在初等数学中，已经学过下面几类函数:



图中这五类函数统称为基本初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用于一个解析式表示的函数，称为初等函数，例如:

(幂函数复合), (三角函数和幂函数复合）(三角函数和幂函数复合）.

应用上常常遇到以 为地的指数函数以及所产生的双曲函数以及它们的反函数-反双曲函数，它们的定义如下：

双曲正弦：

双曲余弦：

双曲正切：

几个函数图形如下:



结束！

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分段函数一般说来不是初等函数，图中的B也不是初等函数。
初等函数由基本初等函数经e69da5e6ba903231313335323631343130323136353331333366306534过有限次代数运算及函数复合构成的、用一个解析式表示的函数叫做初等函数。而分段函数往往不是初等函数，除非可以通过变形用一个式子表达。但也有一些分段函数是初等函数，比如：
x>=0时，f(x)=x；
x<0时，f(x)=-x；
这个就是初等函数，可以表示为f(x)=|x|=√x²。
扩展资料：
1、初等函数
它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数)，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。
2、分段函数
分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值。
例如：某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为：0 ,x≠328；y={ 5000, x=328}。

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判断：分段函数，不能算是初等，除非它能用62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333361323033另一种方式写成一个解析式。也就是分段函数可以用一个式子表示出来。
初等函数(elementary function)：包括代数函数和超越函数。初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次的四则运算(有理运算)及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起重要作用。
所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数。
而基本初等函数又是下面这些：
(1)常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数)
(2)幂函数 y =x^a(其中a 为实常数)
(3)指数函数 y =a^x(a＞0,a≠1)
(4)对数函数 y =log a(x)(a＞0,a≠1)
(5)三角函数：
正弦函数 y =sin(x)
余弦函数 y =cos(x)
正切函数 y =tan(x)也记成y =tg(x)
余切函数 y =cot(x)也记成y =ctg(x)
正割函数 y =sec(x)
余割函数 y =csc(x)
(6)反三角函数：
反正弦函数 y =arcsinx
反余弦函数 y =arccosx
反正切函数 y =arctanx
反余切函数 y =arccotx
(反正割函数、反余割函数一般不用)

基本初等函数分为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
幂函数：

指数函数：



对数函数：



三角函数：
正弦函数：




余弦函数：




正切函数：




余切函数：




正割函数：




余割函数：




其它：正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数、外正割函数、外余割函数。
反三角函数：
反正弦函数：




反余弦函数：




反正切函数：




反余切函数：




反正割函数：


反余割函数：



由基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算构成的有统一表达式的函数叫做初等函数。

初等函数有多项式函数和有理函数等。

通过对多项式进行代数运算（四则运算和开方运算）所得到的函数称为代数函数，非代数函数称为超越函数（比如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数）。
双曲函数
双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、双曲余切函数.

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双曲正弦：
双曲余弦：
双曲正切：
双曲余切：
双曲正割：
双曲余割：




公式：

sh(x+y) = sh x·ch y + ch x·sh y

ch(x+y) = ch x·ch y + sh x·sh y

(ch x)2 - (sh x)2 = 1
反双曲正弦 y = arsh x = ln(x + √(x2+1))    x∈(-∞,+∞)奇函数,定义域内单调增




反双曲余弦 y = arch x = ln(x + √(x2-1))    x∈[0,+∞),定义域内单调增




反双曲正切 y = arth x = (1/2)ln((1+x)/(1-x))    x∈(-1,1)奇函数,定义域内单调增



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