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  • 哈密顿回路

    2019-08-13 08:23:57
    哈密顿图(哈密尔顿图)(英语:...在图论中是指含有哈密顿回路的图,闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路(Hamiltonian cycle),含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径(Hamiltonian path)。 由来 天文...

    哈密顿图(哈密尔顿图)(英语:Hamiltonian graph,或Traceable graph)是一个无向图,由天文学家哈密顿提出,由指定的起点前往指定的终点,途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图,闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路(Hamiltonian cycle),含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径(Hamiltonian path)。

    由来

     

    哈密顿回路

    天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出,在一个有多个城市的地图网络中,寻找一条从给定的起点到给定的终点沿 途恰好经过所有其他城市一次的路径。

    这个问题和著名的七桥问题的不同之处在于,过桥只需要确定起点,而不用确定终点。哈密顿问题寻找一条从给定的起点到给定的终点沿 途恰好经过所有其他城市一次的路径

    算法

    哈密顿路径问题在上世纪七十年代初,终于被证明是“NP完全”的。据说具有这样性质的问题,难于找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络,利用现有最好的算法和计算机也需要比较荒唐的时间(比如几百年)才能确定其是否存在一条这样的路径。

    从图中的任意一点出发,路途中经过图中每一个结点当且仅当一次,则成为哈密顿回路。

    要满足两个条件:

    ⒈封闭的环

    ⒉是一个连通图,且图中任意两点可达

    经过图(有向图或无向图)中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。

    经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。

    具有哈密顿回路的图称为哈密顿图,具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。

    平凡图是哈密顿图。

    生成下一个结点,代码如下:

    void NextValue(int k) {
    //X(l),…,X(k-1)是一条有k-l个不同结点的路径。若X(k)=0,则表示再无结
    //点可分配给X(k)。若还有与X(1),…,X(k-1)不同且与X(k-1)有边相连结的
    //结点则将其中标数最高的结点置于X(k)。若k=n,则还需与X(1)相连结。
    int n,X[n];bool Graph[n][n]; // n、X[n]定义成全局变量
    int k,j;
    while(1) {
    X[k]=(x[k] + 1) mod (m+1) //下一个结点
    if(X[k]==0) { return;}
    if(Graph[X[k-1]],X[k]) { //有边相连吗
    for(j=1;j<=k-1;++j) { //检查与前k-1个结点是否相同
    if(X[j]==X[k]) break; //有相同结点,出此循环
    };//for
    if(j==k) { //若为真,则是一个不同结点
    if((k<n) or (k==n and Graph[X[n]],[1] ) return;
    };//if
    };//if
    }//while
    }//NextValue

    使用过程NextValue和将递归回溯算法细化得到算法Hamiltonian。此算法可找出所有的哈密顿环。

     

    找所有的哈密顿环,代码如下:

    void Hamiltonian(int k) {
    //这是找出图G中所有哈密顿环的递归算法。图G用它的布尔邻接矩阵
    //Graph(1..n,1..n)表示。每个环都从结点 1开始。
    int X[n]; //X[n]定义成全局变量
    int k,n;
    while(1) { //生成X(k)的值
    NextValue(k); //下一个合法结点分配给X(k)
    if(x[k]==0) return;
    if(k==) { print(X,’1’);} //打印一个环
    else { Hamiltonian(k+1)}
    //if
    }//repeat
    }//Hamiltonian

     这个过程首先初始化邻接矩阵Graph(l..n,l..n),然后置X(2:n)=0,X(l)=l,再执行Hamiltonian(2)

     

     

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  • 哈密顿回路 1.哈密顿回路 图G的一个回路,该回路除了经过初始结点两次以外,恰好经过每个结点一次,则称此回路为哈密顿回路哈密顿回路中每个结点都为偶结点且入度和出度均为1 2.哈密顿路径 一条路径上每个节点仅...

    哈密顿回路

    1.哈密顿回路

    图G的一个回路,该回路除了经过初始结点两次以外,恰好经过每个结点一次,则称此回路为哈密顿回路。哈密顿回路中每个结点都为偶结点且入度和出度均为1

    2.哈密顿路径

    一条路径上每个节点仅经过一次的路径称为哈密顿路径

    3.哈密顿通路

    含有图G所有节点的哈密顿路径称为哈密顿通路

    4.哈密顿图

    含有哈密顿回路的图

    竞赛图

    简介

    图G是一个有向图,其中每对不同的顶点通过单个有向边连接,即每对顶点之间都有一条边相连,那么图G称为竞赛图,含n个节点的竞赛图称为n阶竞赛图

    性质

    1. n(n>2)阶竞赛图一定含有哈密顿路径
    2. 竞赛图存在哈密顿回路的充要条件是强连通

    构造哈密顿回路

    狄拉克定理

    1.任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径。即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S。从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上

    2.若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路

    3.若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, …, vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 ,即形成了一个回路

    4.到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了。如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻。那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径。再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来。接着回到路径2

    时间复杂度

    由于每一轮当中至少有一个节点被加入到路径S -> T中,所以总的轮数肯定不超过n轮,所以时间复杂度为O(n2).空间上由于边数非常多,所以采用邻接矩阵来存储比较适合

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  • 最短哈密顿回路

    2020-05-18 09:01:48
    最短哈密顿回路 算法的实现,我就是用这个的,很完善
  • 哈密顿图 哈密顿回路 哈密顿通路(Hamilton)

    万次阅读 多人点赞 2018-07-30 10:33:19
     哈密顿图:图G的一个回路,若它通过图的每一个节点一次,且仅一次,就是哈密顿回路.存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.哈密顿图就是从一点出发,经过所有的必须且只能一次,最终回到起点的路径.图中有的边可以不经过,但是...

    概念:

      哈密顿图:图G的一个回路,若它通过图的每一个节点一次,且仅一次,就是哈密顿回路.存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.哈密顿图就是从一点出发,经过所有的必须且只能一次,最终回到起点的路径.图中有的边可以不经过,但是不会有边被经过两次.

      与欧拉图的区别:欧拉图讨论的实际上是图上关于边的可行便利问题,而哈密顿图的要求与点有关.

    判定:

    一:Dirac定理(充分条件)

      设一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于N/2,则哈密顿回路一定存在.(N/2指的是⌈N/2⌉,向上取整)

    二:基本的必要条件

      设图G=<V, E>是哈密顿图,则对于v的任意一个非空子集S,若以|S|表示S中元素的数目,G-S表示G中删除了S中的点以及这些点所关联的边后得到的子图,则W(G-S)<=|S|成立.其中W(G-S)是G-S中联通分支数.

    三:竞赛图(哈密顿通路)

      N(N>=2)阶竞赛图一点存在哈密顿通路.

    算法:

    一:在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路

    过程:

      1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.

      2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.

      3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 ,即形成了一个回路.

      4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.

    证明:

      跟据鸽巢定理,既然与S和T相邻的点都在路径上,它们分布的范围只有v1,v2---,vk这k个点,k<=N-2,跟据哈密顿回路的第一个判断条件,d(S)+d(T)>=N,那么v1,v2,---vk这k个点中一定有至少2个点同时与S和T相连,根据鸽巢定理,肯定存在一个与S相邻的点vi和一个与T相邻的点vj,满足j=i+1

    伪代码:

      设s为哈密顿回路的起始点,t为哈密顿回路中终点s之前的点.ans[]为最终的哈密顿回路.倒置的意思指的是将数组对应的区间中数字的排列顺序反向.

      1:初始化,令s = 1,t为s的任意一个邻接点.

      2:如果ans[]中元素的个数小于n,则从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]的尾部,并且t=v,并继续扩展,如无法扩展进入步骤3.

      3:将当前得到的ans[]倒置,s和t互换,从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]尾部,并且t=v,并继续扩展.如无法扩展进入步骤4.

      4:如果当前s和t相邻,进入步骤5.否则,遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与t相连并且ans[i +1]与s相连,将从ans[i + 1]到t部分的ans[]倒置,t=ans[i +1],进如步骤5.

      5:如果当前ans[]中元素的个数等于n,算法结束,ans[]中保存了哈密顿回路(可看情况是否加入点s).否则,如果s与t连通,但是ans[]中的元素的个数小于n,则遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一点(j)相连,则令s=ans[i - 1],t = j,将ans[]中s到ans[i - 1]部分的ans[]倒置,将ans[]中的ans[i]到t的部分倒置,将点j加入到ans[]的尾部,转步骤2.

    时间复杂度:

      如果说每次到步骤5算一轮的话,那么由于每一轮当中至少有一个节点被加入到路径S -> T中,所以总的轮数肯定不超过n轮,所以时间复杂度为O(n^2).空间上由于边数非常多,所以采用邻接矩阵来存储比较适合.

    附上模板:

    
    const int maxN = 100;
    
    inline void reverse(int arv[maxN + 7], int s, int t){//将数组anv从下标s到t的部分的顺序反向
        int temp;
        while(s  < t){
            temp = arv[s];
            arv[s] = arv[t];
            arv[t] = temp;
            s++;
            t--;
        }
    }
    
    void Hamilton(int ans[maxN + 7], bool map[maxN + 7][maxN + 7], int n){
        int s = 1, t;//初始化取s为1号点
        int ansi = 2;
        int i, j;
        int w;
        int temp;
        bool visit[maxN + 7] = {false};
        for(i = 1; i <= n; i++) if(map[s][i]) break;
        t = i;//取任意邻接与s的点为t
        visit[s] = visit[t] = true;
        ans[0] = s;
        ans[1] = t;
        while(true){
            while(true){//从t向外扩展
                for(i = 1; i <= n; i++){
                    if(map[t][i] && !visit[i]){
                        ans[ansi++] = i;
                        visit[i] = true;
                        t = i;
                        break;
                    }
                }
                if(i > n) break;
            }
            w = ansi - 1;//将当前得到的序列倒置,s和t互换,从t继续扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
            i = 0;
            reverse(ans, i, w);
            temp = s;
            s = t;
            t = temp;
            while(true){//从新的t继续向外扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
                for(i = 1; i <= n; i++){
                    if(map[t][i] && !visit[i]){
                        ans[ansi++] = i;
                        visit[i] = true;
                        t = i;
                        break;
                    }
                }
                if(i > n) break;    
            }
            if(!map[s][t]){//如果s和t不相邻,进行调整
                for(i = 1; i < ansi - 2; i++)//取序列中的一点i,使得ans[i]与t相连,并且ans[i+1]与s相连
                    if(map[ans[i]][t] && map[s][ans[i + 1]])break;
                w = ansi - 1;
                i++;
                t = ans[i];
                reverse(ans, i, w);//将从ans[i +1]到t部分的ans[]倒置
            }//此时s和t相连
            if(ansi == n) return;//如果当前序列包含n个元素,算法结束
            for(j = 1; j <= n; j++){//当前序列中元素的个数小于n,寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一个点相连
                if(visit[j]) continue;
                for(i = 1; i < ansi - 2; i++)if(map[ans[i]][j])break;
                    if(map[ans[i]][j]) break;
            }
            s = ans[i - 1];
            t = j;//将新找到的点j赋给t
            reverse(ans, 0, i - 1);//将ans[]中s到ans[i-1]的部分倒置
            reverse(ans, i, ansi - 1);//将ans[]中ans[i]到t的部分倒置
            ans[ansi++] = j;//将点j加入到ans[]尾部
            visit[j] = true;
        }
    }

    在整个构造过程中,如果说每次到步骤5算做一轮的话,那么每一轮当中至少有一个节点被加入到路径S->T中,所以总的轮数肯定不超过n轮,实际上,不难看出该算法的复杂度是O(n^2),因此总共拓展了n轮路径,每步拓展最多枚举所有的节点。

    二:N(N>=2)阶竞赛图构造哈密顿通路

    N阶竞赛图:含有N个顶点的有向图,且每对顶点之间都有一条边.对于N阶竞赛图一定存在哈密顿通路.

    数学归纳法证明竞赛图在n >= 2时必存在哈密顿路:

    (1)n = 2时结论显然成立;

    (2)假设n = k时,结论也成立,哈密顿路为V1, V2, V3, ..., Vk;

      设当n = k+1时,第k + 1个节点为V(k+1),考虑到V(k+1)与Vi(1<=i<=k)的连通情况,可以分为以下两种情况.

        1:Vk与V(k+1)两点之间的弧为<Vk, V(k+1)>,则可构造哈密顿路径V1, V2,…, Vk, V(k+1).

        2:Vk与V(k+1)两点之间的弧为<V(k+1),Vk>,则从后往前寻找第一个出现的Vi(i=k-1,i>=1,--i),满足Vi与V(k+1)之间的弧为<Vi,V(k+1)>,则构造哈密顿路径V1, V2, …, Vi, V(k+1), V(i+1), …, V(k).若没找到满足条件的Vi,则说明对于所有的Vi(1<=i<=k)到V(k+1)的弧为<V(k+1),V(i)>,则构造哈密顿路径V(k+1), V1, V2, …, Vk.

    证毕.

    竞赛图构造哈密顿路时的算法同以上证明过程.

     

    用图来说明:

    假设此时已经存在路径V1 -> V2 -> V3 -> V4,这四个点与V5的连通情况有16种,给定由0/1组成的四个数,第i个数为0代表存在弧<V5,Vi>,反之为1,表示存在弧<Vi,V5>

     

     

     

    sign[]={0, 0, 0, 0}.

    很显然属于第二种情况,从后往前寻找不到1,即且不存在弧<Vi, V5>.

    则构造哈密顿路:V5 -> V1 -> V2 -> V3 -> V4.

     

     

    sign[]={0, 0, 0, 1}.

    属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

    则构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.

     

     

     

    sign[]={0, 0, 1, 0}.

    属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

    构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5 -> V4.

     

     

     

    sign[]={0, 0, 1, 1}.

    属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

    则构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.

     

     

     

    sign[]={0, 1, 0, 0}.

    属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为2.

    构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V5 -> V3-> V4.

     

     

     

    sign[]={0, 1, 0, 1}.

    属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

    则构造哈密顿路:V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.(就不举末尾为1的栗子了~~)

     

     

     

    sign[]={1, 0, 1, 0}.

    属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

    构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5-> V4.

     

     

     

    sign[]={1, 1, 1, 0}.

    属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

    构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5-> V4.

     

     

     

    (还是举一个吧~~~)

    sign[]={1, 1, 1, 1}.

    同样最后一位为1,代表存在<Vi, V5>且i=4(最后一位)

    则构造哈密顿路:V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.以上是当N=4时(N+1=5),用图来阐述算法的过程.

    注意从后往前找不是找这个点编号之前的点,即不是按照编号来的,而是按照当前哈密顿序列从后往前找的.举个栗子:

    4

    2 1

    1 3

    3 2

    4 1

    4 2

    4 3

    第一步ans={1}

    第二步ans={2,1}

    第三步sign={0, 1}(map[3][2] = 0,map[3][1] = 1,当前序列为2,1) ,而不是{1, 0}(1,2),因为存在弧<V1, V3>和<V3, V2>.这里需要注意下.

    代码:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cstdlib>
    #include <algorithm>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <vector>
    
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int maxN = 200;
    
    //The arv[] length is len, insert key befor arv[index] 
    inline void Insert(int arv[], int &len, int index, int key){ 
        if(index > len) index = len;
        len++;
        for(int i = len - 1; i >= 0; --i){
            if(i != index && i)arv[i] = arv[i - 1];
            else{arv[i] = key; return;}
        }
    }
    
    void Hamilton(int ans[maxN + 7], int map[maxN + 7][maxN + 7], int n){
        int ansi = 1;
        ans[ansi++] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){//第一种情况,直接把当前点添加到序列末尾
            if(map[i][ans[ansi - 1]] == 1)
                ans[ansi++] = i;
            else{
                int flag = 0;
                for(int j = ansi - 2; j > 0; --j){//在当前序列中,从后往前找到第一个满足条件的点j,使得存在<Vj,Vi>且<Vi, Vj+1>.
                    if(map[i][ans[j]] == 1){//找到后把该点插入到序列的第j + 1个点前.
                        flag = 1;
                        Insert(ans, ansi, j + 1, i);
                        break;
                    }
                }
                if(!flag)Insert(ans, ansi, 1, i);//否则说明所有点都邻接自点i,则把该点直接插入到序列首端.
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        //freopen("input.txt", "r", stdin);
        int t;
        scanf("%d", &t);
        while(t--){
            int N;
            scanf("%d", &N);
            int M = N * (N - 1) / 2;
            int map[maxN + 7][maxN + 7] = {0};
            for(int i = 0; i < M; i++){
                int u, v;
                scanf("%d%d", &u, &v);
                //map[i][j]为1说明j < i,且存在弧<Vi, Vj>,因为插入时只考虑该点之前的所有点的位置,与之后的点没有关系.所以只注重该点与其之前的点的连通情况.
                if(u < v)map[v][u] = 1;
            }
            int ans[maxN + 7] = {0};
            Hamilton(ans, map, N);
            for(int i = 1; i <= N; i++)
                printf(i == 1 ? "%d":" %d", ans[i]);
            printf("\n");
        }
        return 0;
    }
    void Hamilton(int ans[maxN + 7], int map[maxN + 7][maxN + 7], int n){
        int nxt[maxN + 7];
        memset(nxt, -1, sizeof(nxt));
        int head = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            if(map[i][head]){
                nxt[i] = head;
                head = i;
            }else{
                int pre = head, pos = nxt[head];
                while(pos != -1 && !map[i][pos]){
                    pre = pos;
                    pos = nxt[pre];
                }
                nxt[pre] = i;
                nxt[i] = pos;
            }
        }
        int cnt = 0;
        for(int i = head; i != -1; i = nxt[i])
            ans[++cnt] = i;
    }
    void Hamitton(bool reach[N + 7][N + 7], int n)  
    {    
        vector <int> ans; 
        ans.push_back(1);  
        for(int i=2;i <= n;i++)  
        {  
            bool cont = false;  
            for(int j=0;j<(int)ans.size()-1;j++)  
                if(reach[ ans[j] ][i] && reach[i][ ans[j+1] ])  
                {  
                    ans.insert(ans.begin()+j+1,i);  
                    cont = true;  
                    break;  
                }  
            if(cont)  
                continue;  
            if(reach[ ans.back() ][i])  
                ans.push_back(i);  
            else  
                ans.insert(ans.begin(),i);  
        } 
        for(int i=0;i<n;i++)  
                       printf("%d%c",ans[i],i==n-1?'\n':' ');   
    }

     

    展开全文
  • 该程序用C语言编写(在VC++环境下运行即可),使用贪心算法求得最短哈密顿回路的近似解,简单易懂。 该程序用C语言编写(在VC++环境下运行即可),使用贪心算法求得最短哈密顿回路的近似解,简单易懂。
  • java实现哈密顿回路问题

    万次阅读 多人点赞 2019-07-22 21:46:29
    1 问题描述 什么是哈密顿回路? 引用自百度百科: ...在图论中是指含有哈密顿回路的图,闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路(Hamiltonian cycle),含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径。 现在本文要解...

    1 问题描述
    什么是哈密顿回路?

    引用自百度百科:

    哈密顿图(哈密尔顿图)(英语:Hamiltonian path,或Traceable path)是一个无向图,由天文学家哈密顿提出,由指定的起点前往指定的终点,途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图,闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路(Hamiltonian cycle),含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径。

    现在本文要解决的问题:给定一个图,判断这个图是否包含哈密顿回路?如果包含,输出其中一条哈密顿回路,如果不包含,则无任何输出。

    2 解决方案
    本文寻找哈密顿回路,运用了深度优先搜索方法,即递归和回溯法思想。

    下面代码所用图数据如下:

    在这里插入图片描述

    package com.liuzhen.chapter12;
    
    public class HamiltonCircuit {
        /*
         * 参数adjMatrix:给定图的邻接矩阵,其中值为1表示两个顶点可以相通,值为-1表示两个顶点不能相通
         */
        public void getHamiltonCircuit(int[][] adjMatrix) {
            boolean[] used = new boolean[adjMatrix.length];       //用于标记图中顶点是否被访问
            int[] path = new int[adjMatrix.length];       //记录哈密顿回路路径
            for(int i = 0;i < adjMatrix.length;i++) {
                used[i] = false;     //初始化,所有顶点均未被遍历
                path[i] = -1;        //初始化,未选中起点及到达任何顶点
            }
            used[0] = true;          //表示从第1个顶点开始遍历
            path[0] = 0;             //表示哈密顿回路起点为第0个顶点
            dfs(adjMatrix, path, used, 1);     //从第0个顶点开始进行深度优先遍历,如果存在哈密顿回路,输出一条回路,否则无输出
        }
        /*
         * 参数step:当前行走的步数,即已经遍历顶点的个数
         */
        public boolean dfs(int[][] adjMatrix, int[] path, boolean[] used, int step) {
            if(step == adjMatrix.length) {     //当已经遍历完图中所有顶点
                if(adjMatrix[path[step - 1]][0] == 1) { //最后一步到达的顶点能够回到起点
                    for(int i = 0;i < path.length;i++)
                        System.out.print(((char)(path[i] + 'a'))+"——>");
                    System.out.print(((char)(path[0] + 'a')));
                    System.out.println();
                    return true;
                }
                return false;
            } else {
                for(int i = 0;i < adjMatrix.length;i++) {
                    if(!used[i] && adjMatrix[path[step - 1]][i] == 1) {
                        used[i] = true;
                        path[step] = i;
                        if(dfs(adjMatrix, path, used, step + 1))
                            return true;
                        else {
                            used[i] = false;    //进行回溯处理
                            path[step] = -1;
                        }
                    }
                }
            }
            return false;
        }
        
        public static void main(String[] args) {
            HamiltonCircuit test = new HamiltonCircuit();
            int[][] adjMatrix = {{-1,1,1,1,-1,-1},
                    {1,-1,1,-1,-1,1},
                    {1,1,-1,1,1,-1},
                    {1,-1,1,-1,1,-1},
                    {-1,-1,1,1,-1,1},
                    {-1,1,-1,-1,1,-1}};
            test.getHamiltonCircuit(adjMatrix);
        }
    }
    

    运行结果:

    a——>b——>f——>e——>c——>d——>a
    
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