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    柱坐标系下的流体力学控制方程组的微分形式的推导

    直角坐标系下描述

    我们以NS方程(Navier-Stokes Equation)为例,来推导控制方程的柱坐标表示。我这里考虑不可压的,密度和粘性系数都为常数的情况。

    此时,直角坐标系下的NS方程的表达形式为,
    ρ D V ⃗ D t = − ∇ p + ρ g ⃗ + μ ∇ 2 V ⃗ ∇ ⋅ V ⃗ = 0 \begin{array}{c}{\rho \frac{D \vec{V}}{D t}=-\nabla p+\rho \vec{g}+\mu \nabla^{2} \vec{V}} \\ {\nabla \cdot \vec{V}=0}\end{array} ρDtDV =p+ρg +μ2V V =0

    按分量的形式可以写为:

    ρ ( ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ) = − ∂ P ∂ x + ρ g x + μ ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial x}+\rho g_{x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) ρ(tu+uxu+vyu+wzu)=xP+ρgx+μ(x22u+y22u+z22u)
    ρ ( ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z ) = − ∂ P ∂ y + ρ g y + μ ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial y}+\rho g_{y}+\mu\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right) ρ(tv+uxv+vyv+wzv)=yP+ρgy+μ(x22v+y22v+z22v)
    ρ ( ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z ) = − ∂ P ∂ z + ρ g z + μ ( ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right) ρ(tw+uxw+vyw+wzw)=zP+ρgz+μ(x22w+y22w+z22w)

    直角坐标系到柱坐标系

    如图所示,我们建立直角坐标系和柱坐标系。

    在这里插入图片描述

    由柱坐标系的定义,我们知道,直角坐标系和柱坐标系满足这样一个关系:

    [ r θ z ] = [ x 2 + y 2 arctan ⁡ ( y / x ) z ] , 0 ≤ θ < 2 π \left[ \begin{array}{l}{r} \\ {\theta} \\ {z}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ {\arctan (y / x)} \\ {z}\end{array}\right], \quad 0 \leq \theta<2 \pi rθz=x2+y2 arctan(y/x)z,0θ<2π

    [ x y z ] = [ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ z ] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{r \cos \theta} \\ {r \sin \theta} \\ {z}\end{array}\right] xyz=rcosθrsinθz

    假设在直角坐标系中,三个坐标轴方向的单位向量分别表示为 i 、 j 、 k \mathbf{i、j、k} ijk,在柱坐标系中,三个轴向的单位向量表示为 e r , e θ , e z \mathbf{e_r,e_\theta,e_z} er,eθ,ez,那么,如图所示,我们将 i 、 j 、 k \mathbf{i、j、k} ijk分解到柱坐标系中,将 e r , e θ , e z \mathbf{e_r,e_\theta,e_z} er,eθ,ez分解到直角坐标系中,可以得到二者之间的一个关系。

    在这里插入图片描述
    [ e r e θ e z ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ i j k ] \left[ \begin{array}{c}{\mathbf{e_r}} \\ {\mathbf{e_\theta}} \\ {\mathbf{e_z}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {\operatorname{sin} \theta} & {0} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{\mathbf{i}} \\ {\mathbf{j}} \\ {\mathbf{k}}\end{array}\right] ereθez=cosθsinθ0sinθcosθ0001ijk

    [ i j k ] = [ cos ⁡ θ -sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ e r e θ e z ] \left[ \begin{array}{l}{\mathbf{i}} \\ {\mathbf{j}} \\ {\mathbf{k}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {\operatorname{-sin} \theta} & {0} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{\mathbf{e_r}} \\ {\mathbf{e_\theta}} \\ {\mathbf{e_z}}\end{array}\right] ijk=cosθsinθ0-sinθcosθ0001ereθez

    坐标系变换的雅克比矩阵体现了两个坐标系中变量的偏导关系,表示如下:

    在这里插入图片描述

    柱坐标系下常用算子表示

    为了推导不可压NS方程在柱坐标下的表示形式,我们先推导一些常用算子的柱坐标表示(重要但后面不一定全会用到),即:
    ∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + ∂ f ∂ z e z ∇ ⋅ f = 1 r ∂ ∂ r ( r f r ) + 1 r ∂ f θ ∂ θ + ∂ f z ∂ z ∇ × f = ( 1 r ∂ f z ∂ θ − ∂ f θ ∂ z ) e r + ( ∂ f r ∂ z − ∂ f z ∂ r ) e θ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r f θ ) − ∂ f r ∂ θ ) e z ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \begin{aligned} \nabla f &=\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e_r}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{f} &=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r f_{r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial f_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial f_{z}}{\partial z} \\ \nabla \times \boldsymbol{f} &=\left(\frac{1}{r} \frac{\partial f_{z}}{\partial \theta}-\frac{\partial f_{\theta}}{\partial z}\right) \mathbf{e_r}+\left(\frac{\partial f_{r}}{\partial z}-\frac{\partial f_{z}}{\partial r}\right) \mathbf{e_\theta}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\left(r f_{\theta}\right)-\frac{\partial f_{r}}{\partial \theta}\right) \mathbf{e_z}\\ \nabla^{2} f &=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{aligned} ff×f2f=rfer+r1θfeθ+zfez=r1r(rfr)+r1θfθ+zfz=(r1θfzzfθ)er+(zfrrfz)eθ+r1(r(rfθ)θfr)ez=r1r(rrf)+r21θ22f+z22f

    重要PS: 注意到,这里散度和旋度的定义用到的是的 f f f在柱坐标系下的分量来表示(右边),而一阶和二阶梯度中的 f f f是一个函数,这个函数既可以在直角坐标系下,也可以在柱坐标系下。如果 f = V ⃗ \mathbf{f} = \vec V f=V ,每个分量表示速度沿三个方向的分量。

    因为Tex公式敲起来挺费事的,我这里只证明一下第一个,其他类似。使用坐标系单位向量之间的关系和链式法则。
    ∇ f = f x + f y + f z = [ ( f r c o s θ − f θ 1 r s i n θ ) c o s θ + ( f r s i n θ + f θ 1 r c o s θ ) s i n θ ] e r + [ ( f r 1 r c o s θ − f θ 1 r s i n θ ) − s i n θ + ( f r s i n θ + f θ 1 r c o s θ ) c o s θ ] e θ + f z e z = f r e r + 1 r f θ e θ + f z e z \nabla f = f_x+f_y+f_z=[(f_r\mathrm{cos \theta-f_\theta\frac{1}{r}\mathrm{sin\theta}})\mathrm{cos \theta}+(f_r\mathrm{sin\theta+f_\theta\frac{1}{r}\mathrm{cos\theta}})\mathrm{sin\theta}]\mathbf{e_r}\\+[(f_r\frac{1}{r}\mathrm{cos \theta-f_\theta\frac{1}{r}\mathrm{sin\theta}})\mathrm{-sin\theta}+(f_r\mathrm{sin\theta+f_\theta\frac{1}{r}\mathrm{cos\theta}})\mathrm{cos\theta}]\mathbf{e_\theta}+f_z\mathbf{e_z}\\=f_r\mathbf{e_r}+\frac{1}{r}f_\theta \mathbf{e_\theta}+f_z\mathbf{e_z} f=fx+fy+fz=[(frcosθfθr1sinθ)cosθ+(frsinθ+fθr1cosθ)sinθ]er+[(frr1cosθfθr1sinθ)sinθ+(frsinθ+fθr1cosθ)cosθ]eθ+fzez=frer+r1fθeθ+fzez

    不可压NS方程柱坐标形式推导

    有了上述的工具,我们下一步要做的将Navier-Stokes方程直角坐标表达中的各种算子替换成上述的极坐标表示,整理合并即可。
    对于NS方程,对左端求物质导数,NS方程表达为:
    ρ ∂ V ⃗ ∂ t + ρ V ⃗ ⋅ ∇ V ⃗ = − ∇ p + ρ g ⃗ + μ ∇ 2 V ⃗ {\rho \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\rho\vec V \cdot \nabla \vec V=-\nabla p+\rho \vec{g}+\mu \nabla^{2} \vec{V}} ρtV +ρV V =p+ρg +μ2V

    外力项不涉及求导,不发生变换,只要替换相应的变量即可。所以我们只要计算时间导数项,对流项,压强项和粘性项,以及连续性方程。

    主要思路

    我们想做的事情是,在NS方程的分量表达式

    ρ ( ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ) = − ∂ P ∂ x + ρ g x + μ ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial x}+\rho g_{x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) ρ(tu+uxu+vyu+wzu)=xP+ρgx+μ(x22u+y22u+z22u)
    ρ ( ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z ) = − ∂ P ∂ y + ρ g y + μ ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial y}+\rho g_{y}+\mu\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right) ρ(tv+uxv+vyv+wzv)=yP+ρgy+μ(x22v+y22v+z22v)
    ρ ( ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z ) = − ∂ P ∂ z + ρ g z + μ ( ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 ) \rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right) ρ(tw+uxw+vyw+wzw)=zP+ρgz+μ(x22w+y22w+z22w)

    当中,将 u , v , w u,v,w u,v,w换成 u r , u θ , u z u_r,u_\theta,u_z ur,uθ,uz,并且我柱坐标系下的三个式子是关于 e r , e θ , e z \mathbf{e_r,e_\theta,e_z} er,eθ,ez三个方向的分量,即考虑将三个式子做线性组合,左边对左边,右边多右边:
    [ 柱 式 1 柱 式 2 柱 式 3 ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ 直 式 1 直 式 2 直 式 3 ] \left[ \begin{array}{c}{柱式1} \\ {柱式2} \\ {柱式3}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {\operatorname{sin} \theta} & {0} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{直式1} \\ {直式2} \\ {直式3}\end{array}\right] 123=cosθsinθ0sinθcosθ0001123

    考虑直角坐标系向量到柱坐标系的替换:
    V ⃗ = [ u v w ] = [ cos ⁡ θ -sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ u r u θ u z ] \vec V = \left[ \begin{array}{l}{u} \\ {v} \\ {w}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {\operatorname{-sin} \theta} & {0} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{{u_r}} \\ {{u_\theta}} \\ {{u_z}}\end{array}\right] V =uvw=cosθsinθ0-sinθcosθ0001uruθuz

    将其代入,并利用梯度和拉普拉斯算子在柱坐标下的表示公式(不全用到):

    ∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + ∂ f ∂ z e z ∇ ⋅ f = 1 r ∂ ∂ r ( r f r ) + 1 r ∂ f θ ∂ θ + ∂ f z ∂ z ∇ × f = ( 1 r ∂ f z ∂ θ − ∂ f θ ∂ z ) e r + ( ∂ f r ∂ z − ∂ f z ∂ r ) e θ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r f θ ) − ∂ f r ∂ θ ) e z ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \begin{aligned} \nabla f &=\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e_r}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{f} &=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r f_{r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial f_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial f_{z}}{\partial z} \\ \nabla \times \boldsymbol{f} &=\left(\frac{1}{r} \frac{\partial f_{z}}{\partial \theta}-\frac{\partial f_{\theta}}{\partial z}\right) \mathbf{e_r}+\left(\frac{\partial f_{r}}{\partial z}-\frac{\partial f_{z}}{\partial r}\right) \mathbf{e_\theta}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\left(r f_{\theta}\right)-\frac{\partial f_{r}}{\partial \theta}\right) \mathbf{e_z}\\ \nabla^{2} f &=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{aligned} ff×f2f=rfer+r1θfeθ+zfez=r1r(rfr)+r1θfθ+zfz=(r1θfzzfθ)er+(zfrrfz)eθ+r1(r(rfθ)θfr)ez=r1r(rrf)+r21θ22f+z22f

    另外链式法则需要用到两个坐标系变换的求导关系:

    在这里插入图片描述

    综上进行合并整理,即可。

    连续性方程(质量守恒)

    由柱坐标下的散度公式,可知不可压连续性条件为:
    1 r ∂ ( r u r ) ∂ r + 1 r ∂ ( u θ ) ∂ θ + ∂ u z ∂ z = 0 \frac{1}{r} \frac{\partial\left(r u_{r}\right)}{\partial r}+\frac{1}{r} \frac{\partial\left(u_{\theta}\right)}{\partial \theta}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z}=0 r1r(rur)+r1θ(uθ)+zuz=0

    时间导数项

    因为柱坐标变换是对空间的变换,不涉及时间变量,所以时间导数项在直角坐标系下不发生变化,做一个式分量的线性组合即可。
    [ ∂ u r ∂ t ∂ u θ ∂ t ∂ u z ∂ t ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ ∂ u ∂ t ∂ v ∂ t ∂ w ∂ t ] \left[ \begin{array}{c}{\frac{\partial u_r}{\partial t}} \\ {\frac{\partial u_\theta}{\partial t}} \\ {\frac{\partial u_z}{\partial t}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}{\cos \theta} & {\operatorname{sin} \theta} & {0} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial t}} \\ {\frac{\partial v}{\partial t}} \\ {\frac{\partial w}{\partial t}}\end{array}\right] turtuθtuz=cosθsinθ0sinθcosθ0001tutvtw

    对流项

    因为 V ⃗ \vec V V 是一个向量,我们可以分别考虑它的每一个分量:

    ρ V ⃗ ⋅ ∇ f = ρ ( ∂ f ∂ r u + 1 r ∂ f ∂ θ v + ∂ f ∂ z w ) \rho\vec{V}\cdot \nabla f =\rho(\frac{\partial f}{\partial r} {u}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} {v}+\frac{\partial f}{\partial z} {w}) ρV f=ρ(rfu+r1θfv+zfw)

    f f f分别替换为 u , v , w u,v,w u,v,w,并将其替换为 u r , u θ , u z u_r,u_\theta,u_z ur,uθ,uz,合并化简,即可得到对流项。

    ρ ( u r ∂ u r ∂ r + u θ r ∂ u r ∂ θ − u θ 2 r + u z ∂ u r ∂ z ) \begin{array}{l}{\rho\left(u_{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}+u_{z} \frac{\partial u_{r}}{\partial z}\right)} \end{array} ρ(urrur+ruθθurruθ2+uzzur)
    ρ ( u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z ) \begin{array}{l}{\rho\left(u_{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}+u_{z} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial z}\right)} \end{array} ρ(urruθ+ruθθuθ+ruruθ+uzzuθ)
    ρ ( u r ∂ u z ∂ r + u θ r ∂ u z ∂ θ + u z ∂ u z ∂ z ) \begin{array}{l}{\rho\left(u_{r} \frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{z}}{\partial \theta}+u_{z} \frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)} \end{array} ρ(urruz+ruθθuz+uzzuz)

    打tex比较麻烦,将手算稿纸黏贴如下,( ρ \rho ρ在外面,先不考虑,下同):

    在这里插入图片描述

    压强项

    我们想要的其实就是直角坐标系中的各个分量在柱坐标系下的表达,由前提到的梯度公式,直接可得:

    − ∇ p = − ∂ p ∂ r e r − 1 r ∂ p ∂ θ e θ − ∂ p ∂ z e z -\nabla p =- \frac{\partial p}{\partial r} \mathbf{e_r}-\frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} \mathbf{e_\theta}-\frac{\partial p}{\partial z} \mathbf{e_z} p=rperr1θpeθzpez

    粘性项

    ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \nabla^{2} f =\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} 2f=r1r(rrf)+r21θ22f+z22f

    f f f分别替换为 u , v , w u,v,w u,v,w,做式分量的线性组合,并使用 u r , u θ , u z u_r,u_\theta,u_z ur,uθ,uz线性表出替换后并整理,即可。
    Tex打起来比较麻烦,手稿如下:

    在这里插入图片描述

    合并

    因为等式两边貌似没有一个统一表示的方法,所以最后只能写成分量的形式,最后方程的形式可以写为:
    ρ ( ∂ u r ∂ t + u r ∂ u r ∂ r + u θ r ∂ u r ∂ θ − u θ 2 r + u z ∂ u r ∂ z ) = − ∂ P ∂ r + ρ g r + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u r ∂ r ) − u r r 2 + 1 r 2 ∂ 2 u r ∂ θ 2 − 2 r 2 ∂ u θ ∂ θ + ∂ 2 u r ∂ z 2 ] \begin{array}{l}{\rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}+u_{z} \frac{\partial u_{r}}{\partial z}\right)} \\ {=-\frac{\partial P}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)-\frac{u_{r}}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u_{r}}{\partial \theta^{2}}-\frac{2}{r^{2}} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial^{2} u_{r}}{\partial z^{2}}\right]}\end{array} ρ(tur+urrur+ruθθurruθ2+uzzur)=rP+ρgr+μ[r1r(rrur)r2ur+r21θ22urr22θuθ+z22ur]

    ρ ( ∂ u θ ∂ t + u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z ) = − 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u θ ∂ r ) − u θ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 u θ ∂ θ 2 + 2 r 2 ∂ u r ∂ θ + ∂ 2 u θ ∂ z 2 ] \begin{array}{l}{\rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}+u_{z} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial z}\right)} \\ {=-\frac{1}{r} \frac{\partial P}{\partial \theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)-\frac{u_{\theta}}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u_{\theta}}{\partial \theta^{2}}+\frac{2}{r^{2}} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta}+\frac{\partial^{2} u_{\theta}}{\partial z^{2}}\right]}\end{array} ρ(tuθ+urruθ+ruθθuθ+ruruθ+uzzuθ)=r1θP+ρgθ+μ[r1r(rruθ)r2uθ+r21θ22uθ+r22θur+z22uθ]

    ρ ( ∂ u z ∂ t + u r ∂ u z ∂ r + u θ r ∂ u z ∂ θ + u z ∂ u z ∂ z ) = − ∂ P ∂ z + ρ g z + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u z ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u z ∂ θ 2 + ∂ 2 u z ∂ z 2 ] \begin{array}{l}{\rho\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r} \frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{z}}{\partial \theta}+u_{z} \frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)} \\ {=-\frac{\partial P}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_{z}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u_{z}}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{z}}{\partial z^{2}}\right]}\end{array} ρ(tuz+urruz+ruθθuz+uzzuz)=zP+ρgz+μ[r1r(rruz)+r21θ22uz+z22uz]

    不可压连续性条件为:
    1 r ∂ ( r u r ) ∂ r + 1 r ∂ ( u θ ) ∂ θ + ∂ u z ∂ z = 0 \frac{1}{r} \frac{\partial\left(r u_{r}\right)}{\partial r}+\frac{1}{r} \frac{\partial\left(u_{\theta}\right)}{\partial \theta}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z}=0 r1r(rur)+r1θ(uθ)+zuz=0

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  • 圆柱坐标系

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  •  在柱坐标系中,积分将转换成: 综合示例 示例1  计算单位球和z > 1 – y所围的曲面的体积。  将上图转换为“简笔画”——转换为平面坐标系: yz坐标系  容易得到z的积分域:    现在的问题是xy轴的投影是什么...

    三重积分

      三重积分由平面转到了空间,但本质上与二重积分一致。f(x,y,z)是空间函数,对应的三重积分是:

     

      其中R区域是f在定义域范围内的图形的体积,dv是体积积元。在二重积分中,面积积元dA = dydx,三重积分的体积积元dv = dzdydx。

      考虑计算两个曲面z = x2 + y和z = 4 – x– y围成的图形的体积。注意这里没有给出被积函数,两个曲面表示了积分域。

      用三重积分表示所求体积,并用z作为最内层积分:

     

      上式处理了z轴,剩下的是dydx,这就和二重积分一样了。现在需要关注的是所求曲面在xy轴上的投影,找出投影的边界值。

      从两个曲面的方程可知,投影是圆,x和y的取值范围就是圆内的所有点,问题是如何求得圆的方程?

      还是从所求曲面的图形入手,在这个曲面中z的范围已知,就是z轴的积分域:

      这就是x,y的取值范围,也就是半径为sqrt(2)的圆内的所有点。用二重积分表示圆的面积:

     

      将Area和并到三重积分中:

     

      实际上对dz的积分是曲面的高度,dydx是面积,三重积分可以看做二者的乘法。

      计算过程和二重积分类似,由内而外逐一计算:

     

    柱坐标系

      继续计算上一节的三重积分将得到复杂的式子,更好的方法是使用极坐标。首先保持dz不变,将dydx替换成极坐标(可参考《多变量微积分笔记9——极坐标下的二重积分》):

      这种更简单的方法就称为柱坐标法。柱坐标的基本思想是在空间中建立一个点,用极坐标代替它的xy坐标,(r, θ, z)代替(x, y, z),如下图所示:

      在柱坐标系中,积分将转换成:

    综合示例

    示例1

      计算单位球和z > 1 – y所围的曲面的体积。

      将上图转换为“简笔画”——转换为平面坐标系:

    yz坐标系

      容易得到z的积分域:

     

      现在的问题是xy轴的投影是什么,即xy的积分域是多少?

      由z的积分域可以得到不等式方程:

     

      已知0 < y < 1,所以:

     

    示例2

      计算z = x+ y2 和z = 2y所围的曲面的体积。

      Z的积分域:

     

      可见xy轴的投影是圆。由此可以使用柱坐标系:

      xy转换为极坐标后,0 ≤ θ ≤ π,rmin = 0,rmax是r关于θ的函数。

      关于三角函数的积分计算可参考《数学笔记20——三角替换1(sin和cos)

     


     

    作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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