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  • 拉格朗日中值定理

    千次阅读 2018-04-10 09:40:03
    背景:拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解析函数论》的第六章提出了该定理,并进行了初步证明,因此人们将该定理命名为...

    背景:

    拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解析函数论》的第六章提出了该定理,并进行了初步证明,因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

    配置图片:(转载来自百度)


    概念:

    如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得

    f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

    几何意义:

    若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

    物理意义:

    对于直线运动,在任意一个运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

    用途:

    主要用途就是求出函数在一段连续区间上的点的平均值,也就是可以求出函数的最大和最小之间的一个均值。

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  • 拉格朗日中值定理求极限 拉格朗日中值定理在理论分析与证题中的重要作用人所共知, 本文通过若干范例说明拉格朗日中值定理也是求某些较难极限的 一种十分简便而有效的工具。
  • 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

    千次阅读 多人点赞 2020-04-04 11:19:07
    罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 罗尔定理 如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点(图中蓝色两点), 那么在这两点间的函数图像上至少存在一点...

    罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

    罗尔定理

    如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点(图中蓝色两点),
    Alt
    那么在这两点间的函数图像上至少存在一点处的切线平行于该水平直线(显然也平行于x轴),
    这种现象可以更严谨地表述为罗尔定理

    如果函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,并且f(a)=f(b),那么至少存在一点c于(a,b)内使得f(c)=0f^{'}\left( c \right) = 0

    罗尔定理的证明要求的是关于导数等于0的结论,我想到的是:
    (1)如果f(x)是常数函数的话,那么定义域内任意一点的导数都为0;
    (2)可导的函数在极值点处导数为0。所以这里证明的难点是:如果f(x)不是常数函数,那么该怎么证明其有极值存在于(a,b)内呢?若能证明之,则罗尔定理得证。

    如果f(x)不是常数函数,因为f(x)在[a,b]上连续,那么在该区间上面必然存在极大值极小值,假设极大值和极小值均在端点处取得,再加上本定理的条件已经声明f(x)在两端点处的值相等(即f(a)=f(b)),可得出这种情况下函数的极大值等于极小值,这样的函数显然是常数函数,这与开头的假设“f(x)不是常数函数”相悖,所以f(x)不是常数函数情况下其极大值和极小值不可能都在端点处取得——至少存在一个极值点于(a,b)内,又因为f(x)在 (a,b) 上可导,所以该处函数导数为0。

    下面是我的证明过程:因为f(x)在[a,b]上连续,那么在该区间上面必然存在极大值和极小值。其极值的分布情况只有两种可能:
    (1)若f(x)的极值至少有一个在(a,b)内取得,设该极值点的横坐标为c,因为f(x)在 (a,b) 上可导,所以有f(c)=0f^{'}\left( c \right) = 0
    (2)若f(x)的极值均不在(a,b)内取得——极值均在端点处取得,这两个极值分别是f(a)和f(b),由于本定理的条件中已经声明f(x)在两端点处的值相等(即f(a)=f(b)),可知函数的极大值等于极小值,这样的函数显然是常数函数,那么于(a,b)内的任何一点c都有f(c)=0f^{'}\left( c \right) = 0
    综上,至少存在一点c于(a,b)内使得f(c)=0f^{'}\left( c \right) = 0,罗尔定理得证

    罗尔定理要求 函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,这两个条件总让我感觉有些憋扭,因为f(x)在 (a,b) 上可导的话就一定可得出f(x)在 (a,b) 上连续,于是可把条件转化为“函数f(x)在(a,b) 上可导,在a、b两点处连续”,但感觉还是不够简洁,为什么不直接把条件简单地限制为“函数f(x)在[a,b]上可导”呢?
    在这个条件下一定会有“函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导”,后来我想到不做这种简化的原因可能是:函数在a、b两端点处的导数可能是+∞或-∞——不可导,在这种情况下如果把“函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导”简化成“函数f(x)在[a,b]上可导”就会使罗尔定理不适用于下面这种情况(该函数在-1和1处不可导):
    Alt
    认识到这种情形之后,我们可以有一个适用范围小一点但同时也更简洁的罗尔定理:如果函数f(x)在[a,b]上可导,并且f(a)=f(b),那么至少存在一点c于(a,b)内使得f(c)=0f^{'}\left( c \right) = 0

    如果函数f(x)在[a,b]上不连续,那么罗尔定理可能不成立,如图所示:

    Alt

    如果函数f(x)在(a,b)上不可导,那么罗尔定理可能不成立,如图所示:

    Alt

    上面两图意在让各位认识到罗尔定理的成立条件的必要性。

    拉格朗日中值定理

    若一条直线和处处可导的函数f(x)的图像交于(a,f(a))和(b,f(b))两点,将该直线上下平移,那么总存在该直线和函数f(x)的图像相切的情形,在这里插入图片描述
    这种现象可以更严谨地表述为微分中值定理(亦称拉格朗日中值定理):如果函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,那么至少存在一点c于(a,b)内使得f(c)=f(b) f(a)baf^{'}\left( c \right) = \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}

    微分中值定理可以看作是罗尔定理旋转后的情形,可设想把满足罗尔定理的图像旋转一个角度后,那么原来过(a,f(a))和(b,f(b))的水平直线变成了斜率为f(b) f(a)ba\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}的直线,而那条切线始终与之平行,所以斜率(该点的导数)依然等于f(b) f(a)ba\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}

    微分中值定理也可以用罗尔定理来证明,如下:

    过(a,f(a))和(b,f(b))的直线的方程是g(x)=f(a)+f(b) f(a)ba(xa)g\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a),f(x)和g(x)的纵向差距可表示为h(x)=f(x)g(x)=f(x)f(a)f(b) f(a)ba(xa)h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a),因为f(x)和g(x)的图像在两端点处相交,所以h(a)=h(b)=0,同时不难得出h(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,所以h(x)满足罗尔定理,因而存在一点c于(a,b)内使得h(c)=0=f(c)f(b) f(a)bah'(c) = 0 = f'\left( c \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a},进而可得出f(c)=f(b) f(a)baf^{'}(c) = \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a},微分中值定理得证。

    作为微分中值定理的应用,我们可以考虑这样一种情形:假如一辆车做变速运动,一小时行了20km,如果f(x)是车的位移函数、f(0)=0、f(1)=20,微分中值定理告诉我们在这一小时内必然有一刻车速为f(1) f(0)10=20010=20(km/h)\frac{f\left( 1 \right) - \ f\left( 0 \right)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1 - 0} = 20(km/h),如果你对此仍怀疑,那么请设想其反面:若这一小时内车速始终大于或小于20km/h会出现什么情况?……所以这一小时内车速绝对会有一刻为20km/h。

    对比一下微分中值定理和罗尔定理的差异,我们不难发现微分中值定理可以囊括罗尔定理的情形——微分中值定理中f(a)=f(b)的时候它便退化成了罗尔定理,也就是说微分中值定理具有更普遍的适用范围。

    柯西中值定理

    现在让我们来看一个更广义的微分中值定理(亦称柯西中值定理):如果f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,如果在(a,b)上g′(x)≠0,那么至少存在一点c于(a,b)内使得

    f(c)g(c)=f(b)f(a)g(b)g(a)\frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)} = \frac{f(b) - f(a)}{g\left( b \right) - g\left( a \right)}

    为什么说该定理是更广义的微分中值定理呢?微分中值定理就是上面这个等式中令g(x)=x的情形。至于广义微分中值定理的证明,我们只用令h(x)=[f(b)f(a)]g(x)[g(b)g(a)]f(x)h\left( x \right) = \left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g\left( x \right) - \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f\left( x \right)
    然后对其应用微分中值定理便不难得证

    参考自:https://www.cnblogs.com/iMath/p/10158670.html

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  • 拉格朗日中值定理的内容、几何意义和证明过程的讲解
  • 下面实战演练拉格朗日中值定理的证明。 先给出拉格朗日中值定理的定义: 如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; 那么在开区间(a,b)内至少有一点   作者:披风秃头侠
  • 1.罗尔中值定理 ...2.拉格朗日中值定理(微分中值定理/罗尔中值定理的推广) 3.柯西中值定理(拉格朗日总值定理的推广) 参考文章:https://blog.csdn.net/FnqTyr45/article/details/80037454 ...

    1.罗尔中值定理

    如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点(如图所示),
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.拉格朗日中值定理(微分中值定理/罗尔中值定理的推广)在这里插入图片描述

    3.柯西中值定理(拉格朗日总值定理的推广)

    在这里插入图片描述

    参考文章:https://blog.csdn.net/FnqTyr45/article/details/80037454

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  • 罗尔定理证明;拉格朗日中值定理证明;柯西中值定理证明; 证明方法挑选的基本都是步骤简单的。

    高等数学的学习躲不过中值定理,而这部分内容又是有些难度,由于检索相关三大微分中值定理定理的证明并没有满意的文章,便自己整理了一篇供自己参考,希望也能为各位读者提供一些帮助!

    1 罗尔定理

    描述

    如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)=0。

    证明

    因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M 和 m 表示,分两种情况讨论:

    1. 若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

    2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,
      又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f’(ξ)=0。
      在这里插入图片描述

    助解

    1. 费马引理,总结就一句话:可导函数极值点为零
    2. 若M>m的情况借助图像,便于理解

    2 拉格朗日中值定理

    描述

    在这里插入图片描述

    证明

    在这里插入图片描述
    注:证法不唯一

    通过一段时间的中值定理相关证明题的学习,不难发现辅助函数的构造在解题中的重要性。

    3 柯西中值定理

    在这里插入图片描述

    参考链接

    1. 知乎拉格朗日定理证明
    2. 百度知道

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拉格朗日中值定理