精华内容
下载资源
问答
  • 沪科版(2012)初中数学七年级下册 8.4.1 因式分解--提公因式法因式分解 教案.docx
  • (d)待定系数:比如在有理数内分解四次多项式,又比如分解轮换对称多项式时,可以解决问题。 (e)定主元:适用于多元多项式的分解。 (f)换元:觉得式子太烦,换元是个好的选择。 (g)对于轮换对称多项式的特殊解法。 (h...
  • 初中数学数学论文初学因式分解的“四个注意”
  • 另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来: .3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是 .4.分解因式:4x2﹣4x﹣3= .5.利用因式分解计算...
    fdb01d01ff69fd9ed7136bd64c727df6.png

    一.填空题(共10小题)

    1.已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为

    2.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:

    3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是

    4.分解因式:4x2﹣4x﹣3=

    5.利用因式分解计算:2022+202×196+982=

    6.△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是

    7.计算:12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=

    8.定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:

    ①2★(﹣2)=3

    ②a★b=b★a

    ③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab

    ④若a★b=0,则a=1或b=0.

    其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).

    9.如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=

    10.若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1,则b的值是

    二.解答题(共20小题)

    11.已知n为整数,试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

    12.因式分解:4x2y﹣4xy+y.

    13.因式分解

    (1)a3﹣ab2

    (2)(x﹣y)2+4xy.

    14.先阅读下面的内容,再解决问题,

    例题:若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.

    解:∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

    ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

    ∴(m+n)2+(n﹣3)2=0

    ∴m+n=0,n﹣3=0

    ∴m=﹣3,n=3

    问题:

    (1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.

    (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?

    15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.

    (1)36和2016这两个数是和谐数吗?为什么?

    (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?为什么?

    (3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为

    16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.

    (1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式.

    (2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.

    (3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.

    17.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.

    ①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;

    ②由此,你可以得出的一个等式为:

    (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.

    ①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;

    ②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图.

    18.已知a+b=1,ab=﹣1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn

    (1)计算s2

    (2)请阅读下面计算s3的过程:

    因为a+b=1,ab=﹣1,

    所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1=

    你读懂了吗?请你先填空完成(2)中s3的计算结果,再用你学到的方法计算s4

    (3)试写出sn﹣2,sn﹣1,sn三者之间的关系式;

    (4)根据(3)得出的结论,计算s6

    19.(1)利用因式分解简算:9.82+0.4×9.8+0.04

    (2)分解因式:4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

    20.阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.

    解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0

    ∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.

    根据你的观察,探究下面的问题:

    (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x﹣y的值.

    (2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0,求△ABC的最大边c的值.

    (3)已知a﹣b=4,ab+c2﹣6c+13=0,则a﹣b+c=

    21.仔细阅读下面例题,解答问题:

    例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.

    解:设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

    ∴n+3=﹣4

    m=3n 解得:n=﹣7,m=﹣21

    ∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.

    问题:

    (1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a=

    (2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b=

    (3)仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.

    22.分解因式:

    (1)2x2﹣x;

    (2)16x2﹣1;

    (3)6xy2﹣9x2y﹣y3

    (4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2

    23.已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.

    24.分解因式

    (1)2x4﹣4x2y2+2y4

    (2)2a3﹣4a2b+2ab2

    25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.

    (1)图②中的阴影部分的面积为

    (2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系是

    (3)若x+y=7,xy=10,则(x﹣y)2=

    (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.

    如图③,它表示了

    (5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2

    26.已知a、b、c满足a﹣b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.

    27.已知:一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,

    求:这个长方体的体积.

    28.(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.

    29.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:

    1+x+x(x+1)+x(x+1)2

    =(1+x)[1+x+x(x+1)]

    =(1+x)2(1+x)

    =(1+x)3

    (1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.

    (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004,则需应用上述方法 次,结果是

    (3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).

    30.对于多项式x3﹣5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多项式x3﹣5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注:把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式写成:x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n),

    (1)求式子中m、n的值;

    (2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.

    b1def2b3108e74e572e75154d8490027.png

    参考答案与试题解析

    一.填空题(共10小题)

    1.(2016秋•望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为 160 

    【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.

    【解答】解:∵x+y=10,xy=16,

    ∴x2y+xy2=xy(x+y)=10×16=160.

    故答案为:160.

    【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.

    2.(2016秋•新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来: 2(x﹣3)2 

    【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.

    【解答】解:∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18;

    2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;

    ∴原多项式为2x2﹣12x+18.

    2x2﹣12x+18=2(x2﹣6x+9)=2(x﹣3)2

    【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项正确.

    3.(2015春•昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是 ±4 

    【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a﹣b)2+4ab、(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab计算即可.

    【解答】解:∵x2+mx+4=(x±2)2

    即x2+mx+4=x2±4x+4,

    ∴m=±4.

    故答案为:±4.

    【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.

    4.(2015秋•利川市期末)分解因式:4x2﹣4x﹣3= (2x﹣3)(2x+1) 

    【分析】ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),进而得出答案.

    【解答】解:4x2﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).

    故答案为:(2x﹣3)(2x+1).

    【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键.

    5.(2015春•东阳市期末)利用因式分解计算:2022+202×196+982= 90000 

    【分析】通过观察,显然符合完全平方公式.

    【解答】解:原式=2022+2x202x98+982

    =(202+98)2

    =3002

    =90000.

    【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.

    6.(2015秋•浮梁县校级期末)△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是 等边三角形 

    【分析】分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,得出:a=b=c,即选出答案.

    【解答】解:等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得:

    2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,

    即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0,

    即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,

    解得:a=b=c,

    所以,△ABC是等边三角形.

    故答案为:等边三角形.

    【点评】此题考查了因式分解的应用;利用等边三角形的判定,化简式子得a=b=c,由三边相等判定△ABC是等边三角形.

    7.(2015秋•鄂托克旗校级期末)计算:12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 

    【分析】通过观察,原式变为1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.

    【解答】解:12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012

    =1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)

    =1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)

    =(1+101)×101÷2

    =5151.

    故答案为:5151.

    【点评】此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题.

    8.(2015秋•乐至县期末)定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:

    ①2★(﹣2)=3

    ②a★b=b★a

    ③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab

    ④若a★b=0,则a=1或b=0.

    其中正确结论的序号是 ③④ (填上你认为正确的所有结论的序号).

    【分析】根据题中的新定义计算得到结果,即可作出判断.

    【解答】解:①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2,本选项错误;

    ②a★b=(1﹣a)b,b★a=(1﹣b)a,故a★b不一定等于b★a,本选项错误;

    ③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab,本选项正确;

    ④若a★b=0,即(1﹣a)b=0,则a=1或b=0,本选项正确,

    其中正确的有③④.

    故答案为③④.

    【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.

    9.(2015春•张掖校级期末)如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 

    【分析】4项为一组,分成2组,再进一步分解因式求得答案即可.

    【解答】解:∵1+a+a2+a3=0,

    ∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

    =a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),

    =0+0,

    =0.

    故答案是:0.

    【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题.

    10.(2015春•昆山市期末)若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1,则b的值是 ﹣8 

    【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.

    【解答】解:∵x2﹣6x﹣b=(x﹣3)2﹣9﹣b=(x+a)2﹣1,

    ∴a=﹣3,﹣9﹣b=﹣1,

    解得:a=﹣3,b=﹣8.

    故答案为:﹣8.

    【点评】此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键.

    15708d7ba4e163d6e6261d4c67105b51.png

    二.解答题(共20小题)

    11.已知n为整数,试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

    【分析】用平方差公式展开(n+7)2﹣(n﹣3)2,看因式中有没有20即可.

    【解答】解:(n+7)2﹣(n﹣3)2=(n+7+n﹣3)(n+7﹣n+3)=20(n+2),

    ∴(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.

    【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).

    12.(2016秋•农安县校级期末)因式分解:4x2y﹣4xy+y.

    【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

    【解答】解:4x2y﹣4xy+y

    =y(4x2﹣4x+1)

    =y(2x﹣1)2

    【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

    13.(2015秋•成都校级期末)因式分解

    (1)a3﹣ab2

    (2)(x﹣y)2+4xy.

    【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可;

    (2)原式利用完全平方公式分解即可.

    【解答】解:(1)原式=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b);

    (2)原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2

    【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

    14.(2015春•甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,

    例题:若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.

    解:∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

    ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

    ∴(m+n)2+(n﹣3)2=0

    ∴m+n=0,n﹣3=0

    ∴m=﹣3,n=3

    问题:

    (1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.

    (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?

    【分析】(1)首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,配方得到(x﹣y)2+(y+2)2=0,再根据非负数的性质得到x=y=﹣2,代入求得数值即可;

    (2)先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,配方得到(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.

    【解答】解:(1)∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0

    ∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0,

    ∴(x﹣y)2+(y+2)2=0

    ∴x=y=﹣2

    (2)∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,

    ∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0,

    ∴(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0

    ∴a=b=c=3

    ∴三角形ABC是等边三角形.

    【点评】此题考查了配方法的应用:通过配方,把已知条件变形为几个非负数的和的形式,然后利用非负数的性质得到几个等量关系,建立方程求得数值解决问题.

    15.(2015秋•太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.

    (1)36和2016这两个数是和谐数吗?为什么?

    (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?为什么?

    (3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 2500 

    【分析】(1)利用36=102﹣82;2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”,2016不是“和谐数”;

    (2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则“和谐数”=(2n+2)2﹣(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2﹣2n)=4(2n+1),然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;

    (3)介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为:22﹣02=4,最大的为:502﹣482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.

    【解答】解:(1)36是“和谐数”,2016不是“和谐数”.理由如下:

    36=102﹣82;2016=5052﹣5032

    (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数),

    ∵(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)

    =(4k+2)×2

    =4(2k+1),

    ∵4(2k+1)能被4整除,

    ∴“和谐数”一定是4的倍数;

    (3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,

    S=(22﹣02)+(42﹣22)+(62﹣42)+…+(502﹣482)=502=2500.

    故答案是:2500.

    【点评】本题考查了因式分解的应用:利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而达到使计算简化.

    16.(2015春•兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.

    (1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式.

    (2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.

    (3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.

    【分析】(1)根据小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,直接画出图形,利用图形分解因式即可;

    (2)由长方形②的周长为34,得出a+b=17,由题意可知:小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方,可求得ab的值,从而可求得长方形②的面积;

    (3)设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)由完全平方公式可知:(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张,

    n2≤8,m2≤8,2mn≤8(n、m为正整数)从而可知n≤2,m≤2,从而可得出答案.

    【解答】解:(1)如图:

    拼成边为(a+2b)和(a+b)的长方形

    ∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b);

    (2)∵长方形②的周长为34,

    ∴a+b=17.

    ∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169,

    ∴a2+b2=169.

    将a+b=17两边同时平方得:(a+b)2=172,整理得:a2+2ab+b2=289,

    ∴2ab=289﹣169,

    ∴ab=60.

    ∴长方形②的面积为60.

    (3)设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)

    ∴正方形的面积=(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2

    ∵现有三种纸片各8张,

    ∴n2≤8,m2≤8,2mn≤8(n、m为正整数)

    ∴n≤2,m≤2.

    ∴共有以下四种情况;

    ①n=1,m=1,正方形的边长为a+b;

    ②n=1,m=2,正方形的边长为a+2b;

    ③n=2,m=1,正方形的边长为2a+b;

    ④n=2,m=2,正方形的边长为2a+2b.

    【点评】此题考查因式分解的运用,要注意结合图形解决问题,解题的关键是灵活运用完全平方公式.

    17.(2014秋•莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.

    ①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;

    ②由此,你可以得出的一个等式为: a2+2a+1 = (a+1)2 

    (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.

    ①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;

    ②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图.

    【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法,来推导公式;

    (2)要能根据等式画出合适的拼图.

    【解答】解:(1)①长方形的面积=a2+2a+1;长方形的面积=(a+1)2

    ②a2+2a+1=(a+1)2

    (2)①如图,可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2

    ②2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).

    【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式;运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.

    bb1718dbeb4285c5444cf7a4fe387bc3.png

    18.(2013秋•海淀区校级期末)已知a+b=1,ab=﹣1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn

    (1)计算s2

    (2)请阅读下面计算s3的过程:

    因为a+b=1,ab=﹣1,

    所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1= 4 

    你读懂了吗?请你先填空完成(2)中s3的计算结果,再用你学到的方法计算s4

    (3)试写出sn﹣2,sn﹣1,sn三者之间的关系式;

    (4)根据(3)得出的结论,计算s6

    【分析】(1)(2)利用完全平方公式进行化简,然后代入a+b,ab的值,即可推出结论;

    (3)根据(1)所推出的结论,即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn

    (4)根据(3)的结论,即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3

    【解答】解:(1)S2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3;

    (2)∵(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),

    ∴3×1=a3+b3﹣1,

    ∴a3+b3=4,即S3=4;

    ∵S4=(a2+b2)2﹣2(ab)2=7,

    ∴S4=7;

    (3)∵S2=3,S3=4,S4=7,

    ∴S2+S3=S4

    ∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn

    (3)∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn,S2=3,S3=4,S4=7,

    ∴S5=4+7=11,

    ∴S6=7+11=18.

    【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用,关键在于根据题意推出S2=3,S3=4,S4=7,分析归纳出规律:Sn﹣2+Sn﹣1=Sn

    19.(2013春•重庆校级期末)(1)利用因式分解简算:9.82+0.4×9.8+0.04

    (2)分解因式:4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

    【分析】(1)利用完全平方公式因式分解计算即可;

    (2)先利用提取公因式法,再利用完全平方公式因式分解即可.

    【解答】解:(1)原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22

    =(9.8+0.2)2

    =100;

    (2)4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)

    =(a﹣1)(4a2﹣4a+1)

    =(a﹣1)(2a﹣1)2

    【点评】此题考查因式分解的实际运用,掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.

    20.(2013春•惠山区校级期末)阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.

    解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0

    ∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.

    根据你的观察,探究下面的问题:

    (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x﹣y的值.

    (2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0,求△ABC的最大边c的值.

    (3)已知a﹣b=4,ab+c2﹣6c+13=0,则a﹣b+c= 7 

    【分析】(1)将多项式第三项分项后,结合并利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值,即可求出x﹣y的值;

    (2)将已知等式25分为9+16,重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值,根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长;

    (3)由a﹣b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b与c的值,进而求出a的值,即可求出a﹣b+c的值.

    【解答】解:(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0

    ∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0

    ∴(x+y)2+(y+1)2=0

    ∴x+y=0 y+1=0

    解得x=1,y=﹣1

    ∴x﹣y=2;

    (2)∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0

    ∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣8b+16)=0

    ∴(a﹣3)2+(b﹣4)2=0

    ∴a﹣3=0,b﹣4=0

    解得a=3,b=4

    ∵三角形两边之和>第三边

    ∴c<a+b,c<3+4

    ∴c<7,又c是正整数,

    ∴c最大为6;

    (3)∵a﹣b=4,即a=b+4,代入得:(b+4)b+c2﹣6c+13=0,

    整理得:(b2+4b+4)+(c2﹣6c+9)=(b+2)2+(c﹣3)2=0,

    ∴b+2=0,且c﹣3=0,即b=﹣2,c=3,a=2,

    则a﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7.

    故答案为:7.

    【点评】此题考查了因式分解的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

    21.(2012秋•温岭市校级期末)仔细阅读下面例题,解答问题:

    例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.

    解:设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n

    ∴n+3=﹣4

    m=3n 解得:n=﹣7,m=﹣21

    ∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.

    问题:

    (1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a= ﹣3 

    (2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b= 9 

    (3)仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.

    【分析】(1)将(x﹣2)(x+a)展开,根据所给出的二次三项式即可求出a的值;

    (2)(2x﹣1)(x+5)展开,可得出一次项的系数,继而即可求出b的值;

    (3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n,可知2n﹣3=5,k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.

    【解答】解:(1)∵(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a=x2﹣5x+6,

    ∴a﹣2=﹣5,

    解得:a=﹣3;

    (2)∵(2x﹣1)(x+5)=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5,

    ∴b=9;

    (3)设另一个因式为(x+n),得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n,

    则2n﹣3=5,k=3n,

    解得:n=4,k=12,

    故另一个因式为(x+4),k的值为12.

    故答案为:(1)﹣3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一个因式是x+4,k=12(6分).

    【点评】本题考查因式分解的意义,解题关键是对题中所给解题思路的理解,同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.

    22.(2012春•郯城县期末)分解因式:

    (1)2x2﹣x;

    (2)16x2﹣1;

    (3)6xy2﹣9x2y﹣y3

    (4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2

    【分析】(1)直接提取公因式x即可;

    (2)利用平方差公式进行因式分解;

    (3)先提取公因式﹣y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;

    (4)把(x﹣y)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可.

    【解答】解:(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);

    (2)16x2﹣1=(4x+1)(4x﹣1);

    (3)6xy2﹣9x2y﹣y3

    =﹣y(9x2﹣6xy+y2),

    =﹣y(3x﹣y)2

    (4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2

    =[2+3(x﹣y)]2

    =(3x﹣3y+2)2

    【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,是因式分解的常用方法,难点在(3),提取公因式﹣y后,需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.

    23.(2012春•碑林区校级期末)已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.

    【分析】将已知等式利用配方法变形,利用非负数的性质解题.

    【解答】解:∵(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),

    ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=3a2+3b2+3c2

    a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0,

    即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0,

    ∴a﹣b=0,b﹣c=0,c﹣a=0,

    ∴a=b=c,

    故△ABC为等边三角形.

    【点评】本题考查了配方法的运用,非负数的性质,等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形,利用非负数的性质解题.

    24.(2011秋•北辰区校级期末)分解因式

    (1)2x4﹣4x2y2+2y4

    (2)2a3﹣4a2b+2ab2

    【分析】(1)原式提取公因式后,利用平方差公式分解即可;

    (2)原式提取公因式,利用完全平方公式分解即可.

    【解答】解:(1)2x4﹣4x2y2+2y4

    =2(x4﹣2x2y2+y4)

    =2(x2﹣y2)2

    =2(x+y)2(x﹣y)2

    (2)2a3﹣4a2b+2ab2

    =2a(a2﹣2ab+b2)

    =2a(a﹣b)2

    【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,提取公因式后利用公式进行二次分解,注意分解要彻底.

    25.(2011秋•苏州期末)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.

    (1)图②中的阴影部分的面积为 (m﹣n)2 

    (2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系是 (m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn 

    (3)若x+y=7,xy=10,则(x﹣y)2= 9 

    (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.

    如图③,它表示了 (m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2 

    (5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2

    【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.

    (2)掌握完全平方公式,并掌握和与差的区别.

    (3)此题可参照第(2)题.

    (4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.

    (5)可参照第(4)题画图.

    【解答】解:(1)阴影部分的边长为(m﹣n),阴影部分的面积为(m﹣n)2

    (2)(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn;

    (3)(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=72﹣40=9;

    (4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2

    (5)答案不唯一:

    例如:

    【点评】本题考查了因式分解的应用,解题关键是认真观察题中给出的图示,用不同的形式去表示面积,熟练掌握完全平方公式,并能进行变形.

    26.(2009秋•海淀区期末)已知a、b、c满足a﹣b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.

    【分析】本题乍看下无法代数求值,也无法进行因式分解;但是将已知的两个式子进行适当变形后,即可找到本题的突破口.由a﹣b=8可得a=b+8;将其代入ab+c2+16=0得:b2+8b+c2+16=0;此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式,因此可用非负数的性质求出b、c的值,进而可求得a的值;然后代值运算即可.

    【解答】解:因为a﹣b=8,

    所以a=b+8.(1分)

    又ab+c2+16=0,

    所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)

    即(b+4)2+c2=0.

    又(b+4)2≥0,c2≥0,

    则b=﹣4,c=0.(4分)

    所以a=4,(5分)

    所以2a+b+c=4.(6分)

    【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.

    27.(2010春•北京期末)已知:一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,

    求:这个长方体的体积.

    【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为(a+1)(b+1)(c+1)﹣1,就得(1+b)(c+1)(a+1)=2007,由于a、b、c均为正整数,所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也为正整数,而2007只可分解为3×3×223,可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc了.

    【解答】解:原式可化为:a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006,

    a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)﹣1=2006,

    (1+b)(a+c+ac)+(1+b)=2007,

    (1+b)(c+1+a+ac)=2007,

    (1+b)(c+1)(a+1)=2007,

    2007只能分解为3×3×223

    ∴(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223

    ∴a、b、c也只能分别为2、2、222

    ∴长方体的体积abc=888.

    【点评】本题考查了三次的分解因式,做题当中用加减项的方法,使式子满足分解因式.

    28.(2007秋•普陀区校级期末)(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.

    【分析】把(x2﹣4x)看作一个整体,先把﹣15写成3×(﹣5),利用十字相乘法分解因式,再把3写成(﹣1)×(﹣3),﹣5写成1×(﹣5),分别利用十字相乘法分解因式即可.

    【解答】解:(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15,

    =(x2﹣4x+3)(x2﹣4x﹣5),

    =(x﹣1)(x﹣3)(x+1)(x﹣5).

    【点评】本题考查了十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,本题需要进行多次因式分解,分解因式一定要彻底.

    29.(2007春•镇海区期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:

    1+x+x(x+1)+x(x+1)2

    =(1+x)[1+x+x(x+1)]

    =(1+x)2(1+x)

    =(1+x)3

    (1)上述分解因式的方法是 提公因式法 ,共应用了 2 次.

    (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004,则需应用上述方法 2004 次,结果是 (1+x)2005 

    (3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).

    【分析】此题由特殊推广到一般,要善于观察思考,注意结果和指数之间的关系.

    【解答】解:(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次.

    (2)需应用上述方法2004次,结果是(1+x)2005

    (3)解:原式=(1+x)[1+x+x(x+1)]+x(x+1)3+…+x(x+1)n

    =(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+…+x(x+1)n

    =(1+x)3+x(x+1)3+…+x(x+1)n

    =(x+1)n+x(x+1)n

    =(x+1)n+1

    【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广,要认真观察已知所给的过程,弄清每一步的理由,就可进一步推广.

    30.(2007春•射洪县校级期末)对于多项式x3﹣5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多项式x3﹣5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注:把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式写成:x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n),

    (1)求式子中m、n的值;

    (2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.

    【分析】(1)根据(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n,得出有关m,n的方程组求出即可;

    (2)由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10,得其值为0,则多项式可分解为(x+1)(x2+ax+b)的形式,进而将多项式分解得出答案.

    【解答】解:(1)方法一:因(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n,

    =x3﹣5x2+x+10,(2分)

    所以

    解得:m=﹣3,n=﹣5(5分),

    方法二:在等式x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)中,

    分别令x=0,x=1,

    即可求出:m=﹣3,n=﹣5(注:不同方法可根据上面标准酌情给分)

    (2)把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10,得其值为0,

    则多项式可分解为(x+1)(x2+ax+b)的形式,(7分)

    用上述方法可求得:a=﹣3,b=﹣10,(8分)

    所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=(x+1)(x2﹣3x﹣10),(9分)

    =(x+1)(x+2)(x﹣5).(10分)

    【点评】此题主要考查了因式分解的应用,根据已知获取正确的信息,是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法.

    展开全文
  • 因式分解

    千次阅读 2018-05-19 11:57:29
    dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个惩罚对...

    https://www.nowcoder.com/acm/contest/110/G

    dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个惩罚对dreamoon没什么大不了的。

    身为dreamoon粉丝的你,也想效法dreamoon(能够写出解因式分解的程序的部份),现在就来测试看看你写的程序是否正确吧〜
    至于你应该要输出什么,详情请参考标准输出。

    输入描述:

    输入的第一行有一个正整数 T,代表该笔测试资料含有多少组因式分解问题。
    接下来有 T 行,每个询问各占 1 行,包含 3 个整数 a, b, c,代表这个询问要你对 a·x2+ b·x +c 做因式分解。

    输出描述:

    对于每个因式分解问题,若有多种把a·x2 + b·x +c 分解成两个整系数一元一次多项式相乘,也就是形如(s·x + t) x (u·x + v) 的方式,请找到使得s·101000+ t·10100 + u·1010 + v 最大的一组解,并输出四个整数s, t, u, v 于一行。
    若无法因式分解,则输仍然输出三个整数 a, b, c 于一行。

    示例1

    输入

    3
    5 1 -4
    5 1 4
    5 0 0

    输出

    5 -4 1 1
    5 1 4
    5 0 1 0

    备注:

    * 1 ≤ T ≤ 50000
    * -109 ≤ a,b,c ≤ 109
    * a ≠ 0
    * 数据里所有的数都是整数

    思路

    一元二次整系数多项式因式整分解

    根是不能决定方程具体的参数的,但是和参数是有关系的,也就是求根公式 b±b24ac2a − b ± b 2 − 4 a c 2 a

    所以有

    bb24ac2a=tsb+b24ac2a=vu − b − b 2 − 4 a c 2 a = − t s − b + b 2 − 4 a c 2 a = − v u

    这里 t,s t , s u,v u , v 可以调换(地位平等) 不妨先这样设

    由于 a,b,c,t,s,u,v a , b , c , t , s , u , v 全为整数

    所以 δ δ 必须为有理数 又 a,b,c a , b , c 全为整数 所以 b24ac b 2 − 4 a c 应为完全平方数 否则无solution

    现在相当于我们确定了 t,s t , s 的比例关系和 v,u v , u 的比例关系

    比较系数还可得

    su=a s u = a

    既然确定了比例,我们可以设基本参数表示两个数,

    但有一种比较方便的方法就是直接消去t,s (v,u)的gcd ,然后成比例扩大即可

    所以只有当 a%su==0 a % s u == 0 时才有解 令a=a/su 则a为最后s t要扩大的倍数 因为在前面的越大越好

    最后要确定题意中的最大的s,t,u,v

    首先,我们让s,u为正数(显然,如果他们中的某个做了题目中最后的’s’位置,其为正是结果最大的情况) 对于s,若取相反数,则t,a也取相反数 (u同理)

    然后,比较 s+t 很 大 的 数 s ∗ 很 大 的 数 + t u+v 很 大 的 数 u ∗ 很 大 的 数 + v 的大小

    以确定哪一对是真正的“s,t”

    最后要注意,扩大a(a/su)倍的时候,若a是负数,把-1分给u,v

    代码示例

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    int debug_num=0;
    #define debug cout<<"debug "<<++debug_num<<" :"
    #define lson l,m,rt<<1
    #define rson m+1,r,rt<<1|1
    #define bit(a,b) ((a>>b)&1)
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    const double pi=acos(-1.0);
    
    ll a,b,c,s,t,u,v;
    
    ll is_sqrt(ll x)
    {
        ll t=sqrt(1.0*x)+0.5;
        return t*t==x ? t :-1 ;
    }
    
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        if(b==0) return a;
        return gcd(b,a%b);
    }
    
    
    int main()
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
        ios::sync_with_stdio(false);
        int Case;
        cin>>Case;
        while(Case--)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            ll del;
            if((del=is_sqrt(b*b-4*a*c))>=0){
                //debug<<del<<endl;
                s=u=2*a;   t=b-del;  v=b+del;
                ll g1=gcd(abs(t),abs(s));  ll g2=gcd(abs(v),abs(u));
                t/=g1; s/=g1;  v/=g2;  u/=g2;
                //debug<<s<<" "<<t<<" "<<u<<" "<<v<<endl;
                if(a%(s*u)==0){
                    a/=(s*u);
                    if(s<0) s=-s,t=-t,a=-a;
                    if(u<0) u=-u,v=-v,a=-a;
                    if(s*inf+t<u*inf+v){
                        swap(t,v);
                        swap(s,u);
                    }
                    if(a<0){a=-a;  u=-u;  v=-v;}
                    t*=a;  s*=a;
                    cout<<s<<" "<<t<<" "<<u<<" "<<v<<endl;
                    continue;
                }
            }
            cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
        }
        return 0;
    }
    展开全文
  • 初中真题+考点经典的因式分解练习题有答案.doc
  • 冀教版初中数学七年级下册11.1因式分解导学案.pdf
  • 中考数学知识点总结初中数学《整式乘除与因式分解》教案.pdf
  • 因式分解习题

    2015-07-06 16:02:05
    专题训练一:利用平方差公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式
  • 初中七年级下册数学《用公式法进行因式分解》PPT优秀课件.pdf
  • 因式分解》PPT课件3

    2020-12-25 16:04:13
    这是整理发布的一款《因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老师及学生使用,需...该文档为《因式分解》PPT课件3,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 因式分解》PPT课件2

    2020-12-25 16:04:00
    这是整理发布的一款《因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老师及学生使用,需...该文档为《因式分解》PPT课件2,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 因式分解》PPT课件1

    2020-12-25 16:03:42
    这是整理发布的一款《因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老师及学生使用,需...该文档为《因式分解》PPT课件1,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 沪科版(2012)初中数学七年级下册 8.4.2 运用平方差公式因式分解 教案 .doc
  • 沪科版(2012)初中数学七年级下册 8.5 整式乘法与因式分解复习课 教案.doc
  • 沪教版(上海)初中数学七年级第一学期9.16因式分解复习课课件课件ppt.pdf
  • 因式分解及其解题技巧-277页 文字版 好.pdf
  • 这是整理发布的一款《用公式法进行因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老师及...该文档为《用公式法进行因式分解》PPT课件2,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 参考文献: 张育波. 一元三次多项式因式分解的两种方法[J]. 初中数学教与学, 2007, No.160(04):42.

    参考文献:

    张育波. 一元三次多项式因式分解的两种方法[J]. 初中数学教与学, 2007, No.160(04):42.

    展开全文
  • 题目描述 dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个...

    题目描述 

    dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个惩罚对dreamoon没什么大不了的。

    身为dreamoon粉丝的你,也想效法dreamoon(能够写出解因式分解的程序的部份),现在就来测试看看你写的程序是否正确吧〜

    至于你应该要输出什么,详情请参考标准输出。
    唉嘿嘿~~听说挑战完这题的同学都想写一下加强版呢~(点一下 因式分解2 

    输入描述:

    输入的第一行有一个正整数 T,代表该笔测试资料含有多少组因式分解问题。
    接下来有 T 行,每个询问各占 1 行,包含 3 个整数 a, b, c,代表这个询问要你对 a·x2 + b·x +c 做因式分解。
    

    输出描述:

    对于每个因式分解问题,若有多种把a·x2 + b·x +c 分解成两个整系数一元一次多项式相乘,也就是形如(s·x + t) x (u·x + v) 的方式,请找到使得s·101000+ t·10100 + u·1010 + v 最大的一组解,并输出四个整数s, t, u, v 于一行。
    若无法因式分解,则输仍然输出三个整数 a, b, c 于一行。
    
    示例1

    输入

    3
    5 1 -4
    5 1 4
    5 0 0

    输出

    5 -4 1 1
    5 1 4
    5 0 1 0

    备注:

    1 ≤ T ≤ 20
    -109 ≤ a,b,c ≤ 109
    a ≠ 0
    
    数据里所有的数都是整数


    题解:


    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define ll int
    #define LL long long
     
    struct P {
        ll s, t, u, v;
        bool operator < (const P &tt) const {
            if(s != tt.s) return s > tt.s;
            if(t != tt.t) return t > tt.t;
            if(u != tt.u) return u > tt.u;
            return v > tt.v;
        }
    };
     
    ll a, b, c;
     
    int main() {
        int T;
        scanf("%d", &T);
        while(T--) {
            scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
            LL det = 1LL * b * b - 4LL * a * c;
            if(det < 0 || (LL)sqrt(det) * (LL)sqrt(det) != det) { printf("%d %d %d\n", a, b, c); continue; }
            LL aa = -b + sqrt(det), bb = -b - sqrt(det);
            aa /= 2; bb /= 2;
            ll gcd1 = __gcd(aa, (LL)a), gcd2 = __gcd(bb, (LL)a);
            gcd1 = abs(gcd1); gcd2 = abs(gcd2);
            ll ans1 = aa / gcd1, ans2 = a / gcd1;
            ll ans3 = bb / gcd2, ans4 = a / gcd2;
            if(a < 0) ans1 *= -1, ans2 *= -1;
            ll res = abs(a / ans2 / ans4);
            vector<P> p;
            p.push_back({ans2 * res, -ans1 * res, ans4, -ans3});
            p.push_back({-ans2 * res, ans1 * res, -ans4, ans3});
            p.push_back({ans4 * res, -ans3 * res, ans2, -ans1});
            p.push_back({-ans4 * res, ans3 * res, -ans2, ans1});
            sort(p.begin(), p.end());
            printf("%d %d %d %d\n", p[0].s, p[0].t, p[0].u, p[0].v);
        }
        return 0;
    }

    展开全文
  • 这是整理发布的一款《用因式分解法解一元二次方程》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合...该文档为《用因式分解法解一元二次方程》ppt课件3,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看...
  • 这是整理发布的一款《用因式分解法解一元二次方程》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合...该文档为《用因式分解法解一元二次方程》ppt课件2,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看...
  • 这是整理发布的一款《用提公因式法进行因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老...该文档为《用提公因式法进行因式分解》PPT课件2,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 这是整理发布的一款《用提公因式法进行因式分解》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老...该文档为《用提公因式法进行因式分解》PPT课件1,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 解方程vs因式分解

    2019-12-21 12:03:34
    老邱说:解方程这件事就是因式分解啊!我不解,想了好多年。 啥叫解方程 从小到大,说起数学,不就是一个个方程吗?一元线性方程修路、多元线性方程组算鸡和鸭、一元二次方程套公式,有关于三次方程和四次方程的...
  • 新人教版初中数学八年级上册《第十四章整式的乘法与因式分解:数学活动》赛课教学设计_0.pdf
  • 这是整理发布的一款《三角形》课件PPT,PPT主要以初中数学课程为主,适合老师及学生使用,需要...该文档为《用公式法进行因式分解》PPT课件1,是一份很不错的参考资料,具有较高参考价值,感兴趣的可以下载看看
  • 本文档属于学习类文档,有需要的朋友可以自助下载。
  • dreamoondreamoondreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoondreamoondreamoon很狡猾,写了一个能解...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 17
收藏数 334
精华内容 133
关键字:

初中因式分解