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假设检验(hypothesis testing),又称统计假设检验,是用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。显著性检验是假设检验中最常用的一种方法,也是一种最基本的统计推断形式,其基本原理是先对总体的特征做出某种假设,然后通过抽样研究的统计推理,对此假设应该被拒绝还是接受做出推断。常用的假设检验方法有Z检验、t检验、卡方检验、F检验等 [1]  。 展开全文
假设检验(hypothesis testing),又称统计假设检验,是用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。显著性检验是假设检验中最常用的一种方法,也是一种最基本的统计推断形式,其基本原理是先对总体的特征做出某种假设,然后通过抽样研究的统计推理,对此假设应该被拒绝还是接受做出推断。常用的假设检验方法有Z检验、t检验、卡方检验、F检验等 [1]  。
信息
外文名
hypothesis test
提出时间
20世纪初
提出者
K.Pearson
中文名
假设检验
应用领域
数理统计、通信
检验方法
t检验,Z检验,卡方检验,F检验等
假设检验基本思想
假设检验的基本思想是“小概率事件”原理,其统计推断方法是带有某种概率性质的反证法。小概率思想是指小概率事件在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出检验假设,再用适当的统计方法,利用小概率原理,确定假设是否成立。即为了检验一个假设H0是否正确,首先假定该假设H0正确,然后根据样本对假设H0做出接受或拒绝的决策。如果样本观察值导致了“小概率事件”发生,就应拒绝假设H0,否则应接受假设H0 [1]  。假设检验中所谓“小概率事件”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则,即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的,但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”,显然,“小概率事件”的概率越小,否定原假设H0就越有说服力,常记这个概率值为α(0<α<1),称为检验的显著性水平。对于不同的问题,检验的显著性水平α不一定相同,一般认为,事件发生的概率小于0.1、0.05或0.01等,即“小概率事件” [1]  。
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    1. 假设检验的定义 假设检验是先对总体参数提出一个假设值,然后利用样本信息判断这一假设是否成立。 1.1 假设检验的假设 我们需要对结果进行假设,然后拿样本数据去验证这个假设。做假设检验时会设置两个假设: 零...

    1. 假设检验的定义

    假设检验是先对总体参数提出一个假设值,然后利用样本信息判断这一假设是否成立。

    1.1 假设检验的假设

    我们需要对结果进行假设,然后拿样本数据去验证这个假设。做假设检验时会设置两个假设

    • 零假设:零假设(原假设), H 0 H_0 H0是普遍接受的事实; 它与备选假设相反。 研究人员致力于拒绝,废除或反驳零假设。 研究人员提出了一个替代假设,他们认为这个假设解释了一种现象,然后努力拒绝零假设。零假设的设置一般为:等于=、大于等于>=、小于等于<=。
    • 备选假设 H 1 H_1 H1是统计者想要接受的假设。备选假设的设置一般为:不等于、大于>、小于<。

    1.2 两种错误

    通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立,但样本时随机的,因而有可能出现小概率的错误。这种错误分两种,一种是弃真错误,另一种是取伪错误。

    • 弃真错误:也叫第I类错误或α错误。它是指零假设实际上是真的,但通过样本估计总体后,拒绝了零假设。明显这是错误的,我们拒绝了真实的原假设,所以叫弃真错误,这个错误的概率我们记为α。这个值也是显著性水平,在假设检验之前我们会规定这个概率的大小。
    • 取伪错误:也叫第II类错误或β错误。它是指零假设实际上假的,但通过样本估计总体后,接受了原假设。明显这是错误的,我们接受的零假设实际上是假的,所以叫取伪错误,这个错误的概率我们记为β。
      为什么一般要拒绝零假设:因为零假设备被拒绝,如果出错的话,只能犯弃真错误(α错误),而犯弃真错误的概率已经被规定的显著性水平(值在假设检验前被规定)所控制了。这样对统计者来说更容易控制,将错误影响降到最小。

    1.3 显著性水平

    显著性水平是指当原(零)假设实际上正确时,检验统计量落在拒绝域的概率,简单理解就是犯弃真错误的概率。这个值是我们做假设检验之前统计者根据业务情况定好的。
    显著性水平α越小,犯第I类错误的概率自然越小,一般取值:0.01、0.05、0.1等

    1.4 检验方式

    检验方式分为两种:双侧检验和单侧检验。

    • 单侧检验:备选假设带有特定的方向性,分为两种:左侧检验和右侧检验。"<"称为左侧检验, ">"称为右侧检验。
    • 双侧检验:备选假设没有特定的方向性,形式为“≠”这种检验假设称为双侧检验

    检验统计量:据以对零假设和备选假设作出决策的某个样本统计量,称为检验统计量。

    拒绝域
    定义:拒绝域是由显著性水平围成的区域
    拒绝域的功能主要用来判断假设检验是否拒绝零假设的。如果样本观测计算出来的检验统计量的具体数值落在拒绝域内,就拒绝零假设,否则不拒绝零假设。给定显著性水平α后,查表就可以得到具体临界值,将检验统计量与临界值进行比较,判断是否拒绝原假设。
    双侧检验拒绝域:
    在这里插入图片描述
    左侧检验拒绝域:
    在这里插入图片描述
    右侧检验拒绝域:
    在这里插入图片描述

    2. 假设检验的步骤

    1)提出零假设与备选假设
    2)从所研究总体中出抽取一个随机样本
    3)构造检验统计量
    4)根据显著性水平确定拒绝域临界值
    5)计算检验统计量与临界值进行比较

    3. 两种假设检验

    在总体方差已经知道的情况下,不管样本数量多少都可以选择u检验。而如果总体方差未知,且样本数量小于40,则应该选择t检验。那么如果总体方差未知,但是样本数量超过40了,则u检验和t检验都可以使用,因为样本量大的情况下,t分布趋向于正态分布

    3.1 一个总体参数的假设检验

    只有一个总体的假设检验。
    大小样本:样本量大于等于30的样本称为大样本,样本量小于30的样本称为小样本。

    3.1.1 一个总体参数的假设检验:大样本假设检验方法(n>=30):

    U检验(Z检验):是基于正态分布的检验
    双侧检验:H0 : μ = μ 0 \mu = \mu0 μ=μ0, H1 : μ ≠ μ 0 \mu \neq \mu0 μ=μ0

    左侧检验:H0: μ ≥ μ 0 \mu \geq \mu0 μμ0, H1 : μ < μ 0 \mu < \mu0 μ<μ0;

    右侧检验:H0: μ ≤ μ 0 \mu \leq \mu0 μμ0 , H1 : μ > μ 0 \mu > \mu0 μ>μ0 ;

    检验统计量

    • 总体标准差 σ \sigma σ 已知:
      在这里插入图片描述
    • 总体标准差 σ \sigma σ 未知:
      在这里插入图片描述

    x ˉ \bar{x} xˉ: 样本均值
    μ \mu μ:假设的总体均值
    s s s:样本标准差
    σ \sigma σ:总体标准差,当总体标准差已知时,用 σ \sigma σ参与计算更精准。
    n n n:样本量

    α \alpha α与拒绝域:
    双侧检验: ∣ Z ∣ > Z α / 2 |Z|>Z \alpha/2 Z>Zα/2
    左侧检验: ∣ Z ∣ < − Z α |Z|<-Z \alpha Z<Zα
    右侧检验: ∣ Z ∣ > Z α |Z|>Z \alpha Z>Zα

    P值决策:
    P< α \alpha α ,拒绝H0

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.1.2 一个总体参数的假设检验:小样本假设检验方法(n<30):

    t检验(总体均值已经知道,但总体方差未知,只知道样本的方差)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.2 一个总体成数的假设检验

    定义:

    样本成数:它是指样本中具有某一相同标志表现的单位数占样本容量的比重,记为p.

    总体成数:它是指总体中具有某一相同标志表现的单位数占全部总体单位数的比重,一般用π表示.

    在这里插入图片描述

    3.3 两个总体参数的假设检验

    在这里插入图片描述

    3.4 两个总体成数的假设检验

    当n1P1、n1(1-P1)、n2P2、n2(1-p2)都大于或等于5时,就可以称为大样本。
    假设形式:

    双侧检验:H0 : π1-π2 =0 ,H1 : π1-π2≠0

    左侧检验:H0 : π1-π2 ≥0 ,H1 : π1-π2<0

    右侧检验:H0 : π1-π2 ≤0 ,H1 : π1-π2>0

    (1)
    原假设为H0: π1=π2 或 π1-π2 ≥0 、π1-π2 ≤0情况下。

    在这里插入图片描述其中:
    p1、p2:两个样本成数
    p:两个样本合并的成数 在这里插入图片描述
    n1、n2:两个样本量

    (2)
    原假设为 H0: π1-π2 =d0 (d0≠0)的情况下
    在这里插入图片描述
    α \alpha α 与拒绝域:
    双侧检验: ∣ Z ∣ > Z α / 2 |Z|>Z \alpha/2 Z>Zα/2
    左侧检验: ∣ Z ∣ < − Z α |Z|<-Z \alpha Z<Zα
    右侧检验: ∣ Z ∣ > Z α |Z|>Z \alpha Z>Zα
    P值决策:
    P< α \alpha α ,拒绝H0
    在这里插入图片描述

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    目录先举一个例子1 假设检验定义1.2 假设检验的假设1.2.1 弃真错误、取伪错误1.2.2 显著性水平1.2.3 P值1.3 基本思想(一定要看!!!)2 检验方式2.1 检验统计量2.2 拒绝域2.3 接受域3 假设检验步骤3.1 两种假设...

    先举一个例子

    我们在生活中经常会遇到对一个总体数据进行评估的问题,但我们又不能直接统计全部数据,这时就需要从总体中抽出一部分样本,用样本来估计总体情况。

    举一个简单的例子:
    在这里插入图片描述
    然后我们来分析一下:

    在这里插入图片描述
    如何操作:

    原假设: H 0 : E X = 75 ; H 1 : E X ≠ 75 H_0:EX=75; H_1:EX≠75 H0:EX=75;H1:EX=75
    假定原假设正确,则 X ∼ N ( 75 , σ 2 ) \mathbf{X}\sim \mathbf{N}(75, \sigma^{2}) XN(75,σ2),于是 T 统计量 拒绝域:
    T = X ˉ − 75 S / n ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) T=S/n Xˉ75t(n1)
    可得:
    P { X ˉ − 75 S / n ≥ t α / 2 } = α P\{\frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \ge t_{\alpha/2}\}=\alpha P{S/n Xˉ75tα/2}=α
    如果某一样本的观测值 ∣ X ˉ − 75 S / n ∣ ≥ t α / 2 \lvert \frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \rvert \ge t_{\alpha/2} S/n Xˉ75tα/2,则拒绝 H 0 H_0 H0

    注意蓝色字体,是如何定义哪些名词的:
    在这里插入图片描述

    1 假设检验定义

    假设检验是先对总体参数提出一个假设值,然后利用样本信息判断这一假设是否成立?

    1.2 假设检验的假设

    由定义可知,我们需要对结果进行假设,然后拿样本数据去验证这个假设。

    所以做假设检验时会设置两个假设:

    一种叫原假设,也叫零假设,用H0表示。原假设一般是统计者想要拒绝的假设(但也不绝对),这样通过证伪原假设就可以反证统计者真正想要接受的假设。原假设的设置一般为:等于(更多情况)=、大于等于>=、小于等于<=。

    另外一种叫备择假设,用H1表示。备则假设是统计者想要接受的假设。备择假设的设置一般为:不等于、大于>、小于< (没有等于哦)。

    为什么统计者想要拒绝的假设放在原假设呢?因为原假设备被拒绝如果出错的话,只能犯第I类错误,而犯第I类错误的概率已经被规定的显著性水平所控制。

    1.2.1 第一类错误(弃真错误)、第二类错误(取伪错误)

    我们通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立,但样本时随机的,因而有可能出现小概率的错误。这种错误分两种,一种是弃真错误,另一种是取伪错误。

    弃真错误 也叫第I类错误或α错误:它是指 原假设实际上是真的,但通过样本估计总体后,拒绝了原假设。明显这是错误的,我们拒绝了真实的原假设,所以叫弃真错误,这个错误的概率我们记为α。这个值也是显著性水平,在假设检验之前我们会规定这个概率的大小。(类似于假阴性)
    原假设H0为真,而检验结果为拒绝H0,记其概率为 α \alpha α,即: P { 拒 绝 H 0 ∣ H 0 为 真 } = α P\{拒绝H0|H0为真\}=\alpha P{H0H0}=α,这里的 α \alpha α就是我们说的显著性水平。

    取伪错误 也叫第II类错误或β错误:它是指 原假设实际上假的,但通过样本估计总体后,接受了原假设。明显者是错误的,我们接受的原假设实际上是假的,所以叫取伪错误,这个错误的概率我们记为β。(类似于假阳性)
    原假设H0不符合实际,而检验结果为接受H0,极其概率为 β \beta β,即: P { 接 受 H 0 ∣ H 0 为 假 } = β P\{接受H0|H0为假\}=\beta P{H0H0}=β

    希望:犯两类错误的概率越小越好,但样本容量一定的前提下,不可能同时降低 α 和 β \alpha 和 \beta αβ
    原则:保护原假设,即限制 α \alpha α 的前提下,使 β \beta β 尽可能地小。

    现在清楚原假设一般都是想要拒绝的假设了么?因为原假设备被拒绝,如果出错的话,只能犯弃真错误,而犯弃真错误的概率已经被规定的显著性水平所控制了。这样对统计者来说更容易控制,将错误影响降到最小。

    可以这么概括两类错误:
    在这里插入图片描述

    1.2.2 显著性水平

    显著性水平 α \alpha α 为犯第一类错误的概率。
    显著性水平是指当原假设实际上正确时,检验统计量落在拒绝域的概率,简单理解就是犯弃真错误的概率。这个值是我们做假设检验之前统计者根据业务情况定好的。

    显著性水平α越小,犯第I类错误的概率自然越小,一般取值:0.01、0.05、0.1等

    当给定了检验的显著水平a=0.05时,进行双侧检验的Z值为1.96,t值为 。

    当给定了检验的显著水平a=0.01时,进行双侧检验的Z值为2.58 。

    当给定了检验的显著水平a=0.05时,进行单侧检验的Z值为1.645 。

    当给定了检验的显著水平a=0.01时,进行单侧检验的Z值为2.33

    1.2.3 P值

    一个重要概念:p值 :用于确定我们是否拒绝H0,是一个概率值,如图当P值小于显著水平时,说明检验的统计量落入拒绝域中,拒绝零假设。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    1.3 基本思想(一定要看!!!)

    参数的假设检验:已知总体的分布类型,对分布函数密度函数中的某些参数提出假设,并检验。

    基本原则——小概率事件在一次实验中是不可能发生的

    思想:如果原假设成立,那么某个分布已知的统计量在某个 区域(拒绝域,参考2.2节) 内取值的 概率 α \alpha α(显著性水平,又称检验水平) 应该较小,如果样本的观测数值落在这个小概率区域内,则原假设不正确,所以拒绝原假设;否则,接受原假设。

    2 检验方式

    检验方式分为两种:双侧检验单侧检验。单侧检验又分为两种:左侧检验右侧检验

    双侧检验:备择假设没有特定的方向性,形式为“≠”这种检验假设称为双侧检验

    单侧检验:备择假设带有特定的方向性 形式为">""<"的假设检验,称为单侧检验 "<"称为左侧检验 ">"称为右侧检验

    2.1 检验统计量

    定义:据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量,称为检验统计量。

    2.2 拒绝域

    定义:拒绝域是由显著性水平围成的区域

    拒绝域的功能主要用来判断假设检验是否拒绝原假设的。如果样本观测计算出来的检验统计量的具体数值落在拒绝域内,就拒绝原假设,否则不拒绝原假设。给定显著性水平α后,查表就可以得到具体临界值,将检验统计量与临界值进行比较,判断是否拒绝原假设。

    双侧检验拒绝域:

    在这里插入图片描述
    左侧检验拒绝域:
    在这里插入图片描述
    右侧检验拒绝域:

    在这里插入图片描述

    2.3 接受域

    定义:保留原假设的样本观察值所组成的区域。

    概括

    3 假设检验步骤

    1. 提出原假设H0与备择假设H1;
      在这里插入图片描述

    2. 确定拒绝域;
      在这里插入图片描述

    3. 给定显著性水平 α \alpha α
      在这里插入图片描述

    4. 计算在此 α \alpha α下H0成立条件下的临界值(上侧 α \alpha α分位数,或双侧 α \alpha α分位数);
      在这里插入图片描述

    5. 计算统计量的样本观测值,与4计算的临界值进行比较,如果落在拒绝域内,则拒绝原假设,否则接受原假设。
      在这里插入图片描述

    说明:
    在这里插入图片描述

    3.1 两种假设检验

    假设检验根据业务数据分为两种:一个总体参数的假设检验两个总体参数的假设检验

    一个总体参数的假设检验:只有一个总体的假设检验

    举个例子:学而思App原版本1转化率为 19%,学而思App版本2开发完成后,直接全量发布整体上线,过一段时间后统计转化率为27%,我们想判断版本2是否比版本1好,这时我们做的假设检验总体只有1个,全部用户。对于总体只有一个的称为一个总体参数的假设检验。

    两个总体参数的假设检验:有两个总体的假设检验

    同样的例子:学而思App版本1和学而思App版本2同时上线,流量各50%,这时我们做的假设检验总体有2个,分别为命中版本1的全部用户与命中版本2的全部用户。

    两种假设检验的检验统计量计算方式有所不同,所以做区分描述。

    3.1.1 一个总体参数的假设检验

    大小样本:样本量大于等于30的样本称为大样本,样本量小于30的样本称为小样本。

    一个总体参数的大样本( n > = 30 n>=30 n>=30)假设检验方法:

    假设形式

    双侧检验:H0 : μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ=μ0 , H1 : μ ≠ μ 0 \mu \neq \mu_0 μ=μ0

    左侧检验:H0 : μ ≥ μ 0 \mu\ge\mu_0 μμ0 , H1 : μ < μ 0 \mu<\mu_0 μ<μ0 ;

    右侧检验:H0 : μ ≤ μ 0 \mu\le\mu_0 μμ0 , H1 : μ > μ 0 \mu>\mu_0 μ>μ0 ;

    检验统计量

    在这里插入图片描述

    α 与 拒 绝 域 \alpha 与拒绝域 α

    双侧检验:[公式]
    左侧检验: [公式]
    右侧检验: [公式]

    P值决策:

    P< [公式] ,拒绝H0

    4 正态总体均值的假设检验

    可以分为:
    1.单个正态总体的均值检验
    2.两个正态总体的均值检验

    4.1 单个正态总体的均值检验

    4.1.1 u检验 (方差已知)

    以双边检验为例:

    方差已知的情况下,我们需要用到 u检验
    在这里插入图片描述

    来看看例题:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上题是双边检验的场景,下面我们来看一下单边检验

    在这里插入图片描述

    4.1.2 t检验 (方差未知)

    前面讨论的是方差已知的情况,接下来讨论方差未知的情况,此时我们要用到 t检验

    还是先来看看双边检验的情况:
    在这里插入图片描述
    来看个例子:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    同样的,我们要看一下单边检验的场景:
    在这里插入图片描述

    4.2 两个正太总体的均值检验

    同样,也要分成方差已知和方差未知的情况。

    4.2.1 U检验(方差已知)

    在这里插入图片描述
    1.96来自u检验中双侧检验查表可得:
    在这里插入图片描述

    4.2.2 t检验(方差未知)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    来看一看例子:
    在这里插入图片描述
    在来看个例子:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    5 正太总体方差的假设检验

    第4章讲的是 对于均值的假设检验,现在来看一下对于方差的假设检验。
    同样,也分为:
    1.单个正态总体的方差检验
    2.两个正态总体的方差检验

    5.1 单个正态总体均值未知的的方差检验

    先来看一看双边检验:
    在这里插入图片描述
    来看看例子:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    这道题对均值和方差都做了检验
    我们来看看他是怎么做的?
    在这里插入图片描述
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    5.2 两个正态总体的方差检验

    5.2.1 均值未知的方差双边检验

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    5.2.2 均值未知的方差单边检验

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    看完了这些例题,大家一定熟悉掌握了假设检验的精髓了吧?欢迎在评论区交流哦~

    参考:
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/35032285
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/86178674
    https://max.book118.com/html/2020/0704/6023221123002214.shtm

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空空如也

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假设检验