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  • 全概率公式

    万次阅读 多人点赞 2018-05-30 10:44:05
    全概率公式、贝叶斯公式推导过程 (1)条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) (2)乘法公式 1.由条件...

    全概率公式、贝叶斯公式推导过程

     

    (1)条件概率公式

            设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                         P(A|B)=P(AB)/P(B)

     

    (2)乘法公式

             1.由条件概率公式得:

                           P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

                 上式即为乘法公式;

             2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                     P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

                     

      (3)全概率公式

            1. 如果事件组B1,B2,.... 满足

                   1.B1,B2....两两互斥,即 B∩ B= ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

                   2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

              设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

     

               上式即为全概率公式(formula of total probability)

           2.全概率公式的意义在于,当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi)  (i=1,2,...)的计算较为简单时,可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是,将事件A分解成几个小事件,通过求小事件的概率,然后相加从而求得事件A的概率,而将事件A进行分割的时候,不是直接对A进行分割,而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分,即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi),由加法公式得

             P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

                   =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

            3.实例:某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各台机床次品率分别为5%,4%,2%,它们各自的产品分别占总量的25%,35%,40%,将它们的产品混在一起,求任取一个产品是次品的概率。

                    解:设.....     P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

     

        (4)贝叶斯公式

          1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有

                   

             上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),B常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。

          2.实例:发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“∪”时,收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”;又当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时,发报台确系发出“∪”的概率。

             解:设...., P(B1|A)= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

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  • 全概率公式和贝叶斯公式.它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式.
  • 浅谈全概率公式和贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-14 15:08:25
    原址一、条件概率公式 举个例子,比如让你背对着一个人,让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少?直接猜测,肯定是只有50%的概率,假如现在告诉你背后这个人是个长头发,那么女的概率就变为90%。所以条件概率...

    一、条件概率公式

        举个例子,比如让你背对着一个人,让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少?直接猜测,肯定是只有50%的概率,假如现在告诉你背后这个人是个长头发,那么女的概率就变为90%。所以条件概率的意义就是,当给定条件发生变化后,会导致事件发生的可能性发生变化。

        条件概率由文氏图出发,比较容易理解:

        表示B发生后A发生的概率,由上图可以看出B发生后,A再发生的概率就是,因此:

    由:

    得:

    这就是条件概率公式。

    假如事件A与B相互独立,那么:

    注:

    相互独立:表示两个事件发生互不影响。而互斥:表示两个事件不能同时发生,(两个事件肯定没有交集)。互斥事件一定不独立(因为一件事的发生导致了另一件事不能发生);独立事件一定不互斥,(如果独立事件互斥, 那么根据互斥事件一定不独立,那么就矛盾了),但是在概率形式上具有一些巧合性,一般地:

    但是,对于两个独立事件,依然可以等于0,因为事件A或者事件B发生的概率可能为0.所以,并不是一定表示互斥。互斥和独立的理解还是要究其真正意义,而不是表达形式。

    二、全概率公式

        先举个例子,小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如下图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:

    每天上述三条路不拥堵的概率分别为:

    假设遇到拥堵会迟到,那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少?

    其实不迟到就是对应着不拥堵,设事件C为到公司不迟到,事件为选择第i条路,则:

        全概率就是表示达到某个目的,有多种方式(或者造成某种结果,有多种原因),问达到目的的概率是多少(造成这种结果的概率是多少)?

    全概率公式:

        设事件是一个完备事件组,则对于任意一个事件C,若有如下公式成立:

    那么就称这个公式为全概率公式。

    三、贝叶斯公式

        仍旧借用上述的例子,但是问题发生了改变,问题修改为:到达公司未迟到选择第1条路的概率是多少?

    不是因为0.5这个概率表示的是,选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到,只是因为距离公司近才知道选择它的概率,而现在我们是知道未迟到这个结果,是在这个基础上问你选择第一条路的概率,所以并不是直接就可以得出的。

    故有:

    所以选择第一条路的概率为0.28.

        贝叶斯公式就是当已知结果,问导致这个结果的第i原因的可能性是多少?执果索因!

    贝叶斯公式:

    在已知条件概率和全概率的基础上,贝叶斯公式是很容易计算的:

     

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  • 全概率公式及其含义.pdf
  • 1 条件概率公式: ...2 全概率公式 A代表结果,B代表原因。导致A发生的原因B可以细化为B1、B2......Bn 。其中B1----Bn事件互斥,不可能同时出现。 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.....+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)...

    1 条件概率公式:

       P(A|B)代表事件B发生的情况下A发生的概率。

     P(A|B)=P(AB)/P(B)

    2 全概率公式

     A代表结果,B代表原因。导致A发生的原因B可以细化为B1、B2......Bn 。其中B1----Bn事件互斥,不可能同时出现。

     

    P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.....+P(ABn)

           =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+.....+P(A|Bn)P(Bn)

      每一个B都可能导致A的发生。

    这是解决A在某些情况下不好求解的问题。

    也可以用右边式子表示

    3 贝叶斯公式

    与全概率公式正好相反,是求解事情发生的原因概率 P(Bi|A)

    P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/P(A)

    P(A)可以按照2中的全概率公式展开

     

      

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  • 概率与统计 第一章-4 全概率公式和贝叶斯公式
  • 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、先验概率、后验概率 记录下常用的概率公式 一、条件概率 设A,B是两个事件,且P(B)>0,称 为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 二、全概率公式 若事件是...

    目录

    一、条件概率

    二、全概率公式

    三、贝叶斯公式

    四、先验概率、后验概率 

    记录下常用的概率公式

    一、条件概率

    设A,B是两个事件,且P(B)>0,称

    P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

    为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率

    二、全概率公式

    若事件B_{1},B_{2},...B_{n}是样本空间\chi的一个划分,全概率公式为:

    P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(AB_{i})=\sum_{i=1}^{n} P(A|B_{i})P(B_{i})

    可以使用下图帮助理解,整个大圆为样本空间\chi,中间阴影面积为事件A  ,大圆的每一个切分代表每一个B_{i}

    全概率公式的意义在于,当某一事件的概率难以求得时,可转化为在一系列条件下发生概率的和。

    三、贝叶斯公式

    由条件概率和全概率公式可以导出贝叶斯公式:

    P(B_{i}|A)=\frac{P(AB_{i})}{P(A)}=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_{j})P(B_{j})}
    应用举例:

    从两个盒子里取球,求:取到蓝色球的情况下,是从第一个盒子取的概率。

    四、先验概率、后验概率 

    1. 先验概率:根据以往经验和分析得到的概率。

    2. 后验概率:根据已经发生的事件来分析得到的概率。

    例:假设山洞中有熊出现的事件为Y,山洞中传来一阵熊吼的事件为X。则:

    山洞中有熊的概率为P(Y)。它是先验概率,根据以往的数据分析或者经验得到的概率。

    听到熊吼之后认为山洞中有熊的概率为P(Y|X)。它是后验概率,得到本次试验的信息从而重新修正的概率。

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  • 常见的全概率公式: 当公式左端为条件概率时会有相类似的全概率公式
  • 003 全概率公式与贝叶斯公式
  • N4 Ch1——1.4乘法公式与全概率公式.pdf
  • 0 写在前面 1 条件概率公式 P(A|B)=P(AB)/P(B) 2 全概率公式 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) 3 贝叶斯公式 P(Ai|B)=P(AiB)/P(B)
  • 机器学习的数学基础-全概率公式和贝叶斯公式.pdf
  • 条件概率,乘法公式,全概率公式及贝叶斯公式的推导条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式推导过程 条件概率 条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为:P(A∣B)P(A\mid B )P(A∣B)...
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  • 全概率公式与贝叶斯公式使用例题

    千次阅读 多人点赞 2019-12-21 15:49:15
    只有大量的实践才能记住,不然都是拿来应付考试了。 下面就是给你做到想吐,干啥都想一下公式 全概率公式 贝叶斯公式
  • 全概率公式与贝叶斯公式例全概率公式划分图解贝叶斯公式(Bayes公式)例1例2 例 全概率公式 划分 图解 贝叶斯公式(Bayes公式) 例1 例2
  • 全概率公式、贝叶斯公式推导过程

    千次阅读 2016-11-03 20:17:27
    全概率公式、贝叶斯公式推导过程   (1)条件概率公式  设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:  P(A|B)=P(AB)/P(B)   (2)乘法...
  • 全概率公式习题

    万次阅读 2018-06-23 10:37:07
    简单的记录下关于全概率公式的习题 我们可以先看下抓阄不分先后的一个例子 设袋中装有10个阄,其中8个是白阄,2个是有物之阄,甲、乙二人依次抓取一个,求没人抓得有物之阄的概率 设A,B分别为甲、乙抓得有物...
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空空如也

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