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  • 对角矩阵

    千次阅读 2017-10-21 17:01:45
    对角矩阵

    因为矩阵就是线性变换的表示,矩阵乘法就对应着线性变换的复合


    对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(a1,a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,值得一提的是:对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且结果仍为对角阵。


    对角矩阵(diagonal square matrix)是最好的矩阵之一

    • 给出一个满秩的对角方阵,我们可以一眼看出它的特征值,特征向量,逆矩阵,行列式的值,迹等等重要的特性。
    • 对角方阵表征线性变换时,这个变换是解耦的,在二维和三维,其几何意义更是显而易见的。
    • 等等。
    因此,人们更愿意去处理对角方阵。
    因此,人们千方百计的把一些不好的矩阵变成好的矩阵。这也就是各种对角化方法的意义。



    进一步的事实发展证明对角化操作很有用。最基本的,你想算一个方阵A的n次幂,用对角化容易多了吧?你会问算个幂有什么了不起?这用处就大了,有了A的n次幂我们就可以有关于A的函数的多项式展开啊!而利用多项式展开又可以反过来定义一些矩阵函数啊!(比如exp^A, sinA)等等等等吧,总之好处很多。其中的原因都可以归为上述两条:对角矩阵性质太好太容易研究发展了,而矩阵乘法又太重要太常见。


    参考: https://wenku.baidu.com/view/8f21f8e714791711cd791721.html


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  • 对角矩阵的存储

    千次阅读 2021-01-29 20:30:26
    对角矩阵 概念:对角矩阵又称是带状矩阵,是指在(nxn)的矩阵中非零元素集中在主对角线及其两侧,共L(奇数)条对角线的带状区域内,则称为L对角矩阵。 平行于主对角线的非零元素连成的线称作带宽:上三角和下三角各有...

    对角矩阵

    导向

    1. 了解相关的概念和关键词术语

    2. 存储空间的计算

    3. 前提条件的分析

    4. 对任意数据的定位

    5. 代码实现

     

    1>概念和关键词

    概念:对角矩阵又称是带状矩阵,是指在(nxn)的矩阵非零元素集中在主对角线及其两侧,共L(奇数)条对角线的带状区域内,则称为L对角矩阵。

    平行于主对角线的非零元素连成的线称作带宽:上三角下三角各有半带宽

    同时该矩阵的行和列是相同的,所以该矩阵以对角线上下对称(而且对角线上数据行=列)

     

     

    2>存储空间的计算

    对矩阵数据的统计=需要存储的空间(data[masize]),对角矩阵每行数据没有规律也不便于统计。如果随着阶数的增长统计难度会逐渐加大,即需要一个方便简洁的统计方法,如果矩阵每一行的数据的数量是一致相同的的那么就会大大减小了统计的难度。

    可以对每行进行数据填充但又不影响存储(可以对每行进行填充零元素,这样既保证了每行数据相同又不影响数据存储):

    这样每一行的数据数量都相同,矩阵外的数据不用存储。

    maxsize(一维数组的数量):每行数据x行数(LxN-2d),第一行和最后一行的零不进行存储所以要减去(d为半带宽)

     

    3>前提条件的分析

    目的:将矩阵带状中的数据存储到一维数组中

    排序:存储顺序和矩阵顺序保存一致

    由此可知数据必须在矩阵带状中才可以进入一维数组,则应将带状以外的数据全部排除掉

    以对角线为界分析可知,下标之差最大为半带宽。而带状之外的数据下标之差已经超过了半带宽,由此可以利用对角线进行判断区分数据

    Aij  若|i-j|>d则说明数据全部在带状以外均为零,不用存储

         若|i-j|<=d则说明数据在带状以内是需要存储的数据,可以对其进行查询和输出

     

    4>任意数据的定位

    对数据定位的前提条件,定位在带状区域内才可以进行定位。若不在则无法定位,所以查询数据时的判断条件为数据是否在带状区域内

    现在假设查询数据为Aij,数据最终会放进一维数组中。则统计Aij前面共有多少个数据就可以得知Aij在一维数组中的具体位置。

    Aij前有i-1行每行的数据数量为L,则可知道前i-1行的数据数量是(i-1)xL-d

    第i行中对角线前的数据有d个(半带宽的数量)

    最后加上j-i即可,综上可知在第一行减去了一个d个零(掐头去尾),在第i行中加上了一个d的数据最后抵消

    数量=(i-1)xL+j-i//任意数据的位置

     

    5>代码实现

    void main()
    {
    
    	int array[6][6] = {
    		{1,3,2,0,0,0},
    		{2,4,5,7,0,0},
    		{7,9,2,6,8,0},
    		{0,2,7,3,2,5},
    	    {0,0,3,9,6,4},
    		{0,0,0,4,5,1}
    	};
    	printf("对角矩阵如下\n");
    	for (int i = 1; i <=6; i++)
    	{
    		for (int j = 1; j <=6; j++)
    		{
    			printf("a[%d][%d]=%d ", i, j, array[i - 1][j - 1]);
    			if (j == 6)
    				printf("\n");
    		}
    	}
    

     

    区觉得函数,头文件math和stdlib都可以 

    int array1[maxsize];
    	int k = 0;
    		for (int i =0;i<6; i++)
    		{
    			for (int j = 0;j<6; j++)
    			{
    				if (abs(i-j))<=2)
    				{
    					array1[k] = array[i][j];
    					k++;
    				}
    			}
    		}
    	printf("一维数组:");
    	for (int i = 0; i <maxsize; i++)
    	{
    		printf("%d ",array1[i]);
    	}

     

     

     

     

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  • 对称矩阵 n阶矩阵中任意一个元素aij都有aij=aji,则为对称矩阵 只存储主对角线+下三角区(按行优先存储在一维数组中) 数组大小:(1+n)*n/2 ...三对角矩阵 稀疏矩阵 三元表(行,列,值) 十字链表 ...

    对称矩阵

    n阶矩阵中任意一个元素aij都有aij=aji,则为对称矩阵

    只存储主对角线+下三角区按行优先存储在一维数组中)

    数组大小(1+n)*n/2

    在这里插入图片描述

    三角矩阵

    在这里插入图片描述

    三对角矩阵

    在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述

    稀疏矩阵

    1. 三元表(行,列,值)

    2. 十字链表

      在这里插入图片描述

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    千次阅读 多人点赞 2018-11-02 23:18:14
    特殊矩阵之三对角矩阵 一开始在网上搜了好多,结果题目和答案不对应,有的答案直接不对,没办法,看的书然后自己慢慢分析做的。具体如下: 一个三对角矩阵的非零系数在三条对角线上:主对角线、低对角线、高对角线。...

    特殊矩阵之三对角矩阵

    一开始在网上搜了好多,结果题目和答案不对应,有的答案直接不对,没办法,看的书然后自己慢慢分析做的。具体如下:

    一个三对角矩阵的非零系数在三条对角线上:主对角线、低对角线、高对角线。其余元素全为0。

    三对角矩阵的特点:
    三对角矩阵M是一个对角矩阵,当且仅当
    时,有M(i,j)=0。在一个nxn的三对角矩阵T中,非0元素排列在如下的三条对角线上:
    (1)主对角线即i=j;
    (2)主对角线之下的对角线(称低对角线)即i=j+1;
    (3)主对角线之上的对角线(称高对角线)即i=j-1。
    这三条对角线上的元素总数为3n-2,故可以使用一个拥有3n-2个位置的一维数组来描述T,因为仅需要存储三条对角线上的元素

    设有三对角矩阵(aijnxn,将其三条对角线上的元素朱行地存于向量B[3n-1]中(其中零号单元存放三对角线外的常量C),使得B[K]=aij,求:
    (1) 用i j 表示k的下标变换公式;
    (2)用k表示i及j的下标变换公式;

    自己画的,有错误还请指出。

    上面图片中的四阶矩阵,是一个三对角矩阵,每个元素的位置都在图中标出,转化成一维数组的位置也已经标出。

    所以此题的答案为:

    (1)
    k=2*i + j + 1, |i-j| <= 1
    k=0 , 其它

    (2)
    i = (k-j-1)/2;
    j = k-2i-1;

    如果还有不明白的地方,可以在下方留言。

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  • 今天小编就为大家分享一篇numpy创建单位矩阵和对角矩阵的实例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
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