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小波变换(wavelet transform,WT)是一种新的变换分析方法,它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点,能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口,是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征,能对时间(空间)频率的局部化分析,通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。 展开全文
小波变换(wavelet transform,WT)是一种新的变换分析方法,它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点,能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口,是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征,能对时间(空间)频率的局部化分析,通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
信息
学    科
应用数学和工程学科
外文名
Wavelet transform
探索研究
近30年
中文名
小波变换
简    介
一个迅速发展的新领域
小波变换简介
传统的信号理论,是建立在Fourier分析基础上的,而Fourier变换作为一种全局性的变化,其有一定的局限性,如不具备局部化分析能力、不能分析非平稳信号等。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进,以改善这种局限性,如STFT(短时傅立叶变换)。由于STFT采用的的滑动窗函数一经选定就固定不变,故决定了其时频分辨率固定不变,不具备自适应能力,而小波分析很好的解决了这个问题。小波分析是一种新兴的数学分支,它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域,特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域,它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比,是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis),解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
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  • 初学小波者尤其是有数字信号处理基础的初学者,很容易拿傅里叶变换与小波变换对比着学习,但容易造成越比越混乱的现象,比如Matlab里fft函数所做的事就是离散傅里叶变换DFT,但Matlab里的dwt函数所做的事可不是离散...

    题目:连续小波变换、离散小波变换、二进小波变换、离散序列的小波变换、小波包

     

            初学小波者尤其是有数字信号处理基础的初学者,很容易拿傅里叶变换与小波变换对比着学习,但容易造成越比越混乱的现象,比如Matlab里fft函数所做的事就是离散傅里叶变换DFT,但Matlab里的dwt函数所做的事可不是离散小波变换的定义式,对于不想深入了解只想做应用的人来讲,真心挺乱的,“我只是想用一下小波变换而已,就像用傅里叶变换一样,至于么?”,其实就是因为一些概念没区分清楚。

    一、连续小波变换(Continuous Wavelet Transform, CWT)

     

            只要学习小波,第一个见到的应该就是连续小波变换了,这个也好理解,公式如下:

     

     

    这就是信号f(t)的连续小波变换公式,其中参数a和b都是连续变化的参数,a为尺度参数(在某种意义上就是频率的概念),b是时间参数或平移参数。不严谨地讲,Wf(a,b)指的是对信号f(t)进行小波变换后当频率为a时间为b时的变换值。可以看出,一维信号f(t)经过小波变换后将变成二维信号。

    二、离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)

            我们关注离散小波变换多数情况实际上是得到一个类似于离散傅里叶变换DFT的变换,时域和变换域都是离散有限长的,方便计算机处理。然而,DWT指的是将CWT中的尺度参数a和平移参数b离散化。这里要特别注意:DWT并没有将信号f(t)和小波ψ(t)中的时间变量t离散化!这与DFT的概念是非常不一样的!!

            在尺度参数a和平移参数b离散过程中,一般对尺度进行幂数级离散化,即令a=a0m,对b均匀离散,考虑到不同尺度下频率不同,因此不同尺度下参数b的离散间隔不同。

    三、二进小波变换(Dyadic Wavelet Transform)

            前面提到,离散小波变换是对尺度参数a和平移参数b都进行了离散化,一般对尺度进行幂数级离散化,即令a=a0m,若特殊化取a0=2,然后保持平移参数b仍是连续的,则这类小波我们称为二进小波变换。总结起来,二进小波变换的概念介于CWT和DWT之间:相比于CWT,二进小波变换的尺度参数是特殊离散化的(a=2m);相比于DWT,二进小波变换的尺度参数不能随意离散,而是特殊离散化的(a=2m),平移参数b是保持连续变化。

    四、离散序列的小波变换

            实际上,很多时候我们绕一大圈是为了研究离散序列的小波变换,即类似于DFT的小波变换。要彻底说明白离散序列的小波变换,这就涉及到多分辨率分析(Multi-ResolutionAnalysis, MRA)、尺度函数、二尺度方程等概念,这就比较麻烦了,我也讲不太好,有兴趣可以看一下几篇网络博客(建议自行搜索,原链接已不存在@20200814):小波分析和尺度函数(上篇、中篇、下篇)、小波变换和motion信号处理(二)。

            到这里有必要提一下正交小波变换,前面说了三种小波变换,但它们的小波基都不是正交的,这会带来一些麻烦,通过它们对信号变换后的信息是有冗余的,因此构建正交小波基是有重要意义的。Mallat给出了一种在正交小波基上的信号分解算法,也就是著明的Mallat算法了。

     

            离散序列的小波变换就是基于著明的Mallat算法,实际上Mallat算法也是针对连续信号的,但在每一层的分解过程中(这里说的每一层实际上就是前面尺度的概念),各层分解系数之间有着某种关系,什么关系呢?那就看看Mallat算法框图吧,如下图所示:

     

     

     

            初始系数x(暂且这么称呼)与其第一层分解后的高频系数D1(细节部分Detail)的关系是x经过高通滤波器g滤波后再下采样,与低频系数A1(近似部分Approximate)的关系是x经过低通滤波器h滤波后再下采样;然后继续对低频系数A1进行第二层分解,低频系数A1与其第二层分解后的高频系数D2(细节部分Detail)的关系是A1经过高通滤波器g滤波后再下采样,与低频系数A1(近似部分Approximate)的关系是A1经过低通滤波器h滤波后再下采样;后面依次类推即可。由于一直在下采样,所以虽然滤波器系数g和h不变,但其滤波带宽一直在减半。初始系数是怎么来的呢?肯定是根据信号得到的,最简单最粗糙的办法就是对信号直接抽样。这是对连续信号进行正交小波分解,有了这些系数,再利用正交小波基,就可以表示出信号了,这类似于连续周期信号的傅里叶级数分解吧。

            从Matllat算法的框图可以看出,从始至终这是对离散序列x再进行变换分解,即初始系数即是离散信号x,经过多层分解后最后各分解系数合起来就是变换的结果。Matlab中的dwt函数可以实现单层分解,相关内容可参见《压缩感知稀疏基之离散小波变换》。

    五、小波包(Wavelet Packet)

            细心的人可能会问,在Mallat算法中为什么只对低频系数继续进行分解呢?是的,这在很多时候并不是最恰当的分解方式,有的时候对高频系数进行分解更合适,有的时候对低频系数进行分解更合适,这要取决于信号的特点。

            小波包的概念大概就是这样子:无论是低频系数还是高频系统都进行同样的分解,然后选取一个最合适的分解路径。怎么评价分解是否是最优的呢?最自然的想法就是利益最大化或者是代价最小化,构建一个代价函数求一下看看如分解代价最小。代价函数有很多种,具体不说了。

    参考文献:

    【1】魏明果.实用小波分析[M].北京:北京理工大学出版社,2005.

    【2】葛哲学,沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京:电子工业出版社,2007.

    【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京:国防工业出版社,2004.

     

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  • 小波变换和小波阈值法去噪

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 18:05:38
    小波变换是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,。在小波分析中经常用到近似和细节,近似表示信号的高尺度,即低频信息;细节...

    小波变换和小波阈值法去噪

    1. 小波变换

    小波变换是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征,所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。

    傅里叶是将信号分解成一系列不同频率的正余弦函数的叠加,同样小波变换是将信号分解为一系列的小波函数的叠加(或者说不同尺度、时间的小波函数拟合),而这些小波函数都是一个母小波经过平移和尺度伸缩得来的,如下图。

    小波变换常见的形式有连续小波变换(CWT)、离散小波变换(DWT)等。连续小波变换是在尺度基础上连续变换的,做信号的小波分析得到的是幅值,a时间的三维图,对应的a值所截得的曲线即为该尺度的小波图形。而离散小波变换常用的是二进小波变换,对尺度和时间进行离散化处理。

     

    CWT连续小波变换

     

    CWT步骤:

    首先选择一个小波基函数,固定一个尺度因子,将它与信号的初始段进行比较;
    通过CWT的计算公式计算小波系数(反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度);
    改变平移因子,使小波沿时间轴位移,重复上述两个步骤完成一次分析;
    增加尺度因子,重复上述三个步骤进行第二次分析;
    循环执行上述四个步骤,直到满足分析要求为止。

     

     

     连续小波变换是在尺度基础上连续变换的,做信号的小波分析得到的是幅值,a时间的三维图,对应的a值所截得的曲线即为该尺度的小波图形。而集散小波变换常用的是二进小波变换。

        但是,cwt的结果都相当于DWT中的细节信息(即所谓DWT中的高频信息。虽然越向后频率越低,有时已不能用“高频”来形容了,但这时的高频是相对概念,是相对于同阶逼近信息还是高的),只是其尺度是连续的尺度越大频率越低,一直低下去。

        morlet等小波只能做CWT,有些是因为没法儿构造尺度函数,有些是根本就没有逆变换(只有满足某些条件,CWT才存在逆变换,这与小波基有关),有些是如何离散化也不能构成正交或双正交基,甚至按照二进制的离散化不能构成紧支的框架,所以它们通常不能做DWT,也就没有逆变换、重构一说了。

    DWT离散小波变换
    离散小波变换DWT对尺度参数按幂级数进行离散化处理,对时间进行均匀离散化取值如二进制离散化尺度时间为2,4,6,8...2n(要求采样率满足尼奎斯特采样定理),常用于信号的多分辨分析、信号分解重构。


    多分辨分析也称为多尺度分析,是建立在函数空间概念上的理论。在不同的尺度和时间下,分别构造了尺度函数向量组合小波函数向量组,也即是尺度函数向量空间V与小波函数向量空间W,在一定层次下,信号在尺度空间做卷积所得到的是信号的近似、低频信息,信号在小波空间W做卷积所得到的是信号的细节、高频信息。(注意:尺度与分解层数不是一个概念,尺度与频率成反比的,分解层数是对频率的范围进行一定的划分)。

     

    在多分辨分析中,如正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程,即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器,自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分,称为细节分量,低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分,称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法。
     

     

     
    小波分解重构过程(其中CA为低频信息、近似分量,CD为高频、细节分量):
     

    小波阈值去噪

    通常情况下, 我们在从设备上采集到的信号都是具有一定的噪声的,大多数情况下,可认为这种噪声为高斯白噪声。被噪声污染的信号=干净的信号+噪声。
     为什么要使用阈值:由于信号在空间上(或者时间域)是有一定连续性的,因此在小波域,有效信号所产生的小波系数其模值往往较大;而高斯白噪声在空间上(或者时间域)是没有连续性的,因此噪声经过小波变换,在小波阈仍然表现为很强的随机性,通常仍认为是高斯白噪的。 那么就得到这样一个结论:在小波域,有效信号对应的系数很大,而噪声对应的系数很小。 刚刚已经说了,噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪分布。如果在小波域,噪声的小波系数对应的方差为sigma,那么根据高斯分布的特性,绝大部分(99.99%)噪声系数都位于[-3*sigma,3*sigma]区间内(切比雪夫不等式, 3sigma准则)。因此,只要将区间[-3*sigma,3*sigma]内的系数置零(这就是常用的硬阈值函数的作用),就能最大程度抑制噪声的,同时只是稍微损伤有效信号。将经过阈值处理后的小波系数重构,就可以得到去噪后的信号。 常用的软阈值函数,是为了解决硬阈值函数“一刀切”导致的影响(模小于3*sigma的小波系数全部切除,大于3*sigma全部保留,势必会在小波域产生突变,导致去噪后结果产生局部的抖动,类似于傅立叶变换中频域的阶跃会在时域产生拖尾)。软阈值函数将模小于3*sigma的小波系数全部置零,而将模大于3*sigma的做一个比较特殊的处理,大于3*sigma的小波系数统一减去3*sigma,小于-3*sigma的小波系数统一加3*sigma。经过软阈值函数的作用,小波系数在小波域就比较光滑了,因此用软阈值去噪得到的图象看起来很平滑,类似于冬天通过窗户看外面一样,像有层雾罩在图像上似的。 
    比较硬阈值函数去噪和软阈值函数去噪:硬阈值函数去噪所得到的峰值信噪比(PSNR)较高,但是有局部抖动的现象;软阈值函数去噪所得到的PSNR不如硬阈值函数去噪,但是结果看起来很平滑,原因就是软阈值函数对小波系数进行了较大的 “社会主义改造”,小波系数改变很大。因此各种各样的阈值函数就出现了,其目的我认为就是要使大的系数保留,小的系数被剔出,而且在小波域系数过渡要平滑。
    如何估计小波域噪声方差sigma的估计,这个很简单:把信号做小波变换,在每一个子带利用robust estimator估计就可以(可能高频带和低频带的方差不同)。 robust estimator就是将子带内的小波系数模按大小排列,然后取最中间那个,然后把最中间这个除以0.6745就得到噪声在某个子带内的方差sigma。利用这个sigma,然后选种阈值函数,就可以去去噪了,在matlab有实现api可使用。

    小波阈值去噪过程

     
    在小波分析中经常用到近似和细节,近似表示信号的高尺度,即低频信息;细节表示信号的低尺度,即高频信息。对含有噪声的信号,噪声分量的主要能量集中在小波解的细节分量中。
    在以上过程中,小波基和分解层数的选择,阈值的选取规则,和阈值函数的设计,都是影响最终去噪效果的关键因素。
     
    1、小波基的选择
     
    可参考 http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42586749 博文,一般选取小波基函数要从支撑长度、消失矩、对称性、正则性以及相似性等进行综合考虑。由于小波基函数在处理信号时各有特点,且没有任何一种小波基函数可以对所有类型信号都取得最优的去噪效果。一般来讲,db小波系和sym小波系在语音去噪中是经常会被用到的两族小波基。
    2、分解层数的选择
    对于一个要采集的信号,根据奈奎斯采样定理,其采样频率>= 2*信号的最大频率。而其他噪声频率如高斯白噪声的信号是幅度分布服从高斯分布,功率谱密度服从均匀分布的,并且与有效信号进行混合叠加的。
    在小波分解中,分解层数的选择也是非常重要的一步。取得越大,则噪声和信号表现的不同特性越明显,越有利于二者的分离。但另一方面,分解层数越大,重构到的信号失真也会越大,在一定程度上又会影响最终去噪的效果。因此在应用时要格外注意处理好两者之间的矛盾,选择一个合适的分解尺度。
    通常小波分解的频段范围与采样频率有关。若N层分解,则各个频段大小为Fs/2/2^N 。例如:一个原始信号,经历的时间长度为2秒,采样了2000个点,那么做除法,可得出采样频率为1000hz,由采样定理(做除法)得该信号的最大频率为500hz,那么对该信号做3层的DWT,一阶细节的频段为250-500hz,一阶逼近的频段为小于250hz,二阶细节的频段为125-250hz,逼近的频段为小于125hz,三阶细节的频段约为62.5-125hz,逼近的频段为小于62.5hz。对于更多阶的分解也是以此类推的。
    3、阈值的选取
     
    在小波域,有效信号对应的系数很大,而噪声对应的系数很小。噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪分布。
    阈值选择规则基于模型 y = f(t) + e,e是高斯白噪声N(0,1)。因此可以通过小波系数、或者原始信号来进行评估能够消除噪声在小波域的阈值。
    目前常见的阈值选择方法有:固定阈值估计、极值阈值估计、无偏似然估计以及启发式估计等(N为信号长度)。
     
     
     
    一般来讲,极值阈值估计和无偏似然估计方法比较保守,当噪声在信号的高频段分布较少时,这两种阈值估计方法效果较好可以将微弱的信号提取出来。而固定阈值估计和启发式阈值估计去噪比较彻底,在去噪时显得更为有效,但是也容易把有用的信号误认为噪声去掉。
     
    4、 阈值函数选择
     
    确定了高斯白噪声在小波系数(域)的阈值门限之后,就需要有个阈值函数对这个含有噪声系数的小波系数进行过滤,去除高斯噪声系数,常用的阈值函数有软阈值和硬阈值方法,很多文献论文中也有在阈值函数进行一些大量的改进和优化。
     
    软硬阈值函数优缺点对比:
     
     
     
    硬阈值函数在均方误差意义上优于软阈值法,但是信号会产生附加震荡,产生跳跃点,不具有原始信号的平滑性。
    软阈值估计得到的小波系数整体连续性较好,从而使估计信号不会产生附加震荡,但是优于会压缩信号,会产生一定的偏差,直接影响到重构的信号与真实信号的逼近程度。
     
    5、 matlab中小波工具箱
     
     
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  • 小波变换

    千次阅读 2019-11-11 20:16:46
    最近在学习图像处理,md,从傅立叶变换,拉普拉斯变换,z变换到小波变换,真的是恶心的我头疼,重点是网上关于小波变换的内容少之又少,根本无从下手学习,这里我看了中国科学技术大学的小波变换与图像处理这一本书...

    最近在学习图像处理,md,从傅立叶变换,拉普拉斯变换,z变换到小波变换,真的是恶心的我头疼,重点是网上关于小波变换的内容少之又少,根本无从下手学习,这里我看了中国科学技术大学的小波变换与图像处理这一本书,希望自己能够明白小波变换的含义以及这篇博客的内容能够很好的帮助你们理解小波变换,

    从傅立叶变换到小波变换

    简而言之,傅立叶变换首创的为人们提供了一个观察时(空)域信号的新视角,也就是所说的频域分析法,有些时候,在时(空)域中无法观察或者说是难以处理的问题在频域中就会变得简单易行。信号f(t)f(t)的Fourier变换与你变换分别为:
    F(w)=tRf(t)eiwtdtF(w) = \int_{t \in R}f(t)e^{-iwt}dt
    f(t)=1/2tRF(w)eiwtdwf(t) = 1/2\int_{t \in R}F(w)e^{iwt}dw
    在离散的情况下,傅立叶变换可以理解为将时域信号分解为不同频率的等幅振荡的波形,原始信号可以看作是不同相位和振幅的波形的叠加。
    但是,Fourier变换只适用于处理平稳的信号,而且无法知道知道信号在时间域的时间特征,这时候就需要小波变换来帮忙。

    小波变换

    小波变换究竟是什么呢?从物理的角度而言,小波变换就是将信号分解成为不同的空间和尺度分量,从数学的角度而言,小波变换就和Fourier变换一样,就是一种数学变换,之所以难以理解,是因为他特殊的变换核,这中变换核就是小波函数。本质上,小波函数是由一个小波“母函数”经过平移或者伸缩而得到的一簇函数。
    墨西哥草帽函数为例:其中φ(t)\varphi(t)为小波母函数
    其衍生出来的小波函数为
    φa,b(t)=a1/2φ((tb)/a)\varphi_{a,b}(t) = |a|^{-1/2} \varphi((t-b)/a)
    并非所有的函数都可以作为小波母函数,可以作为小波母函数的条件:
    Cφ=φ(w)^2w1dwC_{\varphi} = \int |\hat{\varphi(w)}|^2|w|^{-1}dw
    其中,φ(w)^\hat{\varphi(w)}为函数φ(t)\varphi(t)的傅立叶变换,则φ(t)\varphi(t)为小波母函数的必要条件为Cφ<+C_{\varphi} <+\infty,这个条件又叫做可容许条件,说明函数φ(t)\varphi(t)必须要有一定的波动性。

    连续小波变换

    函数f(t)f(t)的 连续小波变换可以表示为:
    Wf(a,b)=<f,φa,b>=1/a1/2f(t)W_f(a,b) = <f,\varphi_{a,b}> = 1/|a|^{1/2} \int f(t)
    和傅立叶变换相比,采用实函数变换核,因此变换结果中没有虚部。
    连续小波变换的结果中有两个参数a和b,其中a被称之为尺度因子,b被称之为平移因子,a的大小决定了小波函数的支撑长度,在实际应用中,往往用短支撑的析取信号的短时高频成分,而用长支撑小波析取信号中的长时低频成分,实际上,小波函数中的尺度类似于Fourier变换中的频率参数,在变换结果中,尺度越大说明频率越低,尺度越小,说明频率越高。参数b是小波窗的时间定位参数,他确定了在小波变换中,小波窗在时间轴上的位置,它使得变换结果中有一定的时间信息。
    和Fourier变换类似,小波变换也可以看作是由一些列的小波函数的线形组合而得到的对原始函数的逼近,因此,要求某一个函数的小波变换,实际上就是求该线性组合表达式中,各个小波函数项的系数,每一个系数的大小,反映出对应的小波函数在原始信号中能量的大小。

    离散小波变换(DWT)

    连续小波变换中的尺度参数和位移参数都是连续变化的,给连续小波变换带来了缺陷,运算量急剧增加,冗余度增大,因而,出现了离散小波变换。
    φm,n(t)=a0m/2φ(a0mtnb0)\varphi_{m,n}(t) = a_0^{-m/2}\varphi(a_0^{-m}t-nb_0)
    子带编码subband coding:
    塔式编码 pyramidal coding:
    多分辨率分析 MRA:
    离散小波变换由Mallat算法快速实现,Mallat算法就是采用小波滤波器对离散信号反复的进行低通和高通滤波过程,每一次的滤波得到一个低频分量与高频分量,再对低频分量分别进行高通以及低通滤波,从而得到更大尺度上的高频以及低频分量。
    因此,对一离散信号的离散小波变换,其结果应该包含各个尺度上的高频分量最大尺度上的低频分量
    1

    二维小波变换

    Wf(a,bx,by)=f(x,y)ψa,bx,by(x,y)dxdyW_f(a,b_x,b_y) = \int\int f(x,y)\overline{\psi_{a,b_x,b_y}(x,y)}dxdy
    二维小波逆变换
    f(x,y)=1cψWf(a,bx,by)ψa,bx,by(x,y)dbxdbydaa3f(x,y) = \frac{1}{c_{\psi}}\int\int\int W_f(a,b_x,b_y) \overline{\psi_{a,b_x,b_y}(x,y)}db_xdb_y\frac{da}{a^3}
    其中,ψa,bx,by(x,y)=1aψ(xbxa,ybya)\overline{\psi_{a,b_x,b_y}(x,y)} = \frac{1}{|a|}\psi(\frac{x-b_x}{a},\frac{y-b_y}{a})
    二维小波变换实质上就是对图像进行离散二维小波变换,其二维小波变换相当于对二维图像数据在水平方向和垂直方向各自独立的进行一次一维小波变换。
    二维小波变换的快速算法:
    2

    多分辨率分析MRA

    直接构造L2(R)L^2(R)的正交小波基,需要满足完备,正交的要求,似乎是不太容易,但是我们可以对L2(R)L^2(R)进行适当的分解,使得分解的各个子空间满足一定的关系,再构造其中的一个子空间里的正交基,然后将该子空间里的正交基扩展到其他的子空间中,从而得到L2(R)L^2(R)空间里的正交基。
    可见,L2(R)L^2(R)的分解方式是构造正交基的关键,多分辨率分析就是为这种小波基的构造提供了适当的L2(R)L^2(R)分解方式。
    嵌套的L2(R)L^2(R)的子空间Vj{V_j}满足一定的要求
    尺度空间: VjV_j
    小波空间: WjW_j
    记住一个结论,一个多分辨率分析中一系列嵌套子空间是由函数ϕL2(R)\phi \in L^2(R)生成的,则称ϕ\phi为生成L2(R)L^2(R)的多分辨率分析Vj{V_j}的尺度函数。
    尺度函数满足的要求:

    1. 尺度函数对其正数平移是正交的
    2. 低尺度的尺度函数跨越的子空间嵌套在高尺度的尺度函数跨越的子空间里
    3. 唯一对所有的VjV_j通用的函数是f(x)=0f(x) = 0
    4. 任何函数都可以以任何精度表示

    小波包

    小波包分解:小波变换 仅对低通滤波的结果进行,从数据压缩的观点来看,通过小波变换得到的值越小越好,但是标准的小波变换,高频段频率分辨率不高,这就提出了小波包分解的概念。
    小波包分解(wavelet packet analysis)是一种更加精细的信号分析方法,它将频带进行多层次的划分,对于多分辨率分析没有细分的部分进一步的分解,且能够根据被分析信号的特征,自适应的选择相应的频带,使之与信号频谱相匹配,从而提高了时频分辨率。

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  • 小波变换小波变换doc

    2010-06-18 22:11:26
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  • 上次说到小波变换的知识体系,这篇博客就主要说小波变换里的连续信号的连续小波变换与离散小波变换。 连续信号的连续小波变换 话不多说,我们先放公式,如果你是第一次接触小波,你可会有点懵,但是不要怕,我希望...

    前言
    上次说到小波变换的知识体系,这篇博客就主要说小波变换里的连续信号的连续小波变换与离散小波变换。
    连续信号的连续小波变换
    话不多说,我们先放公式,如果你是第一次接触小波,你可会有点懵,但是不要怕,我希望我的描述可以让你逐渐理解其意义。
    在这里插入图片描述
    由公式我们可以看到,其小波变换后的结果是一个关于τ和s的二元函数,而这也与之前说的小波变换是一种时-频域变换相一致。下面我们开始对上述方程开始分析,其中x(t)就是原时域信号,Ψ(t)就是我们所说的小波基,这里说下小波基是有很多种的,不同的小波基有其不同的特点,所以在进行小波变换选择合适的小波基也是很重要的一步,但是这些小波基在时域上长度是有限的,而这也是其被叫做小波的原因。而τ和s很明显就是对小波基进行平移变换和尺度变换,而前面的s的绝对值的负二分之一这个系数是为了能量归一化。那么直观的来看,这个公式计算的就是原信号与小波基的不同尺度变换、平移变换版本的正交值,正交值越大说明这个版本的小波在原信号中占的比重越大。下面来看看小波变换是如何分析具体信号的,我们给出一个信号,波形如下图,下面对这个信号进行小波变换。
    在这里插入图片描述
    举个例子,我们先令s=1,也是就是小波的未压缩版本,τ从0开始变化,逐渐变大,计算原信号与小波的未压缩版本的多个平移版本的正交值,过程如下图,其中蓝色部分就是我们的小波。
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    相似的,我们令s=5、20,也就是小波的延伸5、20倍版本,τ从0开始变化,逐渐变大,计算原信号与小波的延伸5、20倍版本的多个平移版本的正交值,过程如下图。
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    清楚了过程,我们给出一个更加熟悉的信号,没错,就是上篇博客中提到的变频率的正弦函数。
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    我们直接给出它的小波变换结果,注意下图中的xy坐标为平移和尺度,不是时间和频率
    在这里插入图片描述
    就像图中所呈现的,较小的尺度对应较大的频率,较大的尺度对应较小的频率,这也与上面举的例子一致,当尺度s较小时,小波函数比较尖锐,就对应高频,而当尺度s较大时,小波函数比较平缓,就对应低频。而平移与时间相似,所以通过这个小波变换结果图我们就可以读出原信号在时间轴0到30上频率最高,30到60频率变低,60到80再变低,80到100最低,这也与时域图像相对应。下图是上图的另一个角度,体现的更加明显。
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    所以说,通过上面的连续信号的连续小波变换,我们可以将一个信号变换到时-频域进行分析,不过,显然这种方法的计算量是十分庞大的,并且计算结果还有一定程度上的冗余,所以人们就想能不能把上图的变换结果在不损失结果信息的前提下进行简化,所以,连续信号的离散小波变换就诞生了。
    连续信号的离散小波变换
    仿照着连续信号的连续小波变换,我们直接给出离散小波变换的公式,见下图。
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    与一开始的连续小波变换的公式相比,此时的离散小波变换只分析小波函数的某几个特定的尺度变换和平移变换版本与原信号的正交值,将结果数据量大幅降低,并且此时原信号还可以拆解成类似级数的形式,其正交值也被赋予了物理意义,值得一说的是尺度变换的幅度不必非要是2的几次方形式,只不过在一般情况下为了方便计算,一般取2的次方的形式。
    这篇博客主要大体介绍了下连续信号的连续和离散小波变换的公式和过程,下篇博客中我将介绍连续信号的离散小波变换中的多分辨分析、尺度函数、小波函数(这里的小波函数要与之前提到的小波基区别开,两者无直接关联)概念。

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