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  • 人口增长模型

    2020-03-26 12:07:43
    **人口增长模型 笔者今天整理了微分方程模型中的人口增长模型。 最早提出人口增长模型的是马尔萨斯,其模型最早发布于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯《人口原理》。在书中马尔萨斯指出,人口按几何级数增长...

    **人口增长模型
    在这里插入图片描述
    笔者今天整理了微分方程模型中的人口增长模型。
    最早提出人口增长模型的是马尔萨斯,其模型最早发布于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯《人口原理》。在书中马尔萨斯指出,人口按几何级数增长。但是不得不提到的是,这本著作发布于1798年,故马尔萨斯人口论有其一定的历史背景和历史局限性。
    我们首先来看他的建模过程(这种建模的思维过程值得学习借鉴):在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    作出dx/x-x曲线图,如图1所示,(代码:附录1)
    由图1看出人口增长率随人口数的变化规律。
    在这里插入图片描述
    如图2所示,由图2可看出人口数随时间的变化规律。(代码:附录2)在这里插入图片描述当学习完两种人口模型以后,笔者突然想到病毒的转播模式是否也可以用以上模型拟合呢。自从新型冠状病毒引发肺炎疫情之后,我在各种媒体平台上看到了许多大佬的建模预测。“苔花如米小,也学牡丹开”,我虽然学识浅薄,但也跃跃欲试。
    于是接着我做了下面的事情:我把从1.26之后十五天确诊的人数数据保存在‘data2.xls’中由于前期信息披露不及时,患者人数可认为是指数型增长。(代码:附录三)
    在这里插入图片描述我放假的时间(1.10)代入可预测到,一月十日就已经出现了上百名患者,当时对疫情的不重视导致了病毒传染的温床。我们可以看到,自1.26的七天之后,指数模型就已经出现了大的偏颇。
    用logstic模型拟合(附录四):
    在这里插入图片描述
    这个模型预测到在1.26之后的33天后(2.29),患者几乎不再增长。这种预测模型预测的时间可能不大准确,但是趋势最终将趋于平缓,最终的结果也一样。面对疫情,我们不要恐慌,只要相信国家,积极配合防疫工作。万众一心,一起共渡难关,勤洗手,戴口罩,对自己负责,对他人负责。疫情很快就会过去。我也希望能在那个时候去武汉故地重游,再带最爱的人去黄鹤楼上观长江莽莽横贯武昌和汉口,看春光烂漫时的樱花如霰。

    
    附录一:
    x=0:10:1000y=0.02*(1-x/1000).*x;
     grid on;
     plot(x,y) 
    
     附录二:
     x=dsolve('Dx=0.02*x*(1-x/1000)','x(0)=1','t');
     t=0:10:1000
     x1=eval(x);
     plot(t,x1,'k-') 
    
      附录三:
      clear;
      clc;
      data = xlsread ('data2.xls');%读取确诊人数数据
      T= data(1:9,1);
      X = data(1:9,2);
      y=log(X);
      t=[ones(9,1),T];%回归算法使用前加单一矩阵。
      [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,t);
      rr=stats(1)%复相关系数
      F=stats(2);%f统计量值
      prob=stats(3)%概率xo=exp(b(1));
      r=b(2);
      py=xo*exp(r*T);
      plot(T,X,'r*',T,py)%做对比图
    
      附录四:
         data = xlsread ('data2.xls');
         t= data(1:15,1);
         x= data(1:15,2);
         beta0=[50000 0.1];
         [beta,r,J]=nlinfit(t,x,'volum1',beta0);
         plot(t,x,'g*');
         hold on;
         yi=volum1(beta,t);
         plot(t,yi,'r'); 
         
         Volum1.m文件:
          function  y1=volum1(beta,t)
          y1=beta(1)./(1+((beta(1)./2761)-1).*exp(-beta(2)*t));   
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  • 基于最小二乘法的人口增长模型拟合,包括MATLAB程序设计部分,以及相关分析总结内容


    一.问题描述

       全国第七次人口普查正在进行中,为了更好的了解我国人口总数,判断人口数量变化规律,为相关政策的制定与执行提供理论依据。需要一定的数学模型来对人口数量进行估计和预测,需要选择合适的数学方法来实现上述目标。


    二.问题分析

      为了对2020年全国总人口有一个较为准确的估计,需要查找2020年之前若干年的全国总人口数据,依据已有的统计数据来估计未知的数据。经过比较与选择,本课题采用最小二乘法的指数增长模型来对数据进行拟合来,进而完成对2020年的总人口进行预测的目标。


    三.实验过程

      查阅相关资料可搜集到2000年至2019年我国的人口数据资料如下表所示:

           表1 人口总数统计表

    年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
    人口 12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28
    年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
    人口 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90
    年份 2018 2019
    人口 13.95 14.00

      根据已有资料,现对统计数据进行建模,可采用线性增长模型和指数增长模型。现比较两者效果,根据结果选出最合适的模型。


    (1) 线性增长模型

    观测值的模型:yi=a+bxi+ei,i=1,2,n y_{i}=a+b x_{i}+e_{i}, \quad i=1,2, \ldots n

    线性模型:y=a+bx

    拟合精度:Q=i=1nei2=i=1n(yiabxi)2 Q=\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a-b x_{i}\right)^{2}

    多项式拟合函数:(程序采用MATLAB实现)

    function p=mafit(x,y,m)
    format short;
    A=zeros(m+1,m+1);
    for i=0:m
        for j=0:m
            A(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j));
        end
        b(i+1)=sum(x.^i.*y);
    end
    a=A\b';
    p=fliplr(a');
    end
    

    输入:(拖动进度条往右划可查看完整)

    x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
    
    y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
    
    p=mafit(x,y,1)
    

    输出:

    p =
         0.0697 -126.7102
    
    
    所以线性模型为y=0.0697*x-126.7102
    预测2020年人口数据:
    输入:x=2020;
    y=0.0697*x-126.7102;
    输出:y =
             14.0838
    

    (2) 指数增长模型(用简单的线性最小二乘法)
    输入:

    x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
    y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
    p=mafit(x,log(y),1)
    
    
    
    
    

    输出:

    p =
             0.0052   -7.9030
             
    
    
    
    
    所以指数模型:y=e^(-7.9030+0.0052x)
    预测2020年人口数量:
    输入:x=2020;
    y=exp(-7.9030+0.0052*x)
    输出:y =
              13.4772
    
    

    拟合图形程序:

    x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
    y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
    
    a=mafit(x,y,1);
    x1=[2000:1:2019];
    y1=a(2)+a(1)*x1;
    b=mafit(x,log(y),1);
    
    y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1);
    plot(x,y,'*')
    hold on
    plot(x1,y1,'--r')
    hold on
    plot(x1,y2,'-k')
    legend('原曲线','曲线一','曲线二')
    

    输出结果如下图所示:
    在这里插入图片描述
         图1 matlab输出结果曲线图
        (注:曲线一为线性模型,曲线二为指数模型)


    四.实验结果分析

       由于我国有关人口控制的相关政策的实行,使得人口增长率逐年下降, 到2020
    年人口数量不会一直呈线性变化,故模型二更适合我国目前人口变化的模式。虽然数模模型的预测不一定准确,因为要受到数据来源的影响,本设计所搜集到的数据来源不一定非常精准,如若能够保证数据来源的稳定性,那么预测结果有一定的参考价值,可为相关部门参考和借鉴。

    展开全文
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    人口增长模型及实现(附MATLAB代码)

    问题

    一只游船上有800人,一名游客不慎患传染病,12小时后有3人发病,由于船上不能及时隔离,问经过72小时,患此病的人数。

    思路

    假设游客在船上均匀分布,与患者接触的人都有一定几率患病,此模型中认为患者上、下、左、右四个单位为与患者接触的人,而患者分布在每一个单位时间都会变化,由此可得以下代码:

    n=800;%总人数
    ts=12;
    fs=3;
    t=0;
    f=1;
    j=1;
    jishu1=1:72;
    jishu2=zeros(1,72);
    %接触患病模型
    cells=zeros(25,32);
    id=randperm(800,1);%初始病人位置
    cells(id)=1;
    heng=ones(1,32).*0.5;
    cells=[heng;cells;heng];
    zong=0.5.*ones(27,1);
    cells=[zong,cells,zong];
    
    while j<72
        i=1;
        while i<918   %接触患病
            if(cells(i)==0)
                if(cells(i-1)==1||cells(i+1)==1||cells(i-27)==1||cells(i+27)==1)
                    if(rand<(3/48))
                        cells(i)=1;
                    end
                end
            end
            i=i+1;
        end
        j=j+1;
        
        %患者运动
        fn=length(find(cells==1));
        ids=randperm(800,fn);
        ce=zeros(25,32);
        ce(ids)=1;
        cells=ce;
        heng=ones(1,32).*0.5;
       cells=[heng;cells;heng];
       zong=0.5.*ones(27,1);
       cells=[zong,cells,zong];
        jishu2(j)=fn;
        imshow(cells);
         hold on
        pause(0.1);
    end
    hold off                
    plot(jishu1,jishu2)    
    
    
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 随着人口数量的增加,自然资源、环境条件等对人口增长的限制作用将越来越显著。假设在人口较少时,可以把增长率 看成常数,那么当人口增加到一定数量之后,就应当视 为一个随着人口的增加而减小的量......
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    1 Logistic函数(又称sigmoid函数)

    Logistic函数或Logistic曲线是一种常见的S形函数,它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。广义Logistic曲线可以模仿一些情况人口增长(P)的S形曲线。起初阶段大致是指数增长;然后随着开始变得饱和,增加变慢;最后,达到成熟时增加停止。
    Logisitc模型是广义线性模型中的一类。常用于分类。在业界有相关广泛的应用。常见的如信用评分模型,用于判定某个人的违约概率。

    2 logistic回归模型

    logistic回归是用线性模型解决分类问题的算法
    考虑现在有一个样本集合,样本特征有两维,要用一条直线作为这两类的分界线,如下图所示
    在这里插入图片描述
    也就是说logistic算法就是要找到这么一条直线,使得可以对样本进行分类。但是由于是分类问题,所以我们使用方差来度量模型就不合适了,这也正是logistic算法解决的问题。

    3 logistic 人口增长模型的参数确定

    当人口P(t)受限于极限值L时,它符合logistic曲线,具有形式P(t)=L/(1+ CAt))。对下列数据集求解参数A和C,L是已知的。
    (a) (0,200),(1,400),(2,650)(3,850),(4,950); L=1000

    function C=ispoly(X,Y,M)
    n=length(X);
    B=zeros(1:M+1);
    F=zeros(n,M+1);
    for k=1:M+1
        F(:,k)=X'.^(k-1);
    end
    A=F'*F;
    B=F'*Y';
    C=A\B;
    C=flipud(C);
    
    
    function Y=f(Y,L)
    n=length(Y);
    for i=1:n
    Y(i)=logm((L/Y(i))-1);
    end
    
    
    function C=m(C)
    C(1)=C(1);
    C(2)=exp(C(2));
    end
    
    >>  Y=f(Y,1000)
    
    Y =
    
        1.3863    0.4055   -0.6190   -1.7346   -2.9444
    
    >> X=[0,1,2,3,4]
    
    X =
    
         0     1     2     3     4
    
    >> C=ispoly(X,Y,1)
    
    C =
    
       -1.0802
        1.4590
    
    >> C=m(C)
    
    C =
    
       -1.0802
        4.3018
    
    若只是类似此类: 给出数据,数据如下:
     
    -3	-1	1	3
     
    15	5	1	5
    则直接:
    Ispoly函数:
    function C=ispoly(X,Y,M)
    %Input    -X is the 1*n abscissea vector
    %         -Y is the 1*n ordinate vector
    %         -M is the degree of the least-squares polynomial
    %Output   -C is the coefficient list for the polynomial
    n=length(X);
    B=zeros(1:M+1);
    F=zeros(n,M+1);
    for k=1:M+1
        F(:,k)=X'.^(k-1);
    end
    A=F'*F;
    B=F'*Y';
    C=A\B;
    C=flipud(C);
    >> M=2
    M =
    2
    >> X=[-3,-1,1,3]
    X =
    -3    -1     1     3
    >> Y=[15,5,1,5]
    Y =
    15     5     1     5
    C=ispoly(X,Y,M)
    C =
    0.8750
       -1.7000
    2.1250
    
    
    展开全文
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