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  • 圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
    2020-12-22 04:52:52

    Gerschgorin

    圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

    【摘要】

    利用

    Gerschgorin

    圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,

    简化了原证明过程。

    关键词:

    Gerschgorin

    圆盘定理;矩阵;对角占优矩阵;特征值

    Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally

    dominant matrix

    An Yu Shuan

    (

    University of Electronic Science and Technology of China

    chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao

    611731

    )

    Abstract

    Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on

    strictly diagonally dominant matrice

    and the proof is very simple

    Key words

    Gerschgorin theorem

    matrix

    diagonlly dominant matrice

    eigenvalue

    1

    引言及预备知识

    Gerschgorin

    圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理,

    在矩阵理论中占有很重要

    的地位,在很多方面均有应用,尤其在严格对角占优矩阵中.本文利用

    Gerschgorin

    圆盘

    定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,简化了原证明过程.

    定义

    [1]

    n

    n

    ij

    a

    A

    ×

    )

    (

    =

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  • 矩阵对角化方法

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    1矩阵对角化方法摘要:本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向量,接着再判断矩阵是否可对角化。关键词:矩阵特征根特征向量对角化...

    1

    矩阵对角化方法

    摘要:

    本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向

    量,接着再判断矩阵是否可对角化。

    关键词:

    矩阵

    特征根

    特征向量

    对角化

    The Methods of the Diagonalization of the Matrix

    g

    Abstract:

    In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

    methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

    roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

    Key words:

    Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

    1

    、引言

    对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性,

    而矩阵对角化方法

    有很多,

    如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵,

    通过配方法将其化为标

    准形从而实现矩阵的对角化,再如通过求解特征根和特征向量方法,首先求解

    0

    |

    |

    A

    E

    得特征根

    i

    ,然后对每一个

    i

    ,解方程组

    0

    )

    (

    X

    A

    E

    i

    得特征向量,即

    寻找一个可逆矩阵

    T

    ,使得

    AT

    T

    1

    ,

    其中

    为对角阵,于是可得

    1

    T

    T

    A

    ,从而

    1

    T

    T

    A

    n

    n

    ,

    在这个对角化过程中,

    中的元素即为矩阵

    A

    的特征根,

    T

    中每个列向

    量即为矩阵

    A

    的属于每个特征根的特征向量。

    本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵

    对角化方法,

    即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角

    形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量,同时判断矩阵是否可对角化。

    2

    、讨论对于有

    n

    个特征单根的

    n

    阶方阵

    1

    .

    2

    基本原理

    引理

    1

    :设

    A

    是秩为

    r

    n

    m

    阶矩阵,且

    展开全文
  • 对角占优矩阵的性质.doc

    千次阅读 2020-12-22 04:52:10
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    对角占优矩阵的性质

    唐山师范学院本科毕业论文

    题 目 对角占优矩阵的性质

    学 生

    指导教师

    年 级 2010级数本2班

    专 业 数学与应用数学

    系 别 数学与信息科学系

    唐山师范学院数学与信息科学系

    2014年5月

    郑重声明

    本人的毕业论文(设计)是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明。

    毕业论文(设计)作者(签名):

    年 月 日

    目 录

    标题1

    中文摘要1

    1 预备知识1

    2 对角占优矩阵的性质3

    3 对角占优矩阵奇异性判定定理5

    4 (广义)对角占优矩阵的判别条件8

    5 结束语13

    参考文献14

    致谢15

    外文页16

    对角占优矩阵的性质

    刘萌

    摘 要 对角占优矩阵具有广泛的应用,本文以高等代数中的矩阵知识为基础,研究特殊的矩阵——对角占优矩阵,将给出对角占优矩阵的定义、研究对角占优矩阵的性质以及判别条件,并进而推广到广义对角占优矩阵,从而得出一些重要结论.

    关键词 对角占优矩阵 广义对角占优矩阵 不可约矩阵 非奇异矩阵 对角均势主子阵

    在《高等代数》教材中,已经对对角占优矩阵的定义有所了解,但是教材并没有进行进一步研究.对角占优矩阵有非常广泛的实际背景,在信息论、系统论、程序设计、数学物理和控制论等领域中有很多重要的应用.但是一些比较实用的判别条件并不多,这就给具体应用带来诸多不便.这就促使笔者研究对角占优矩阵的性质和简捷实用的判别条件.

    1、预备知识

    定义1 设,若对任意都有,则称为对角占优矩阵,记;若对任意都有,则称为严格对角占优矩阵,记.

    定义2 设,若存在正对角矩阵,使得,则称为广义对角占优矩阵(广义严格对角占优矩阵),记.

    定义3 设是一个的矩阵,如果且,则称是一个的置换矩阵,其中是阶单位方阵.

    引理1 当时,一个的矩阵为置换矩阵的充要条件是的每一行恰有一个,每一列至多一个.

    定义4 设,如果存在置换矩阵,使得

    =

    其中和分别是阶的方阵, ,则称为可约矩阵;否则称为不可约矩阵.

    定义5 设满足条件:为对角占优矩阵;为不可约矩阵;严格不等式至少对一行标成立,则称为不可约对角占优矩阵.

    定义6 设不可约,若存在正数,使得

    且上式中至少有一严格不等式成立,则称为不可约广义对角占优矩阵.

    定义7 设,矩阵中满足的行称为对角占优行;而的行称为非对角占优行.

    定义8 设,若对任意,如果成立,则称为行对角均势矩阵;如果成立,则称为行对角占优矩阵.

    同理,可定义列对角均势矩阵.本文中对角均势矩阵一般指的是行对角均势矩阵.

    定义9 设,如果的阶主子阵

    为对角均势矩阵,则称为的对角均势主子阵,称其行列式为的对角均势主子式.

    引理2 若齐次线性方程组

    的系数矩阵,那么方程组有非零解,即系数矩阵奇异.

    定义10 设,,若的各阶顺序主子式全为正数,则称为矩阵.

    定义11 对任意,表示的比较矩阵,其中

    引理3 设,则是广义严格对角占优矩阵当且仅当是非奇异矩阵.

    引理4 设,为广义严格对角占优矩阵,如果中有个正数,个负数,且.则的全部特征值中恰有个为正,个为负.

    定义12 表示矩阵的列向量所生成的子空间.

    2、对角占优矩阵的性质

    性质1 若为广义严格对角占优矩阵,则必存在对角占优行.

    证明 (反证法)假设中不存在对角占优行,则,,对任何,,设,则.根据定义2知不存在正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.因此这与为广义严格对角占优矩阵相矛盾,所以必存在对角占优行.

    性质2 若为广义严格对角占优矩阵,则只有零解.

    证明 因为为广义严格对角占优矩阵,根据定义2知存在正对角矩阵使成立.设为的一非零解,其中至少有一个,

    令 ,,

    则至少有一

    所以

    设||,由知,即,

    所以

    这与为严格对角占优矩阵矛盾,所以只有零解.

    性质3 设且为对角占优矩阵,如果有如下的分块形式:

    ,为阶方阵

    则,.

    证明 下证.

    记,,为列向量.只需证 可由 线性表示即可.

    如果中的,则.

    如果,则在中第一个元素为.

    如果 则中的第一、二两个元素为零.否则在和中的第一、二两个元素为零.

    一直进行下去可将列全部变为零.

    这就意味着存在数,使得即可由线性表示.

    性质4 设=,,则对于矩阵其中,

    若为对角占优

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