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  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数 2.1概率函数和...

    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。

    目录

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    2.1.1 概率分布

    2.2 分布函数

    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    4 参考文献


     

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量,在贾俊平老师的《统计学》教材中,给出了这样的区分:

    如果随机变量的值都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

    进一步解释,离散型随机变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量。例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得。反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得。

    形象点来解释::

    画一幅画,左边是梯子,右边是斜坡。
    像梯子一样能说出有多少层的,可描述的,是离散型随机变量;
    像斜坡一样不能说出有多少层阶梯,不可描述的,是连续性随机变量。
    需要注意的是,实际操作中梯子的阶高可能很小,看起来很像斜坡,需要放大看。

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    在理解概率分布函数和概率密度函数之前,我们先来看看概率函数和概率分布是咋回事。

    为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了,为什么呢?在这里,直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的:

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!

    这句是本文的核心内容,本文的所有概念,包括概率密度,概率分布,概率函数,都是在描述概率!

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率。

    pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    2.1.1 概率分布

    接下来讲概率分布,顾名思义就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。

                                                                     离散型随机变量的值和概率的分布列表

    在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

    举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?

    长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

    2.2 分布函数

    说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数是个简化版的东西!全名应该叫概率分布函数

    看看下图中的分布律,这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西。但是我知道很多教材就是叫分布律的。

                                                                    概率分布函数就是把概率函数累加

    我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了小于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!

    发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!


    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字,叫做“概率密度函数”。

    为啥要这么叫呢?我们还是借用大师的话来告诉你,在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中,

    如果这么解析你还是不太懂的话,看看下面的这个公式:

    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!

    左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数

    两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

    但是,可能读者会有这样的问题:

    Q:概率密度函数在某一点的值有什么意义?

    A:比较容易理解的意义,某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

    比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

    • 某一点的速度, 不能以为是某一点的距离
    • 没意义,因为距离是从XX到XX的概念
    • 所以, 概率也需要有个区间.
    • 这个区间可以是x的邻域(可以无限趋近于0)。对x邻域内的f(x)进行积分,可以求得这个邻域的面积,就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

    4 参考文献

    【1】https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

    【2】https://www.zhihu.com/question/23237834

     


     

     

     

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  • 概率密度函数

    2019-01-02 11:27:11
    1、概率密度函数 密度函数f(x) 具有下列性质: ① ; ② ; ③    2、分布函数(累积分布函数) 对于所有实数 ,累积分布函数定义如下:    设其变量的概率密度函数 满足:    3、期望 离散型...

    1、概率密度函数

    密度函数f(x) 具有下列性质:

    ①  ;

    ②  ;

    ③ 

     

    2、分布函数(累积分布函数)

    对于所有实数  ,累积分布函数定义如下:

                                              

     设其变量的概率密度函数  满足: 

     

    3、期望

    离散型:

    随机变量的一切可能的取值  与对应的概率  乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望:

                                                                     

    连续型:

    随机变量X的n阶矩是X的n次方的数学期望,即

                                       

    X的方差为:

                                    

     

    4、练习

    设X,Y相互独立且服从(0,1)上的均匀分布,Z=max(X,Y),求E(Z).

    思路:

    P(Z<z)=P(X<z, Y<z)=P(X<z)P(Y<z)=z^2;        即分布函数。

    其概率密度函数为分布函数的导数:f(z)=2z;

    期望:                 
    --------------------- 
    作者:sun123704 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/u011947630/article/details/81662007 
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

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  • 关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t分布的概率密度函数。由于Excel中TDIST函数计算的是概率累积密度,不能...

    使用Excel绘制t分布概率密度函数

    关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:

    使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t分布的概率密度函数。由于Excel中TDIST函数计算的是概率累积密度,不能计算概率密度值,所以借用伽马函数的自然对数。先从t分布的公式着手。

    其中:ν 为自由度=n-1

    Γ为伽马函数的的符号

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0

    t分布的标准差=ν/(ν-2)

    我们以随机变量t值为x轴(即视t为x),如何将自由度带入方程式求y值?因为t分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数来计算得到t分布的概率密度函数(参见【附录】)。经转换后其公式为:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))/(SQRT(PI()*df)*EXP(GAMMALN(df/2)))*(1+X^2/df)^(-1/2*(df+1))……………………………………公式(1)

    由于对公式书写格式的顺序的理解不同,上述公式可能也会写成以下形式:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))*(1+X^2/df)^(-(df+1)/2)/SQRT(df*PI())/EXP(GAMMALN(df/2))  ……………………………………公式(2)

    现以自由度(ν)=4为例,求t分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 确定自变量取值范围

    自由度=4时,t分布的方差为ν/(ν-2)=2,标准差= SQRT (2)=1.414

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0,同样与正态分布一样,几乎99%的t值会落在平均数`x±3个标准差之内,即落在区间(`x-3σ,`x+3σ)之间,所以横轴的取值范围在-4.2~4.2之间。

    第2步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入-4.2,在单元格A3中输入-4,递增0.2,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A44是4.2为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。如表-1所示:

    表-1

    第3步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度(ν)=4 ,则由df=4代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))/(SQRT(PI()*4)*EXP(GAMMALN(4/2)))*(1+A2^2/4)^(-1/2*(4+1)),如表-2所示:

    表-2

    上述公式如按公式(1)的理解顺序,单元格B2内容可以写成:

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))*(1+A2^2/4)^(-(4+1)/2)/SQRT(4*PI())/EXP(GAMMALN(4/2))

    结果是一样的。

    第4步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B44,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格,如表-3所示:

    表-3

    第5步 由于相对引用的规则,A列的自变量会自动被公式相对引用计算,结果如表-4所示:

    表-4

    上述表-3是为了说明公式的复制,而特意在“工具”-“选项”-“视图”中将“公式”勾选,从而使公示内容全部显示出来。实际操作中,如表-4一样,公式的表达式不会显露,只有计算的结果会出现。至此已完成自由度为4的t分布概率密度函数表。

    第6步 作t分布概率密度函数图

    选择A1:B44,选“图表向导”-“标准类型’-“XY散点图”(平滑线),如图-1所示:

    图-1

    第7步 输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-2所示:

    图-2

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    在Excel 2003版中面积图数据系列格式的图案的内部填充格式没有透明的设置,也不能使用柱形图那样用预先制作的透明图片填充,此类效果可以在2007版与2010版中轻易实现。如为了在2003版中突出视觉效果,可以尝试使用三维面积图。如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-4-1(2003版)和图-4-2(2010版)所示:

    图-4-1

    图-4-2

    为了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如E1、F1、G1输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如E$1、F$1、G$1。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A2、$A3、$A4等。

    数据表输入截图如图-5:

    图-5

    在公式输入后,选择单元格区间A1:D44,在同一图表作出三种不同自由度的平滑曲线的散点图,可见随着自由度的变大,t分布越向Y轴集中如图-6所示:

    图-6

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    •函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接绘图,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。

    语法:

    GAMMALN(x)

    X    为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明:

    如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。

    如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。

    数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。

    EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。

    EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

    完 谢谢观看

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  • F分布的概率密度函数如下图所示:其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度Γ为伽马函数的的符号由于Excel没有求F分布的概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们...

    利用Excel绘制t分布的概率密度函数的相同方式,可以绘制F分布的概率密度函数图表。

    F分布的概率密度函数如下图所示:

    其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度

    Γ为伽马函数的的符号

    由于Excel没有求F分布的概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数的运算来计算得到F分布的概率密度函数。(可参见【附录】)

    经转换后上述公式为:

    F(X,df1,df2)=EXP(GAMMALN((DF1+DF2)/2))*(DF1^(DF1/2))*(DF2^(DF2/2))*(X^(DF1/2-1))/EXP(GAMMALN(DF1/2))/EXP(GAMMALN(DF2/2))/((DF2+DF1*X)^((DF1+DF2)/2))

    ……………………………………………………………公式(1)

    现以分子自由度μ=20,分母自由度ν=20为例,求F分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入0,在单元格A3中输入0.1,递增0.1,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A46是4.4为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。

    第2步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度μ=20 ,ν=20则由DF1=20,DF2=20代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((20+20)/2))/(EXP(GAMMALN(20/2))*EXP(GAMMALN(20/2)))*(20/20)^(20/2)*A2^(20/2-1)*(1+20/20*A2)^(-1/2*(20+20))

    第3步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B46,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格。

    第4步 作F分布概率密度函数图表

    选择A1:B46,选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”,输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-1所示:

    图-1

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-2-1(2003版)和图-2-2(2010版)所示:

    图-2-1

    图-2-2

    如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    为 了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如I1、I2;J1、J2;K1、K2;L1、L2;M1、 M2输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如I$1、I$2;J$1、J$2;K$1、 K$2;L$1、L$2;M$1、M$2。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A4、$A5、$A6等。 例:B4单元格的公式则为:

    =EXP(GAMMALN((I$1+I$2)/2))*(I$1^(I$1/2))*(I$2^(I$2/2))*($A4^(I$1/2-1))/EXP(GAMMALN(I$1/2))/EXP(GAMMALN(I$2/2))/((I$2+I$1*$A4)^((I$1+I$2)/2))

    这样引用的公式可以直接拖曳复制B4:F48。

    数据表输入截图如图-4:

    在公式输入后,选择单元格区间A3:F48,在同一图表作出五种不同自由度的平滑曲线的散点图,如图-5所示:

    图-5

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接计算,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。 语法: GAMMALN(x)

    X为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明: 如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。 如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。 数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。 GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。 EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。 EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;http://www.cda.cn/view/18454.html

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

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    2020-09-25 15:24:46
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空空如也

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