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  • 几何分布期望方差推导

    万次阅读 多人点赞 2017-08-23 03:07:11
    几何分布期望方差推导

    几何分布的概率质量函数:

    p(k)=p(1p)k1,for k = 1,2,3,...

    期望推导:
    E(k)=k=1nkp(1p)k1=pk=1nk(1p)k1=p(1+2q+3q2+...+nqn1)q=(1-p)

    使用倍差法/错位相减法求和:
    Sk=1+2q+3q2+...+nqn1(1)
    qSk=q+2q2+3q3+...(n1)qn1+nqn(2)
    (1)(2):(1q)Sk=1+q+q2+q3+...+qn1nqn=1qn1qnqn
    Sk=1qn(1q)2nqn1q
    考虑 n+ 的情况
    0<q<1
    limn+qn=0limn+Sk=1(1q)2
    E(k)=p(1q)2=1p
    方差推导:
    E(k2)=k=1nk2p(1p)k1=pk=1nk2(1p)k1=p(1+22q+32q2+...+n2qn1)
    只要对括号内求和即可得到结果:
    T=1+22q+32q2+...+n2qn1=(q+2q2+3q3+...+nqn)E(k)qSk
    qSk 进行求导即可得到 T(n+) :
    limn+qSk=q(1q)2
    [q(1q)2]=1q2(1q)4=1+q(1q)3=T
    E(k2)=pT=1+q(1q)2
    最终得到方差为:
    Var(k)=E(k2)E(k)2=1+q(1q)21p2=qp2=1pp2

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  • 几何分布期望方差推导

    千次阅读 2020-01-06 14:37:06
    https://blog.csdn.net/sinat_37321923/article/details/77493672
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  • 几何分布期望和方差

    万次阅读 多人点赞 2020-05-30 18:29:09
  • 几何分布期望方差

    万次阅读 多人点赞 2017-05-20 18:54:36
    几何分布期望方差

    几何分布的期望与方差

    高中数学教科书新版第三册(选修II)比原来的修订本新增加随机变量的几何分布,但书中只给出了结论:(1),(2),而未加以证明。本文给出证明,并用于解题。

    (1)由,知

    下面用倍差法(也称为错位相减法)求上式括号内的值。记

    两式相减,得

    ,知,则,故

    从而

    也可用无穷等比数列各项和公式(见教科书91页阅读材料),推导如下:

    相减,

    还可用导数公式,推导如下:

    上式中令,则得

    (2)为简化运算,利用性质来推导(该性质的证明,可见本刊6页)。可见关键是求

    对于上式括号中的式子,利用导数,关于q求导:,并用倍差法求和,有

    ,因此

    利用上述两个结论,可以简化几何分布一类的计算问题。

    例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球,现从中每次摸取一个球,取出黑球就放回,取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差

    解:每次从袋内取出白球的概率,取出黑球的概率的取值为1,2,3,……,有无穷多个。我们用表示前k-1次均取到黑球,而第k次取到白球,因此

    。可见服从几何分布。所以

    例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p(0

    解:射手射击次数的可能取值为1,2,…,9,10。

    ,则表明他前次均没击中目标,而第k次击中目标;若k=10,则表明他前9次都没击中目标,而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为

    用倍差法,可求得

    所以

    说明:本例的试验是有限次的,并且,不符合几何分布的概率特征,因而随机变量不服从几何分布,也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。

     

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    万次阅读 多人点赞 2018-04-05 12:48:37
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    万次阅读 2015-03-06 15:09:12
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