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  • 似然函数
    2021-01-01 14:26:52

    引言

    在学习贝叶斯估计时,遇到了似然函数的概念。这一概念并不陌生,在概率论中,介绍过参数估计的两种方法:极大似然估计和矩估计。其中,极大似然估计就是通过构造似然函数,取对数并计算极大值,来进行参数估计的。事实上,似然函数的确是常用于参数估计,或者更确切地说,是得到参数在某一观测条件下的后验分布。

    参数已知下的概率分布

    考虑一个密度函数 f ( x ) f(x) f(x),其参数 θ \theta θ已知,则可据此得出概率 P ( X = x ; θ ) P(X=x;\theta) P(X=x;θ)。对于该密度函数,我们进行试验和观测,得到结果 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn,记 X = x i X=x_i X=xi为事件 X i X_i Xi,显然事件 X i X_i Xi之间是相互独立的,事件 X 1 , X 2 , . . . X n X_1,X_2,...X_n X1,X2,...Xn发生的概率为 P ( X 1 X 2 . . . X n ; θ ) P(X_1X_2...X_n;\theta) P(X1X2...Xnθ)

    似然函数的理解

    似然函数恰与概率分布相反,我们假设参数 θ \theta θ是未知的,则其分布也无从确定,我们只能根据观测结果,来估算参数,也就是参数估计。似然函数通常用 L ( θ ; X 1 X 2 . . . X n ) L(\theta;X_1X_2...X_n) L(θ;X1X2...Xn)来表示,当似然函数取得极大值时,参数 θ \theta θ取得极大值点 θ 0 \theta_0 θ0,也表明在这些观测结果的指引下,认为 θ = θ 0 \theta=\theta_0 θ=θ0的概率最大,从而实现了参数的极大似然估计。

    硬币的例子

    举一个投掷硬币的例子。

    投掷两次硬币,记每一次正面朝上为事件 H H H,记先验概率 p ( H ) = θ p(H)=\theta pH=θ,则两次同为正面朝上的概率是 P ( H H ; θ ) = θ 2 P(HH;\theta)=\theta^2 P(HHθ)=θ2

    假设硬币表面不平整等原因,造成参数 θ \theta θ不确定,需要根据已有的观测事件 H H HH HH人为估计 θ \theta θ,则写出似然函数 L ( θ ∣ H H ) L(\theta|HH) L(θHH)

    下面计算似然函数,认为事件 H H HH HH已经发生 P ( H H ) = 1 P(HH)=1 P(HH)=1,根据贝叶斯公式,有 L ( θ ∣ H H ) = P ( H H ∣ θ ) / P ( H H ) = P ( H H ∣ θ ) L(\theta|HH)=P(HH|\theta)/P(HH)=P(HH|\theta) L(θHH)=P(HHθ)/P(HH)=P(HHθ)。由于 θ \theta θ是一个定值,则 P ( H H ∣ θ ) = P ( H H ; θ ) P(HH|\theta)=P(HH;\theta) P(HHθ)=P(HH;θ)

    因此,若估计 θ = 0.5 \theta=0.5 θ=0.5,则 L ( θ ∣ H H ) = 0.25 L(\theta|HH)=0.25 L(θHH)=0.25;若估计 θ = 0.6 \theta=0.6 θ=0.6,则 L ( θ ∣ H H ) = 0.36 L(\theta|HH)=0.36 L(θHH)=0.36;若估计 θ = 1 \theta=1 θ=1,则 L ( θ ∣ H H ) = 1 L(\theta|HH)=1 L(θHH)=1

    对于上述的一个个概率,即为参数 θ \theta θ的后验分布。显然,认为 θ = 1 \theta=1 θ=1的概率最大,得出结论应该取1。
    该估计结果尽管不符合实际,但过程是正确的,误差的来源是试验次数太少,存在偶然性。

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    似然函数定义——Adeshen原创:Maybe人工智能作业 顾名思义,似然似然,即是可能Maybe好像,就是像某个东西的可能性。在统计学上定义为给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量...

    似然函数定义——Adeshen原创:Maybe人工智能作业

    • 顾名思义,似然似然,即是可能Maybe好像,就是像某个东西的可能性。在统计学上定义为给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X的概率:L(θ|x)=P(X=x|θ)。

    • 似然函数在推断统计学(Statistical inference)中扮演重要角色,如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。

        你们看懂了吗,反正我没弄清概率和似然的区别。所以我就都理解成概率
      

    逻辑回归中的似然损失函数

    • 逻辑回归为什么使用似然损失,而不是使用均方损失,大概是均方损失函数导出来梯度下降公式的十分丑陋,导致运算量巨大。

      m i n E ( x ) = 1 n ∑ i = 0 n ( g ( w T x i ) − y i ) 2 minE(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(g(w^Tx_i)-y_i)^2 minE(x)=n1i=0n(g(wTxi)yi)2
      而逻辑回归函数又长这样 g ( w T x i ) = 1 1 + e w T x g(w^Tx_i)=\frac{1}{1+e^{w^Tx}} g(wTxi)=1+ewTx1

    外导一个2还可以,内导就恶心了,直接一个分式指数,不知道你们算这个心情如何,反正我是吃不下饭了。
    ∂ E ∂ w = − 1 n ∑ i = 0 n 2 ( 1 1 + e w T x − y i ) ( 1 + e w T x ) − 2 e w T x x i \frac{\partial E}{\partial w}=-\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n2(\frac{1}{1+e^{w^Tx}}-y_i)(1+e^{w^Tx})^{-2}e^{w^Tx}x_i wE=n1i=0n2(1+ewTx1yi)(1+ewTx)2ewTxxi

    这能忍吗,就算咱们忍的下去,cpu也忍不了啊,所以方差损失就被无情抛弃

    然后需要一个更加美丽的损失函数登场了——似然函数

    似然函数

    • 首先得先知道逻辑回归是为了解决01问题
      知道这个我们就能三下五除二写出它似然函数的一小小块

    P ( y i ∣ x i ; w ) = y i P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) + ( 1 − y i ) P ( y i = 0 ∣ x i ; w ) P(y_i|x_i;w)=y_iP(y_i=1|x_i;w)+(1-y_i)P(y_i=0|x_i;w) P(yixi;w)=yiP(yi=1xi;w)+(1yi)P(yi=0xi;w)

    1. y i = 1 y_i=1 yi=1就是左边那个 P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) P(y_i=1|x_i;w) P(yi=1xi;w)有效,
    2. y i = 0 y_i=0 yi=0就是右边那个 P ( y i = 0 ∣ x i ; w ) P(y_i=0|x_i;w) P(yi=0xi;w)有效

    哇,小小一个 y i y_i yi竟然有如此妙用,当然这一切都建立在 y i y_i yi只能取0或1,要取个0到1就麻烦了.
    然后问题来了,这个 P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) P(y_i=1|x_i;w) P(yi=1xi;w)是啥子,从外表来看,它是条件概率,在x、w的取值基础上 y i = 1 y_i=1 yi=1的概率。而我们的对象是逻辑回归,逻辑回归函数又不能从其他地方引入,并且逻辑回归的值恰好为0到1,这很概率,所以从此引入逻辑回归函数就很舒服

    P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) = 1 1 + e w T x P(y_i=1|x_i;w)=\frac{1}{1+e^{w^Tx}} P(yi=1xi;w)=1+ewTx1
    P ( y i = 0 ∣ x i ; w ) = 1 − 1 1 + e w T x = e w T x 1 + e w T x P(y_i=0|x_i;w)=1-\frac{1}{1+e^{w^Tx}}=\frac{e^{w^{T}x}}{1+e^{w^Tx}} P(yi=0xi;w)=11+ewTx1=1+ewTxewTx

    那么现在就将所有案例的概率值都累乘起来就是最终似然函数的形态了。
    L = ∏ i = 0 n P ( y i ∣ x i ; w ) L=\prod_{i=0}^{n}P(y_i|x_i;w) L=i=0nP(yixi;w)
    不要忘记我们的目的——求出梯度下降的公式。
    一级展开:
    L = ∏ i = 0 n ( y i P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) + ( 1 − y i ) P ( y i = 0 ∣ x i ; w ) ) L=\prod_{i=0}^{n}(y_iP(y_i=1|x_i;w)+(1-y_i)P(y_i=0|x_i;w)) L=i=0n(yiP(yi=1xi;w)+(1yi)P(yi=0xi;w))
    二级展开:
    L = ∏ i = 0 n ( y i 1 1 + e w T x i + ( 1 − y i ) e w T x 1 + e w T x ) L=\prod_{i=0}^{n}(y_i\frac{1}{1+e^{w^Tx_i}}+(1-y_i)\frac{e^{w^{T}x}}{1+e^{w^Tx}}) L=i=0n(yi1+ewTxi1+(1yi)1+ewTxewTx)
    然后同分母合并一下
    L = ∏ i = 0 n ( y i + ( 1 − y i ) e w T x i ) 1 1 + e w T x i L=\prod_{i=0}^{n}(y_i+(1-y_i)e^{w^Tx_i})\frac{1}{1+e^{w^Tx_i}} L=i=0n(yi+(1yi)ewTxi)1+ewTxi1

    还是有点复杂,我们再用对数化,把分子分母分开:
    l n L = ∑ i = 0 n [ l n ( y i + ( 1 − y i ) e w T x i ) − l n ( 1 + e w T x i ) ] lnL=\sum_{i=0}^{n}[ln(y_i+(1-y_i)e^{w^Tx_i})-ln(1+e^{w^Tx_i})] lnL=i=0n[ln(yi+(1yi)ewTxi)ln(1+ewTxi)]

    这个时候在观察一下
    左边的东西,似乎有些有趣的性质,

    l n ( y i + ( 1 − y i ) e w T x i ) = { l n y i = 0 , y i = 1 l n e w T x i = w T x i , y i = 0 ln(y_i+(1-y_i)e^{w^Tx_i})=\left\{ \begin{aligned} &lny_i=0, &&y_i=1 \\ & lne^{w^Tx_i}=w^Tx_i ,&& y_i=0 \end{aligned} \right. ln(yi+(1yi)ewTxi)={lnyi=0,lnewTxi=wTxi,yi=1yi=0,
    那么,就可以将其简化一下。
    l n ( y i + ( 1 − y i ) e w T x i ) = ( 1 − y i ) w T x i ln(y_i+(1-y_i)e^{w^Tx_i})=(1-y_i)w^Tx_i ln(yi+(1yi)ewTxi)=(1yi)wTxi

    简化完成

    带入原来的式子
    l n L = ∑ i = 0 n [ ( 1 − y i ) w T x i − l n ( 1 + e w T x i ) ] lnL=\sum_{i=0}^{n}[(1-y_i)w^Tx_i-ln(1+e^{w^Tx_i})] lnL=i=0n[(1yi)wTxiln(1+ewTxi)]

    然后呢就可以开始求w的偏导了
    ∂ ( l n L ) ∂ w = ∑ i = 0 n [ ( 1 − y i ) x i − x i 1 + e w T x i ] = ∑ i = 0 n [ ] \frac{\partial (lnL)}{\partial w}=\sum_{i=0}^{n}[(1-y_i)x_i-\frac{x_i}{1+e^{w^Tx_i}}] =\sum_{i=0}^{n}[] w(lnL)=i=0n[(1yi)xi1+ewTxixi]=i=0n[]

    剩下的交给你们…

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  • 似然函数 统计学中,似然函数是一种关于统计模型参数的函数。表示模型参数中的似然性。 定义:给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X的概率: 其中,小x是指联合样本随机变量...

    似然函数

    统计学中,似然函数是一种关于统计模型参数的函数。表示模型参数中的似然性

    定义:给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X的概率:

    在这里插入图片描述

    其中,小x是指联合样本随机变量X取到的值。θ是指未知参数,属于参数空间。

    p(x|θ)可以看作有两个变量的函数。
    当θ设为常量,则你会得到一个关于x的概率函数(probability function),对于不同的样本点x,其出现概率是多少;
    当x设为常量,你将得到关于θ的似然函数(likelihood function),对于不同的参数θ,出现x这个样本点的概率是多少。

     例:
     - 抛一枚匀质硬币,抛10次,6次正面向上的可能性多大? 这是概率。
     - 抛一枚硬币,抛10次,结果是6次正面向上,且是匀质的可能性多大?这是似然,求参数。
     
     注:匀质的可能性代表正面向上和反面向上是等可能的,均为0.5。所以上次结果相同。
    

    如何理解最大似然函数?

    极大似然估计是指已知某个随机样本满足某种概率分布,利用结果反推出导致结果的参数值。

    例:抛一枚硬币,抛10次,结果是6次正面朝上,最大的参数是多少?
    注:可以理解成扔一次正面向上的可能性为多少时,在抛10次中,结果是6次正面朝上的概率最大。

    最大似然法的步骤

    1. 写出似然函数。
    2. 如果无法直接求导的话,对似然函数取对数。
    3. 求导数,令导数为0,得到似然方程。
    4. 解方程,得到参数结果。

    为何使用对数似然函数?

    求解一个函数的极大化往往需要求解该函数的关于未知参数的偏导数,但直接求导会使计算变得更为复杂。所以借助对数似然函数。因为对数函数是单调增函数,所以极大值点会相同。

    注:概率值是小数,多个连乘的情况下,会导致结果接近于0,此时对似然函数取对数的负数,变成最小化对数似然函数。

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  • 条件概率与似然函数

    千次阅读 2021-12-13 17:10:16
    概率密度与似然函数@TOC 概率密度函数(PDF: Probability Density Function)与似然函数(LF: Likelihood Function) 澄清概率密度函数(pdf)与似然函数(LF)的关系。参数估计中经常用到最大似然估计(Maximum ...

    概率密度与似然函数@TOC

    概率密度函数(PDF: Probability Density Function)与似然函数(LF: Likelihood Function)

    澄清概率密度函数(pdf)与似然函数(LF)的关系。参数估计中经常用到最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation),其表达形式上与概率密度函数相同,但实际意义有所区别。
    首先定义两个符号:

    1. f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ): 当参数为 θ \pmb{\theta} θθθ时,样本出现在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度(pdf)
    2. f ( x , y ; θ ) f(x,y;\pmb{\theta}) f(x,y;θθθ): 当观测到 ( x , y ) (x,y) (x,y)这个样本时,参数 θ \pmb{\theta} θθθ的概率密度函数(LF)

    概率密度函数( f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ)

    以打靶为例。在射击之前,希望知道弹点的分布情况,即需要获得弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)。值得注意的是,这里的 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)并不是表示弹点落在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率大小,而是弹点落在区域 Δ \Delta Δ的概率为 P ( ( x , y ) ∈ Δ ) = ∬ ( x , y ) ∈ Δ f ( x , y ) d x d y P((x,y)\in \Delta) =\iint_{(x,y)\in \Delta} f(x,y) \text{d}x\text{d}y P((x,y)Δ)=(x,y)Δf(x,y)dxdy,所以pdf值 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)可能大于1。
    打靶示意图
    如上图,落在8环内的概率 P ( ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 < R 8 ) = ∬ ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 < R 8 f ( x , y ) d x d y P(||(x,y)||_2<R_8)=\iint_{||(x,y)||_2<R_8}f(x,y)\text{d}x\text{d}y P((x,y)2<R8)=(x,y)2<R8f(x,y)dxdy,其中 ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 ||(x,y)||_2 (x,y)2表示矢量 ( x , y ) (x,y) (x,y)的二范数(即欧氏距离), R 8 R_8 R8表示8环的半径。

    有时概率密度函数会由若干参数确定其形态,记为 θ \pmb{\theta} θθθ,以 θ \pmb{\theta} θθθ为参数的概率密度函数写为 f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ)。这里的 θ \pmb{\theta} θθθ是一个给定参数向量。例如打靶问题中,假设弹点服从二维正态分布,参数 θ = ( x 0 , y 0 , σ ) \pmb{\theta} = (x_0,y_0,\sigma) θθθ=(x0,y0,σ),其中 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)表示瞄准的中心的坐标, σ \sigma σ表示打靶的正态分布的标准差(假设 x , y x,y x,y独立同分布)。pdf的表达式就是:
    f ( x , y ∣ x 0 , y 0 , σ ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f(x,y|x_0,y_0,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} f(x,yx0,y0,σ)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}
    pdf的自变量是 ( x , y ) (x,y) (x,y) θ \pmb{\theta} θθθ是参数集合,针对给定的概率分布, θ \pmb{\theta} θθθ是常数。对pdf关于 ( x , y ) (x,y) (x,y)积分为1:
    ∫ x ∈ R ∫ y ∈ R f ( x , y ∣ x 0 , y 0 , σ ) d x d y = 1 \int_{x\in\mathcal{R}} \int_{y\in\mathcal{R}} f(x,y|x_0,y_0,\sigma)\text{d}x\text{d}y=1 xRyRf(x,yx0,y0,σ)dxdy=1

    似然函数( f ( x , y ; θ ) f(x,y;\pmb{\theta}) f(x,y;θθθ)

    Fisher在1922年提到过likelihood的理解:
    两个二项分布的参数分别是 p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2,即 p ( ξ = 0 ) = p 1 , p ( ξ = 0 ) = p 2 p(\xi=0)=p_1,p(\xi=0)=p_2 p(ξ=0)=p1,p(ξ=0)=p2,我们不知道这两个参数的具体值。通过做实验,我们发现第一组实验出现0的频率是第二组实验出现0的频率的三倍,为了量化不同 p p p的这种属性,在不引起混淆的前提下,我们称 p 1 p_1 p1的似然度(likelihood)是 p 2 p_2 p2的似然度的三倍。值得注意的是,这里的似然度不是概率参数 p = p 1 p=p_1 p=p1的概率,只是简单地表示在特定参数 p p p下,该参数导致观测样本出现的相对频率。
    例如有两个靶子,靶心分别记为 p 0 = ( x 0 , y 0 ) p_0=(x_0,y_0) p0=(x0y0) p 1 = ( x 1 , y 1 ) p_1=(x_1,y_1) p1=(x1,y1)。我们不知道射手瞄准的是哪个靶子,只是观测到了1个弹点的坐标是 ( x , y ) (x,y) (x,y)。此时 p ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) p(x,y|x_0,y_0) p(x,yx0,y0)表示靶心是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)条件下,出现弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度,此时可以对平面上的弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)积分,满足
    ∫ x ∈ R ∫ y ∈ R f ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) d x d y = 1 \int_{x\in\mathcal{R}} \int_{y\in\mathcal{R}} f(x,y|x_0,y_0)\text{d}x\text{d}y=1 xRyRf(x,yx0,y0)dxdy=1
    p ( x , y ; x 0 , y 0 ) p(x,y;x_0,y_0) p(x,y;x0,y0)表示观测到 ( x , y ) (x,y) (x,y)这一现象,射手瞄准的是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的似然度(likelihood)。这里是似然度而不是概率,表示参数 θ = ( x 0 , y 0 ) \theta=(x_0,y_0) θ=(x0,y0)这不是随机事件,而是客观事实,我们基于随机样本去推理客观参数,存在的不确定性称之为似然度,而基于客观参数推断某个样本出现的频率大小,称之为概率。似然函数可能不满足对参数 θ \theta θ积分为0:
    例如下图:
    条件概率与似然函数
    如图,若 θ \theta θ即靶心坐标只有两个取值,分别是 ( x 0 = − 1 , y 0 = 0 ) (x_0=-1,y_0=0) (x0=1,y0=0) ( x 0 = 1 , y 0 = 0 ) (x_0=1,y_0=0) (x0=1,y0=0),虽然条件概率和似然函数的表达式相同:
    f ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f ( x , y ; x 0 , y 0 ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f(x,y|x_0,y_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} \\ f(x,y;x_0,y_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} f(x,yx0,y0)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}f(x,y;x0,y0)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}
    但是条件概率的自变量是 x , y x,y x,y,对其积分后为1;而似然函数的自变量为 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0,对其积分(两个取值求和)之后不一定为1。特别地,在这个例子中,如果 θ \theta θ的取值为 ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 (x_0,y_0)\in\mathcal{R}^2 (x0,y0)R2,似然函数的积分也为1。

    引用quora上的一个回答 What is the difference between probability and likelihood
    我们可以再做一个类比,假设一个函数 a b a^b ab ,这个函数包含两个变量。 如果你令 b = 2 b=2 b=2,这样你就得到了一个关于 a a a的二次函数,即 : a 2 a^2 a2当你令 a = 2 a=2 a=2时,你将得到一个关于 b b b的指数函数,即 2 b 2^b 2b可以看到这两个函数有着不同的名字,却源于同一个函数。而 p ( x ∣ θ ) p(x|θ) p(xθ)也是一个有着两个变量的函数。如果,你将 θ θ θ设为常量,则你会得到一个概率函数(关于 x x x的函数);如果,你将 x x x设为常量你将得到似然函数(关于 θ θ θ的函数)。

    小结

    1.在很多情况下,pdf和LF的表达式相同;
    2.条件概率pdf是概率测度,满足非负性、积分为1条件,LF不是概率测度,不一定满足积分为1的条件;
    3.似然函数是个相对值,可以比较,但不是绝对的概率意义。例如图2中,射手目标是右侧的似然程度要大于左侧的,但两个似然度的和并不一定为1。

    [1]: RA Fisher, M.A., 1922. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 222(594-604), pp.309-368.

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    2022-06-06 11:47:53
    什么是似然函数? 一般说似然函数,是指某一参数的似然函数,比如某分布的参数θ\thetaθ的似然函数。 它是给定样本值下,关于参数θ\thetaθ的函数: 左边是给定x,关于θ\thetaθ的函数。 右边是给定θ\thetaθ,x...
  • 有助于新手学习Copula原理,内容比较简单,并且带有注释,非常详细
  • Presented by R.G. Presented\ by\ R.G. Presented by R.G. 写在前面: 最近在上《机器学习与内容安全》的课程,老师布置了第一次实验内容,看了一下,大致应该是吴恩达的东西。由于疫情在家(这事得从一直
  • 似然函数学习笔记

    千次阅读 2020-12-17 20:38:49
    在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。似然性,是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物之性质的参数进行估值。 我们可以反过来构造表示似然性的方法:已知...
  • 熵、交叉熵及似然函数的关系1. 熵1.1 信息量信息量:最初的定义是信号取值数量m的对数为信息量\(I\),即 \(I=log_2m\)。这是与比特数相关的,比如一个信号只有两个取值,那么用1个bit便能将其表示。后来著名的香农...
  • 最大似然法与似然函数

    千次阅读 2020-12-24 22:59:38
    在统计学中,最大似然估计,也称最大概似估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法通俗来讲,最大似然估计是利用已知的样本的结果,在使用某个模型的基础上,反推最有可能导致这样结果的模型参数值。...
  • 最大似然估计,就是寻找一组模型参数,使得观测到现有样本出现的概率最大,即这组模型参数,可以使模型拟合的结果最接近实际数据分布。
  • 摘抄自维基百科: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0 ... 似然函数(Likelihood function、Likelihoo...
  • 三、 似然函数

    千次阅读 2020-09-15 20:33:29
    在 朴素贝叶斯分类器 和 最大似然估计和贝叶斯参数估计 中,我们都提到了 似然 这个词,这么这里就详细讲一讲什么是似然
  • 似然函数是某一特定事件发生的概率,其中自变量是分布参数θ,特定事件发生的概率随θ的不同而不同 概率密度分布函数是不同事件发生的概率,自变量是样本取值,这样说可能不便于理解,下边通过二项分布概率公式说明...
  • 数学基础-似然函数

    千次阅读 2020-08-07 19:31:17
    一、简介 似然和概率的区别: 概率:特定条件下某个事件...似然函数:已知xxx,参数为θ\thetaθ的概率 L(θ∣x)L(\theta|x)L(θ∣x) 条件概率和似然函数在数值上是相等的,即: L(θ∣x)=p(x∣θ)L(\theta|x)=p(x|\th
  • 关于机器学习中的似然函数的理解

    千次阅读 2020-11-17 09:42:18
    最近在研究一些概率论的东西,今天说一说似然函数。 常说的概率是指给定参数后,预测即将发生的事件的可能性。拿硬币这个例子来说,我们已知一枚均匀硬币的正反面概率分别是0.5,要预测抛两次硬币,硬币都朝上的概率...
  • 似然函数简明讲解

    千次阅读 2019-04-25 14:05:26
    概述: 统计学中,似然函数是一种关于统计模型参数的函数。当给定输出x时,关于参数θ\thetaθ 的似然函数L(θ∣x)L(θ|x)L(θ∣x)似然值等于给定参θ\thetaθ后变量x的发生概率L(θ∣x)=P(X=x∣θ)L(\theta | x)=P...
  • 贝叶斯推断 贝叶斯推断,据说是推论统计的一种方法,使用贝叶斯定理,在有更多证据及信息时,更新特定假设的概率。当没有足够多的数据,而又想...最大似然估计,以我的理解,就是找到一个参数θ\thetaθ,使得能抽样
  • 1.最大似然估计的总体概念 2.基本概念与问题引出 3.最大似然估计原理 4.极大似然估计的公式[3] 5.极大似然估计的例子 参考文献 1.最大似然估计的总体概念 最大似然估计的功能:根据已有的数据(手中已经获取...
  • 简单理解似然函数

    2021-07-27 15:59:43
    似然函数 在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。 对于函数P(x∣θ),θ为已知,x为变量,该函数为概率函数, 理解为已知结果为 x ,参数为θ对应的概率。 所以似然...

空空如也

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