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前几天,我曾经发布过关于如何生成花形曲线的文章,参见
数学图形(1.11) 玫瑰线
数学图形(1.27) 花
这一节中,会将二维的花形曲线变成三维的花形曲面,其样子会漂亮很多.
相关软件参见:数学图形可视化工具,使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.

(1)玫瑰线

vertices = D1:4000 D2:6

n = 8

u = from 0 to (n*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

a = rand_int2(2, 16)
r = 10*sin(a*u)*v
k = u/n/2

x = r*cos(u)*cos(k)
z = r*sin(u)*cos(k)
y = GOLD* abs(r)*sin(k)

(2)双层玫瑰

vertices = D1:4000 D2:6

n = rand_int2(3, 16)

u = from 0 to (n*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

r = 10*(1 + 3*sin(n*u))*v
k = u/n/2

x = r*cos(u)*cos(k)
z = r*sin(u)*cos(k)
y = GOLD* abs(r)*sin(k)

(3)超级玫瑰

#http://www.2dcurves.com/roulette/rouletters.html

vertices = D1:8000 D2:6

n = 16

u = from 0 to (n*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

a = rand_int2(1, 100) / 8
b = rand_int2(1, 100) / 8
c = rand_int2(-10, 100) / 8
d = rand_int2(1, 100) / 8
f = rand_int2(1, 100) / 8

w = pow(abs(cos(d*u)), a) + pow(abs(sin(d*u)), b)
r = 10*v*sin(f*u)*pow(w, c)
w = u/n/2

x = r*sin(u)*cos(w)
z = r*cos(u)*cos(w)
y = GOLD*abs(r)*sin(w)

(4)N叶草

#http://www.mathcurve.com/courbes2d/biquartic/biquartic.shtml

vertices = D1:4000 D2:6

m = 8

u = from (-PI) to (m*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

n = rand_int2(3, 10)
p = (1 + cos(n*u) + sin(n*u)^2) * v
k = u/m/2

x = p*cos(u)*cos(k)
z = p*sin(u)*cos(k)
y = abs(p)*sin(k)

(5)folioide

vertices = D1:6 D2:4000

m = 32

u = from (-PI/2) to (m*PI) D2
v = from 0 to 1 D1

e = rand2(0.1, 10)
a = 10 / e
i = rand_int2(2, 10)
j = rand_int2(1, 10)
n = i/j

p = a*(e*cos(n*u) + sign(u)*e*sqrt(1 - pow(cos(n*u), 2)))*v
w = u/m/2

x = p*cos(u)*cos(w)
z = p*sin(u)*cos(w)
y = GOLD * abs(p)*sin(w)

(6)botanic

#http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteb.html

vertices = D1:8000 D2:6

n = 32

u = from 0 to (n*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

r = 10*v

c = rand2(0.1, 10)
d = rand2(1, 10)

p = r*(1 + d*sin(c*u))
w = u/n/2

x = p*cos(u)*cos(w)
z = p*sin(u)*cos(w)
y = 0.6*abs(p)*sin(w)

(7)对N叶草的花形做些优化

#http://www.mathcurve.com/courbes2d/biquartic/biquartic.shtml

vertices = D1:4000 D2:6

m = 8

u = from (-PI) to (m*PI) D1
v = from 0 to 1 D2

n = rand_int2(3, 10)
p = (1 + cos(n*u) + sin(n*u)^2) * v
k = u/m/2
w = pow(v, 1.05)

x = p*cos(u)*cos(k)
z = p*sin(u)*cos(k)
y = w*abs(p)*sin(k)

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Kuen Surface应该又是一个以数学家名字命名的曲面.本文将展示几种Kuen Surface的生成算法和切图,其中有的是标准的,有的只是相似.使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.相关软件参见:数学图形可视化工具,该软件免费开源.QQ交流群: 367752815
公式1

#http://jalape.no/math/kuentxt

vertices = D1:100 D2:100

u = from  (-4.5) to (4.5) D1
v = from (PI*0.01) to (PI*0.99) D2

x=2*(cos(u)+u*sin(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v))
z=2*(sin(u)-u*cos(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v))
y=log(tan(v/2))+2*cos(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v))

公式2
.

#http://www.mathcurve.com/surfaces/kuen/kuen.shtml

vertices = D1:100 D2:100

u = from  (-4.5) to (4.5) D1
v = from (PI*0.01) to (PI*0.99) D2

x=2*(cos(u)+u*sin(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v))
z=2*(sin(u)-u*cos(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v))
y=ln(tan(v/2))+2*cos(v)/(1+u*u*sin(v))

公式3
.

#http://www.mathcurve.com/surfaces/kuen/kuen.shtml

vertices = D1:100 D2:100

u = from  (-4.5) to (4.5) D1
v = from (-PI*1.5) to (PI*1.5) D2

t = u*u+ch(v)*ch(v)

x=2*(cos(u)+u*sin(u))*ch(v)/t
z=2*(sin(u)-u*cos(u))*ch(v)/t
y=v - sh(2*v)/t

公式4

(1)

(2)

(3)

(4)

#http://mathworld.wolfram.com/KuenSurface.html

vertices = D1:100 D2:100

u = from  (-PI*1.6) to (PI*1.6) D1
v = from (PI*0.01) to (PI*0.99) D2

a = sin(u)
b = cos(u)
c = sin(v)
d = cos(v)

t = 1 + u*u*c*c

x = 2*(b + u*a)*c/t
z = 2*(a + u*b)*c/t
y = ln[tan(v/2)] + 2*d/t

y = limit(y, -50, 50)

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上一节讲的是螺旋曲面,这一节中将曲面绕个圈,生成螺旋管.提供了若干种生成螺旋管的脚本代码,最后还生成麻花的图形.

相关软件参见:数学图形可视化工具,使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.
(1)螺旋管

vertices = D1:720 D2:72
u = from 0 to (10*PI) D1
v = from 0 to (2*PI) D2

a = 3

x = (a + cos(v)) * cos(u)
z = (a + cos(v)) * sin(u)
y = sin(v) + u

(2)螺旋管随机

vertices = D1:720 D2:72
u = from 0 to (6*PI) D1
v = from 0 to (2*PI) D2

a = rand2(2, 5)
b = rand2(0.5, 1)
c = rand2(0.5, 2)

x = c * (a + b * cos(v)) * cos(u)
y = c * (a + b * cos(v)) * sin(u)
z = c * b * sin(v) + u * 2/PI - 6

(3)螺旋管(逐渐变细)
可以将螺旋管想象成一个圆圈曲线绕一轴旋转+平移

vertices = D1:720 D2:72
u = from 0 to 1 D1
v = from 0 to (2*PI) D2

a = 3
b = 5

x = (1 - u)*(a + cos(v)) * cos(b*PI*u)
z = (1 - u)*(a + cos(v)) * sin(b*PI*u)
y = (1 - u)*sin(v) + a*u + PI

u = u*10

(4)Circle 旋转管

vertices = D1:100 D2:600

u = from (0) to (2*PI) D1
v = from 0 to (12*PI) D2

r = 2
m = rand2(r, r*10)

n = r*cos(u) + m

y = r*sin(u) + v

x = n*cos(v)
z = n*sin(v)

(5)麻花曲面

vertices = D1:3600 D2:100
u = from 0 to (PI*10) D1
v = from 0 to (PI*2) D2

a = 10
b = rand2(5, 10)

x = a*cos(u)*cos(v)
z = a*sin(u)*cos(v)
y = a*sin(v) + b*u

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