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泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一,也是函数微分学的一项重要应用内容 [1]  。 展开全文
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一,也是函数微分学的一项重要应用内容 [1]  。
信息
提出者
布鲁克·泰勒 [1]
定    义
用函数在某点信息描述其附近取值的公式 [1]
应用学科
高等数学 [3]
中文名
泰勒公式 [1]
外文名
Taylor Formula [2]
提出时间
1712年7月 [3]
泰勒公式历史发展
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数,泰勒公式这种化繁为简的功能,使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具 [3]  。18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor),其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来,它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年,拉格朗日强调了泰勒公式的重要性,称其为微分学基本定理,但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性,这个工作直到19世纪20年代,才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论,使任何单变量函数都可以展开成幂级数,因此,人们称泰勒为有限差分理论的奠基者 [3]  。泰勒公式是数学分析中重要的内容,也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题,且具有很高的精确度,因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面 [3]  。
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问答
  • 泰勒公式,应用于数学、物理领域,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这...
  • 泰勒公式总结.pdf

    2020-05-18 19:35:58
    考研数学,常用泰勒公式总结,参考张宇30讲,latex排版 分类总结,欢迎指正错误,私聊2606184698
  • 从插值多项式到泰勒公式,朱圣芝,, 利用泰勒公式对函数在局部进行多项式逼近是微分学的基本思想和基本工具. 在历史上,泰勒公式起源于有限差分计算 , 因此,从牛顿内插�
  • 适合正在学习面向对象程序设计的学生学习,用迭代法解决级数问题(以余弦泰勒公式为例)。本资源提供两道样题和对应的C++代码实现。
  • 讲述了如何使用泰勒公式来判断二元函数是否存在极限。
  • 泰勒公式

    千次阅读 2019-10-29 18:31:24
    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]...

    微分中值定理

    罗尔中值定理:如果函数f(x)满足:
    在闭区间[a,b]上连续;
    在开区间(a,b)内可导;
    在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),
    那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f’(ξ)=0.
    几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:
    弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的(导数值为0)。

    拉格朗日中值定理:
    如果函数 f(x) 满足:
    1)在闭区间[a,b]上连续;
    2)在开区间(a,b)内可导。
    那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),
    使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
    拉格朗日中值定理的几何意义是:曲线上必然存在至少一点,过该点的切线的斜率和连接曲线(a,b)的割线的斜率相同;或者说,曲线上必然存在至少一点可以做割线(a,b)的平行线。

    柯西中值定理:如果函数f(x)及F(x)满足
    (1)在闭区间[a,b]上连续;
    (2)在开区间(a,b)内可导;
    (3)对任一x∈(a,b),F’(x)≠0
    那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式
    [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)
    成立
    [中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理:
    以上三个为微分中值定理定积分第一中值定理为:
    f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在ξ∈[a,b]使得该式成立)
    注:积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。

    泰勒公式

    泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
    若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:
    f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-xo)平方/2!+…+f(n阶导数)(x0)(x-x0)n次方/n!+o((x-x0)n次方)。
    麦克劳林公式:f(x)在x0处的泰勒多项式中,x0为0时,此时的泰勒公式称为麦克劳林公式。
    Rn(x)=o((x-x0)的n次方为佩亚诺余项。
    泰勒展开的唯一性:只要能把一个函数写成多项式,那么这个多项式就是泰勒展开。
    可以用泰勒展开估计无穷小量的阶。同阶无穷小相减,一般少掉一阶。可以利用泰勒公式求同阶无穷小。求极限本质上为阶的比较问题,可以用泰勒公式计算。

    初等函数的泰勒展开

    泰勒公式的余项估计

    当x0≠0时,为拉格朗日余项。一般选择离需要估计的点较近的x0来估计,这样误差更小。
    可以使用拉格朗日余项来估计误差,并根据要求的误差选择展开多少项。
    拉格朗日余项

    函数的凹凸性

    1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即V型,为“凸向原点”,或“下凸”(也可说上凹),(有的简称凸有的简称凹)
    2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)。
    如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f’’(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f’’(x)>=0,f’’(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒等于0;
    ![赫尔德不等式]
    (https://img-blog.csdnimg.cn/2019102918332770.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3
    dlaXhpbl80NTc4MTgyNw==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
    当赫尔德不等式,p,q为1/2时,此时为柯西不等式,它表明n维空间中两个向量的夹角的余弦值≤1.

    渐近线

    渐近线是指:曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
    求渐近线,可以依据以下结论:
    双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于a/c且2c为两焦点的距离,2a为轨迹上的点到焦点的距离差。
    若极限f(x)/x,x趋近于无穷存在,且极限lim[f(x)-ax,x→∞]=b也存在,那么曲线y=f(x)具有渐近线y=ax+b。
    例:求 渐近线。
    解:(1)x = - 1为其垂直渐近线。
    (2) ,即a = 1;
    ,即b = - 1;
    所以y = x - 1也是其渐近线。
    函数的作图方法
    考察函数定义域,及其在定义域内的连续性,可微性。如果有间断点、不可微点、需将这些点的函数值(如果存在的话)计算出来,并且描绘出相应的点。在间断点附近还需要弄清左右极限。
    求出函数的导函数,找出稳定点、单调区间和极值点。
    求出二阶导数,确定凹凸性和拐点(凹凸性改变的点)
    在定义域不是有穷区间的情况下,考虑x趋向于正无穷或者负无穷的函数变化趋势,特别是考虑有无渐近线。

    极值

    定义:若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义,且对D中除x₀的所有点,都有f(x)<f(x₀),则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
    同理,若对D的所有点,都有f(x)>f(x₀),则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
    费马定理:设f(x)在[a,b]上连续,则根据闭区间上连续函数的性质,f(x)必能在[a,b]上取得它的最大值M和最小值m,设M>m,由于f(a)=f(b),故至少有一个最值不在a和b处取得,即至少有一个最值点位于开区间(a,b)内,这样的点ξ当然也是f(x)的极值点,若再假设f(x)在(a,b)内可导,则根据费马引理有f’(ξ)=0。
    将导数为零的点称为驻点,也称稳定点或者临界点。稳定点不一定为极值点。
    一般地,设一连续函数 f(x) 的定义域为D,则
    如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) >f(x2),即在D上具有单调性且单调增加,那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。
    相反地,如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) <f(x2),即在D上具有单调性且单调减少,那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。
    还可通过极值点左右一阶导数的正负判断该点为极大值还是极小值。
    f’’(x)大于零则为凸函数,f’’(x)大于零则为凹函数。

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  • 对于泰勒公式与泰勒级数关系的描述,自己考研复习时做的一点儿总结,如有纰漏,恳请批评指正
  • 04 写在后面的话 在我们学习泰勒公式的时侯,大多都很想知道乍样能得到这个公式,但遗憾的是,教科书和绝大多数的学习资料只侧重于证明定理本身,多数情况下,还必须先要预设一些条件并找到XXX,然后又要证明它与XX...
    算法数学俱乐部

    日期:2019年12月14日

    正文共:1355字13图

    预计阅读时间:6分钟

    来源:包头大喇嘛

    01

    说在前面的话

    传说早在亚里士多德时代(相当于我国的战国),就有人在探寻将一般函数展开成简单多项式的方法,但因为条件所限,一直未能成功。不过在漫长的历史长河中,在具体数值求解方面仍有很多经典实例让后世的我们眼前一亮,比如古人制定十二平均律规范了音律。另外,通过割圆术计算圆周率更可以认为是近似计算的经典范例。古人在长期观测中注意到天体运行轨道速率与加速度变化产生的视运动变化,在天文历算(主要是编订历法)过程中引入了内插法。东汉时,刘洪编订《乾象历》引入一次内插。隋朝刘焯编订《皇极历》引入二次内插。唐代僧一行(俗名张遂)编订《大衍历》时,修正了刘焯的方法。元代郭守敬、王恂在编订《授时历》过程中引入了三次内插,辅以差分表计算,并将此法命名为“招差”(南宋秦九韶称之为“招法”),即“招差术”之由来。元朝的朱世杰在《四元玉鉴》中,讨论了更一般情况下的“招差法”。 从《九章算术》盈不足术的直线内插法历经东汉刘洪、隋刘焯、唐一行与徐昂, 到元郭守敬与朱世杰的四次招差术, 实质上已到达了牛顿的一般插值公式,此时实际上距离泰勒展开式已只一步之遥。 300多年后的1712年(相当于中国清朝康熙51年),传说牛顿的门生英国人泰勒(Brook.Taylor),找到了一个方法,成功将函数展开为多项式。下面,我们探讨从微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)出发,通过运用分部积分法把函数展开。因为是科普文所以这里不做严格的推导、论证,且遣词用句可能有乡间哩语。鉴于此文俗不可耐的文风,可能须要您在摇头叹息中才能读完全文。但还是希望既使您已完全忘了微积分的内容也可从这篇科普文里有所收获!

    02

    函数的展开式

    根据微积分基本公式: 5f7300a1d3d8c400b802e0f975193b78.png   这个∫符号就大名鼎鼎的积分号啦,她其实是个拉长的S,是著名的莱布尼茨大神在与牛顿大叔骂战前就开始使用的,在她右上侧的x叫做积分上限,她下面的a自然就名叫下限啦(因为人家是s形身材所以称“她”,有任何人不服气吗?),当然如果你感觉她旁站这两个字母不够帅气的话也可以换另外两个,随便你!接下来的ƒ代表一个函数(相信你仍然记得),这个右上面的小撇就代表导函数了(简称导数),u代表自变量(不喜欢的话你也可以换成t、l、v、w、z,总之你随意),后面我看到了d这个字母是代表微分符号。等号的右边是这个函数在x点对应的值减去她在a点的值。啊!遥想300多年前两大终身未娶的男神那一场惊天地泣鬼神的骂战,难道是为了“她”…… 收摄心神,长话短说,上面的式子说的是:一个函数先微分后积分就等于这个函数本身在积分上限点的值减去她在下限点的值。什么?这不就是说S姐姐脱了外套又穿上了外套,多费手续。不就是要称下人家的体重吗?搞的这么迂回!其实很多看起来高大上的数理化公式、定理用普通人话表达都是很平易近人的。所以就有(1)式: 14001122e4808e5ea4eee9b5580fb75e.png 运用分部积分法,什么?分部积分法也记不得啦!好吧我点下: d(uv)= udv+vdu所以∫udv=uv-∫vdu 不费解释啦啦,那么就有(2)式: d4d4278e5ac0f9fd1fcc39b1374ab07c.png 继续使用分部积分法,有(3)式: f325b57e3243b220a34f398e53784d01.png 以此类推,有(4)式: 9cd0131e1e5d34d0f2f96f58fb69ce98.png 余项Rnb根据积分中值定理可以写成下面的样子(什么?你想知道为什么Rn后面比书上多了个B,那我告诉你是为了和教科书上的方法有所区别。如果你非要刨根问底为么用B这个字母?那俺告诉你,那是俺的笔名的首字母,你要是不服去掉俺也没办法打到你。你要心烦的话大可以不看这个部分): d71bea171ad819cac4bfeb78ef7b7e56.png 通过上面的努力我们终于把函数展开了,只是好像有点丑。好吧,让我们放个大招!当a=0时: a2aea27912899bd9901fe8058bd228f4.png 是不是好看了许多,下面我们利用这个成果,举两个例子,利见大人、利涉大川、利有攸往、利贞的展开常用函数: 29e25fbda73dc5e6a9bffda39bd0db1b.png 当然我们也可以像下面这样,胡搞一下扫堂腿法: 7d286789854fedfda589433eafac5c78.png 你想得到其它函数的展开式可以继续试,如果是求其她三角函数的话也可以直接用暴力三角万能公式。具体的不多说了,考虑自行脑洞,啦啦!

    03

    经过上面一轮操作,如果你还是心心念念,不忘泰勒公式,那么就可以这样 dbcf24546d0318d35cb2484e93ebe503.png 有人一定想说,为什么会比文前最开始式子的du凭空多减了一个x,想骗过我的火眼睛睛!其实这就是微积分中的基本原理了,你可以在d后面的u上加减任意“常量”,当然你也可以减去a试试。有人说为什么不加上或减去其她的数呢?因为我们的目的是精简计算过程,而不是旁生支节,使她更加烦人,不信你试试! 3.1  由上式运用分部积分法可得到(5)式: b24748f82161e98764813c44fa97b879.png   需要注意一下,(a-x)=-(x-a),她们的奇次方有相同的表现。但她们的平方、四次方等偶次方确相等,而并不随着a和x位置转换而变换为负值。那么,继续运用分部积分法有(6)式: c3383acd18c2df3d4872357f3f3e5de1.png 这就是这就是让你心心念念的泰勒公式啦!

    04

    写在后面的话

    在我们学习泰勒公式的时侯,大多都很想知道乍样能得到这个公式,但遗憾的是,教科书和绝大多数的学习资料只侧重于证明定理本身,多数情况下,还必须先要预设一些条件并找到XXX,然后又要证明它与XX同阶等等。而对初学者(尤其是学渣)来说这些过程非但不是很自然和容易接受,简直就是要人老命的老辣文风。我们的这篇骚文就非常亲民和低调,所述的方法尽量减少了推理论证这些方法和过程的支撑,希望可以有助于学已渐忘的您回想起300年前旷世大神们的神来大作乃至微积分的主要内容。另外提下醒,看明白了这篇通俗体文字不代表您已学懂了泰勒公式和微积分,还是要会做教课书上的习题才成哦!! 参考文献: [1]   同济大学应用数学系. 高等数学. 北京: 高等教育出版社,1997.242-263 [2]   吴文俊.中国古代数学对世界文化的伟大贡献.数学学报.1975年第18卷第1期 [3]   李轻舟.两则有趣的科学史: 岁星纪年与招差术.科学网博客

    — THE END —

    bdf3fd8721e280d2a4786a86f32d2f00.png ☞数学家探索两个几何世界之间的镜像链接 ☞数学天才帕吉特:他有如电影般的人生际遇 ☞世界上最奇怪的数学天才,被奖励100万却拒领,宁愿过得像乞丐 ☞斯坦福大学教育学院院长:学习本身就是一门学问 ☞如果没有数学,我们如何测量 ☞数学的真相:物理时空的数字模型还是现实本身?
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  • 泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容.本文论述了泰勒公式的基本内容,并着重从9个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用:利用泰勒公式证明恒等式和不等式,求极限和中值点的极限,还有一些应用在...
  • 讨论了如何将函数间接展开为泰勒公式的方法。指出可由5个基本初等函数的泰勒公式以及4种方法,使用间接方法可以得到几乎所有常见函数的泰勒公式。与定义相比,简化了函数展开为泰勒公式的计算量。
  • 泰勒公式的详细推导

    万次阅读 多人点赞 2018-06-01 14:00:50
    在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的...

                                                              

    在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。(其实就是用多项式函数去逼近光滑函数)

     

    推导过程

    (以下对于泰勒公式的来龙去脉做了详尽的讲解,也体现了精彩的数学分析过程,供读者仔细研究,必有收获)

           (1)引例

    给出一个三次多项式如下图,我们来做一个貌似无趣的工作:将p(x)求导三次

    显然这个十分漂亮的结果在启发我们去寻找更一般的规律。

    (2)n次多项式的泰勒公式

    给出n次多项式p(x),按照上边的方法步骤,先求导n次。

    这里的S1叫做n次多项式的麦克劳林公式

    到这里我们能发现假设成功,接下来推导一般规律

    这里的S2被称为n次多项式的泰勒公式

    ------------------------------------------------------------------------------

    但是到了这里,我们的推导过程才刚开始

        上述的是n次多项式的泰勒公式是基础并且重要的,它将为下面要研究的任意函数的泰勒公式提供足够的准备。

     

    给出一个不是多项式的任意函数f(x),其定义域为D,接下来我们推导是否可以将f(x)也写成与多项式类似的漂亮的展开式。

    仿照S2我们人为的构造一个有意思的多项式。

    记此式为

    注意:(1)要能写成这样的式子,f(x)需要在点x0处存在n阶导数;

              (2)由于f(x)不是多项式,所以我们人为的写成Pn(x)!=f(x),所以写成这样的式子并非f(x)的展开式;

    所以接下来我们需要研究两者之间究竟相差多少,为进一步研究此问题,需要设f(x)在定义域内存在n+1阶导数,后面会看到这里假设的用处。

     

    然后做辅助函数

    能看出,接下来的任务是讨论g(x0).

    前面已经假设f(x)在定义域内n+1阶可导,故对g(t)求导,

    另取函数,有

    于是

    这里ξ介于x0与x之间,S4被叫做拉格朗日余项,   S5被叫做带拉格朗日余项的泰勒公式

    -----------------------------------------------------------------------------------

    然后我们再令x0=0,则

     

    这里S6被称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式

    接下来,我们再详细讨论当  x趋于x0   时f(x)的展开式问题,这应该看作“极限工具贯穿整个微积分体系”这一原则的体现。

    首先可以降低f(x)需要满足的条件,即只需要假设f(x)在点x0处的n阶导数连续,也就是f(x)的n阶导数在点x0处连续,这时,在S5中用(n-1)代替n,有

     

    S8被叫做带佩亚诺余项的泰勒公式,S9被叫做佩亚诺余项(佩亚诺是意大利数学家)

    ---------------------------------------------------------------------------------

     

    到这里就结束了,下面我们再给出一些常用的带佩亚诺余项的麦克劳林公式

     

    最后,带佩亚诺余项的泰勒公式一般用于计算题,证明题中一般用带拉格朗日余项的泰勒公式。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 不少同学一提到泰勒公式,脑海里立马浮现高大上的定义和长长的公式,令人望而生畏。 实际上,泰勒公式没有那么可怕,它是用简单的多项式来逼近一个光滑的函数,从而近似替代不熟悉的函数。由于泰勒公式具有将复杂...

    不少同学一提到泰勒公式,脑海里立马浮现高大上的定义和长长的公式,令人望而生畏。

    实际上,泰勒公式没有那么可怕,它是用简单的多项式来逼近一个光滑的函数,从而近似替代不熟悉的函数。由于泰勒公式具有将复杂函数近似成多个幂函数叠加形式的性质,可以用它进行比较、求极限、求导、解微分方程等。

    我们先来看一下泰勒公式的发明者,布鲁克·泰勒——

    在这里插入图片描述

    布鲁克·泰勒(Brook Taylor,1685-1732),英国数学家,牛顿学派最优秀的代表人物之一,他于1712年的一封信里首次叙述了泰勒公式。

    再来看一下高数书上对泰勒公式的定义:

    在这里插入图片描述

    公式3-5就称为f(x)在x0处的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

    初看这个泰勒公式的定义,就觉得恢宏大气,气势磅礴。不过光从泰勒公式的定义,很难直观看出它是怎么用多项式逼近原函数的。接下来我们用图像和图表来感受一下——

    这里我们先列举出f(x) = cosx在原点的泰勒2阶、4阶、6阶、8阶、10阶的多项式,并用图像表示该函数及其泰勒n阶多项式。

    2阶多项式:
    g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 g(x) = 1-\frac{1}{2!}x^{2} g(x)=12!1x2
    4阶多项式:
    g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} g(x)=12!1x2+4!1x4
    6阶多项式:
    g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} g(x)=12!1x2+4!1x46!1x6
    8阶多项式:
    g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + 1 8 ! x 8 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} g(x)=12!1x2+4!1x46!1x6+8!1x8
    10阶多项式:
    g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + 1 8 ! x 8 − 1 10 ! x 10 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} g(x)=12!1x2+4!1x46!1x6+8!1x810!1x10

    对应图像如下,其中黑色线条为原函数f(x),彩色线条为多项式g(x)。可以看到随着阶数的增大,多项式在更大范围内越来越逼近原函数。

    在这里插入图片描述

    我们再用python实现函数y=cosx的泰勒n阶多项式,并与y=cosx的实际值进行比较,其中令n=40。

    def f_cos(x):
        m = 20+1
        sum = 1.0
        for i in range(1,m): #range函数取值是左闭右开
            n = 2 * i 
            tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
            for j in range(1,i+1):
                tmp1 = -tmp1             
            for j in range(1,n+1):                    
                tmp2 = tmp2*x
                tmp3 = tmp3*j
            sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
        return sum
    
    from numpy import *
    for x in range(-20,21):
        print("x = " + str(x))
        print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
        print("cos(x) = " + str(cos(x)))
    

    比较自定义的f_cos(x)和numpy库的cosx的误差:

    x取值自定义的f_cos(x)numpy库的cosx误差(f_cos(x) - cos(x))分析
    202577.30690.40812576.8988误差非常大
    19305.17010.9887304.1814误差较大
    1832.59690.660331.9366存在误差
    172.6676-0.27522.9428存在误差
    16-0.7234-0.95770.2343存在0.1级误差
    15-0.7439-0.75970.0158存在0.01级误差
    140.13760.13670.0009存在0.0001级误差
    130.90750.90740.0000精度范围内一致
    120.84390.84390.0000精度范围内一致
    110.00440.00440.0000精度范围内一致
    10-0.8391-0.83910.0000精度范围内一致
    9-0.9111-0.91110.0000精度范围内一致
    8-0.1455-0.14550.0000精度范围内一致
    70.75390.75390.0000精度范围内一致
    60.96020.96020.0000精度范围内一致
    50.28370.28370.0000精度范围内一致
    4-0.6536-0.65360.0000精度范围内一致
    3-0.9900-0.99000.0000精度范围内一致
    2-0.4161-0.41610.0000精度范围内一致
    10.54030.54030.0000精度范围内一致
    01.00001.00000.0000精度范围内一致

    由于f(x) = cosx函数关于y轴对称,这里只列举出了x轴右半部分[0,20]的范围,x轴左半部分的结果与右半部分结果相同。

    在[0,20]范围内,当x=20时,二者的误差非常大。随着x的减小,二者的误差也在逐渐减小。在[0,13]范围内,二者在精度范围内完全一致,几乎零误差。

    大家可以尝试一下,把n的值调大,这个精度一致的范围会变大。例如此例若n=30,即y=cosx的泰勒30阶多项式,则在[-20,20]范围内,二者精度都完全一致。感兴趣的同学可以运用同样的方法,分析一下其他函数。

    再试着写出函数y=sinx的泰勒n阶多项式的python程序,其中n=19。

    def f_sin(x):
        m = 10+1
        sum = 0.0
        for i in range(1,m):
            n = 2 * i - 1     
            tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
            for j in range(1,i):
                tmp1 = -tmp1  
            for j in range(1,n+1):          
                tmp2 = tmp2*x
                tmp3 = tmp3*j
            sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3 
        return sum
    
    from numpy import *
    for x in range(-20,21):
        print("x = " + str(x))
        print("f_sin(x) = " + str(f_sin(x)))
        print("sin(x) = " + str(sin(x)))
    

    后续会继续增加一些函数的泰勒n阶多项式python程序(可能会偷懒)。

    最后推荐一个比较好用的在线画函数的工具Desmos:

    https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

    简易教程:

    https://www.ravenxrz.ink/archives/27d14722.html

    还可以用著名的心形线画个爱心哦:
    在这里插入图片描述

    工欲善其事必先利其器,大家有什么好用的工具,可以评论区推荐一下。

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