
        xs.append(x)
        ys.append(y)
        line.set_data([-c,x,c], [0,y,0])
        trace.set_data(xs,ys)
        lenL = np.sqrt((x+c)**2+y**2)
        lenR = np.sqrt((x-c)**2+y**2)
        theta_text.set_text(textTemplate % 
            (180*theta/np.pi, lenL, lenR, lenL+lenR))
        return line, trace, theta_text
    
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 157, 
        interval=5, blit=True)
    ani.save("ellipse.gif")
    
    plt.show()
    

    双曲线

    双曲线的参数方程为

    { x = a ch ⁡ t = e t + e − t 2 y = b sh ⁡ t = e t − e − t 2 \left\{\begin{aligned} x = a\ch t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\\ y = b\sh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2} \end{aligned}\right. x=acht=2et+ety=bsht=2etet

    a = 4 , b = 3 , c = 5 a=4,b=3,c=5 a=4,b=3,c=5,则代码如下

    a,b,c = 4,3,5
    fig = plt.figure(figsize=(12,9))
    ax = fig.add_subplot(autoscale_on=False, 
        xlim=(-c,16),ylim=(-12,12))
    ax.grid()
    
    line, = ax.plot([],[],'o-',lw=2)
    trace, = ax.plot([],[],'-', lw=1)
    theta_text = ax.text(0.01,0.85,'',
        transform=ax.transAxes)
    textTemplate = '''t = %.1f\n
    lenL = %.1f, lenR = %.1f\n
    lenL-lenR = %.1f'''
    
    xs,ys = [],[]
    
    def animate(t):
        if(t==-3):
            xs.clear()
            ys.clear()
        x = a*np.cosh(t)
        y = b*np.sinh(t)
        xs.append(x)
        ys.append(y)
        line.set_data([-c,x,c], [0,y,0])
        trace.set_data(xs,ys)
        lenL = np.sqrt((x+c)**2+y**2)
        lenR = np.sqrt((x-c)**2+y**2)
        theta_text.set_text(textTemplate % 
            (t, lenL, lenL, lenL-lenR))
        return line, trace, theta_text
    
    frames = np.arange(-3,3,0.05)
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
        frames, interval=5, blit=True)
    ani.save("hyperbola.gif")
    
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    抛物线

    p = 1 p=1 p=1,则焦点位置为 ( 0 , p 2 ) (0,\frac{p}{2}) (0,2p),准线为 x = − p 2 x=-\frac{p}{2} x=2p,代码如下

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib.animation as animation
    
    a,b,c = 4,3,5
    p = 1
    fig = plt.figure(figsize=(12,9))
    ax = fig.add_subplot(autoscale_on=False, 
        xlim=(-0.6,4.5),ylim=(-3,3))
    ax.grid()
    
    ax.plot([-p/2,-p/2],[-5,5],'-',lw=2)
    line, = ax.plot([],[],'o-',lw=2)
    trace, = ax.plot([],[],'-', lw=1)
    theta_text = ax.text(0.05,0.85,'',
        transform=ax.transAxes)
    textTemplate = '''y = %.1f\n
    lenL = %.1f, lenF = %.1f\n
    lenL-lenF = %.1f'''
    
    xs,ys = [],[]
    def animate(y):
        if(y==-3):
            xs.clear()
            ys.clear()
        x = y**2/p/2
        xs.append(x)
        ys.append(y)
        line.set_data([-p,x,p/2], [y,y,0])
        trace.set_data(xs,ys)
        lenL = x+p/2
        lenF = np.sqrt((x-p/2)**2+y**2)
        theta_text.set_text(textTemplate % 
            (y, lenL, lenF, lenL-lenF))
        return line, trace, theta_text
    
    frames = np.arange(-3,3,0.1)
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
        frames, interval=5, blit=True)
    ani.save("parabola.gif")
    
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    极坐标方程

    圆锥曲线在极坐标系下有相同的表达式,即

    ρ = p 1 − e cos ⁡ φ \rho=\frac{p}{1-e\cos\varphi} ρ=1ecosφp

    其中, p p p为焦参数, e e e为离心率,当 ∣ e ∣ > 1 |e|>1 e>1时为双曲线; ∣ e ∣ = 1 |e|=1 e=1时为抛物线, ∣ e ∣ < 1 |e|<1 e<1时为椭圆,特别地 e = 0 e=0 e=0为圆。

    matplotlib中,极坐标图像需要通过projection='polar'来标识,其代码为

    p = 2
    fig = plt.figure(figsize=(12,9))
    ax = fig.add_subplot(autoscale_on=False, projection='polar')
    ax.set_rlim(0,8)
    
    trace, = ax.plot([],[],'-', lw=1)
    theta_text = ax.text(0.05,0.95,'',transform=ax.transAxes)
    textTemplate = 'e = %.1f\n'
    
    theta = np.arange(-3.1,3.2,0.1)
    def animate(e):
        rho = p/(1-e*np.cos(theta))
        trace.set_data(theta,rho)
        theta_text.set_text(textTemplate % e)
        return trace, theta_text
    
    frames = np.arange(-2,2,0.1)
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
        frames, interval=100, blit=True)
    ani.save("polar.gif")
    
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • Matlab软件在高中数学圆锥曲线学习过程中的应用.pdf
  • 完美版圆锥曲线知识点总结,xdf文件,可用稻壳阅读器打开。文档共15页,涵盖初等数学圆锥曲线内容的详细梳理
  • 2018圆锥曲线经典结论总结完美版手写带图.doc
  • 齐次平移巧解一类圆锥曲线问题.pdf
  • 360圆锥曲线40个专题969页word.rar.rar
  • (完整版)圆锥曲线与方程测试题(带答案).pdf
  • (完整版)圆锥曲线经典结论总结(教师版).pdf
  • 这个应用程序将帮助用户理解椭圆、抛物线和双曲线。 用户可以更改参数并可视化这些更改如何影响圆锥截面。
  • 精品教育教学资料
  • 圆锥曲线极点极线1

    千次阅读 2020-04-14 21:01:51
    圆锥曲线】极点极线1 本系列文章面向学习圆锥曲线的高中生,试图以高中所学的圆锥曲线知识入手,介绍有关极点极线知识的一些实用推论和相关解题技巧。 本节内容:切线和切点弦

    【圆锥曲线】极点极线1

    简介

    本系列文章面向学习圆锥曲线的高中生,试图以高中所学的圆锥曲线知识入手,介绍有关极点极线知识的一些实用推论和相关解题技巧。

    1. 从切线说起

    定理1.1 椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2+b2y2=1    ( a > 0 ,    b > 0 ) \;(a>0,\;b>0) (a>0,b>0). ∀    P ( x 0 , y 0 ) ∈ C \forall\; P(x_0,y_0)\in C P(x0,y0)C,过点 P P P 作椭圆 C C C 的切线,则切线 l l l 的方程为
    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 (*1.1) \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*1.1} a2x0x+b2y0y=1(*1.1)

    (此结论要求熟记并且灵活运用)

    证1(判别式法)
    证明:
    由于 P ( x 0 , y 0 ) ∈ C P(x_0,y_0)\in C P(x0,y0)C,所以
    x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1 (1.1) \dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1 \tag{1.1} a2x02+b2y02=1(1.1)
    x 0 = ± a x_0=\pm a x0=±a,则切线 l l l的方程为 x = ± a x=\pm a x=±a,命题显然成立。
    x 0 ≠ ± a x_0\ne\pm a x0=±a,则 l l l 的斜率存在,设 l : y = k x + m l: y=kx+m l:y=kx+m,则
    y 0 = k x 0 + m (1.2) y_0=kx_0+m \tag{1.2} y0=kx0+m(1.2)
    与椭圆方程联立消去 y y y,得
    ( b 2 + a 2 k 2 ) x 2 − 2 k m a 2 x + a 2 ( m 2 − b 2 ) = 0 (1.3) (b^2+a^2k^2)x^2-2kma^2x+a^2(m^2-b^2)=0 \tag{1.3} (b2+a2k2)x22kma2x+a2(m2b2)=0(1.3)
    判别式
    Δ x = 4 a 2 b 2 ( b 2 + a 2 k 2 − m 2 ) (1.4) \Delta_x =4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2) \tag{1.4} Δx=4a2b2(b2+a2k2m2)(1.4)(常用结论建议背会)
    由切线性质,知方程 ( 1.3 ) (1.3) (1.3) x x x有且仅有唯一解。故 Δ x = 0 \Delta_x = 0 Δx=0,即
    b 2 + a 2 k 2 − m 2 = 0 (1.5) b^2+a^2k^2-m^2=0 \tag{1.5} b2+a2k2m2=0(1.5)
    联立 ( 1.2 ) (1.2) (1.2) ( 1.5 ) (1.5) (1.5) 消去 m m m 得关于 k k k的方程
    ( a 2 − x 0 2 ) k 2 + 2 x 0 y 0 k + b 2 − y 0 2 = 0 (1.6) (a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0 \tag{1.6} (a2x02)k2+2x0y0k+b2y02=0(1.6)
    判别式
    Δ k = 4 a 2 b 2 ( x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 − 1 ) (1.7) \Delta_k=4a^2b^2( \dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1) \tag{1.7} Δk=4a2b2(a2x02+b2y021)(1.7)
    代入 ( 1.1 ) (1.1) (1.1) ,得 Δ k = 0 \Delta_k=0 Δk=0,因此方程 ( 1.6 ) (1.6) (1.6) 有且仅有唯一解,且解为
    k = − 2 x 0 y 0 2 ( a 2 − x 0 2 ) = − b 2 x 0 a 2 y 0 (1.8) k=-\dfrac{2x_0y_0}{2(a^2-x_0^2)}=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0} \tag{1.8} k=2(a2x02)2x0y0=a2y0b2x0(1.8)(利用了 ( 1.1 ) (1.1) (1.1) 进行化简)
    l : y = k x + m l: y=kx+m l:y=kx+m代入 ( 1.2 )    ( 1.8 ) (1.2)\;(1.8) (1.2)(1.8) 消去 m , k m,k m,k
    l : x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 l: \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 l:a2x0x+b2y0y=1 ■ \blacksquare

    由证1过程,立即得推论

    推论1.1 椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2+b2y2=1    ( a > 0 ,    b > 0 ) \;(a>0,\;b>0) (a>0,b>0). ∀    P ( x 0 , y 0 ) \forall\; P(x_0,y_0) P(x0,y0),过点 P P P 作椭圆 C C C 的切线,

    1. P P P在椭圆 C C C上,则可作 1 1 1条切线.
    2. P P P在椭圆 C C C外,则可作 2 2 2条切线.
    3. P P P在椭圆 C C C内,则可作 0 0 0条切线.

    证明:

    x 0 ≠ ± a x_0\ne\pm a x0=±a,则若存在切线,其斜率一定存在,式 ( 1.6 ) (1.6) (1.6) 为关于斜率 k k k 的二次方程. 注意式 ( 1.7 ) (1.7) (1.7),1. 2. 3. 分别对应 Δ k = 0 , Δ k > 0 , Δ k < 0 \Delta_k=0, \Delta_k>0, \Delta_k<0 Δk=0,Δk>0,Δk<0 等三种情况,对应 k k k 有且仅有1解(即 1 1 1条切线),有相异的2解(即 2 2 2条切线)和无解(即 0 0 0条切线).

    x 0 = ± a x_0=\pm a x0=±a,则有且仅有一斜率不存在切线 x = ± a x=\pm a x=±a,若存在其它切线,其斜率一定存在. 实际上,式 ( 1.6 ) (1.6) (1.6) 已不是二次方程,其退化为
    2 x 0 y 0 k + b 2 − y 0 2 = 0 (1.9) 2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0 \tag{1.9} 2x0y0k+b2y02=0(1.9)其在 y 0 = 0 y_0=0 y0=0 P P P在椭圆上)无解,即总共只有 1 1 1条切线;在 y 0 ≠ 0 y_0\ne 0 y0=0 P P P在椭圆外)有唯一解,即总共有 2 2 2条切线. ■ \blacksquare

    证2(隐函数求导法)
    证明:椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2+b2y2=1 的方程左右对 x x x求导,得
    2 x a 2 + 2 y b 2 y ′ = 1 (1.10) \dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}y'=1 \tag{1.10} a22x+b22yy=1(1.10)
    y ≠ 0 y \ne 0 y=0
    y ′ = − b 2 x a 2 y (1.11) y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}\tag{1.11} y=a2yb2x(1.11)此式对 ∀    ( x , y ) ∈ C    ( y ≠ 0 ) \forall\; (x,y)\in C\;(y\ne 0) (x,y)C(y=0) 均成立.
    P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)
    y 0 = 0 y_0=0 y0=0,则切线 l l l的方程为 x = ± a x=\pm a x=±a,命题显然成立。
    y 0 ≠ 0 y_0\ne 0 y0=0,则 l l l 的斜率存在,且 k = − b 2 x 0 a 2 y 0 k=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0} k=a2y0b2x0. 利用点斜式即得
    l : x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 l: \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 l:a2x0x+b2y0y=1 ■ \blacksquare

    注:
    这里的隐函数,是指椭圆方程的 y y y 没有被 x x x 显式表示,即没有写为 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 的形式.。
    当然也可以根据 y y y 的符号把其改写为两段显函数,然后分别求导(过程繁琐)。

    证3(仿射变换)

    用隐函数求导法还可以轻松证明以下结论

    定理1.2 双曲线 C : x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2b2y2=1    ( a > 0 ,    b > 0 ) \;(a>0,\;b>0) (a>0,b>0). ∀    P ( x 0 , y 0 ) ∈ C \forall\; P(x_0,y_0)\in C P(x0,y0)C,过点 P P P 做双曲线 C C C 的切线,则切线 l l l 的方程为:
    x 0 x a 2 − y 0 y b 2 = 1 (*1.2) \dfrac{x_0 x}{a^2}-\dfrac{y_0 y}{b^2}=1\tag{*1.2} a2x0xb2y0y=1(*1.2)

    定理1.3 抛物线 C : y 2 = 2 p x C: y^2=2px C:y2=2px    ( p ≠ 0 ) \;(p\ne 0) (p=0). ∀    P ( x 0 , y 0 ) ∈ C \forall\; P(x_0,y_0)\in C P(x0,y0)C,过点 P P P 作抛物线 C C C 的切线,则切线 l l l 的方程为:
    y 0 y = p ( x + x 0 ) (*1.3) y_0y=p(x+x_0)\tag{*1.3} y0y=p(x+x0)(*1.3)

    定理1.4 二次曲线 Γ : A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y + F = 0 \Gamma: Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0. ∀    P ( x 0 , y 0 ) ∈ C \forall\; P(x_0,y_0)\in C P(x0,y0)C,过点 P P P 作曲线 C C C 的切线,则切线 l l l 的方程为:
    A x 0 x + B y 0 y + C 2 ( x 0 y + y 0 x ) + D 2 ( x + x 0 ) + E 2 ( y + y 0 ) + F = 0 (*1.4) Ax_0x+By_0y+\dfrac{C}{2}(x_0y+y_0x)\\ +\dfrac{D}{2}(x+x_0)+\dfrac{E}{2}(y+y_0)+F=0 \tag{*1.4} Ax0x+By0y+2C(x0y+y0x)+2D(x+x0)+2E(y+y0)+F=0(*1.4)
    注:即对二次曲线方程做如下替换
    x 2 → x 0 x y 2 → y 0 y x y → 1 2 ( x 0 y + y 0 x ) x → 1 2 ( x + x 0 ) y → 1 2 ( y + y 0 ) \begin{aligned} x^2&\to x_0x \\ y^2&\to y_0y \\ xy&\to \dfrac{1}{2}(x_0y+y_0x) \\ x&\to \dfrac{1}{2}(x+x_0) \\ y&\to \dfrac{1}{2}(y+y_0) \end{aligned} x2y2xyxyx0xy0y21(x0y+y0x)21(x+x0)21(y+y0)

    2. 切点弦

    由推论1.1知,过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线,分别切椭圆于两不同的切点。连接两切点的线段即为椭圆的一条弦,称其为切点弦。切点弦是圆锥曲线题的考察热点,有必要研究其性质。

    定理2.1 椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2+b2y2=1    ( a > 0 ,    b > 0 ) \;(a>0,\;b>0) (a>0,b>0). P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)是椭圆外一点,过点 P P P 作椭圆 C C C 的切线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2,分别切 C C C 于点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 A B AB AB 的方程为
    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 (*2.1) \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*2.1} a2x0x+b2y0y=1(*2.1)

    注:若 P P P 向椭圆上一点 P ′ P' P 趋近,则点 A , B A,B A,B也向 P ′ P' P趋近,直线 A B AB AB趋近于椭圆在 P ′ P' P 处的切线,符合定理1.1的内容.

    证明
    由定理1.1,知

    l 1 l_1 l1 的方程为 x 1 x a 2 + y 1 y b 2 = 1 (2.1) \dfrac{x_1 x}{a^2}+\dfrac{y_1 y}{b^2}=1 \tag{2.1} a2x1x+b2y1y=1(2.1)

    l 2 l_2 l2 的方程为 x 2 x a 2 + y 2 y b 2 = 1 (2.2) \dfrac{x_2 x}{a^2}+\dfrac{y_2 y}{b^2}=1 \tag{2.2} a2x2x+b2y2y=1(2.2)

    由于 P ∈ l 1 , P ∈ l 2 P\in l_1, P\in l_2 Pl1,Pl2,知 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 满足 ( 2.1 ) , ( 2.2 ) (2.1),(2.2) (2.1),(2.2),得

    x 1 x 0 a 2 + y 1 y 0 b 2 = 1 (2.3) \dfrac{x_1 x_0}{a^2}+\dfrac{y_1 y_0}{b^2}=1 \tag{2.3} a2x1x0+b2y1y0=1(2.3)

    x 2 x 0 a 2 + y 2 y 0 b 2 = 1 (2.4) \dfrac{x_2 x_0}{a^2}+\dfrac{y_2 y_0}{b^2}=1 \tag{2.4} a2x2x0+b2y2y0=1(2.4)

    换一个角度考虑
    即点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) A(x1,y1),B(x2,y2)均满足

    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 (2.5) \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{2.5} a2x0x+b2y0y=1(2.5)

    由于 A , B A,B A,B两点确定一条直线,知直线 A B AB AB的方程就是 ( 2.5 ) (2.5) (2.5). ■ \blacksquare

    定理2.2 椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 C:a2x2+b2y2=1    ( a > 0 ,    b > 0 ) \;(a>0,\;b>0) (a>0,b>0). P ( x p , y p ) P(x_p,y_p) P(xp,yp)是椭圆外一点,过点 P P P 作椭圆 C C C 的切线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2,分别切 C C C 于点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) A(x1,y1),B(x2,y2). 若切点弦 A B AB AB恒过椭圆内一定点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0),则点 P P P在下面的定直线上
    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 (*2.2) \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*2.2} a2x0x+b2y0y=1(*2.2)

    证明
    由定理2.1知,直线 A B AB AB的方程为
    x p x a 2 + y p y b 2 = 1 (2.6) \dfrac{x_p x}{a^2}+\dfrac{y_p y}{b^2}=1 \tag{2.6} a2xpx+b2ypy=1(2.6)

    由于 M ∈ A B M\in AB MAB,即 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0) 符合式 ( 2.6 ) (2.6) (2.6),代入即得
    x p x 0 a 2 + y p y 0 b 2 = 1 (2.7) \dfrac{x_p x_0}{a^2}+\dfrac{y_p y_0}{b^2}=1 \tag{2.7} a2xpx0+b2ypy0=1(2.7)

    换一个角度考虑
    即点 P ( x p , y p ) P(x_p,y_p) P(xp,yp)符合方程
    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 (2.8) \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{2.8} a2x0x+b2y0y=1(2.8)

    所以点 P P P在式 ( 2.8 ) (2.8) (2.8) 所表示的定直线上. ■ \blacksquare

    小结

    在切线和切点弦的相关问题中,直线方程 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 a2x0x+b2y0y=1 屡见不鲜。

    这启示我们,点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)和直线 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 a2x0x+b2y0y=1 之间可能存在某些特殊的联系。

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    前言

    圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线;但由于圆和椭圆有近亲关系,都是封闭曲线,且椭圆的两个焦点合二为一时,椭圆就变成了圆;双曲线和抛物线都是非封闭曲线,这两个和前两个的区别就挺大了。

    基础知识

    • 直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系

    1、从几何角度看,直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类:①无公共点;②仅有一个公共点;③有两个相异的公共点;

    2、从数的角度看,可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\(l\)的方程\(Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0\),或者说\(A\)\(B\)不同时为\(0\)),代入圆锥曲线\(C\)的方程\(F(x,y)=0\)中,消去\(y\)(或者\(x\))得到一个关于变量\(x\)(或者变量\(y\))的一元方程(仿二次方程),即由\(\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{F(x,y)=0}\end{array}\right.\),消去\(y\)得到\(ax^2+bx+c=0\)

    (1)当\(a\neq 0\)时,设一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(\Delta\),则有

    \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交于不同的两点;

    \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相切;

    \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相离,无公共点;

    (2)当\(a=0\)\(b\neq 0\)时,即得到一个一次方程,则直线\(l\)与圆锥曲线相交,且只有一个交点;此时

    \(C\)为双曲线,则直线\(l\)与双曲线\(C\)的渐近线的位置关系是平行;

    \(C\)为抛物线,则直线\(l\)与抛物线\(C\)的对称轴的位置关系是平行或者重合;

    典例剖析

    例1【教材改编】曲线\(x^2+\lambda y^2=1(\lambda\neq 0)\)恒过定点_________。\((\pm 1,0)\)

    法1:从数的角度思考分析,类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0,1)\)的方法思路,令\(y=0\),得到\(x^2=1\),故上述曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    法2:从形的角度思考分析,变形得到\(\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{\lambda}}=1\),用动态的观点思考,当\(\lambda\)变化时,椭圆或者双曲线与\(x\)轴的交点坐标\((-1,0)\)\((1,0)\)始终不变,故曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    例2【教材改编】过点\((4,0)\)的直线交抛物线\(y^2=4x\)\(A\)\(B\)两点,\(O\)为坐标原点,则\(\angle AOB\)的值等于___________。\(\cfrac{\pi}{2}\)

    法1:常规方法求解,\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    法2:特殊化策略思考,当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时,应该没有改变题目中的已知条件,故可以思考用特殊化策略,此时能轻松得到\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    例3【教材改编】点\(M(x,y)\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{5}+y^2=1\)上,则\(x+y\)的取值范围为___________。\([-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    分析:椭圆上任意一点的坐标的参数方程为\((\sqrt{5}cos\theta,sin\theta)\)\(\theta\in [0,2\pi)\)

    \(x+y=\sqrt{5}cos\theta+sin\theta=\sqrt{6}sin(\theta+\phi)\),故\(x+y\in [-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    解后反思:椭圆的参数方程的优越性;变量集中;三角函数;求值域中的三角换元;知一求二类[(\(sinx+cosx\)\(sinx-cosx\)\(sinx\cdot cosx\))(奇偶性,周期性,对称性)]

    例4【教材改编】直线\(y=kx-k+1\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)的位置关系为【】

    $A.相交$ $B.相切$ $C.相离$ $D.不确定$

    法一:从数的角度思考,常规方法,将直线\(y=kx-k+1\)代入椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)中,[注意运算技巧]

    化简整理为\((9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0\)\(\Delta =\cdots=1152k^2+288k+4\times 108>0\)

    则直线和椭圆相交,故选\(A\)

    法2:从形的角度思考,将直线变形为\(y-1=k(x-1)\),则可知其恒过定点\((1,1)\)

    \((1,1)\)代入\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}\),得到\(\cfrac{1^2}{9}+\cfrac{1^2}{4}<1\),即点\((1,1)\)在椭圆内,

    则直线和椭圆必然相交,故选\(A\)

    相关阅读: 1、曲线或函数恒过定点

    例5【教材改编】点\(M\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)\(F_1\)\(F_2\)为其焦点,则\(\angle F_1MF_2\)的最大值为________。

    分析:特殊化策略,当点\(M\)位于椭圆的上下顶点位置时,\(\angle F_1MF_2\)最大,最大值为\(\cfrac{\pi}{3}\)

    • 直线与曲线交于一点的误区:

    例6【教材改编】过点\((0,1)\)作直线,使它与抛物线\(y^2=4x\)仅有一个公共点,这样的直线有_________条。

    分析:如图所示,过点\((0,1)\)做直线,和抛物线仅有一个公共点时,这样的直线有切线和非切线两种情形:

    992978-20190729201239371-412764748.png

    当为切线时,其一为直线\(x=0\),此时直线无斜率;其二为\(y=kx+1\),设切点为\((x_0,y_0)\),则

    \(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0+1}\\{y_0^2=4x_0}\\{k=\frac{1}{\sqrt{x_0}}}\end{array}\right.\),解得\(x_0=\cfrac{1}{2}\)\(y_0=\sqrt{2}\)\(k=2(\sqrt{2}-1)\)

    故另一条切线为\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    当为非切线时,直线为\(y=1\),故这样的直线分别为\(x=0\)\(y=1\)\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    例7【教材改编】直线\(y=-\cfrac{3}{2}x+2\)与双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1\)有_______个交点;

    分析:由于直线和渐近线平行,故只能有一个交点。

    例8直线\(y=kx+m\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{y^2}{3}=1\)只有一个公共点,则\(k\)\(m\)的关系式为__________。\(m^2=2k^2+3\)

    法1:判别式法,利用\(\Delta=0\),得到\(m^2=2k^2+3\)

    法2:平行线法。

    例2设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过\(F\)且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交\(C\)\(A\)\(B\)两点,则\(|AB|\)等于()

    $A.\cfrac{\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\sqrt{3}$

    【法1】:常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\),又斜率为\(k=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)和抛物线方程,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y^2=3x}\\{y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})}\end{array}\right.\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\)

    \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)

    \(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    【法2】:利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,

    直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\),将其代入\(y^2=3x\)中,

    整理得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\),设\(A\)\(B\)对应的参数分别为\(t_1\)\(t_2\)

    \(\Delta>0\),且有\(t_1+t_2=6\sqrt{3}\)\(t_1t_2=-9\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    【法3】:利用抛物线的定义可知,\(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\frac{2p}{sin^2\alpha}\),则\(|AB|=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{1}{2})^2}=12\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11265541.html

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  • 圆锥曲线中的范围最值问题

    千次阅读 2019-10-01 18:17:08
    圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题求解,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题求解,或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解...

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