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  • 组合数学

    2018-07-14 18:08:22
    广义的组合数学(英语:Combinatorics)就是离散数学,狭义的组合数学是组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机...

    广义的组合数学(英语:Combinatorics)就是离散数学,狭义的组合数学组合计数图论代数结构数理逻辑等的总称。

    但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。

    随着计算机科学的日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

    狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。 

    组合数学的主要内容有组合计数组合设计组合矩阵组合优化最佳组合)等。

     

     

     

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  • 一、组合数学脉络、 二、组合数学思想 1 : 一一对应技巧、 三、组合计数模型 与 一一对应、





    一、组合数学脉络



    组合存在性问题 : 鸽巢原理 , Remsey 定理 ;


    组合计数问题 :

    计数定理 : 容斥原理 , Polya 定理 ;

    计数方法 : 递推方程 , 生成函数 , 指数生成函数 ;

    计数模型 : 选取方案 , 不定方程解 , 非降路径问题 , 拆分方案 , 放球方案 ;


    组合枚举问题 : 生成算法 , 组合设计 ;


    组合优化问题 : 最短路径问题 , 最小生成树 , 网络优化 ;



    三个重要的组合思想 :

    • 一一对应
    • 数学归纳法
    • 上下界逼近处理方法




    二、组合数学思想 1 : 一一对应技巧



    一一对应技巧 : 将某种计数 转为 另外一种计数 , 另外一种计数有一个非常显然的结果 , 两种计数的个数是一样多的 ;



    示例 11 :

    3×3×33 \times 3 \times 3 的立方体 , 需要切割多少次 , 才能切成 2727 个小的立方体 ;


    最中心的小立方体 , 66 个面都是切出来的 , 必须切 66 刀 , 才能得到 66 个面 ;

    最中心的小立方体的面数 , 与 切割的刀数 一一对应 的 ;



    示例 22 :

    nn 个运动员比赛 , 淘汰赛制 , 需要多少次比赛 ;


    n1n-1 次 , 比赛次数淘汰人数 一一对应 ;





    三、组合计数模型 与 一一对应



    计数方法 : 计数模型实际问题 进行对应 ;

    计数模型 :

    • 选取问题
    • 不定方程非负整数解问题
    • 非降路径问题
    • 整数拆分问题
    • 放球问题

    上述模型都是非常典型的组合计数模型 , 很多实际问题都可以与上述某个模型建立一一对应关系 , 这样就可以使用上述模型的公式和方法 , 来解实际的问题 ;


    参考之前学习的 Stirling 子集数 , 【集合论】Stirling 子集数 ( 斯特林子集数概念 | 放球模型 | Stirling 子集数递推公式 | 划分的二元关系 加细关系 ) 二、放球模型 ,

    集合的 划分问题 , Stirling 子集数问题 ,
    与 放球模型 中的 球有编号 , 盒子没有编号 ( 不同的球放在相同盒子里 ) 模型的方案个数
    一一对应 ;

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  • 组合数学简介 什么是组合数学 组合数学,亦称组合论、组合学,亦研究离散数学中的排列组合问题,研究的是计数技巧。 组合数学在数学发展史出现的阶段: 数学起源于计数数学发展史印加帝国结绳计数法算数初等代数几何...

    组合数学简介

    一 什么是组合数学

    组合数学,亦称组合论、组合学,亦研究离散数学中的排列组合问题,研究的是计数技巧。

    组合数学在数学发展史出现的阶段:

    数学起源于计数
    数学发展史
    印加帝国结绳计数法
    算数
    初等代数
    几何学
    十六世纪初等数学
    十七世纪出现变量
    高等数学
    概率学
    概率学
    组合数学
    群论
    抽象代数
    集合
    数论
    拓扑学

    组合数学研究具有一定规格的事物。
    事物是否存在,有多少种,是否可以变得更好,
    即:对应组合数学研究的三大问题:存在性,技术性,优化性

    思考: 组合数学起源?

    二 最精巧的排列—幻方

    1. 幻方历史背景

    (1) 大禹治水神龟背上的幻方
    在这里插入图片描述
    每行每列或者对角线之和均为15.
    在这里插入图片描述
    (2) 历史研究幻方第一人
    南宋数学家杨辉(杨辉三角请参照文章:杨辉三角)著作:《续古摘奇算法》

    (3) 西方幻方
    德国画家画作:《忧郁》 时间:1514年
    在这里插入图片描述
    (4) 幻方–宇宙奥秘
    在这里插入图片描述

    2. 幻方定义及计算

    (1) 定义

    定义:方阵中,使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
    幻和:行/列的整数和为该幻方的幻和。
    在这里插入图片描述

    (2) 存在性

    二阶幻方存在性

    在这里插入图片描述
    又因为:
    在这里插入图片描述

    与幻方定义相矛盾,所以假设不成立。二阶幻方不存在。

    三阶及以上幻方存在性
    在这里插入图片描述

    (3) 怎样构造

    杨辉构造三阶幻方:
    杨辉洛书构作曲:“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出”

    在这里插入图片描述

    奇次幻方构造:原理:数字依次从左下到右上顺序摆放,并且整个方阵循环往复,循环往复位置被占用,则回到上一数字的下方。

    3
    4m阶幻方 ,4m+2阶幻方构造。

    (4) 多样性

    • 二阶幻方没有
    • 三阶幻方只有一个
    • 四阶幻方基本形式:880个,允许翻转旋转7040个
    • 五阶幻方:2亿七千多万
    • 六阶幻方:1.77×1019次方左右

    (5) 独特幻方

    特殊幻方一:

    包中祥2008年奥运“完美幻方”
    在这里插入图片描述
    特殊幻方二:

    特点:

    • 每块幻方对角之和均相等。
    • 分为九个三阶幻方。
    • 九个三阶幻方的幻和构成三阶幻方,且构成以首项为111,末项为135,公差为3的等差数列。

    在这里插入图片描述
    sum

    ***幻方的世界很奇妙,有兴趣的可以继续探索。***

    思考: 西方组合数学起源?

    三 苦难的羊皮纸

    阿基米德羊皮卷经文开辟了西方组合数学的篇章。
    经文下面的论文即为十四巧板问题,即:如果这14个巧板可以构成1个正方形,我们由多少种方法把这14个巧板重新放回这个正方形里呢?
    计算机学家:暴力枚举,数学家:排列组合方法。得出17152种组合。

    在这里插入图片描述

    十四桥板

    在这里插入图片描述

    阿基米德羊皮卷经文

    1666年,莱布尼茨发表《组合的艺术》,这是组合数学的第一部专著,首次使用组合论一词,标志着组合数学的诞生。

    思考: 了解了东西方的组合数学的起源,那么与现实生活有什么联系呢?

    四 你的手机密码安全吗

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    组合数学界泰斗级的大师,Thomas Tutte用组合数学的方法帮助破解了德国的洛伦兹密码。

    手机密码问题:

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    安卓解码界面

    如果选择两个点连成的线段,穿越了第三个点,如果之前这三个点没有被连过,则不合法;反之,则合法。所以要去除不合理的情况。

    通过计算机枚举计算得出一共:389112种。

    对比:
    安卓手机389112种。 (更安全)
    iphone手机4位密码10000种。

    如果设手机用4位密码,结果只有1624个,五位密码7152个。计算小于6位8776个,安全系数相对于iphone低。

    计数根本原则:无重复、无遗漏将所有合理的方案都囊括其中。

    思考:组合数学的思想是什么?

    五 世界杯引出的问题

    问题:世界杯16支球队进行比赛,规则:一场比赛输者离开,那么能踢多少场比赛?

    方式一:构建一个树形赛程表,那么有没有更好的方式呢?

    方式二:每场比赛淘汰一个,淘汰球队个数对应比赛场数,16支球队淘汰15个,进行了15场比赛。

    方式二处理很多支球队时就会显得更加便捷,快速。如果有n支球队参加比赛,最终需要的复赛数就是:n-1场。

    六 七桥问题

    哥尼斯堡七桥问题:从一处出发,怎样不重复的走完七座桥。

    Smiley face Smiley face

    欧拉思想:转化为,在右图的基础上,能不能一笔画出所有边,即“一笔画”问题。
    并给出欧拉一笔画问题充要条件:

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    所以再来看哥尼斯堡七桥问题,无可解方案。
    当奇数点少了两个,奇数点的个数为2,根据欧拉思想,就有了可行解

    Smiley face

    那么有多少种不同的可行解呢?

    欧拉论文种给出:奇数点为0,也即全全是偶数点时,完全一笔画,需要从一个偶数点出发再回到出发偶数点;奇数点为2,完全一笔画,需要从一个奇数点出发再回到另外一个奇数点。
    所以六桥遍历问题就会大大简化。

    这些问题对应计算机算法—–无重复遍历所有边,找出欧拉路问题。

    组合数学用抽象的思维让枚举变得更精巧,敏捷。

    七 总结

    组合数学要达到的目的:

    无重复、无遗漏

    抽象能力,转换视角,是一门充满魅力的学科.

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  • 组合数学PPT

    2018-01-31 11:29:14
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