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  • 决定系数 MATLAB代码实现
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  • 决定系数

    万次阅读 2016-09-17 10:42:41
    在对数据进行线性回归计算之后,我们能够得出相应函数的系数, 那么我们如何知道得出的这...所以我们用到了一种方法叫 coefficient of determination (决定系数) 来判断 回归方程 拟合的程度. 首先我们先定义几个概念

    概念引用:http://blog.csdn.net/ytdxyhz/article/details/51730995

    在对数据进行线性回归计算之后,我们能够得出相应函数的系数, 那么我们如何知道得出的这个系数对方程结果的影响有强呢?

    所以我们用到了一种方法叫 coefficient of determination (决定系数) 来判断 回归方程 拟合的程度.

    首先我们先定义几个概念


    1. Sum Of Squares Due To Error 

    对于第i个观察点, 真实数据的Yi与估算出来的Yi-head的之间的差称为第i个residual, SSE 就是所有观察点的residual的和
    2. Total Sum Of Squares


    3. Sum Of Squares Due To Regression

    通过以上我们能得到以下关于他们三者的关系


    决定系数: 判断 回归方程 的拟合程度


    (coefficient of determination)决定系数也就是说: 通过回归方程得出的 dependent variable 有 number% 能被 independent variable 所解释. 判断拟合的程度


    (Correlation coefficient) 相关系数 : 测试dependent variable 和 independent variable 他们之间的线性关系有多强. 也就是说, independent variable 产生变化时 dependent variable 的变化有多大.

    可以反映是正相关还是负相关




    Udacity:机器学习纳米工程师学位

    如果不能对模型的训练和测试的表现进行量化地评估,我们就很难衡量模型的好坏。通常我们会定义一些衡量标准,这些标准可以通过对某些误差或者拟合程度的计算来得到。在这个项目中,你将通过运算决定系数R2 来量化模型的表现。模型的决定系数是回归分析中十分常用的统计信息,经常被当作衡量模型预测能力好坏的标准。

    R2的数值范围从0至1,表示目标变量的预测值和实际值之间的相关程度平方的百分比。一个模型的R2 值为0说明它完全无法预测目标变量;而一个R2 值为1的模型则可以对目标变量进行完美的预测。从0至1之间的数值,则表示该模型中目标变量中有百分之多少能够用特征来解释。_模型也可能出现负值的R2,这种情况下模型所做预测还不如直接计算目标变量的平均值。

    # TODO: Import 'r2_score'
    from sklearn.metrics import r2_score
    
    def performance_metric(y_true, y_predict):
        """ Calculates and returns the performance score between 
            true and predicted values based on the metric chosen. """
        
        # TODO: Calculate the performance score between 'y_true' and 'y_predict'
        score = r2_score(y_true, y_predict)
        
        # Return the score
        return score
    
    #print performance_metric()


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  • matlab决定系数代码
  • 相关系数与决定系数

    千次阅读 2020-03-05 14:11:33
    文章目录相关系数(Correlation coefficient)决定系数(coefficient of determination) 相关系数(Correlation coefficient) 皮尔逊相关系数 也称为简单相关系数,用于研究变量之间 线性相关的程度。相关系数...


    相关系数(Correlation coefficient)

    皮尔逊相关系数 也称为简单相关系数,用于研究变量之间 线性相关的程度。相关系数可以用简写 c c cc cc 表示,不过通常还是会用 r r r 来表示。

    NOTE:皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数,但是最常见的相关系数。

    定义
    ρ x y = r ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) V a r [ X ] V a r [ Y ] \rho_{xy} = r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}} ρxy=r(X,Y)=Var[X]Var[Y] Cov(X,Y)
    其中, C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y) X X X Y Y Y 的协方差, V a r [ X ] Var[X] Var[X] V a r [ Y ] Var[Y] Var[Y] 分别为 X X X Y Y Y 的方差。

    值域[-1,1]

    意义:定量刻画了 X X X Y Y Y 的相关程度, ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 越大则相关程度越大; ∣ ρ x y ∣ = 0 |\rho_{xy}| = 0 ρxy=0 对应相关程度最低。

    ρ x y \rho_{xy} ρxy正数 时表示两个变量呈 正相关,即一个变量增大时另一个变量也增大(比如气温越高,冰淇淋的销量就越多); ρ x y \rho_{xy} ρxy 结果为 负数 时两个变量呈 负相关,即一个变量增大时另一个变量减小(比如海拔越高时,空气中的氧气含量就越少); ρ x y \rho_{xy} ρxy0,则表示两个变量不为线性关系,有可能两者不相关,但也有可能两者有更加复杂的关系。

    相关性的强弱大致可以按照如下分布来进行判定:

    • ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 0.8 ~ 1.0,极强相关
    • ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 0.6 ~ 0.8,强相关
    • ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 0.4 ~ 0.6,中等程度相关
    • ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 0.2 ~ 0.4,弱相关
    • ∣ ρ x y ∣ |\rho_{xy}| ρxy 0.0 ~ 0.2,极弱相关或无相关

    计算方法:

    方法一:Excel 自带公式

    公式 -> 插入函数 -> 统计 -> CORREL

    或者直接在 Excel 表格任意空白位置输入:=CORREL()
    在这里插入图片描述
    方法二:专业数据分析工具 SPSS

    参考文章:
    皮尔逊积矩相关系数
    【从零开始的AI学习】如何判断两个数据之间的相关性?


    决定系数(coefficient of determination)

    决定系数也称为拟合优度,是 相关系数的平方。用于 评价拟合的好坏,这里的拟合可以是线性或非线性的。通常记作 r 2 r^2 r2

    意义:决定系数 r 2 r^2 r2 约接近于 1,则拟合回归的效果越好。

    表示可根据自变量的变异来解释因变量的变异部分。如某学生在某智力量表上所得的 IQ 分与其学业成绩的相关系数 r=0.66,则决定系数 R^2=0.4356,即该生学业成绩约有 44%可由该智力量表所测的智力部分来说明或决定。

    参考文章:
    决定系数
    统计-R(相关系数)与R^2(决定系数)傻傻分不清

    展开全文
  • matlab决定系数代码
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  • 决定系数R2

    千次阅读 2019-03-19 16:33:03
    决定系数 表示:y的波动有多少能被你和直线所描述。 当直线拟合的很好,y到拟合线的差值会很小,此时决定系数接近1.表示y值基本都被拟合直线所描述了。 ...

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    决定系数 表示:y的波动有多少能被你和直线所描述。

    在这里插入图片描述
    当直线拟合的很好,y到拟合线的差值会很小,此时决定系数接近1.表示y值基本都被拟合直线所描述了。

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  • 相关系数r和决定系数R2的那些事

    万次阅读 多人点赞 2019-01-07 11:09:28
    文章目录相关系数$r$和决定系数$R^2$的那些事协方差与相关系数决定系数(R方)参考资料 相关系数rrr和决定系数R2R^2R2的那些事 有人说相关系数(correlation coefficient,rrr)和决定系数(coefficient of ...

    相关系数 r r r和决定系数 R 2 R^2 R2的那些事

    有人说相关系数(correlation coefficient, r r r)和决定系数(coefficient of determination, R 2 R^2 R2,读作R-Squared)都是评价两个变量相关性的指标,且相关系数的平方就是决定系数?这种说法对不对呢?请听下文分解!

    协方差与相关系数

    要说相关系数,我们先来聊聊协方差。在之前的博文《使用Python计算方差协方差相关系数》中提到协方差是计算两个随机变量 X X X Y Y Y 之间的相关性的指标,定义如下:

    C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] \mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)] Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)]

    但是协方差有一个确定:它的值会随着变量量纲的变化而变化(covariance is not scale invariant),所以,这才提出了相关系数的概念:

    r = C o r r ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) σ X ⋅ σ Y = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] E [ X − E X ] 2 E [ Y − E Y ] 2 r = \mathrm{Corr}(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[X - \mathrm{E}X]^2}\sqrt{\mathrm{E}[Y - \mathrm{E}Y]^2}} r=Corr(X,Y)=σXσYCov(X,Y)=E[XEX]2 E[YEY]2 E[(XEX)(YEY)]

    对于相关系数,我们需要注意:

    1. 相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的,如果 r &gt; 0 r \gt 0 r>0,呈正相关;如果 r = 0 r = 0 r=0,不相关;如果 r &lt; 0 r \lt 0 r<0,呈负相关。
    2. 如果我们将 X − E X X - \mathrm{E}X XEX Y − E Y Y - \mathrm{E}Y YEY看成两个向量的话,那 r r r刚好表示的是这两个向量夹角的余弦值,这也就解释了为什么 r r r的值域是[-1, 1]。
    3. 相关系数对变量的平移和缩放(线性变换)保持不变(Correlation is invariant to scaling and shift,不知道中文该如何准确表达,?)。比如 C o r r ( X , Y ) = C o r r ( a X + b , Y ) \mathrm{Corr}(X, Y) = \mathrm{Corr}(aX + b, Y) Corr(X,Y)=Corr(aX+b,Y)恒成立。

    决定系数(R方)

    下面来说决定系数,R方一般用在回归模型用用于评估预测值和实际值的符合程度,R方的定义如下:

    R 2 = 1 − F V U = 1 − R S S T S S = 1 − ∑ i ( y i − f i ) 2 ∑ i ( y i − y ^ ) 2 R^2 = 1 - \mathrm{FVU} = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2} R2=1FVU=1TSSRSS=1i(yiy^)2i(yifi)2

    上式中 y y y是实际值, f f f是预测值, y ^ \hat{y} y^是实际值的平均值。 F V U \mathrm{FVU} FVU被称为fraction of variance unexplained,RSS叫做Residual sum of squares,TSS叫做Total sum of squares。根据 R 2 R^2 R2的定义,可以看到 R 2 R^2 R2是有可能小于0的,所以 R 2 R2 R2不是 r r r的平方。一般地, R 2 R^2 R2越接近1,表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

    对于 R 2 R^2 R2可以通俗地理解为使用均值作为误差基准,看预测误差是否大于或者小于均值基准误差。

    此外,我们做这样一个变形: R 2 = 1 − ∑ i ( y i − f i ) 2 / n ∑ i ( y i − y ^ ) 2 / n = 1 − R M S E V a r R^2 = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2 / n}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2 / n} = 1 - \frac{\mathrm{RMSE}}{\mathrm{Var}} R2=1i(yiy^)2/ni(yifi)2/n=1VarRMSE,可以看到变成了1减去均方根误差和方差的比值(有利于编程实现)。

    另外有一个叫做Explained sum of squares, E S S = ∑ i ( f i − y ^ ) 2 \mathrm{ESS} = \sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2 ESS=i(fiy^)2

    在一般地线性回归模型中,有 E S S + R S S = T S S \mathrm{ESS} + \mathrm{RSS} = \mathrm{TSS} ESS+RSS=TSS(证明过程参见:Partitioning in the general ordinary least squares model

    在这种情况下:我们有 R 2 = 1 − R S S T S S = E S S T S S = ∑ i ( f i − y ^ ) 2 ∑ i ( y i − y ^ ) 2 R^2 = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2} R2=1TSSRSS=TSSESS=i(yiy^)2i(fiy^)2

    对于 R 2 R^2 R2我们需要注意:

    1. R 2 R^2 R2一般用在线性模型中(虽然非线性模型总也可以用),具体参见:Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

    2. R 2 R^2 R2不能完全反映模型预测能力的高低

    最后,这篇文章《8 Tips for Interpreting R-Squared》里面指出了不错误解读 R 2 R^2 R2的地方,读完之后,我觉得以后还是少用 R 2 R^2 R2,对于模型的评估可以选择其它一些更适合的指标。

    参考资料

    [1]. The relationship between correlation and the coefficient of determination

    [2]. Coefficient of determination

    [3]. Explained sum of squares

    [4]. Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

    [5]. 8 Tips for Interpreting R-Squared

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    决定系数反应了y的波动有多少百分比能被x的波动所描述,即表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释.     决定系数的数值恰巧等于相关系数的平方。   表达式:R2=SSR/SST=1-SSE/SST ...
  • (coefficient of determination)决定系数也就是说: 通过回归方程得出的 dependent variable 有 number% 能被 independent variable 所解释. 判断拟合的程度 (Correlation coefficient) 相关系数 : 测试dependent ...
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