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泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一,也是函数微分学的一项重要应用内容 [1]  。 展开全文
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一,也是函数微分学的一项重要应用内容 [1]  。
信息
提出者
布鲁克·泰勒 [1]
定    义
用函数在某点信息描述其附近取值的公式 [1]
应用学科
高等数学 [3]
中文名
泰勒公式 [1]
外文名
Taylor Formula [2]
提出时间
1712年7月 [3]
泰勒公式历史发展
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数,泰勒公式这种化繁为简的功能,使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具 [3]  。18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor),其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来,它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年,拉格朗日强调了泰勒公式的重要性,称其为微分学基本定理,但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性,这个工作直到19世纪20年代,才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论,使任何单变量函数都可以展开成幂级数,因此,人们称泰勒为有限差分理论的奠基者 [3]  。泰勒公式是数学分析中重要的内容,也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题,且具有很高的精确度,因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面 [3]  。
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  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。 泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做...

     

    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。

    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值

    所以泰勒公式是做什么用的?

    简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

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    1. 问题的提出 

    多项式   是最简单的一类初等函数。关于多项式,由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法,所以在数值计算方面,多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

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    2. 近似计算举例

    初等数学已经了解到一些函数如: 的一些重要性质,但是初等数学不曾回答怎样来计算它们,以 f(x) = \small \cos x 的近似计算为例:

    ①. 一次(线性)逼近                                                                             

    利用微分近似计算公式 f(x) \small \approx f(\small x_{0}) + {f}'(\small x_{0})(x - \small x_{0}) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到),对 \small x_{0} = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为: f(x) \small \approx f(0) + {f}'(0) x , 所以 f(x) = \small \cos x \small \approx 1,所以 f(x) 在 \small x_{0} = 0 附近的线性逼近函数 P_{1}(x) = 1,如下图:

    线性逼近优点:形式简单,计算方便;缺点:离原点O越远,近似度越差。  

    ②. 二次逼近     

    二次多项式 逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:    

    \small P_{2}\left ( 0 \right ) = \small f\left ( 0 \right ) = \small \cos 0 = 1 = \small a_{0}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );

    \small {P_{2}}'\left ( 0 \right ) = \small f{}'\left ( 0 \right ) = \small \sin 0 = 0 = \small a_{1}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );  

    \small {P_{2}}''\left ( 0 \right ) = \small {f}''\left ( 0 \right ) = \small -\cos 0 = -1,所以 \small a_{2} = \small -\frac{1}{2}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 ); 

     所以 \small \cos x \small \approx \small P_{2}\left ( x \right ) = 1 - \small \frac{x^{2}}{2},如下图:

    二次逼近要比线性逼近好得多,但局限于 [ \small -\frac{\pi }{2}\small \frac{\pi }{2} ] 内,该范围外,图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等?因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质,这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)

    ③. 八次逼近 

     八次多项式   逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:     

     \small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right ) ,求出  \small a_{0} = 1   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );       

     \small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}',求出 \small a_{1} = 0   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );

     .... .... ....          

     \small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0),求出 \small a_{8} = \frac{1}{8!}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 );                                               

    所以    ,如下图:

    \small P_{8}\left ( x \right ) (绿色图像) 比 \small P_{2}\left ( x \right ) (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)   

    由上述3次不同程度的函数逼近可以看出:对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式 。

    以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。

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    3. 泰勒公式的推导

    由此引出一个问题:给定一个函数 \small f\left ( x \right ) ,要找一个在指定点 \small x_{0} 附近与 \small f\left ( x \right ) 很近似的多项式函数 \small P\left ( x \right ),记为:         

      使得  \small f\left ( x \right ) \small \approx  \small P_{n}\left ( x \right ) 并且使得两者误差 \small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right ) 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件,误差是什么?

    从几何上看,\small y = f\left ( x \right )\small y = P_{n}\left ( x \right ) 代表两条曲线,如下图:

           

    使它们在 \small x_{0} 附近很靠近,很明显:

    1. 首先要求两曲线在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相交,即  \small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )             

    2. 如果要靠得更近,还要求两曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相切,(由图像可以直观看出,相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ],两曲线在 \small x_{0} 附近的靠近情况明显差异很大,相切更接近),即 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )                                                

    3. 如果还要靠得更近,还要求曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点弯曲方向相同,(如上图,弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ];弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ],明显在离 \small x_{0} 很远的地方,弯曲方向相同两函数的差异更小一点),即 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) ,进而可推想:若在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 附近有 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) \small \cdots \cdots \cdots  \small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right ),近似程度越来越好。

    综上所述,所要找的多项式应满足下列条件:

                  

    解释一下上面的转换时如何做的,以上面第三行的二阶导数为例: 

    第一个箭头的转换:将 \small P_{n}\left ( x \right ) 求二阶导函数后将 \small x_{0} 带入,求得 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2} 

    第二个箭头的转换:所以 \small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2},所以 \small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right ) 

    多项式函数   中的系数 \small a 可以全部由 \small f\left ( x \right ) 表示,则得到: 

    其中误差为  \small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数,所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。

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    4. 泰勒公式的定义

    所以我们就得到了泰勒公式的定义:

    如果函数 \small f\left ( x \right ) 在含 \small x_{0} 的某个开区间  \small \left ( a,b \right )  内具有直到  \small \left ( n+1 \right ) 阶导数,则对  \small \forall x \in \left ( a,b \right ) ,有  

       

    其中余项 (即误差)  \small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1} , \xi 在 \small x_{0} 与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种,前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶,n变为n+1。注意,这里的余项即为误差,因为使用多项式函数在某点展开,逼近给定函数,最后肯定会有一丢丢的误差,我们称之为余项。

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    5. 扩展 —— 麦克劳林公式

    是泰勒公式的一种特殊情况:即当 \small x_{0} = 0 时的泰勒公式。所以将 \small x_{0} = 0 带入公式,即得:

    几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:

     佩亚诺余项为    \small \left ( x-x_{0} \right )^{n} 的高阶无穷小 :                                  

                                                                 

     

     

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  • 泰勒公式

    2020-10-13 19:54:56
    泰勒公式 泰勒公式一句话描述:就是用多项式函数去逼近光滑函数。 今天看了一篇文章关于写泰勒公式的,太厉害了,简单易懂,我不允许你们还没有看过,不说了,为了我以后可以随时随地找到,我就把链接放这儿了哈! ...

    泰勒公式

    泰勒公式一句话描述:就是用多项式函数去逼近光滑函数。

    今天看了一篇文章关于写泰勒公式的,太厉害了,简单易懂,我不允许你们还没有看过,不说了,为了我以后可以随时随地找到,我就把链接放这儿了哈!

    链接: 马同学的文章.

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  • 泰勒公式的详细推导

    万次阅读 多人点赞 2018-06-01 14:00:50
    在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的...

                                                              

    在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。(其实就是用多项式函数去逼近光滑函数)

     

    推导过程

    (以下对于泰勒公式的来龙去脉做了详尽的讲解,也体现了精彩的数学分析过程,供读者仔细研究,必有收获)

           (1)引例

    给出一个三次多项式如下图,我们来做一个貌似无趣的工作:将p(x)求导三次

    显然这个十分漂亮的结果在启发我们去寻找更一般的规律。

    (2)n次多项式的泰勒公式

    给出n次多项式p(x),按照上边的方法步骤,先求导n次。

    这里的S1叫做n次多项式的麦克劳林公式

    到这里我们能发现假设成功,接下来推导一般规律

    这里的S2被称为n次多项式的泰勒公式

    ------------------------------------------------------------------------------

    但是到了这里,我们的推导过程才刚开始

        上述的是n次多项式的泰勒公式是基础并且重要的,它将为下面要研究的任意函数的泰勒公式提供足够的准备。

     

    给出一个不是多项式的任意函数f(x),其定义域为D,接下来我们推导是否可以将f(x)也写成与多项式类似的漂亮的展开式。

    仿照S2我们人为的构造一个有意思的多项式。

    记此式为

    注意:(1)要能写成这样的式子,f(x)需要在点x0处存在n阶导数;

              (2)由于f(x)不是多项式,所以我们人为的写成Pn(x)!=f(x),所以写成这样的式子并非f(x)的展开式;

    所以接下来我们需要研究两者之间究竟相差多少,为进一步研究此问题,需要设f(x)在定义域内存在n+1阶导数,后面会看到这里假设的用处。

     

    然后做辅助函数

    能看出,接下来的任务是讨论g(x0).

    前面已经假设f(x)在定义域内n+1阶可导,故对g(t)求导,

    另取函数,有

    于是

    这里ξ介于x0与x之间,S4被叫做拉格朗日余项,   S5被叫做带拉格朗日余项的泰勒公式

    -----------------------------------------------------------------------------------

    然后我们再令x0=0,则

     

    这里S6被称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式

    接下来,我们再详细讨论当  x趋于x0   时f(x)的展开式问题,这应该看作“极限工具贯穿整个微积分体系”这一原则的体现。

    首先可以降低f(x)需要满足的条件,即只需要假设f(x)在点x0处的n阶导数连续,也就是f(x)的n阶导数在点x0处连续,这时,在S5中用(n-1)代替n,有

     

    S8被叫做带佩亚诺余项的泰勒公式,S9被叫做佩亚诺余项(佩亚诺是意大利数学家)

    ---------------------------------------------------------------------------------

     

    到这里就结束了,下面我们再给出一些常用的带佩亚诺余项的麦克劳林公式

     

    最后,带佩亚诺余项的泰勒公式一般用于计算题,证明题中一般用带拉格朗日余项的泰勒公式。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 一、泰勒公式的作用:泰勒公式也称为泰勒展开式。是用函数在某点取值,描述该店附近区间的值大小的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在该点各阶导数的情况下,泰勒公式利用一个多项式函数来近似函数,故而利用该...

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    一、泰勒公式的作用:

    泰勒公式也称为泰勒展开式。是用函数在某点取值,描述该店附近区间的值大小的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在该点各阶导数的情况下,泰勒公式利用一个多项式函数来近似函数,故而利用该多项式计算该点邻居域的函数值。

    (那么泰勒公式的作用是什么呢?)

    有些函数过于复杂对其频繁求导比较困难,这是便可以利用一个多项式去逼近该函数,使得多项式表示的图像与该函数表示的图像高度重合(拟合必定是从给定的一个点开始展开)。由于多项式是最简单的一类初等函数,多项式本身的运算仅是有限项加减法和乘法。

    二、函数逼近:

    泰勒公式的本质就是利用多项式函数去逼近目标函数。以函数

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    为例,说明函数逼近的过程。

    • 一次逼近

      利用微分近似计算公式

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      线性逼近形式简单,计算方便,但是离逼近点越远近似度越差。

    • 二次逼近:

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    二次逼近比线性逼近好的多,但范围有一定的局限。

    • 八次逼近:

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      三、Taylor公式推导:

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    四、Taylor公式:

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    五、麦克劳林公式:

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    原文参考链接:https://blog.csdn.net/qq_38646027/article/details/88014692?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight

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