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  • 本文原始地址:最大似然估计(Maximum likelihood estimation, 简称MLE)和最大后验概率估计(Maximum a posteriori estimation, 简称MAP)是很常用的两种参数估计方法,如果不理解这两种方法的思路,很

    声明:本文为原创文章,发表于nebulaf91的csdn博客。欢迎转载,但请务必保留本信息,注明文章出处。
    本文作者: nebulaf91
    本文原始地址:http://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981


    最大似然估计(Maximum likelihood estimation, 简称MLE)和最大后验概率估计(Maximum a posteriori estimation, 简称MAP)是很常用的两种参数估计方法,如果不理解这两种方法的思路,很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

    但别急,我们先从概率和统计的区别讲起。

    概率和统计是一个东西吗?

    概率(probabilty)和统计(statistics)看似两个相近的概念,其实研究的问题刚好相反。

    概率研究的问题是,已知一个模型和参数,怎么去预测这个模型产生的结果的特性(例如均值,方差,协方差等等)。 举个例子,我想研究怎么养猪(模型是猪),我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等(选择参数),我想知道我养出来的猪大概能有多肥,肉质怎么样(预测结果)。

    统计研究的问题则相反。统计是,有一堆数据,要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉,通过观察和判断,我确定这是猪肉(这就确定了模型。在实际研究中,也是通过观察数据推测模型是/像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等),然后,可以进一步研究,判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪,等等(推测模型参数)。

    一句话总结:概率是已知模型和参数,推数据。统计是已知数据,推模型和参数。

    显然,本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢? 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

    贝叶斯公式到底在说什么?

    学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem):

    P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}P(AB)=P(B)P(BA)P(A) 【式1】

    贝叶斯公式看起来很简单,无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。

    把B展开,可以写成:

    P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B∣A)P(A)+P(B∣∼A)P(∼A)P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\sim A)P(\sim A)}P(AB)=P(BA)P(A)+P(BA)P(A)P(BA)P(A) 【式2】(∼A\sim AA表示"非A")

    这个式子就很有意思了。

    想想这个情况。一辆汽车(或者电瓶车)的警报响了,你通常是什么反应?有小偷?撞车了? 不。。 你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了!每天都要发生好多次。本来,汽车警报设置的功能是,出现了异常情况,需要人关注。然而,由于虚警实在是太多,人们渐渐不相信警报的功能了。

    贝叶斯公式就是在描述,你有多大把握能相信一件证据?(how much you can trust the evidence)

    我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”,B计作“警报响了”,带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生A∣BA|BAB的概率,这是在说警报响了,汽车也确实被砸了。汽车被砸**引起(trigger)**警报响,即B∣AB|ABA。但是,也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因(统统计作∼A\sim AA),其他原因引起汽车警报响了,即B∣∼AB|\sim ABA。那么,现在突然听见警报响了,这时汽车已经被砸了的概率是多少呢(这即是说,警报响这个证据有了,多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了)?想一想,应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量,除以响警报事件的数量(这即【式1】)。进一步展开,即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量,除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量(这即【式2】)。

    可能有点绕,请稍稍想一想。

    再思考【式2】。想让P(A∣B)=1P(A|B) = 1P(AB)=1,即警报响了,汽车一定被砸了,该怎么做呢?让$ P(B|\sim A)P(\sim A) = 0即可。很容易想清楚,假若让即可。很容易想清楚,假若让P(\sim A) = 0$,即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况,那自然,警报响了,只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

    从这个角度总结贝叶斯公式:做判断的时候,要考虑所有的因素。 老板骂你,不一定是你把什么工作搞砸了,可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

    再思考【式2】。观察【式2】右边的分子,P(B∣A)P(B|A)P(BA)为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是,若P(A)P(A)P(A)很小,即汽车被砸的概率本身就很小,则P(B∣A)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)P(A)仍然很小,即【式2】右边分子仍然很小,$P(A|B) $ 还是大不起来。 这里,​P(A)P(A)P(A)即是常说的先验概率,如果A的先验概率很小,就算P(B∣A)P(B|A)P(BA)较大,可能A的后验概率P(A∣B)P(A|B)P(AB)还是不会大(假设P(B∣∼A)P(∼A)P(B|\sim A)P(\sim A)P(BA)P(A)不变的情况下)。

    从这个角度思考贝叶斯公式:一个本来就难以发生的事情,就算出现某个证据和他强烈相关,也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关,但发生概率较高的事情。 发现刚才写的代码编译报错,可是我今天状态特别好,这语言我也很熟悉,犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别,还是先再检查下自己的代码吧。

    好了好了,说了这么多,下面言归正传,说一说MLE。

    ——————不行,还得先说似然函数(likelihood function)

    似然函数

    似然(likelihood)这个词其实和概率(probability)是差不多的意思,Colins字典这么解释:The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability,这解释也读得通。但是在统计里面,似然函数和概率函数却是两个不同的概念(其实也很相近就是了)。

    对于这个函数:

    P(x∣θ)P(x|\theta)P(xθ)

    输入有两个:x表示某一个具体的数据;θ\thetaθ表示模型的参数。

    如果θ\thetaθ是已知确定的,xxx是变量,这个函数叫做概率函数(probability function),它描述对于不同的样本点x,其出现概率是多少。

    如果xxx是已知确定的,θ\thetaθ是变量,这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数,出现x这个样本点的概率是多少。

    这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如,$f(x, y) = x^y ,即, 即,x的的y次方。如果次方。如果x是已知确定的(例如是已知确定的(例如(x = 2),这就是),这就是)f(y) = 2^y,这是指数函数。如果, 这是指数函数。 如果,y是已知确定的(例如是已知确定的(例如(y = 2),这就是),这就是)f(x) = x^2$,这是二次函数。同一个数学形式,从不同的变量角度观察,可以有不同的名字。

    这么说应该清楚了吧? 如果还没讲清楚,别急,下文会有具体例子。

    现在真要先讲讲MLE了。。

    最大似然估计(MLE)

    假设有一个造币厂生产某种硬币,现在我们拿到了一枚这种硬币,想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币,正反面出现的概率(记为θ\thetaθ)各是多少?

    这是一个统计问题,回想一下,解决统计问题需要什么? 数据!

    于是我们拿这枚硬币抛了10次,得到的数据(x0x_0x0)是:反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ\thetaθ是模型参数,而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布

    那么,出现实验结果$ x_0$(即反正正正正反正正正反)的似然函数是多少呢?

    f(x0,θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ7(1−θ)3=f(θ)f(x_0 ,\theta) = (1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta) = \theta ^ 7(1 - \theta)^3 = f(\theta)f(x0,θ)=(1θ)×θ×θ×θ×θ×(1θ)×θ×θ×θ×(1θ)=θ7(1θ)3=f(θ)

    注意,这是个只关于θ\thetaθ的函数。而最大似然估计,顾名思义,就是要最大化这个函数。我们可以画出f(θ)f(\theta)f(θ)的图像:

    likeli

    可以看出,在θ=0.7\theta = 0.7θ=0.7时,似然函数取得最大值。

    这样,我们已经完成了对θ\thetaθ的最大似然估计。即,抛10次硬币,发现7次硬币正面向上,最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。(ummm…这非常直观合理,对吧?)

    且慢,一些人可能会说,硬币一般都是均匀的啊! 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”,我也不信θ=0.7\theta = 0.7θ=0.7

    这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此,引入了最大后验概率估计。

    最大后验概率估计

    最大似然估计是求参数θ\thetaθ, 使似然函数$P(x_0 | \theta) 最大。最大后验概率估计则是想求最大。最大后验概率估计则是想求\theta使使使P(x_0 | \theta) P(\theta)最大。求得的最大。求得的\theta不单单让似然函数大,不单单让似然函数大,\theta$自己出现的先验概率也得大。 (这有点像正则化里加惩罚项的思想,不过正则化里是利用加法,而MAP里是利用乘法)

    MAP其实是在最大化P(θ∣x0)=P(x0∣θ)P(θ)P(x0)P(\theta|x_0) = \frac{P(x_0|\theta)P(\theta)}{P(x_0)}P(θx0)=P(x0)P(x0θ)P(θ),不过因为x0x_0x0是确定的(即投出的“反正正正正反正正正反”),P(x0)P(x_0)P(x0)是一个已知值,所以去掉了分母P(x0)P(x_0)P(x0)(假设“投10次硬币”是一次实验,实验做了1000次,“反正正正正反正正正反”出现了n次,则P(x0)=n/1000P(x_0) = n/1000P(x0)=n/1000。总之,这是一个可以由数据集得到的值)。最大化P(θ∣x0)P(\theta | x_0)P(θx0)的意义也很明确,x0x_0x0已经出现了,要求θ\thetaθ取什么值使P(θ∣x0)P(\theta | x_0)P(θx0)最大。顺带一提,P(θ∣x0)P(\theta | x_0)P(θx0)即后验概率,这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

    对于投硬币的例子来看,我们认为(”先验地知道“)θ\thetaθ取0.5的概率很大,取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识,例如假设P(θ)P(\theta)P(θ)为均值0.5,方差0.1的高斯函数,如下图:

    ptheta

    P(x0∣θ)P(θ)P(x_0 | \theta) P(\theta)P(x0θ)P(θ)的函数图像为:

    map1

    注意,此时函数取最大值时,θ\thetaθ取值已向左偏移,不再是0.7。实际上,在θ=0.558\theta = 0.558θ=0.558时函数取得了最大值。即,用最大后验概率估计,得到θ=0.558\theta = 0.558θ=0.558

    最后,那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信θ=0.7\theta = 0.7θ=0.7呢?你得多做点实验。。

    如果做了1000次实验,其中700次都是正面向上,这时似然函数为:

    likeli2

    如果仍然假设P(θ)P(\theta)P(θ)为均值0.5,方差0.1的高斯函数,P(x0∣θ)P(θ)P(x_0 | \theta) P(\theta)P(x0θ)P(θ)的函数图像为:

    map2

    θ=0.696\theta = 0.696θ=0.696处,P(x0∣θ)P(θ)P(x_0 | \theta) P(\theta)P(x0θ)P(θ)取得最大值。

    这样,就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派,也不得不承认得把θ\thetaθ估计在0.7附近了。

    PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派,认为P(θ=0.5)=1P(\theta = 0.5) = 1P(θ=0.5)=1 ,那就没得玩了。。 无论怎么做实验,使用MAP估计出来都是θ=0.5\theta = 0.5θ=0.5。这也说明,一个合理的先验概率假设是很重要的。(通常,先验概率能从数据中直接分析得到)

    最大似然估计和最大后验概率估计的区别

    相信读完上文,MLE和MAP的区别应该是很清楚的了。MAP就是多个作为因子的先验概率P(θ)P(\theta)P(θ)。或者,也可以反过来,认为MLE是把先验概率P(θ)P(\theta)P(θ)认为等于1,即认为θ\thetaθ是均匀分布。


    如果有说错的或者没说清楚的地方,欢迎留言指教!如果您更好的见解,也欢迎留言交流!
    谢谢阅读!
    作者: nebulaf91

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  • 后验概率

    千次阅读 2018-07-10 19:55:43
    (一)后验概率 设A的先验概率为P(A),假设由A得到B的概率为P(B|A),那么由B再重新修正A,得到的就是A的后验概率P(A|B)。从上可知,不论是先验概率还是后验概率,我们所讨论的对象都是A,从未变过。 正所谓...

    (一)后验概率

            设A的先验概率为PA),假设由A得到B的概率为PB|A),那么由B再重新修正A,得到的就是A的后验概率PA|B)。从上可知,不论是先验概率还是后验概率,我们所讨论的对象都是A,从未变过。

            正所谓:后验概率是为了修正先验概率,即在得到结果B的信息后重新修正“原因A”。

    (二)后验概率求解

            大家应该都知道,利用贝叶斯公式求解后验概率,即


         这正是我们常说的:利用先验概率P(A)和条件概率PB|A求解后验概率。


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  • 贝叶斯公式的理解(先验概率/后验概率

    万次阅读 多人点赞 2019-06-22 22:00:35
    原文:贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率) 前言  以前在许学习贝叶斯方法的时候一直不得要领,什么先验概率,什么后验概率,完全是跟想象脱节的东西,今天在听喜马拉雅的音频的时候突然领悟到,贝叶斯老人家当时...

    原文:贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率)

    前言

      以前在许学习贝叶斯方法的时候一直不得要领,什么先验概率,什么后验概率,完全是跟想象脱节的东西,今天在听喜马拉雅的音频的时候突然领悟到,贝叶斯老人家当时想到这么一种理论前提可能也是基于一种人的直觉.

    下面的定义摘自百度百科:

    先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.

    后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".

     

    举个栗子

      首先我想问一个问题,桌子上如果有一块肉喝一瓶醋,你如果吃了一块肉,然后你觉得是酸的,那你觉得肉里加了醋的概率有多大?你说:80%可能性加了醋.OK,你已经进行了一次后验概率的猜测.没错,就这么简单.

     

    形式化:

      我们设A为加了醋的概率,B为吃了之后是酸的概率.C为肉变质的概率

    思考思考再思考

      那么先验概率在这个公式中有没有出现呢?有,P(A)就是一种先验概率.

      那么什么是P(B|A)呢? 类条件概率.

      那么P(B|A)为什么叫类条件概率呢?马上解释.

      在写这个随笔之时,我脑子中又有一种构想,所谓的后验概率,是一种果因概率,即在一个结果已经发生的条件下,可能是其中某一个原因造成的概率有多大.这里引用一段"概率论与数理统计"[2]中关于贝叶斯公式的解释:

    那么这个P(原因1导致结果)和P(结果|原因1)之间到底有什么联系呢?让我们举一个图像识别的例子

    再举个栗子

      假如给你一些图片,这些图片中有的图上有动物的角,这些图片占了1/10(即先验概率),且已知在有角的条件下是犀牛的概率是0.8(类条件概率1,注意这个概率互补的概率是有角条件下不是犀牛的概率),已知在无角条件下是犀牛概率的是0.05(类条件概率2),现在拿起一张图,发现是一张犀牛的图,那么这张图上带角的概率有多大(求后验概率)

     

    由图中公式可知P(图片上由动物的角|是犀牛) = 0.8*0.1/(0.8*0.1+0.05*0.9)=0.64

      可以看到P(图片上由动物的角且是犀牛)=0.08与P(是犀牛|图片上由动物的角)=0.8之间差别非常大.

      再通过比较可以发现,分母中的类条件概率实际上把一个完整的问题集合S通过特征进行了划分,划分成S1/S2/S3...,拿我刚刚提出的所谓果因概率来讨论,类条件概率中的类指的是把造成结果的所有原因一(yi) 一(yi)进行列举,分别讨论.

    总结:

    我想之所以贝叶斯方法在机器学习中如此重要,就是因为人们希望机器人能像人那样思考,而很多问题是需要计算机在已知条件下做出最佳决策的决策,而贝叶斯公式就是对人脑在已知条件下做出直觉判断的一种数学表示.

    参考:

    数学之美---先验概率与后验概率、贝叶斯区别与联系

    先验概率,后验概率

     

     

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  • 1.贝叶斯法则 机器学习的任务:在给定训练数据D时,确定假设空间H中的最佳假设。 最佳假设:一种方法是把它定义为在给定数据D以及H...2.先验概率和后验概率 用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被
    1.贝叶斯法则

    机器学习的任务:在给定训练数据D时,确定假设空间H中的最佳假设。

    最佳假设:一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法,基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。

    2.先验概率和后验概率

    用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被称为h的先验概率。先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识如果没有这一先验知识,可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。类似地,P(D)表示训练数据D的先验概率,P(D|h)表示假设h成立时D的概率。机器学习中,我们关心的是P(h|D),即给定D时h的成立的概率,称为h的后验概率。

    3.贝叶斯公式

    贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法

    p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D)

    P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长,随着P(D)的增长而减少,即如果D独立于h时被观察到的可能性越大,那么D对h的支持度越小。

    4.极大后验假设

    学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h,h被称为极大后验假设(MAP)确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率,计算式如下:

    h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)

    最后一步,去掉了P(D),因为它是不依赖于h的常量。

    5.极大似然假设

    在某些情况下,可假定H中每个假设有相同的先验概率,这样式子可以进一步简化,只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设。

    h_ml = argmax p(D|h)  h属于集合H

    P(D|h)常被称为给定h时数据D的似然度,而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然假设。

    6.举例

    考虑一个医疗诊断问题,有两种可能的假设:(1)病人有癌症。(2)病人无癌症。样本数据来自某化验测试,它也有两种可能的结果:阳性和阴性。假设我们已经有先验知识:在所有人口中只有0.008的人患病。此外,化验测试对有病的患者有98%的可能返回阳性结果,对无病患者有97%的可能返回阴性结果。

    上面的数据可以用以下概率式子表示:

    P(cancer)=0.008,P(无cancer)=0.992

    P(阳性|cancer)=0.98,P(阴性|cancer)=0.02

    P(阳性|无cancer)=0.03,P(阴性|无cancer)=0.97

    假设现在有一个新病人,化验测试返回阳性,是否将病人断定为有癌症呢?我们可以来计算极大后验假设:

    P(阳性|cancer)p(cancer)=0.98*0.008 = 0.0078

    P(阳性|无cancer)*p(无cancer)=0.03*0.992 = 0.0298

    因此,应该判断为无癌症。

    确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1:
    P(canner|+)=0.0078/(0.0078+0.0298)=0.21
    P(cancer|-)=0.79

    贝叶斯推理的结果很大程度上依赖于先验概率,另外不是完全接受或拒绝假设,只是在观察到较多的数据后增大或减小了假设的可能性。

    贝叶斯分类具有如下特点:

    (1)贝叶斯分类并不把一个对象绝对地指派给某一类,而是通过计算得出属于某一类的概率,具有最大概率的类便是该对象所属的类;

    (2)一般情况下在贝叶斯分类中所有的属性都潜在地起作用,即并不是一个或几个属性决定分类,而是所有的属性都参与分类;

    (3) 贝叶斯分类对象的属性可以是离散的、连续的,也可以是混合的。

    贝叶斯定理给出了最小化误差的最优解决方法,可用于分类和预测。理论上,它看起来很完美,但在实际中,它并不能直接利用,它需要知道证据的确切分布概率,而实际上我们并不能确切的给出证据的分布概率。因此我们在很多分类方法中都会作出某种假设以逼近贝叶斯定理的要求。
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  • 先验概率与后验概率、贝叶斯区别与联系

    万次阅读 多人点赞 2018-07-05 17:25:18
    先验概率和后验概率 教科书上的解释总是太绕了。其实举个例子大家就明白这两个东西了。 假设我们出门堵车的可能因素有两个(就是假设而已,别当真):车辆太多和交通事故。 堵车的概率就是先验概率。 那么如果...
  • 2、后验概率 事情已经发生了,事情发生可能有很多原因,判断事情发生时由哪个原因引起的概率。 比如今天你没去学校,原因有两个,可能是生病了,也可能是自行车坏了。然后上课时老师发现你没来。计算生病了没来学校...
  • 先验概率/后验概率

    2018-05-22 17:48:17
    https://www.cnblogs.com/yemanxiaozu/p/7680761.html贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率)前言 以前在许学习贝叶斯方法的时候一直不得要领,什么先验概率,什么后验概率,完全是跟想象脱节的东西,今天在听...
  • 概率、先验概率、后验概率

    千次阅读 2015-01-28 14:17:41
    今天看了 Larry Wasserman写的 All of Statistics中的第一章,第一章主要讲概率,其中最主要的就是贝叶斯公式。要了解贝叶斯公式,就得知道全概率公式: 通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们...后验概率

空空如也

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后验概率