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  • 拉格朗日中值定理求极限 拉格朗日中值定理在理论分析与证题中的重要作用人所共知, 本文通过若干范例说明拉格朗日中值定理也是求某些较难极限的 一种十分简便而有效的工具。
  • 拉格朗日中值定理

    2021-07-25 17:44:32
    拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形...

    目录

    一、定理描述

    二、拉格朗日中值定理及几何意义

    1.拉格朗日中值定理:

    2.几何意义:

    3.需要注意的地方(逆命题不成立)

    三、应用举例


    拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开),在机器学习支持向量机等算法模型中有使用此定理。

    一、定理描述

    如果函数x满足:

    (1)在闭区间[a,b]上连续;

    (2)在开区间(a,b)上可导;

    在开区间(a,b)内至少有一点\varepsilon(a<\varepsilon<b)使等式f(b)-f(a)=f'(\varepsilon )(b-a)成立。

    其他形式

    \varepsilon=a+\theta (b-a)(0<\theta <1),令a=xb=x+\Delta x,则有\varepsilon =a+\theta (x+\Delta x-x)=x+\theta \Delta xf'(\varepsilon )\Delta x=\Delta y

    \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\cdot \Delta x(0<\theta <1),此式为有限增量公式。

    我们知道函数的微分dy=f'(x)\Delta x是函数的增量\Delta y的近似表达式,一般情况下只有当\left | \Delta x \right |很小的时候,dy\Delta y之间的近似度才会提高;而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量\Delta x\left | \Delta x \right |不一定很小)时,函数增量\Delta y的准确表达式,这就是改公式的价值所在。

    二、拉格朗日中值定理及几何意义

    1.拉格朗日中值定理:

    若函数f(x)在(a,b)可导,则在(a,b)至少存在一点c,使f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    2.几何意义:

    函数y=f(x)在[a,b]上的图形是连续光滑曲线,弧AB上至少有一点P,曲线P点的切线平行于弦AB,如图

    证明:令g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Rightarrow g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g(a)=g(b)=0,根据罗尔定理在(a,b)内至少存在一点c,使

    g'(c)=0\Rightarrow f'(c)-\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0

    3.需要注意的地方(逆命题不成立)

    拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如f(x)=x^{3}x=0处的斜线斜率为0,但f(x)不存在割线使割线斜率等于0。

    注:割线、切线、切割线三者都是针对圆而言的:
    1、割线:就是圆外一点引出一条直线与圆有两个交点的线,叫割线;
    2、切线:就是圆外一点引出一条直线与圆有一个交点的线,叫切线;
    3、切割线:是从同一点出发,引出一条割线和一条切线。

    三、应用举例

    已知函数f(x)=aln(x+1)-x^{2}在(1,2)内任意取两个实数p,q,且p\neq q,不等式\frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}< 1恒成立,则实数a的取值范围为?

    解法一:常规解法

    x_1=p+1,x_2=q+1

    因为p,q\in (1,2),所以x_1,x_2\in (2,3) 

    \frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}< 1

    不妨设x_1>x_2

    f(x_1)-f(x_2)< x_1-x_2

    f(x_1)-x_1< f(x_2)-x_2

    g(x)=f(x)-x 

    则有g(x_1)<g(x_2) 

    因为x_1>x_2

    所以g(x)(2,3)内单调递减

    g(x)=aln(x+1)-x^{2}-x 

    g(x)'=\frac{a}{x+1}-2x-1(x>-1) 

    需证明当x\in (2,3)时,\frac{a}{x+1}-2x-1\leq 0恒成立

    解法二:拉格朗日中值定理

    \frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}< 1

    \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(x_0)

    f'(x_0)\leq 1 

    只需证明当x\in (2,3)时,\frac{a}{x+1}-2x\leq 1恒成立 

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  • 【专题】拉格朗日中值定理求极限 前言 最好自己先做一遍例题再去看答案,每道题都不止一种解法,也可以尝试其他思路。 7个题,不难,很快就能做完。ο(=•ω)ρ⌒☆ 如果有错误的地方还请指出,我在Typora写好的...

    【专题】拉格朗日中值定理求极限

    前言

    最好自己先做一遍例题再去看答案,每道题都不止一种解法,也可以尝试其他思路。

    7个题,不难,很快就能做完。ο(=•ω<=)ρ⌒☆

    如果有错误的地方还请指出,我在Typora写好的markdown到csdn上格式就变了,不太好看。

    定义

    如果函数 f ( x ) f(x) f(x)​满足:

    1. 在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续;
    2. 在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上可导。

    那么在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) \xi(a<\xi <b) ξ(a<ξ<b),使等式 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f(b)f(a)=f(ξ)(ba)​成立。

    解题步骤

    1. 找函数 F ( x ) F(x) F(x)
    2. 拉格朗日中值定理 F ( b ) − F ( a ) = F ′ ( ξ ) ( b − a ) F(b)-F(a)=F'(\xi )(b-a) F(b)F(a)=F(ξ)(ba).
    3. ξ \xi ξ的区间。
    4. 夹逼定理 ξ \xi ξ​的值。
    5. 求解答案。

    例题

    例题1

    a > 0 , lim ⁡ x → ∞ x 2 ( a 1 x − a 1 x + 1 ) = a>0,\lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}})= a>0,xlimx2(ax1ax+11)=

    例题2

    lim ⁡ n → ∞ n ( a r c t a n π n − a r c t a n π 2 n ) = \lim_{n\rightarrow \infty}n(arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n})= nlimn(arctannπarctan2nπ)=

    例题3

    lim ⁡ x → 0 1 + t a n x − 1 + s i n x x l n ( 1 + x ) − x 2 = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{xln(1+x)-x^2}= x0limxln(1+x)x21+tanx 1+sinx =

    例题4

    lim ⁡ x → 0 l n ( c o s x ) x 2 = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2}= x0limx2ln(cosx)=

    例题5

    a ≠ k π , lim ⁡ x → a ( s i n x s i n a ) 1 x − a = a\ne k\pi,\lim_{x\rightarrow a}{(\frac{sinx}{sina})}^{\frac{1}{x-a}}= a=kπ,xalim(sinasinx)xa1=

    例题6

    lim ⁡ n → ∞ ( n ⋅ t a n 1 n ) n 2 = \lim_{n\rightarrow \infty}(n\cdot tan\frac{1}{n})^{n^2}= nlim(ntann1)n2=

    例题7

    lim ⁡ x → 0 ( l n ( 1 + x ) x ) 1 e x − 1 = \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{ln(1+x)}{x})^{\frac{1}{e^x-1}}= x0lim(xln(1+x))ex11=

    答案

    例题1

    1. 定义 F ( x ) = a x , F ′ ( x ) = l n a ⋅ a x F(x)=a^x,F'(x)=lna\cdot a^x F(x)=ax,F(x)=lnaax

    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( 1 x ) − F ( 1 x + 1 ) = a 1 x − a 1 x + 1 F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}} F(x1)F(x+11)=ax1ax+11​可以转换成 F ( 1 x ) − F ( 1 x + 1 ) = F ′ ( ξ ) ( 1 x − 1 x + 1 ) F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=F'(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}) F(x1)F(x+11)=F(ξ)(x1x+11)​。

    3. 其中 ξ \xi ξ的范围为 1 x + 1 < ξ < 1 x \frac{1}{x+1}<\xi<\frac{1}{x} x+11<ξ<x1

    4. 因为 lim ⁡ x → ∞ 1 x + 1 → 0 \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x+1} \rightarrow 0 limxx+110 lim ⁡ x → ∞ 1 x → 0 \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} \rightarrow 0 limxx10,根据夹逼定理可得 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0

    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → ∞ x 2 ( a 1 x − a 1 x + 1 ) = lim ⁡ x → ∞ x 2 ( F ′ ( ξ ) ( 1 x − 1 x + 1 ) ) = lim ⁡ x → ∞ x 2 ( l n a ⋅ 1 x ( x + 1 ) ) = l n a ⋅ lim ⁡ x → ∞ x x + 1 = l n a \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}) &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(F'(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})) \\ &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(lna\cdot \frac{1}{x(x+1)}) \\ &=& lna\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x+1} \\ &=& lna \end{array} limxx2(ax1ax+11)====limxx2(F(ξ)(x1x+11))limxx2(lnax(x+1)1)lnalimxx+1xlna

    例题2

    1. 定义 F ( x ) = a r c t a n x , F ′ ( x ) = 1 1 + x 2 F(x)=arctanx,F'(x)=\frac{1}{1+x^2} F(x)=arctanx,F(x)=1+x21
    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( π n ) − F ( π 2 n ) = a r c t a n π n − a r c t a n π 2 n F(\frac{\pi}{n})-F(\frac{\pi}{2n})=arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n} F(nπ)F(2nπ)=arctannπarctan2nπ​可以转换成 F ( π n ) − F ( π 2 n ) = F ′ ( ξ ) ( π n − π 2 n ) F(\frac{\pi}{n})-F(\frac{\pi}{2n})=F'(\xi)(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}) F(nπ)F(2nπ)=F(ξ)(nπ2nπ)​。
    3. 其中 ξ \xi ξ​的范围为 π 2 n < ξ < π n \frac{\pi}{2n}<\xi<\frac{\pi}{n} 2nπ<ξ<nπ​。
    4. 因为 lim ⁡ n → ∞ π 2 n → 0 \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\pi}{2n} \rightarrow 0 limn2nπ0​​且 lim ⁡ n → ∞ π n → 0 \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\pi}{n} \rightarrow 0 limnnπ0​​,根据夹逼定理可得 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0​​。
    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ n → ∞ n ( a r c t a n π n − a r c t a n π 2 n ) = lim ⁡ n → ∞ n [ 1 1 + ξ 2 ( π n − π 2 n ) ] = π lim ⁡ n → ∞ n ( 1 n − 1 2 n ) = π 2 \begin{array}{l} \lim_{n\rightarrow \infty}n(arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n}) &=& \lim_{n\rightarrow \infty}n[\frac{1}{1+\xi ^2}(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n})] \\ &=& \pi \lim_{n\rightarrow \infty}n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}) \\ &=& \frac{\pi}{2} \end{array} limnn(arctannπarctan2nπ)===limnn[1+ξ21(nπ2nπ)]πlimnn(n12n1)2π

    例题3

    1. 定义 F ( x ) = x , F ′ ( x ) = 1 2 x F(x)=\sqrt{x},F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} F(x)=x ,F(x)=2x 1
    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( 1 + t a n x ) − F ( 1 + s i n x ) = 1 + t a n x − 1 + s i n x F(1+tanx)-F(1+sinx)=\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx} F(1+tanx)F(1+sinx)=1+tanx 1+sinx 可以转换成 F ( 1 + t a n x ) − F ( 1 + s i n x ) = F ′ ( ξ ) [ ( 1 + t a n x ) − ( 1 + s i n x ) ] F(1+tanx)-F(1+sinx)=F'(\xi)[(1+tanx)-(1+sinx)] F(1+tanx)F(1+sinx)=F(ξ)[(1+tanx)(1+sinx)]
    3. 其中 ξ \xi ξ​的范围为 m i n { 1 + t a n x , 1 + s i n x } < ξ < m a x { 1 + t a n x , 1 + s i n x } min\{1+tanx,1+sinx\}<\xi<max\{1+tanx,1+sinx\} min{1+tanx,1+sinx}<ξ<max{1+tanx,1+sinx}​​。
    4. 因为 lim ⁡ x → 0 1 + t a n x → 1 \lim_{x\rightarrow 0} 1+tanx \rightarrow 1 limx01+tanx1​​​且 lim ⁡ x → 0 1 + s i n x → 1 \lim_{x\rightarrow 0} 1+sinx \rightarrow 1 limx01+sinx1​​​,根据夹逼定理可得 ξ → 1 \xi \rightarrow 1 ξ1​​​​。
    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → 0 1 + t a n x − 1 + s i n x x l n ( 1 + x ) − x 2 = lim ⁡ x → 0 1 2 ξ [ ( 1 + t a n x ) − ( 1 + s i n x ) ] x l n ( 1 + x ) − x 2 = 1 2 lim ⁡ x → 0 ( 1 + t a n x ) − ( 1 + s i n x ) x l n ( 1 + x ) − x 2 = 1 2 lim ⁡ x → 0 t a n x − s i n x x l n ( 1 + x ) − x 2 = 1 2 lim ⁡ x → 0 s i n x ( 1 − c o s x ) c o s x x ( l n ( 1 + x ) − x ) = 1 2 lim ⁡ x → 0 s i n x ( 1 − c o s x ) x ( l n ( 1 + x ) − x ) = 1 2 lim ⁡ x → 0 1 − c o s x l n ( 1 + x ) − x = 1 2 lim ⁡ x → 0 1 2 x 2 − 1 2 x 2 = − 1 2 \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{xln(1+x)-x^2} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{\xi}}[(1+tanx)-(1+sinx)]}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+tanx)-(1+sinx)}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-sinx}{xln(1+x)-x^2} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sinx(1-cosx)}{cosx}}{x(ln(1+x)-x)} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-cosx)}{x(ln(1+x)-x)} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{ln(1+x)-x} \\ &=& \frac{1}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{2}x^2} \\ &=& -\frac{1}{2} \end{array} limx0xln(1+x)x21+tanx 1+sinx ========limx0xln(1+x)x22ξ 1[(1+tanx)(1+sinx)]21limx0xln(1+x)x2(1+tanx)(1+sinx)21limx0xln(1+x)x2tanxsinx21limx0x(ln(1+x)x)cosxsinx(1cosx)21limx0x(ln(1+x)x)sinx(1cosx)21limx0ln(1+x)x1cosx21limx021x221x221

    上述步骤中使用了两个等价无穷小:

    1. x → 0 , 1 − c o s x ∼ 1 2 x 2 x\rightarrow 0,1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2 x0,1cosx21x2​​。
    2. x → 0 , l e n ( 1 + x ) − x ∼ − 1 2 x 2 x\rightarrow 0,len(1+x)-x \sim -\frac{1}{2}x^2 x0,len(1+x)x21x2​。

    例题4

    1. 定义 F ( x ) = l n x , F ′ ( x ) = 1 x F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x} F(x)=lnx,F(x)=x1​。

    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( c o s x ) − F ( 1 ) = l n ( c o s x ) − l n ( 1 ) = l n ( c o s x ) F(cosx)-F(1)=ln(cosx)-ln(1)=ln(cosx) F(cosx)F(1)=ln(cosx)ln(1)=ln(cosx)​​​可以转换成 F ( c o s x ) − F ( 1 ) = F ′ ( ξ ) ( c o s x − 1 ) F(cosx)-F(1)=F'(\xi)(cosx-1) F(cosx)F(1)=F(ξ)(cosx1)​​​。

    3. 其中 ξ \xi ξ​的范围为 c o s x < ξ < 1 cosx<\xi < 1 cosx<ξ<1​。

    4. 因为 lim ⁡ x → 0 c o s x → 1 \lim_{x\rightarrow 0} cosx \rightarrow 1 limx0cosx1​​,根据夹逼定理可得 ξ → 1 \xi \rightarrow 1 ξ1​。

    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → 0 l n ( c o s x ) x 2 = lim ⁡ x → 0 1 ξ ( c o s x − 1 ) x 2 = lim ⁡ x → 0 − 1 2 x 2 x 2 = − 1 2 \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2} &=& \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\xi}(cosx-1)}{x^2} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} \\ &=& -\frac{1}{2} \end{array} limx0x2ln(cosx)===limx0x2ξ1(cosx1)limx0x221x221

    例题5

    将原式变形:
    lim ⁡ x → a ( s i n x s i n a ) 1 x − a = lim ⁡ x → a e 1 x − a l n ( s i n x s i n a ) = e lim ⁡ x → a 1 x − a ( l n ( s i n x ) − l n ( s i n a ) ) \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow a}{(\frac{sinx}{sina})}^{\frac{1}{x-a}} &=& \lim_{x\rightarrow a}e^{\frac{1}{x-a}ln(\frac{sinx}{sina})} \\ &=& e^{\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina))} \end{array} limxa(sinasinx)xa1==limxaexa1ln(sinasinx)elimxaxa1(ln(sinx)ln(sina))
    即,转变为求 lim ⁡ x → a 1 x − a ( l n ( s i n x ) − l n ( s i n a ) ) \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina)) limxaxa1(ln(sinx)ln(sina))

    1. 定义 F ( x ) = l n x , F ′ ( x ) = 1 x F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x} F(x)=lnx,F(x)=x1
    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( s i n x ) − F ( s i n a ) = l n ( s i n x ) − l n ( s i n a ) F(sinx)-F(sina)=ln(sinx)-ln(sina) F(sinx)F(sina)=ln(sinx)ln(sina)可以转换成 F ( s i n x ) − F ( s i n a ) = F ′ ( ξ ) ( s i n x − s i n a ) F(sinx)-F(sina)=F'(\xi)(sinx-sina) F(sinx)F(sina)=F(ξ)(sinxsina)​。
    3. 其中 ξ \xi ξ​的范围为 s i n x < ξ < s i n a sinx<\xi < sina sinx<ξ<sina​。
    4. 因为 lim ⁡ x → a s i n x → s i n a \lim_{x\rightarrow a} sinx \rightarrow sina limxasinxsina​​,根据夹逼定理可得 ξ → s i n a \xi \rightarrow sina ξsina​​。
    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → a 1 x − a ( l n ( s i n x ) − l n ( s i n a ) ) = lim ⁡ x → a 1 x − a ( 1 s i n a ( s i n x − s i n a ) ) = lim ⁡ x → a s i n x − s i n a s i n a ( x − a ) (①) \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(ln(sinx)-ln(sina)) &=& \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(\frac{1}{sina}(sinx-sina)) \\ &=& \lim_{x\rightarrow a}\frac{sinx-sina}{sina(x-a)} \tag{①} \end{array} limxaxa1(ln(sinx)ln(sina))==limxaxa1(sina1(sinxsina))limxasina(xa)sinxsina()

    在计算 s i n x − s i n a sinx-sina sinxsina时也可以使用拉格朗日中值定理

    定义 G ( x ) = s i n x , G ′ ( x ) = c o s x G(x)=sinx,G'(x)=cosx G(x)=sinx,G(x)=cosx,则 G ( x ) − G ( a ) = G ′ ( ξ ) ( x − a ) G(x)-G(a)=G'(\xi)(x-a) G(x)G(a)=G(ξ)(xa)

    其中 x < ξ < a x<\xi<a x<ξ<a​,且 x → a x\rightarrow a xa​​,由夹逼定理可知 ξ = a \xi=a ξ=a

    s i n x − s i n a = c o s a ( x − a ) sinx-sina=cosa(x-a) sinxsina=cosa(xa)​。

    将上式代入①:

    lim ⁡ x → a s i n x − s i n a s i n a ( x − a ) = lim ⁡ x → a c o s a ( x − a ) s i n a ( x − a ) = c o t ( a ) \lim_{x\rightarrow a}\frac{sinx-sina}{sina(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{cosa(x-a)}{sina(x-a)}=cot(a) limxasina(xa)sinxsina=limxasina(xa)cosa(xa)=cot(a)

    故,答案为 e c o t a e^{cota} ecota

    例题6

    x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1​,因 n → ∞ n\rightarrow \infty n​则 x → 0 x\rightarrow 0 x0​​,换元得:

    lim ⁡ n → ∞ ( n ⋅ t a n 1 n ) n 2 = lim ⁡ x → 0 ( t a n x x ) 1 x 2 \lim_{n\rightarrow \infty}(n\cdot tan\frac{1}{n})^{n^2}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{x^2}} limn(ntann1)n2=limx0(xtanx)x21

    将原式变形:
    lim ⁡ x → 0 ( t a n x x ) 1 x 2 = lim ⁡ x → 0 e 1 x 2 l n ( t a n x x ) = e lim ⁡ x → 0 1 x 2 [ l n ( t a n x ) − l n x ] \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2}ln(\frac{tanx}{x})}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}[ln(tanx)-lnx]} x0lim(xtanx)x21=x0limex21ln(xtanx)=elimx0x21[ln(tanx)lnx]
    即,转变为求 lim ⁡ x → 0 1 n 2 [ l n ( t a n x ) − l n x ] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{n^2}[ln(tanx)-lnx] limx0n21[ln(tanx)lnx]

    1. 定义 F ( x ) = l n x , F ′ ( x ) = 1 x F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x} F(x)=lnx,F(x)=x1
    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( t a n x ) − F ( x ) = l n ( t a n x ) − l n x F(tanx)-F(x)=ln(tanx)-lnx F(tanx)F(x)=ln(tanx)lnx可以转换成 F ( t a n x ) − F ( x ) = F ′ ( ξ ) ( t a n x − x ) F(tanx)-F(x)=F'(\xi)(tanx-x) F(tanx)F(x)=F(ξ)(tanxx)​。
    3. 其中 ξ \xi ξ​的范围为 m i n { t a n x , x } < ξ < m a x { t a n x , x } min\{tanx,x \}<\xi < max\{tanx,x \} min{tanx,x}<ξ<max{tanx,x}​​。
    4. 因为 lim ⁡ x → 0 t a n x → 0 \lim_{x\rightarrow 0} tanx \rightarrow 0 limx0tanx0​​​且 lim ⁡ x → 0 x → 0 \lim_{x\rightarrow 0} x \rightarrow 0 limx0x0​​​,根据夹逼定理可得 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0​​​。
    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → 0 1 x 2 [ l n ( t a n x ) − l n x ] = lim ⁡ x → 0 1 x 2 1 ξ ( t a n x − x ) = lim ⁡ x → 0 t a n x − x x 2 ξ = lim ⁡ x → 0 1 3 x 3 x 2 ξ = 1 3 lim ⁡ x → 0 x ξ \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}[ln(tanx)-lnx] &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}\frac{1}{\xi}(tanx-x) \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-x}{x^2 \xi} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{3}x^3}{x^2 \xi} \\ &=& \frac{1}{3} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\xi} \end{array} limx0x21[ln(tanx)lnx]====limx0x21ξ1(tanxx)limx0x2ξtanxxlimx0x2ξ31x331limx0ξx

    上式最后一步用到了等价无穷小 x → 0 , t a n − x ∼ 1 3 x 3 x\rightarrow 0,tan-x \sim \frac{1}{3}x^3 x0,tanx31x3

    因为 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0 x → 0 x \rightarrow 0 x0,则可以认为 ξ \xi ξ x x x等价,即 1 3 lim ⁡ x → 0 x ξ = 1 3 \frac{1}{3} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\xi}=\frac{1}{3} 31limx0ξx=31

    故,答案为 e 1 3 e^{\frac{1}{3}} e31

    例题7

    将原式变形:
    lim ⁡ x → 0 ( l n ( 1 + x ) x ) 1 e x − 1 = lim ⁡ x → 0 e 1 e x − 1 ⋅ l n ( l n ( 1 + x ) x ) \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{ln(1+x)}{x})^{\frac{1}{e^x-1}} &=& \lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{e^x-1}\cdot ln(\frac{ln(1+x)}{x})} \end{array} limx0(xln(1+x))ex11=limx0eex11ln(xln(1+x))
    即,转变为求 lim ⁡ x → 0 l n ( l n ( 1 + x ) ) − l n ( x ) e x − 1 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(ln(1+x))-ln(x)}{e^x-1} limx0ex1ln(ln(1+x))ln(x)​​。

    1. 定义 F ( x ) = l n x , F ′ ( x ) = 1 x F(x)=lnx,F'(x)=\frac{1}{x} F(x)=lnx,F(x)=x1
    2. 根据拉格朗日中值定理,式子 F ( l n ( 1 + x ) ) − F ( x ) = l n ( l n ( 1 + x ) ) − l n x F(ln(1+x))-F(x)=ln(ln(1+x))-lnx F(ln(1+x))F(x)=ln(ln(1+x))lnx​可以转换成 F ( l n ( 1 + x ) ) − F ( x ) = F ′ ( ξ ) ( l n ( 1 + x ) − x ) F(ln(1+x))-F(x)=F'(\xi)(ln(1+x)-x) F(ln(1+x))F(x)=F(ξ)(ln(1+x)x)​。
    3. 其中 ξ \xi ξ的范围为 m i n { l n ( 1 + x ) , x } < ξ < m a x { l n ( 1 + x ) , x } min\{ln(1+x),x \}<\xi < max\{ln(1+x),x \} min{ln(1+x),x}<ξ<max{ln(1+x),x}
    4. 因为 lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x ) → 0 \lim_{x\rightarrow 0} ln(1+x) \rightarrow 0 limx0ln(1+x)0 lim ⁡ x → 0 x → 0 \lim_{x\rightarrow 0} x \rightarrow 0 limx0x0,根据夹逼定理可得 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0
    5. 将上面得到的式子代入:

    lim ⁡ x → 0 l n ( l n ( 1 + x ) ) − l n ( x ) e x − 1 = lim ⁡ x → 0 1 ξ ( l n ( 1 + x ) − x ) e x − 1 = lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x ) − x ξ ⋅ x = lim ⁡ x → 0 − 1 2 x 2 ξ ⋅ x = lim ⁡ x → 0 − x 2 ξ \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(ln(1+x))-ln(x)}{e^x-1} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\xi}(ln(1+x)-x)}{e^x-1} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)-x}{\xi \cdot x} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{\xi \cdot x} \\ &=& \lim_{x\rightarrow 0}-\frac{x}{2\xi} \end{array} limx0ex1ln(ln(1+x))ln(x)====limx0ex1ξ1(ln(1+x)x)limx0ξxln(1+x)xlimx0ξx21x2limx02ξx

    因为 ξ → 0 \xi \rightarrow 0 ξ0 x → 0 x \rightarrow 0 x0,则可以认为 ξ \xi ξ x x x等价,即 lim ⁡ x → 0 − x 2 ξ = − 1 2 \lim_{x\rightarrow 0}-\frac{x}{2\xi}=-\frac{1}{2} limx02ξx=21

    故,答案为 e − 1 2 e^{-\frac{1}{2}} e21​。

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  • 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

    千次阅读 多人点赞 2020-04-04 11:19:07
    罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 罗尔定理 如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点(图中蓝色两点), 那么在这两点间的函数图像上至少存在一点...

    罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

    罗尔定理

    如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点(图中蓝色两点),
    Alt
    那么在这两点间的函数图像上至少存在一点处的切线平行于该水平直线(显然也平行于x轴),
    这种现象可以更严谨地表述为罗尔定理

    如果函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,并且f(a)=f(b),那么至少存在一点c于(a,b)内使得 f ′ ( c ) = 0 f^{'}\left( c \right) = 0 f(c)=0

    罗尔定理的证明要求的是关于导数等于0的结论,我想到的是:
    (1)如果f(x)是常数函数的话,那么定义域内任意一点的导数都为0;
    (2)可导的函数在极值点处导数为0。所以这里证明的难点是:如果f(x)不是常数函数,那么该怎么证明其有极值存在于(a,b)内呢?若能证明之,则罗尔定理得证。

    如果f(x)不是常数函数,因为f(x)在[a,b]上连续,那么在该区间上面必然存在极大值极小值,假设极大值和极小值均在端点处取得,再加上本定理的条件已经声明f(x)在两端点处的值相等(即f(a)=f(b)),可得出这种情况下函数的极大值等于极小值,这样的函数显然是常数函数,这与开头的假设“f(x)不是常数函数”相悖,所以f(x)不是常数函数情况下其极大值和极小值不可能都在端点处取得——至少存在一个极值点于(a,b)内,又因为f(x)在 (a,b) 上可导,所以该处函数导数为0。

    下面是我的证明过程:因为f(x)在[a,b]上连续,那么在该区间上面必然存在极大值和极小值。其极值的分布情况只有两种可能:
    (1)若f(x)的极值至少有一个在(a,b)内取得,设该极值点的横坐标为c,因为f(x)在 (a,b) 上可导,所以有 f ′ ( c ) = 0 f^{'}\left( c \right) = 0 f(c)=0
    (2)若f(x)的极值均不在(a,b)内取得——极值均在端点处取得,这两个极值分别是f(a)和f(b),由于本定理的条件中已经声明f(x)在两端点处的值相等(即f(a)=f(b)),可知函数的极大值等于极小值,这样的函数显然是常数函数,那么于(a,b)内的任何一点c都有 f ′ ( c ) = 0 f^{'}\left( c \right) = 0 f(c)=0
    综上,至少存在一点c于(a,b)内使得 f ′ ( c ) = 0 f^{'}\left( c \right) = 0 f(c)=0,罗尔定理得证

    罗尔定理要求 函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,这两个条件总让我感觉有些憋扭,因为f(x)在 (a,b) 上可导的话就一定可得出f(x)在 (a,b) 上连续,于是可把条件转化为“函数f(x)在(a,b) 上可导,在a、b两点处连续”,但感觉还是不够简洁,为什么不直接把条件简单地限制为“函数f(x)在[a,b]上可导”呢?
    在这个条件下一定会有“函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导”,后来我想到不做这种简化的原因可能是:函数在a、b两端点处的导数可能是+∞或-∞——不可导,在这种情况下如果把“函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导”简化成“函数f(x)在[a,b]上可导”就会使罗尔定理不适用于下面这种情况(该函数在-1和1处不可导):
    Alt
    认识到这种情形之后,我们可以有一个适用范围小一点但同时也更简洁的罗尔定理:如果函数f(x)在[a,b]上可导,并且f(a)=f(b),那么至少存在一点c于(a,b)内使得 f ′ ( c ) = 0 f^{'}\left( c \right) = 0 f(c)=0

    如果函数f(x)在[a,b]上不连续,那么罗尔定理可能不成立,如图所示:

    Alt

    如果函数f(x)在(a,b)上不可导,那么罗尔定理可能不成立,如图所示:

    Alt

    上面两图意在让各位认识到罗尔定理的成立条件的必要性。

    拉格朗日中值定理

    若一条直线和处处可导的函数f(x)的图像交于(a,f(a))和(b,f(b))两点,将该直线上下平移,那么总存在该直线和函数f(x)的图像相切的情形,在这里插入图片描述
    这种现象可以更严谨地表述为微分中值定理(亦称拉格朗日中值定理):如果函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,那么至少存在一点c于(a,b)内使得 f ′ ( c ) = f ( b ) −   f ( a ) b − a f^{'}\left( c \right) = \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a} f(c)=baf(b) f(a)

    微分中值定理可以看作是罗尔定理旋转后的情形,可设想把满足罗尔定理的图像旋转一个角度后,那么原来过(a,f(a))和(b,f(b))的水平直线变成了斜率为 f ( b ) −   f ( a ) b − a \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a} baf(b) f(a)的直线,而那条切线始终与之平行,所以斜率(该点的导数)依然等于 f ( b ) −   f ( a ) b − a \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a} baf(b) f(a)

    微分中值定理也可以用罗尔定理来证明,如下:

    过(a,f(a))和(b,f(b))的直线的方程是 g ( x ) = f ( a ) + f ( b ) −   f ( a ) b − a ( x − a ) g\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a) g(x)=f(a)+baf(b) f(a)(xa),f(x)和g(x)的纵向差距可表示为 h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) −   f ( a ) b − a ( x − a ) h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a) h(x)=f(x)g(x)=f(x)f(a)baf(b) f(a)(xa),因为f(x)和g(x)的图像在两端点处相交,所以h(a)=h(b)=0,同时不难得出h(x)在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,所以h(x)满足罗尔定理,因而存在一点c于(a,b)内使得 h ′ ( c ) = 0 = f ′ ( c ) − f ( b ) −   f ( a ) b − a h'(c) = 0 = f'\left( c \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a} h(c)=0=f(c)baf(b) f(a),进而可得出 f ′ ( c ) = f ( b ) −   f ( a ) b − a f^{'}(c) = \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a} f(c)=baf(b) f(a),微分中值定理得证。

    作为微分中值定理的应用,我们可以考虑这样一种情形:假如一辆车做变速运动,一小时行了20km,如果f(x)是车的位移函数、f(0)=0、f(1)=20,微分中值定理告诉我们在这一小时内必然有一刻车速为 f ( 1 ) −   f ( 0 ) 1 − 0 = 20 − 0 1 − 0 = 20 ( k m / h ) \frac{f\left( 1 \right) - \ f\left( 0 \right)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1 - 0} = 20(km/h) 10f(1) f(0)=10200=20(km/h),如果你对此仍怀疑,那么请设想其反面:若这一小时内车速始终大于或小于20km/h会出现什么情况?……所以这一小时内车速绝对会有一刻为20km/h。

    对比一下微分中值定理和罗尔定理的差异,我们不难发现微分中值定理可以囊括罗尔定理的情形——微分中值定理中f(a)=f(b)的时候它便退化成了罗尔定理,也就是说微分中值定理具有更普遍的适用范围。

    柯西中值定理

    现在让我们来看一个更广义的微分中值定理(亦称柯西中值定理):如果f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,(a,b) 上可导,如果在(a,b)上g′(x)≠0,那么至少存在一点c于(a,b)内使得

    f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)} = \frac{f(b) - f(a)}{g\left( b \right) - g\left( a \right)} g(c)f(c)=g(b)g(a)f(b)f(a)

    为什么说该定理是更广义的微分中值定理呢?微分中值定理就是上面这个等式中令g(x)=x的情形。至于广义微分中值定理的证明,我们只用令 h ( x ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] g ( x ) − [ g ( b ) − g ( a ) ] f ( x ) h\left( x \right) = \left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g\left( x \right) - \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f\left( x \right) h(x)=[f(b)f(a)]g(x)[g(b)g(a)]f(x)
    然后对其应用微分中值定理便不难得证

    参考自:https://www.cnblogs.com/iMath/p/10158670.html

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  • 罗尔定理证明;拉格朗日中值定理证明;柯西中值定理证明; 证明方法挑选的基本都是步骤简单的。

    高等数学的学习躲不过中值定理,而这部分内容又是有些难度,由于检索相关三大微分中值定理定理的证明并没有满意的文章,便自己整理了一篇供自己参考,希望也能为各位读者提供一些帮助!

    1 罗尔定理

    描述

    如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)=0。

    证明

    因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M 和 m 表示,分两种情况讨论:

    1. 若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

    2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,
      又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f’(ξ)=0。
      在这里插入图片描述

    助解

    1. 费马引理,总结就一句话:可导函数极值点为零
    2. 若M>m的情况借助图像,便于理解

    2 拉格朗日中值定理

    描述

    在这里插入图片描述

    证明

    在这里插入图片描述
    注:证法不唯一

    通过一段时间的中值定理相关证明题的学习,不难发现辅助函数的构造在解题中的重要性。

    3 柯西中值定理

    在这里插入图片描述

    参考链接

    1. 知乎拉格朗日定理证明
    2. 百度知道

    展开全文
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拉格朗日中值定理