一、传递函数与微分方程是一一对应的关系

传递函数、频率特性、频域分析与时域的各个环节是一一对应的，好处在于便于分析计算。

频域本身没有什么物理意义，它的意义就在于与时域环节一 一对应，见到频域的传递函数，就想到它对应的时域的环节。

 

以惯性环节为例，看到传递函数K/（Ts+1）就想到惯性环节的过程是先对输入进行积分，等到3~4T的时候才保持恒值

 

 





 

 

确实有点惯性的意思，给它一个输入，它不愿意马上就变过去，还想保持原来的状态，于是就扭扭捏捏地变过去。



 

二、惯性环节

惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储，如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。

eg.电机就是惯性环节：给它施加电压，不能马上转到电压对应的速度；撤去电压，Motor不能马上停。

 

惯性环节

 

 



 

 



 

分母阶次大于分子阶次，主要表现在系统的惯性。

这句话值得思考，像上面的一阶惯性环节，分母阶次比分子大一阶，其实就是多了一阶导函数。

 

三、惯性环节与积分环节

 

 





 



可以看到，惯性环节的bode图分为两个部分，首先是比例过程，等过渡过程结束之后就是一个积分过程。

1. 连续时间传递函数

1.1 多项式形式传递函数

num = 1;             % 分子多项式的系数
den = [2, 3];        % 分母多项式的系数
G = tf(num, den)     % 求传递函数

在matlab中，运行上述代码，可以得到传递函数

1.2 因式乘积形式（零极点）传递函数

z = [1];                % 零点
p = [2,3];              % 极点
k = -4;                 % 增益
G = zpk(z, p, k)        % 求传递函数

在matlab中，运行上述代码，可以得到传递函数

1.3 由状态空间描述得到传递函数（单输入单输出）

A = [0 1; -1 -1];                   % 系统矩阵
B = [0; 1];                         % 输入矩阵
C = [1 0];                          % 输出矩阵
D = 0;                              % 直接传递矩阵
[num, den] = ss2tf(A, B, C, D);     % 求分子多项式与分母多项式
G = tf(num, den)                    % 求传递函数   

在matlab中，运行上述代码，可以得到传递函数

2. 离散传递函数

如果想要从某个连续传递函数得到在特定采样周期下的离散函数，请看第3节。

离散时间传递函数的建立与连续时间基本一致，只需要引入一个采样周期。

请注意z变换与拉氏变换之间的区别，二者基本无共同点。

2.1 多项式形式离散传递函数

num = 1;             % 分子多项式的系数
den = [2, 3];        % 分母多项式的系数
T   = 1;             % 采样周期（1s）
G = tf(num, den, T)  % 求传递函数

在matlab中，运行上述代码，可以得到传递函数，采样时间为1s。

2.2 零极点形式离散传递函数

z = [1];                % 零点
p = [2,3];              % 极点
k = -4;                 % 增益
T = 1;                  % 采样周期（1s）
G = zpk(z, p, k, T)     % 求传递函数

在matlab中，运行上述代码，可以得到传递函数，采样时间为1s。

 

3. 传递函数的化简与转化

3.1 连续传递函数与离散传递函数间的转化

3.1.1 连续传递函数到离散传递函数

已知一个连续传递函数。

运行下方代码，可以获得其在采样时间时，离散传递函数。

（其余形式的连续传递函数同理，均是使用函数c2d）

num = 1;             % 分子多项式的系数
den = [1, 1];        % 分母多项式的系数
G = tf(num, den)     % 连续传递函数
T = 1;               % 采样周期（1s）
Gz= c2d(G, T)        % 离散传递函数

3.1.2 离散传递函数到连续时间函数

已知一个离散传递函数，采样时间为。

运行下方代码，可以获取其连续传递函数。

（其余形式的离散传递函数同理，均是使用函数d2c）

num = 0.6321;           % 分子多项式的系数
den = [1, -0.3679];     % 分母多项式的系数
T   = 1;                % 采样周期（1s）
Gz = tf(num, den, T)    % 离散传递函数
Gs = d2c(Gz)            % 连续传递函数

3.2 因式乘积形式（零极点形式）与多项式形式的互相转化

3.2.1 因式乘积形式（零极点形式） 转化到 多项式形式

传递函数的变化：

z = [1];                            % 零点
p = [2,3];                          % 极点
k = -4;                             % 增益
[num, den] = zp2tf(z, p, k);        % 因式乘积形式（零极点形式） 转化到 多项式形式
G = tf(num, den)                    % 多项式形式

3.2.2 多项式形式 转化到 因式乘积形式（零极点形式）

传递函数的变化：

num = [1,2];                        % 分子多项式的系数
den = [1,4,3];                      % 分母多项式的系数
[z, p, k] = tf2zp(num, den);        % 多项式形式 转化到 因式乘积形式（零极点形式）
G = zpk(z, p, k)                    % 零极点形式

3.3 传递函数的化简

传递函数的变化：

num = [1, 0];           % 分子多项式的系数
den = [1, 1, 0];        % 分母多项式的系数
G1 = tf(num, den)       % 带有可以对消项的传递函数
G2 = minreal(G1)        % 化简之后

3.4 多项式形式中首一形式与尾一形式的互相转化

3.4.1 将传递函数化简为首1形式

传递函数的变化：

num = 1;                % 分子多项式的系数
den = [10, 1];          % 分母多项式的系数
G1 = tf(num, den)       % 传递函数
G2 = minreal(G1)        % 化简为首一形式

3.4.2 将传递函数化简为尾1形式

传递函数的变化：

G   = tf(1, [1, 10]);               % 获取传递函数
num = cell2mat(G.Numerator);        % 分子多项式的系数
den = cell2mat(G.Denominator);      % 分母多项式的系数
num = num/den(end);                 % 除以分母最后一项
den = den/den(end);                 % 除以分母最后一项
G2  = tf(num, den)                  % 化简为尾一形式

3.5 求阶跃响应

Gs = tf(1, [1, 1]);         % 连续时间传递函数
Gz = c2d(Gs, 1);            % 获取对应的离散时间传递函数，采样时间T = 1s
step(Gs);                   % 连续传递函数的阶跃响应
hold on;                    % 保持图形
step(Gz);                   % 离散传递函数的阶跃响应
legend('阶跃响应-连续传递函数', '阶跃响应-离散传递函数'); % 添加图例



 

tf2zp命令
前几期博客中有涉及到这个命令，这个可以根据传递函数的分子分母系数来求得传递函数的零点，极点以及增益K
zp2tf
相反，通过这个命令可以根据零点，极点，增益K求得原传递函数
EXAMPLE



1
>> z = [];
>> p = [-1+2*i;-1-2*i];
>> K = 10;
>> [num,den] = zp2tf(z,p,K)

num =

     0     0    10


den =

     1     2     5

>> printsys(num,den,'s')
 
num/den = 
 
         10
   -------------
   s^2 + 2 s + 5



2
>> z = [0];
>> p = [-1+2*i;-1-2*i];
>> K = 10;
>> [num,den] = zp2tf(z,p,K)

num =

     0    10     0


den =

     1     2     5

>> printsys(num,den,'s')
 
num/den = 
 
        10 s
   -------------
   s^2 + 2 s + 5



3
>> z = -1;
>> p = [-2;-4;-8];
>> K = 12;
>> [num,den] = zp2tf(z,p,K)

num =

     0     0    12    12


den =

     1    14    56    64

>> printsys(num,den,'s')
 
num/den = 
 
           12 s + 12
   ------------------------
   s^3 + 14 s^2 + 56 s + 64



Notes
需要注意的是，我们在输入零点以及极点的时候，每个要以分号分隔，也就是说，每一个解表示一列。

自动控制原理（4）——传递函数、典型环节的传递函数
微分方程模型


优点：是时间域的数学模型，比较直观，它用时间域的方式，描述系统输入和输出变量之间的关系
​           在给定初始条件和输入信号后，借助计算机可以迅速而准确地求出输出响应


缺点：不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响


微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式的改变的分析具有局限性
一、传递函数


复数域的数学模型


在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便


定义：线性定常系统的传递函数是零初始条件下系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比


传递函数针对线性定常系统定义，对非线性的、或时变的系统是不适用的


零初始条件

系统的输入在时间t>0时才作用于系统，在零时刻之前，系统的输入及其各阶导数均为零
输入在施加于系统之前，系统为稳态，也就是说，在零时刻之前，系统输出及其各阶导数均为零



性质


传递函数反映系统自身固有特性，与输入和初始条件无关


传递函数与微分方程：将微分方程运算符d/dt用复数s置换可以得到传递函数，反之亦然


不同的物理系统可能有相同的传递函数（如相似系统），而同一系统可以有不同的传递函数


一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果是多输入多输出系统，可以用传递函数矩       		  阵表示


传递函数与单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关系


一般情况下，传递函数分子的阶数m与分母的阶数n满足n≥m（称为物理现实性条件）




局限性

只适于线性定常系统的表达
不反映初始状态的信息
不反映系统内部的信息



二、典型环节的传递函数
构成线性定常控制系统的七个环节：比例环节，微分环节，一阶微分环节，二阶微分环节，积分环节，惯性环节，振荡环节
1、比例环节：c(t)=Kr(t)   G(s)=K

K为比例系数
比例环节又称无惯性环节或放大环节
比例环节既无零点，又无极点
性质：比例环节输出与输入成正比，不失真也不滞后
实例：理想的杠杆、放大器、测速发电机、电位器等

2、惯性环节



T为时间常数
K为放大系数（比例系数）
惯性环节无零点
性质：当系统输入时单位阶跃信号时系统输出按单调指数规律上升

3、积分环节



T为积分时间常数
积分环节无零点
当输入是单位阶跃信号时，积分环节的输出以固定斜率1/T单调上升

4、振荡环节




ωn为无阻尼自然振荡频率


ζ为阻尼比


5、微分环节

理想微分环节


微分环节的输出与输入的一阶导数成正比，因此微分环节能预示输入信号的变化趋势，常用来改善控制系统的动态性能

6、一阶微分环节

理想一阶微分环节（比例微分环节）


τ为时间常数
比例微分环节可以抑制震荡，提高控制系统的稳定性，改善系统的动态性能

7、二阶微分环节

理想二阶微分环节


τ为时间常数
ζ为阻尼比
二阶微分环节没有极点，有2个零点
实际中也不存在真正的二阶微分环节

8、延滞环节



τ叫做延滞时间，又称死区时间
具有延滞环节的系统叫做延滞系统
性质：延滞环节将输入延迟τ时间后才输出。系统中存在延滞环节时，对系统的稳定性不利