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  • 后验概率
    2020-05-06 13:58:25

    后验概率是信息理论的基本概念之一.是指在得到"结果"的信息后重新修正的概率,是"执果寻引"问题中的果.

    事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验后概率.

    后验概率的计算要以先验概率为基础,通过贝叶斯公式,用先验概率和似然函数计算出来.

    举例:

    假设一个学校里有60%男生和40%女生.女生穿裤子的人数和穿裙子的人数相等,所有男生穿裤子.一个人在远处随机看到了一个穿裤子的学生,那么这个学生是女生的概率是多少?

    使用贝叶斯定理,事件A是看到女生,事件B是看到一个穿裤子的学生,我们所有计算的是P(A|B)

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    先验概率:

    在缺少某个前提下的变量概率,在机器学习中就是没有训练样本,在训练之前的初始概率:P(w)

    后验概率:

    在有了样本数据以后,对变量进行概率的修正,得到的概率就是后验概率,,例如g是样本,则后验概率是:P(w | g)

    贝叶斯公式:

    从形式上讲,贝叶斯公式通过先验概率和似然函数求取后验概率。

    P(w | g)= P(w) P(g | w)   /   P(g)

    R 语言贝叶斯公式计算例子:

    先验概率: 机器的状态有两种,工作working(概率是:0.9),或者损坏broken(概率是:0.1)

    似然概率: 在两种状态下,结果有好坏两种, good or broken

    good

    broken

    working

    0.95

    0.05

    broken

    0.7

    0.3

    然后给出一组结果,"g","b","g","g","g","g","g","g","g","b","g","b", 求后验概率

    即 P(w | g), P(w | b), P(b | g), P(b | b)

    例如, P(w | g)= P(w) P(g | w) / P(g)

    这里的全概率P(g) = P(g | w)P(w) + P(g | b)P(b)

    下面是R代码

    ########################################################

    # Illustration of function bayes to illustrate

    # sequential learning in Bayes' rule

    ########################################################

    bayes

    probs

    dimnames(probs)[[1]]

    dimnames(probs)[[2]]

    probs[1, ]

    for(j in 1:length(data))

    probs[j+1, ]

    sum(probs[j, ] * likelihood[, data[j]])

    dimnames(probs)[[1]]

    paste(0:length(data), dimnames(probs)[[1]])

    data.frame(probs)

    }

    # quality control example

    # machine is either working or broken with prior probs .9 and .1

    prior

    # outcomes are good (g) or broken (b)

    # likelihood matrix gives probs of each outcome for each model

    like.working

    like.broken

    likelihood

    # sequence of data outcomes

    data

    # function bayes will computed the posteriors, one datum at a time

    # inputs are the prior vector, likelihood matrix, and vector of data

    posterior

    posterior

    执行结果:

    working broken

    0 prior 0.9000 0.10000

    1 g 0.9243 0.07568

    2 b 0.6706 0.32941

    3 g 0.7342 0.26576

    4 g 0.7894 0.21055

    5 g 0.8358 0.16424

    6 g 0.8735 0.12649

    7 g 0.9036 0.09641

    8 g 0.9271 0.07289

    9 g 0.9452 0.05476

    10 b 0.7421 0.25793

    11 g 0.7961 0.20389

    12 b 0.3942 0.60578

    展开全文
  • 先验概率 后验概率
    2021.12.22
    

    假如某一不确定事件发生的概率 因为某个新情况的出现 而发生了改变,那么改变前的那个概率就被叫做先验概率改变后的概率就叫后验概率

    举个例子

    ① 2022年考研 学计算机的有10%, 不学计算机的 90%

    P ( y = 学 计 算 机 ) = 0.1 ; P ( y = 不 学 计 算 机 ) = 0.9 P(y=学计算机)=0.1;P(y=不学计算机)=0.9 P(y=)=0.1P(y=)=0.9

    这个就是先验概率,是指根据以往经验和分析得到的概率,也可以理解为以全事件为背景下,A事件发生的概率,一般是统计获得的。

    .
    .
    ② 学计算机中有男生70%,女生30%这里也是先验,但我们常叫为条件概率分布
    .
    .
    P ( x = 男 生 ∣ y = 学 计 算 机 ) = 0.7 ; P ( x = 女 生 ∣ y = 学 计 算 机 ) = 0.3 P(x=男生|y=学计算机)=0.7;P(x=女生|y=学计算机)=0.3 P(x=y=)=0.7P(x=y=)=0.3
    P ( x = 男 生 ∣ y = 不 学 计 算 机 ) = 0.3 ; P ( x = 女 生 ∣ y = 不 学 计 算 机 ) = 0.7 P(x=男生|y=不学计算机)=0.3;P(x=女生|y=不学计算机)=0.7 P(x=y=)=0.3P(x=y=)=0.7

    .

    ③ 现在,有一名学男生(新事件)的前提下,是学计算机的改率

    P ( y = 学 计 算 机 ∣ x = 男 生 ) = P ( x = 男 生 ∣ y = 学 计 算 机 ) ∗ P ( y = 学 计 算 机 ) [ P ( x = 男 生 ∣ y = 学 计 算 机 ) ∗ P ( y = 学 计 算 机 ) + P ( x = 男 生 ∣ y = 不 学 计 算 机 ) ∗ P ( y = 不 学 计 算 机 ) ] P(y=学计算机|x=男生)=\frac {P(x=男生|y=学计算机)*P(y=学计算机)}{[P(x=男生|y=学计算机)*P(y=学计算机)+P(x=男生|y=不学计算机)*P(y=不学计算机)]} P(y=x=)=[P(x=y=)P(y=)+P(x=y=)P(y=)]P(x=y=)P(y=)

    这个 P(y=学计算机|x=男生) 就是后验概率。它获得是在观察到事件x=男生新事件)发生后得到的,发生y=学计算机事件的概率

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  • 1、先验概率 基于客观事实 或者 统计频率 得到的,或者你自身依据经验给出的一个概率值,我们称其为先验概率(prior probability),更加形象的例子,P(X=掷硬币为正面)=0.5。 2、来个栗子???? 玩LOL占总人口60%,不玩...

    1、先验概率

    基于客观事实 或者 统计频率 得到的,或者你自身依据经验给出的一个概率值,我们称其为先验概率(prior probability),更加形象的例子,P(X=掷硬币为正面)=0.5。

    2、来个栗子🌰

    玩LOL占总人口60%,不玩LOL人数占40%,为便于叙述,用变量X来表示取值情况(X为全事件),有 :
    P ( X = 玩 l o l ) = 0.6 P(X=玩lol)=0.6 P(X=lol)=0.6
    P ( X = 不 玩 l o l ) = 0.4 P(X=不玩lol)=0.4 P(X=lol)=0.4

    另外玩lol中80%是男性,20%是女性,不玩lol中20%是男性,80%是女性,用离散变量Y表示性别取值,则相应的条件概率分布(新事件Y):
    P ( Y = 男 性 ∣ X = 玩 l o l ) = 0.8 , P ( Y = 女 性 ∣ X = 玩 l o l ) = 0.2 P(Y=男性|X=玩lol)=0.8,P(Y=女性|X=玩lol)=0.2 P(Y=X=lol)=0.8P(Y=X=lol)=0.2
    P ( Y = 男 性 ∣ X = 不 玩 l o l ) = 0.2 , P ( Y = 女 性 ∣ X = 不 玩 l o l ) = 0.8 P(Y=男性|X=不玩lol)=0.2,P(Y=女性|X=不玩lol)=0.8 P(Y=X=lol)=0.2P(Y=X=lol)=0.8

    Then提问来了,问在已知玩家为男性的情况下,他是lol玩家的概率是多少?
    由Bayes可得:
    P ( X = 玩 l o l ∣ Y = 男 性 ) = P ( Y = 男 性 ∣ X = 玩 l o l ) ∗ P ( X = 玩 l o l ) P ( Y = 男 性 ∣ X = 玩 l o l ) ∗ P ( X = 玩 l o l ) + P ( Y = 男 性 ∣ X = 不 玩 l o l ) ∗ P ( X = 不 玩 l o l ) P(X=玩lol|Y=男性)=\frac{P(Y=男性|X=玩lol)*P(X=玩lol)}{ P(Y=男性|X=玩lol)*P(X=玩lol)+P(Y=男性|X=不玩lol)*P(X=不玩lol)} P(X=lolY=)=P(Y=X=lol)P(X=lol)+P(Y=X=lol)P(X=lol)P(Y=X=lol)P(X=lol)
    最后算出的 P ( X = 玩 l o l ∣ Y = 男 性 ) P(X=玩lol|Y=男性) P(X=lolY=)称之为 X X X的后验概率,即它获得是在观察到事件 Y Y Y发生后得到的。

    3、总结时间

    (1)先验概率:以全事件为背景下,可以理解为以我们所知道的经验为背景, P ( A ∣ Ω ) = A 事 件 发 生 的 概 率 ( 人 类 已 具 备 的 知 识 , 比 如 硬 币 正 反 各 自 50 % 概 率 ) P(A|Ω)=A事件发生的概率(人类已具备的知识,比如硬币正反各自50\%概率) P(AΩ)=A50% Ω Ω Ω指的是人类已具备之经验。
    (2)后验概率:以新事件 B B B为背景下, A A A事件发生的概率, 也就是 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(AB),本文例子 B B B事件指的是男性。

    全事件一般是统计获得的,所以称为先验概率,先验–>先于实验–>不用做实验就知道–>为啥不做实验也能知道概率呢?–>因为人类有知识,经验呀,我们是站在巨人的肩膀上前进丫!!!

    新事件一般是实验,如试验B,此时的事件背景从全事件变成了B,该事件B可能对A的概率有影响,那么需要对A现在的概率进行一个修正,从P(A|Ω)变成 P(A|B),

    所以称 P(A|B)为后验概率,也就是试验(事件B发生)后的概率

    展开全文
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