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  • 对称矩阵

    2021-01-07 09:59:52
    对称矩阵 题目描述 输入一个N维矩阵,判断是否对称。 输入 输入第一行包括一个数:N(1<=N<=100),表示矩阵的维数。 接下来的N行,每行包括N个数,表示N*N矩阵的元素。 输出 可能有多组测试数据,对于每组数据...

    对称矩阵

    题目描述

    输入一个N维矩阵,判断是否对称。

    输入

    输入第一行包括一个数:N(1<=N<=100),表示矩阵的维数。
    接下来的N行,每行包括N个数,表示N*N矩阵的元素。

    输出

    可能有多组测试数据,对于每组数据,
    输出"Yes!”表示矩阵为对称矩阵。
    输出"No!”表示矩阵不是对称矩阵。

    样例输入

    1
    68 
    3
    1 70 25 
    70 79 59 
    25 59 63 
    3
    6 46 82 
    28 62 92 
    96 43 28 
    

    样例输出

    Yes!
    Yes!
    No!
    

    Code

    package Week2;
    import java.util.Scanner;
    
    public class Q1 {
        //输入一个N维矩阵,判断是否对称。
        //用一个二维数组判断
        public static void main(String[] args) {
            int N, sum;
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            while (sc.hasNext()) {
                sum = 0;
                N = sc.nextInt();
                int[][] arr = new int[N][N];
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    for (int j = 0; j < N; j++) {
                        arr[i][j] = sc.nextInt();
                    }
                }
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                    for (int j = 0; j < N; j++) {
                        if (arr[i][j] == arr[j][i]) {
                            sum++;
                            //System.out.println("i,j,sum"+i+j+sum);
                        }
                    }
                }
                    if (sum == N * N) {
    
                        System.out.println("Yes!");
                    } else {
                        System.out.println("No!");
                    }
                    //System.out.println(sum);
    
    
            }
    
        }
    }
    
    
    
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  • 将非正定对称矩阵转换为正定对称矩阵(即可逆矩阵)的函数。 一种特殊情况可能是协方差矩阵的求逆。 矩阵的特征分解用于向特征值 <= 0 添加一个小值。
  • 对称矩阵与实对称矩阵

    千次阅读 2019-09-24 11:03:09
    对称矩阵(Symmetric Matrices):是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。 [1] 在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。 实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵...

    对称矩阵(Symmetric Matrices):是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。 [1] 在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。
    实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。
    两个概念的不同之处在于:实对称矩阵里的元素全是实数,而对称矩阵只说明A^T=A,没说明矩阵中的元素是实数,矩阵中的元素不仅可以是实数,也可以是虚数,甚至元素本身就是一个矩阵或其它更一般的数学对象,实对称矩阵就说明了矩阵中的元素要是实数。

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  • 提出一个复矩阵是对称酉矩阵的充要条件,并用逻辑上类似的方法证明一个类似于复对称正规矩阵的复斜对称正规矩阵的分解,最后对复斜对称矩阵得到了类似于复对称矩阵Takagi分解的结论。
  • disp('对称矩阵:是') else; disp('对称矩阵:不是') end d = eig(M);%求矩阵baiA的全部特征值,构成向量E if all(d) > 0 disp('正定对称矩阵:是') else; disp('正定对称矩阵:不是') end #运行结果 ...
    M = input('请输入一个矩阵用来判断:')
    
    if M==M'
         disp('对称矩阵:是')
     else;
        disp('对称矩阵:不是')
    end
    
    d = eig(M);%求矩阵baiA的全部特征值,构成向量E
    if all(d) > 0
        disp('正定对称矩阵:是')
         else;
        disp('正定对称矩阵:不是')
    end
    

    #运行结果
    在这里插入图片描述

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  • 文章目录实对称矩阵对称变换实对称矩阵的正交对角化参考 本节目的: 讨论一类必可相似对角化的矩阵: 实对称矩阵. 证明: 若 AAA 是 nnn 阶实对称矩阵, 则 (1) AAA 的特征值都是实数. (2) 互异特征值的特征向量必然...

    1. 欧氏空间01——内积与欧氏空间、Cauchy-Schwarz不等式、度量矩阵
    2. 欧式空间02——标椎正交基、Schmidt 正交化、正交矩阵、欧氏空间的同构、QR分解
    3. 欧式空间03——正交变换、正交相似标准形
    4. 欧式空间04——正交补、正交投影、内射影
    5. 欧氏空间05——对称变换和对称矩阵、实对称矩阵的标准形、正交相似、正交相似对角化

    本节目的:

    讨论一类必可相似对角化的矩阵: 实对称矩阵.

    证明: 若 AAnn 阶实对称矩阵, 则

    • (1) AA 的特征值都是实数.
    • (2) 互异特征值的特征向量必然彼此正交.
    • (3) 存在 nn 阶正交矩阵 CC 使得 C1AC=CTACC^{-1} A C=C^{T} A C 为对角阵.

    给出实对称矩阵正交对角化的方法.

    实对称矩阵

    复数及其性质: i2=1,i:\quad \mathbf{i}^{2}=-1, \mathbf{i}: 虚单位 z=a+bi,a:z=\boldsymbol{a}+b \mathbf{i}, \boldsymbol{a}: 实部, b:b: 虚部

    z1=a1+b1i,,zn=an+bniz_{1}=a_{1}+b_{1} \mathbf{i}, \cdots, z_{n}=a_{n}+b_{n} \mathbf{i}

    复数运算: 加法, 乘法
    z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i z_{1}+z_{2}=\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(b_{1}+b_{2}\right) \mathbf{i}, \quad z_{1} \cdot z_{2}=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) \mathbf{i}
    复共轭: z1=a1b1i\overline{z_{1}}=a_{1}-b_{1} \mathbf{i},
    z1++zn=z1++zn \overline{z_{1}+\cdots+z_{n}}=\overline{z_{1}}+\cdots+\overline{z_{n}}
    z1zn=z1zn \overline{z_{1} \cdots \cdots z_{n}}=\overline{z_{1}} \cdots \cdots \overline{z_{n}}

    :
     z1=z1z1=a12+b120z1z1=0z1=0z1z1++znzn=0z1==zn=0 \begin{array}{ll}\text { }\left|z_{1}\right|=\sqrt{z_{1} \overline{z_{1}}}=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} \geq 0 & \overline{z_{1}} z_{1}=0 \Leftrightarrow z_{1}=0 \\ \overline{z_{1}} \cdot z_{1}+\cdots+\overline{z_{n}} \cdot z_{n}=0 \Leftrightarrow z_{1}=\cdots=z_{n}=0\end{array}
    共轭矩阵: 设 A=(aij)m×n,α=(z1,,zn)T,aij,ziC.Aˉ=(aij)m×nA=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, \alpha=\left(z_{1}, \cdots, z_{n}\right)^{T}, a_{i j}, z_{i} \in \mathbb{C} . \bar{A}=\left(\overline{a_{i j}}\right)_{m \times n} 称为 AA共轭矩阵.
     (1) AT=AˉT (2) kA=kˉAˉ (3) AB=AˉBˉ (4) αTα=0α=(0,,0)T 证明: (4) 0=αTα=(z1,,zn)(z1zn)=z1z1++znznz1==zn=0α=(0,,0)T \begin{array}{ll} \text { (1) } \overline{A^{T}}=\bar{A}^{T}\\ \text { (2) } \overline{k A}=\bar{k} \bar{A} \\ \text { (3) } \overline{A B}=\bar{A} \bar{B}\\ \text { (4) } \overline{\alpha^{T}} \alpha=0 \Leftrightarrow \alpha=(0, \cdots, 0)^{T} \\ \text { 证明: (4) } 0=\overline{\alpha^{T}} \alpha=\left(\overline{z_{1}}, \cdots, \overline{z_{n}}\right)\left(\begin{array}{c}z_{1} \\ \vdots \\ z_{n}\end{array}\right)=\overline{z_{1}} z_{1}+\cdots+\overline{z_{n}} z_{n} \Leftrightarrow z_{1}=\cdots=z_{n}=0 \\ \Leftrightarrow \alpha=(0, \cdots, 0)^{T} \end{array}
    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 实对称矩阵的特征值都是实数. λ=λˉ\quad \lambda=\bar{\lambda} ?

    证明: 设 ARn×n,AT=A,α0,Aα=λα.A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{T}=A, \alpha \neq 0, A \alpha=\lambda \alpha .
    Aα=λαAα=λαAˉαˉ=λˉαˉαˉTAˉT=λˉαˉTαˉTA=λˉαˉTαˉTAα=λˉαˉTαλαˉTα=λˉαˉTα 右乘 α(λλˉ)αˉTα=0λ=λˉ.α0αˉTα>0 \begin{array}{lll} A \alpha=\lambda \alpha &\Rightarrow \overline{A \alpha}=\overline{\lambda \alpha} \quad &\Rightarrow \bar{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha} &取共轭\\ &\Rightarrow \bar{\alpha}^{T} \bar{A}^{T}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}^{T} \quad &\Rightarrow \bar{\alpha}^{T} A=\bar{\lambda} \bar{\alpha}^{T} \quad & 取转置 \\ &\Rightarrow \bar{\alpha}^{T} A \alpha=\bar{\lambda} \bar{\alpha}^{T} \alpha & \Rightarrow \lambda \bar{\alpha}^{-T} \alpha=\bar{\lambda} \bar{\alpha}^{T} \alpha & \text { 右乘 } \alpha \\ &\Rightarrow(\lambda-\bar{\lambda}) \bar{\alpha}^{-T} \alpha=0 & \Rightarrow \lambda=\bar{\lambda} . & \alpha \neq 0 \Rightarrow \bar{\alpha}^{T} \alpha>0 \end{array}

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }}. 实对称矩阵 AA 的任一特征子空间都有一组由实向量构成的基.

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{ 引理} }}AA 是实对称矩阵,在 nn 维欧氏空间 RnR^{n} 上定义如下线性变换 :
    σ(α)=Aα,αRn \sigma(\alpha)=A \alpha, \quad \forall \alpha \in R^{n}
    则对任意 α,βRn\alpha, \beta \in R^{n}, 有 (σ(α),β)=(α,σ(β))\quad(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \sigma(\beta)),
     或 β(Aα)=α(Aβ). \text { 或 } \quad \beta^{\prime}(A \alpha)=\alpha^{\prime}(A \beta) .

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交.

    证:设非零实向量 α1,α2\alpha_{1}, \alpha_{2} 分别是实对称矩阵 AA 两个不同特征值 λ1,λ2\lambda_{1}, \lambda_{2} 的特征向量,则
    Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,λ1λ2 A \alpha_{1}=\lambda_{1} \alpha_{1}, A \alpha_{2}=\lambda_{2} \alpha_{2}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \\

    Aα1=λ1α1α1TAT=λ1α1Tα1TA=λ1α1T  α1TAα2=λ1α1Tα2λ2α1Tα2=λ1α1Tα2 右乘 α2(λ1λ2)α1Tα2=0(α1,α2)=α1Tα2=0λ1λ2 \begin{array}{lll} A \alpha_{1}=\lambda_{1} \alpha_{1}& \Rightarrow \alpha_{1}^{T} A^{T}=\lambda_{1} \alpha_{1}^{T} &\Rightarrow \alpha_{1}^{T} A=\lambda_{1} \alpha_{1}^{T} ~~取转置 \\ &\Rightarrow \alpha_{1}^{T} A \alpha_{2}=\lambda_{1} \alpha_{1}^{T} \alpha_{2} &\Rightarrow \lambda_{2} \alpha_{1}^{T} \alpha_{2}=\lambda_{1} \alpha_{1}^{T} \alpha_{2} \quad \text { 右乘 } \alpha_2 \\ &\Rightarrow\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \alpha_{1}^{T} \alpha_{2}=0 &\Rightarrow\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}^{T} \alpha_{2}=0 \\ &&\lambda_{1} \neq \lambda_{2} \end{array}

    此即不同特征值的实特征向量是彼此正交的.

    正交相似

    ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}η1,η2,,ηn\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}nn 维欧氏空间 VV 的标准正交基,从 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}η1,η2,,ηn\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} 的过渡矩阵为正交矩阵Q, 即
    (η1,η2,,ηn)=(ξ1,ξ2,,ξn)Q\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) Q
    φ\varphiVV 的线性变换, φ\varphi 在两个标准正交基下的矩阵分别是 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B},即 φ(ξ1,ξ2,,ξn)=(ξ1,ξ2,,ξn)A\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
    φ(η1,η2,,ηn)=(η1,η2,,ηn)B\varphi\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right)=\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right) \boldsymbol{B}
    B=Q1AQ=QTAQ.\boldsymbol{B}=\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} .

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}A,BA, BRn\mathbb{R} 上 n 阶方阵, 如果存在正交矩阵 Q\boldsymbol{Q},使得 B=Q1AQ=QTAQ\boldsymbol{B}=\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T} \boldsymbol{A Q},则称 AA 正交相似于 BB.

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} R\mathbb{R} 上两个 n\boldsymbol{n} 阶方阵 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 正交相似的充分必要条件是它们为欧氏空间 V\boldsymbol{V} 上同一个线性变换在不同的标准正交基下的矩阵.

    证明: 充分性已证.

    必要性 设 B=Q1AQ=QTAQ\boldsymbol{B}=\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T} \boldsymbol{A Q},

    ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}VV 的一个标准正交基且 φ(ξ1,ξ2,,ξn)=(ξ1,ξ2,,ξn)A\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A,

    (η1,η2,,ηn)=(ξ1,ξ2,,ξn)Q\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) Q, 由于 QQ 是正交矩阵,

    η1,η2,,ηn\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} 也是 VV 的标准正交基 且 φ(η1,η2,,ηn)=(η1,η2,,ηn)B\varphi\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right)=\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}\right) \boldsymbol{B}

    R\mathbb{R} 上的正交相似关系满足:

    (1) 反身性, 即 AA 正交相似于 AA;

    (2) 对称性, 即若 AA 正交相似于 BB, 则 BB 正交相似于 AA;

    (3) 传递性, 即若 AA 正交相似于 BBB\boldsymbol{B} 正交相似于 C\boldsymbol{C};则 AA 正交相似于 C.\boldsymbol{C} .

    对称变换

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 对称变换 :若欧氏空间 Rn\mathbb{R}^{n} 上的线性变换 A\mathcal{A} 满足 (Aα,β)=(α,Aβ),α,βRn.(\mathcal{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathcal{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n} .

    反对称变换 :\quad 若欧氏空间 Rn\mathbb{R}^{n} 上的线性变换 A\mathcal{A} 满足 (Aα,β)=(α,Aβ),α,βRn.(\mathcal{A} \alpha, \beta)=-(\alpha, \mathcal{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n} .

    AA 是实对称矩阵,规定 Rn\mathbb{R}^{n} 上线性变换 A\mathcal{A} 如下: A:αAα,αRn\mathcal{A}: \alpha \mapsto A \alpha, \forall \alpha \in \mathbb{R}^{n}

    A\mathcal{A}Rn\mathbb{R}^{n} 上的对称变换. α,βRn:\quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}:
    (Aα,β)=(Aα,β)=(Aα)Tβ=αTATβ=αTAβ=(α,Aβ)=(α,Aβ) (\mathcal{A} \alpha, \beta)=(A \alpha, \beta)=(A \alpha)^{T} \beta=\alpha^{T} A^{T} \beta=\alpha^{T} A \beta=(\alpha, A \beta)=(\alpha, \mathcal{A} \beta)
    (Aα,β)=(α,Aβ),α,βRnA\Rightarrow(\mathcal{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathcal{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n} \Rightarrow \mathcal{A}Rn\mathbb{R}^{n} 上的对称变换.

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }}φ\varphi 是n 维欧氏空间 VV 的线性变换, 则下列条件等价:
    (1) φ\varphi 是对称变换;
    (2) 存在 VV 的一个标准正交基 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 使得 (φ(ξi),ξj)=(ξi,φ(ξj))(i,j=1,2,,n)\left(\varphi\left(\xi_{i}\right), \xi_{j}\right)=\left(\xi_{i}, \varphi\left(\xi_{j}\right)\right)(i, j=1,2, \cdots, n)
    (3) φ\varphiVV 的一个标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.

    证明 (1)(2)\mathbf{( 1 )} \Rightarrow \mathbf{( 2 )} 由对称变换的定义即得.

    (2)(3)(2) \Rightarrow(3)ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}VV 的一个标准正交基且
    φ(ξ1,ξ2,,ξn)=(ξ1,ξ2,,ξn)A\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A

    A=(aij)n×nA=\left(\mathbf{a}_{i j}\right)_{n \times n}, 则

    (φ(ξi),ξj)=(a1iξ1+a2iξ2++aniξn,ξj)=aji\left(\varphi\left(\xi_{i}\right), \xi_{j}\right)=\left(a_{1 i} \xi_{1}+a_{2 i} \xi_{2}+\cdots+a_{n i} \xi_{n}, \xi_{j}\right)=a_{j i}
    (ξi,φ(ξj))=(ξi,a1jξ1+a2jξ2++anjξn)=aij\left(\xi_{i}, \varphi\left(\xi_{j}\right)\right)=\left(\xi_{i}, a_{1 j} \xi_{1}+a_{2 j} \xi_{2}+\cdots+a_{n j} \xi_{n}\right)=a_{i j}

    所以 aij=aji(i,j=1,2,,n)a_{i j}=a_{j i}(i, j=1,2, \cdots, n),即 A=ATA=A^{\mathrm{T}}.

    (3) \Rightarrow (2) 设 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}VV 的一个标准正交基一
    φ(ξ1,ξ2,,ξn)=(ξ1,ξ2,,ξn)A\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A, 其中 A=AT.A=A^{\mathrm{T}} .


    (φ(ξi),ξj)=(a1iξ1+a2iξ2++amiξn,ξj)=aji\left(\varphi\left(\xi_{i}\right), \xi_{j}\right)=\left(a_{1 i} \xi_{1}+a_{2 i} \xi_{2}+\cdots+a_{m i} \xi_{n}, \xi_{j}\right)=a_{j i}
    (ξi,φ(ξj))=(ξi,a1jξ1+a2jξ2++anjξn)=aij\left(\xi_{i}, \varphi\left(\xi_{j}\right)\right)=\left(\xi_{i}, a_{1 j} \xi_{1}+a_{2 j} \xi_{2}+\cdots+a_{n j} \xi_{n}\right)=a_{i j}

    即得 (φ(ξi),ξj)=(ξi,φ(ξj))(i,j=1,2,,n).\left(\varphi\left(\xi_{i}\right), \xi_{j}\right)=\left(\xi_{i}, \varphi\left(\xi_{j}\right)\right)(i, j=1,2, \cdots, n) .

    (2) \Rightarrow (1) 设 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}VV 的一个标准正交基
    任取 α,βV,α=a1ξ1+a2ξ2++anξn\alpha, \beta \in V, \alpha=a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}+\cdots+a_{n} \xi_{n}
    β=b1ξ1+b2ξ2++bnξn,\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{b}_{1} \xi_{1}+\boldsymbol{b}_{2} \xi_{2}+\cdots+\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{n}} \xi_{\boldsymbol{n}}, \quad
    (φ(α),β)=(a1φ(ξ1)+a2φ(ξ2)++anφ(ξn),b1ξ1+b2ξ2++bnξn)=k=1nl=1nakbl(φ(ξk),ξl) 而 (α,φ(β))=(a1ξ1+a2ξ2++anξn,b1φ(ξ1)+b2φ(ξ2)++bnφ(ξn))=k=1nl=1nakbI(ξk,φ(ξl)) 因地 (φ(α),β)=(α,φ(β)) \begin{array}{l} (\varphi(\alpha), \beta)=\left(a_{1} \varphi\left(\xi_{1}\right)+a_{2} \varphi\left(\xi_{2}\right)+\cdots+a_{n} \varphi\left(\xi_{n}\right), b_{1} \xi_{1}+b_{2} \xi_{2}+\cdots+b_{n} \xi_{n}\right) \\ =\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{k} b_{l}\left(\varphi\left(\xi_{k}\right), \xi_{l}\right) \\ \text { 而 }(\alpha, \varphi(\beta))=\left(a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}+\cdots+a_{n} \xi_{n}, b_{1} \varphi\left(\xi_{1}\right)+b_{2} \varphi\left(\xi_{2}\right)+\cdots+b_{n} \varphi\left(\xi_{n}\right)\right) \\ =\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{k} b_{I}\left(\xi_{k}, \varphi\left(\xi_{l}\right)\right) \\ \text { 因地 }(\varphi(\alpha), \beta)=(\alpha, \varphi(\beta)) \end{array}
    可见, 在取定欧氏空间的一个标准正交基的前提下,

    对称变换和实对称矩阵是一 一对应的

    对称变换的基本性质

    1. nn 维欧氏空间 VV 的对称变换与 nn 级实对称矩阵在标准正交基下一一对应

    (1) 实对称矩阵可确定一个对称变换 ..

    事实上 , 设 ARn×n,A=A,ε1,ε2,,εnA \in R^{n \times n}, A^{\prime}=A, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n}VV 的一组标准正交基

    定义 VV的线​性变换 σ:σ(ε1,εn)=(ε1,εn)A\sigma: \quad \sigma\left(\varepsilon_{1}, \ldots \varepsilon_{n}\right)=\left(\varepsilon_{1}, \ldots \varepsilon_{n}\right) A,则 σ\sigma 即为 VV 的对称变换.

    (2) 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 ..

    事实上,设 σ\sigmann 维欧氏空间 VV 上的对称变换,ε1,ε2,,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}VV 的一组标准正交基, A=(aij)Rn×nA=\left(\boldsymbol{a}_{i j}\right) \in \boldsymbol{R}^{n \times n}
    aij=(σ(εi),εj)=(εi,σ(εj))=aji \boldsymbol{a}_{i j}=\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \varepsilon_{j}\right)=\left(\varepsilon_{i}, \sigma\left(\varepsilon_{j}\right)\right)=\boldsymbol{a}_{j i}
    2) 对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间.

    3) 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量.

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }}VV 上的线性变换 A\mathcal{A} 在标准正交基 α1,,αn\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} 下的矩阵为 AA, 则
    AA. \mathcal{A} 是对称变换 \Leftrightarrow A​ 是对称矩阵.
    证明:设 A\mathcal{A} 在标准正交基 α1,,αn\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} 下的矩阵为 A=(aij)n×nA=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \Rightarrow
    A(α1,,αn)=(α1,,αn)A(Aαi,αj)=(a1iα1++aniαn,αj)=aji(αi,Aαj)=(αi,a1jα1++anjαn)=aij \begin{array}{c} \mathcal{A}\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) A \\ \Rightarrow\left(\mathcal{A} \alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(a_{1 i} \alpha_{1}+\cdots+a_{n i} \alpha_{n}, \alpha_{j}\right)=a_{j i} \\ \Rightarrow\left(\alpha_{i}, \mathcal{A} \alpha_{j}\right)=\left(\alpha_{i}, a_{1 j} \alpha_{1}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n}\right)=a_{i j} \end{array}
    A\mathcal{A} 是对称变换 (Aαi,αj)=(αi,Aαj),1i,jnaji=aij,1i,jn\Leftrightarrow\left(\mathcal{A} \alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\alpha_{i}, \mathcal{A} \alpha_{j}\right), \forall 1 \leq i, j \leq n \Leftrightarrow a_{j i}=a_{i j}, \forall 1 \leq i, j \leq nA\Leftrightarrow A 是对称矩阵

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }}. 设 A\mathcal{A}VV 上对称变换,则: V1V_{1}A\mathcal{A} --子空间 V1\Rightarrow V_{1}^{\perp}A\mathcal{A}–子空间.

    证明: 只需证明 V1V_{1}^{\perp}A\mathcal{A}-不变的.

    αV1\forall \alpha \in V_{1}^{\perp}, 需要证明 AαV1.\mathcal{A} \alpha \in V_{1}^{\perp} .
     任取 βV1,V1 是 A 子空间 AβV1αV1}(α,Aβ)=0A 对称 (Aα,β)=(α,Aβ)}(Aα,β)=0 \left.\begin{array}{r} \left.\begin{array}{r} \text { 任取 } \beta \in V_{1}, V_{1} \text { 是 } \mathcal{A}-\text { 子空间 } \Rightarrow \mathcal{A} \beta \in V_{1} \\ \alpha \in V_{1}^{\perp} \end{array}\right\} \Rightarrow(\alpha, \mathcal{A} \beta)=0\\ \mathcal{A} \text { 对称 } \Rightarrow(\mathcal{A} \alpha, \boldsymbol{\beta})=(\alpha, \mathcal{A} \beta) \end{array}\right\}\Rightarrow(\mathcal{A} \alpha, \beta)=\mathbf{0}

    AαV1V1 是 A -子空间.  \Rightarrow \mathcal{A} \alpha \in V_{1}^{\perp} \Rightarrow V_{1}^{\perp} \text { 是 } \mathcal{A} \text { -子空间. }

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }}A\mathcal{A}nn 维欧氏空间 VV 上的对称变换, AAnn 阶实对称矩阵.

    (1) 存在 VV 的一组标准正交基,使得 A\mathcal{A} 在该基下的矩阵为对角阵.

    (2) 存在正交矩阵 CC, 使得 CTAC=C1AC=(λ1λn)C^{T} A C=C^{-1} A C=\left(\begin{array}{lll}\lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right)
    其中 λ1,λ2,,λn\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} 是矩阵 AA 的全部特征值.

    (3) 若λ\lambdaAAkk 重特征值, 则 λ\lambda 恰有 k\boldsymbol{k} 个线性无关的特征向量.

    (4) 若秩 R(A)=k<nR(A)=k<n, 则 0 恰为 AAnkn-k 重特征值.

    4\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理4} }} . (1)设 A\mathcal{A}VV 上对称变换,则存在 V\boldsymbol{V} 的一组标准正交 基,使得 A\mathcal{A} 在该基下的矩阵为对角 阵.

    证明: 对 n=dimVn=\operatorname{dim} V 用数学归纳法,证明 VV 有一个由特征向量构成的标准正交基即可.

    [1]n=1:[1] n=1: 此时 A\mathcal{A} 是数乘变换,结论显然成 立.

    [2][2] 下设 <n<n 维欧氏空间上任一对称变换,都有一个由特征向量构成的标准正交 基.

    nn 维欧氏空间 VV 上的对称变换 A,\mathcal{A}, \quad 由定理 1 知 A\mathcal{A} 的特征值均实数,

    任取 A\mathcal{A} 的某个实特征值 λ1\lambda_{1} \Rightarrow 相应特征子空间 V1V_{1} 是非零 A\mathcal{A} 一子空间

    Vλ1=V,V_{\lambda_{1}}=V, \quadA=λ11V\mathcal{A}=\lambda_{1} 1_{V}VV 上数乘变换,结论显然成 立.

    \Rightarrow 特征子空间 Vλ1V_{\lambda_{1}} 是非零 A\mathcal{A} -子空间 \quad 下设 Vλ1VV_{\lambda_{1}} \neq V

    V1\Rightarrow V_{1}^{\perp} 也是 A\mathcal{A} -子空间且 V=V1V1(V=V_{1} \oplus V_{1}^{\perp}( 定理3 ))

    AV1(AV1)\left.\Rightarrow \mathcal{A}\right|_{V_{1}}\left(\left.\mathcal{A}\right|_{V_{1}^{\perp}}\right)VVA\mathcal{A}- 真子空间 V1(V1)V_{1}\left(V_{1}^{\perp}\right) 上的对称变换

    归纳假设 \Rightarrow 存在 V1(V1)V_{1}\left(V_{1}^{\perp}\right) 的由特征向量构成的标准正交基

    V1V_{1}V1V_{1}^{\perp} 的标准正交基并在一起,则得到 VV 的标准正交基

    此时 A\mathcal{A} 在该基下的矩阵为对角阵.

    由数学归纳法即知定理恒成立.

    实对称矩阵的正交相似对角化

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }}. 对 ARn×n,A=AA \in R^{n \times n}, A^{\prime}=A, 总有正交矩阵 CC,使
    CTAC=C1AC=Λ=diag(λ1,λ2,,λn) C^{T} A C=C^{-1} A C=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right)
    :\Large{\color{violet}{ 注 : }}实对称阵正交相似于对角阵,且其主对角线元为 AA 的特征值.

    实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤: 设 ARn×n,A=AA \in R^{n \times n}, \quad A^{\prime}=A

    (1)(1)f(λ)=λIAf(\lambda)=|\lambda I-A| 的根: λ1,λ2,,λn;\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} ;

    (2) 求 (λiIA)X=0\left(\lambda_{i} I-A\right) X=0 的基础解系 :αi1,αi2,,αiri;: \alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i r_{i}} ;

    (3) 将 αi1,αi2,,αiri\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i r_{i}} 正交化后再单位化得到一组标准正交基:
    γi1,γi2,,γiri \gamma_{i 1}, \gamma_{i 2}, \cdots, \gamma_{i \boldsymbol{r}_{i}}

    因为 λ1,λ2,λn\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n} 互不相同 ,所以 VλiVλj(ij)V_{\lambda_{i}} \perp V_{\lambda_{j}}(i \neq j)i=1ndimVλi=n\sum_{i=1}^{n} \operatorname{dim} V_{\lambda_{i}}=n,

    γ11,γ12,,γ1n1,,γr1,γr2,,γrnr\therefore \gamma_{11}, \gamma_{12}, \cdots, \gamma_{1 n_{1}}, \cdots \cdots, \gamma_{r 1}, \gamma{r 2}, \cdots, \gamma_{r n_{r}} 就是 VV 的一组标准正交基.

    (4) 令 C=(γ11,γ1r1,,γk1,γkrk)C=\left(\gamma_{11}, \cdots \gamma_{1 r_{1}}, \cdots, \gamma_{k 1}, \cdots \gamma_{k r_{k}}\right), 则 CC 为正交矩阵且
    CTAC=C1AC=Λ=diag(λ1,λ2,,λn) C^{T} A C=C^{-1} A C=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right)
    为对角形。

    :\Large{\color{violet}{ 注 : }} 对于实对称矩阵 AA, 使 CAC=diag(λ1,λ2,,λn)\boldsymbol{C}^{\prime} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) 成立的正交矩阵不是唯一的.

    :\Large{\color{violet}{ 注 : }}如果不计主对角线元的排列的次序,与实对称矩阵 AA 正交相似的对角矩阵是唯一确定的 .

    :\Large{\color{violet}{ 注 : }}因为正交相似的矩阵也是互相合同的,所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性 :

    λ1λ2λn\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n} 为实对称矩阵A的所有特征值

    • (i) A\mathrm{A} 为正定的 λn>0\Leftrightarrow \lambda_{n}>\mathbf{0},
    • (ii) A为半正定的 λn0\Leftrightarrow \lambda_{n} \geq \mathbf{0},
    • (iii) A为负定 ( 半负定 ) 的 λ1<0(λ10)\Leftrightarrow \lambda_{1}<0\left(\lambda_{1} \leq 0\right),
    • (iv) A为不定的 λ1>0\Leftrightarrow \lambda_{1}>0λn<0.\lambda_{n}<\mathbf{0} .

    φ\varphi 是n 维欧氏空间 V\boldsymbol{V} 的对称变换. 则

    (1) φ\varphi 的特征值全为实数, 且属于不同特征值的特征向量相互正交.
    (2) 存在 V\boldsymbol{V} 的一个标准正交基, 使得 φ\varphi 在这个基下的矩阵是对角阵, 且这个基恰为 φ\varphi 的m个线性无关的特征向量.

    1\Large{\color{violet}{例1}}. \quadA=(222254245)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right), 求正交矩阵 CC 与对角矩阵 Λ\Lambda, 使 CTAC=C1AC=Λ.C^{T} A C=C^{-1} A C=\Lambda .

    解: λIA=λ2222λ5424λ5=(λ1)2(λ10)λ1=1(\quad|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5\end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda-10) \Rightarrow \lambda_{1}=1( 二重 ),λ2=10), \lambda_{2}=10.

    λ1=1\lambda_{1}=1 的特征向量 :λ1IA=(122244244)(122000000): \lambda_{1} I-A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
    x1=2x2+2x3,α1=(2,1,0)T,α2=(2,0,1)Tx_{1}=-2 x_{2}+2 x_{3}, \quad \alpha_{1}=(-2,1,0)^{T}, \quad \alpha_{2}=(2,0,1)^{T}

    α1,α2\alpha_{1}, \alpha_{2} 正交化 :β1=α1=(2,1,0)T,β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1==15(2,4,5)T.: \quad \beta_{1}=\alpha_{1}=(-2,1,0)^{T}, \quad \beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}=\cdots=\frac{1}{5}(2,4,5)^{T} .

    再将 β1,β2\beta_{1}, \beta_{2} 单位化: γ1=1β1β1=15(2,1,0)T,γ2=1β2β2=145(2,4,5)T.\quad \gamma_{1}=\frac{1}{\left\|\beta_{1}\right\|} \beta_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^{T}, \quad \gamma_{2}=\frac{1}{\left\|\beta_{2}\right\|} \beta_{2}=\frac{1}{\sqrt{45}}(2,4,5)^{T} .

    λ2=10\lambda_{2}=10 的特征向量 ::
    α3=(1,2,2)Tγ3=1α3α3=13(1,2,2)T \cdots \cdots \Rightarrow \alpha_{3}=(1,2,-2)^{T} \quad \Rightarrow \gamma_{3}=\frac{1}{\left\|\alpha_{3}\right\|} \alpha_{3}=\frac{1}{3}(1,2,-2)^{T}
    C=(γ1γ2γ3)C=\left(\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}\right), 则 CC 为正交矩阵且 :CTAC=C1AC=(1110): C^{T} A C=C^{-1} A C=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 10\end{array}\right)

    2\Large{\color{violet}{例2}}AA 是3阶实对称矩阵, A\boldsymbol{A} 的特征值为2, 1, 1. 已知属于特征值2的特征向量 X1=(1,1,0)T\boldsymbol{X}_{1}=(\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{0})^{\mathrm{T}}, 求矩阵 A\boldsymbol{A}

    X1X_{1} 单位化, 得 Y1=(12,12,0)T\boldsymbol{Y}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \mathbf{0}\right)^{\mathrm{T}}.

    由已知, 存在正交矩阵 Q=(Y1,Y2,Y3)\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{Y}_{2}, \boldsymbol{Y}_{3}\right),使得 A=Q(211)QTA=\boldsymbol{Q}\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{array}\right) \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}},

    A=2Z1Y1T+Y2Y2T+Y3Y3T\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{Z}_{1} \boldsymbol{Y}_{1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Y}_{2} \boldsymbol{Y}_{2}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Y}_{3} \boldsymbol{Y}_{3}^{\mathrm{T}}.

    由于 QQ 是正交矩阵, 故有Y1Y1T+Y2Y2T+Y3Y3T=E3.\boldsymbol{Y}_{1} \boldsymbol{Y}_{1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Y}_{2} \boldsymbol{Y}_{2}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Y}_{3} \boldsymbol{Y}_{3}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}_{3} .所以 A=E3+Y1Y1T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}_{3}+\boldsymbol{Y}_{1} \boldsymbol{Y}_{1}^{\mathrm{T}}=(3212012320001).\quad=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \mathbf{0} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1}\end{array}\right) .

    2\Large{\color{violet}{例2}}. 设 A=(1b1ba1111),Λ=(014)A=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}0 & \\ & 1 & \\ & & 4\end{array}\right)a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 的值与正交矩阵 CC, 使得 C1AC=ΛC^{-1} A C=\Lambda 为对角矩阵**.**

    解1: AΛλIA=λIΛ\quad A \sim \Lambda \Rightarrow|\lambda I-A|=|\lambda I-\Lambda|

    λIA=λ1b1bλa111λ1==λ3(a+2)λ2+(2ab21)λ+b22b+1|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-\mathbf{1} & -\boldsymbol{b} & -\mathbf{1} \\ -\boldsymbol{b} & \lambda-\boldsymbol{a} & -\mathbf{1} \\ -\mathbf{1} & -\mathbf{1} & \lambda-\mathbf{1}\end{array}\right|=\cdots=\lambda^{3}-(\boldsymbol{a}+\mathbf{2}) \lambda^{2}+\left(\mathbf{2} \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}^{2}-\mathbf{1}\right) \lambda+b^{2}-2 \boldsymbol{b}+\mathbf{1}

    =λ(λ1)(λ4)=λ35λ2+4λ=λIΛ{a+2=5,b22b+1=0,a=3,b=1=\lambda(\lambda-1)(\lambda-4)=\lambda^{3}-5 \lambda^{2}+4 \lambda=|\lambda I-\Lambda| \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+2=5, \\ b^{2}-2 b+1=0,\end{array} \Rightarrow a=3, b=1\right.

    解2: AΛ{Tr(A)=Tr(Λ)A=Λ{1+a+1=0+1+4A=014a=3,b=1\quad A \sim \Lambda \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(\Lambda) \\ |A|=|\Lambda|\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}1+a+1=0+1+4 \\ |A|=0 \cdot 1 \cdot 4\end{array} \Rightarrow a=3, b=1\right.\right.
    A=(111131111),λ1=0,λ2=1,λ3=4 A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=4
    直接计算可以分别求得三个特征值相应有如下特征向量:
    λ1=0:α1=(1,0,1)Tλ2=1:α2=(1,1,1)Tλ3=4:α3=(1,2,1)T \lambda_{1}=0: \alpha_{1}=(1,0,-1)^{T}\\ \lambda_{2}=1: \alpha_{2}=(1,-1,1)^{T}\\ \lambda_{3}=4: \alpha_{3}=(1,2,1)^{T}
    分别单位化, 得

    γ1=12(1,0,1)Tγ2=13(1,1,1)Tγ3=16(1,2,1)T \begin{array}{lll} \gamma_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{T}\\ \gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^{T} \\ \gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{T} \end{array}
    C=(γ1,γ2,γ3)C=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right), 则 CC 为正交矩阵且 C1AC=diag(0,1,4).\quad C^{-1} A C=\operatorname{diag}(0,1,4) .

    3\Large{\color{violet}{例3}} 设3阶实对称矩阵的秩为2, 且满足 A2=3AA^{2}=3 A, 则 A2I=|A-2 I|=?

    分析: 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 20 是 A 的 32=1 重特征值 A2=3AA 的特征值 λ 满足 λ2=3λλ=0 或 3}\left.\begin{array}{l}3 \text { 阶实对称矩阵 } A \text { 的秩为 } 2 \Rightarrow 0 \text { 是 } A \text { 的 } 3-2=1 \text { 重特征值 } \\ A^{2}=3 A \Rightarrow A \text { 的特征值 } \lambda \text { 满足 } \lambda^{2}=3 \lambda \Rightarrow \lambda=0 \text { 或 } 3\end{array}\right\} \Rightarrow

    AA 的特征值为 0,3,3A2I0,3,3 \Rightarrow A-2 I 的特征值为 2,1,1-2,1,1

    A2I=(2)11=2 法2:  令 A=(33)\begin{aligned} & \Rightarrow|A-2 I|=(-2) \cdot 1 \bullet 1=-2 \\ \text { 法2: } \quad \text { 令 } A=\left(\begin{array}{lll}3 & & \\ 3 & \end{array}\right) \Rightarrow \cdots \cdots \end{aligned}

    4\Large{\color{violet}{例4}} 设3阶实对称矩阵 AA 的特征值为 1,2,3.1,2,3 . AA属于特征值1, 2 的特征向量分别是
    α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,1)T \alpha_{1}=(-1,-1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,-2,-1)^{T}
    (1) 求 AA 的属于特征值3的特征向量:

    (2) 求矩阵 AA.

    解: 设 AA 属于特征值3的特征向量为 α=(x1,x2,x3)T\alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}

    因为实对称矩阵不同特征值的特征向量彼此正交
    (α1,α)=(α2,α)=0{x1x2+x3=0x12x2x3=0 \Rightarrow\left(\alpha_{1}, \alpha\right)=\left(\alpha_{2}, \alpha\right)=0 \quad \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} -x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}-x_{3}=0 \end{array}\right.
    解得基础解系为 α3=(101)A属于特征值3的全部特征向量为 k(101),k0\alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \Rightarrow A {\text {属于特征值3的全部特征向量为 }} k\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), k \neq 0

    AA 属于特征值 3 的一个特征向量为 α3=(1,0,1