卡尔曼滤波器 订阅
卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种利用线性系统状态方程,通过系统输入输出观测数据,对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响,所以最优估计也可看作是滤波过程。数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术,Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中,估计动态系统的状态。由于它便于计算机编程实现,并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理,Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法,在通信,导航,制导与控制等多领域得到了较好的应用。 展开全文
卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种利用线性系统状态方程,通过系统输入输出观测数据,对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响,所以最优估计也可看作是滤波过程。数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术,Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中,估计动态系统的状态。由于它便于计算机编程实现,并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理,Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法,在通信,导航,制导与控制等多领域得到了较好的应用。
信息
提出时间
1958
表达式
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
提出者
斯坦利·施密特
应用学科
天文,宇航,气象
中文名
卡尔曼滤波器,Kalman滤波,卡曼滤波
适用领域范围
控制、制导、导航、通讯等现代工程
外文名
KALMAN FILTER
卡尔曼滤波背景
斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实 现了卡尔曼滤波器。卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
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问答
  • 卡尔曼滤波器可以实现对过去、当前和未来目标位置的估计,所以想通过卡尔曼滤波器的设计思路找到一些灵感。虽然最后发现:卡尔曼滤波器中的状态量是有具体的物理含义的物理量,而表征轴承故障状态的量只是一种表征量...

    这段时间做轴承故障诊断和预测的时候,需要一个针对已经获取了特征向量的工具来对轴承故障状态进行估计和预测。卡尔曼滤波器可以实现对过去、当前和未来目标位置的估计,所以想通过卡尔曼滤波器的设计思路找到一些灵感。虽然最后发现:卡尔曼滤波器中的状态量是有具体的物理含义的物理量,而表征轴承故障状态的量只是一种表征量。这两者之间存在着本质的差别,因为轴承的退化过程目前为止还不能建模。虽然如此,我还是想将卡尔曼滤波器详细的推导过程分享给大家。
    学习过程中,参考了白巧克力亦唯心的文章:卡尔曼滤波–从推导到应用(一)卡尔曼滤波–从推导到应用(二),在此给出直达连接。他/她的文章有故事,有推导,有例子,有代码,很优秀,向大家推荐。我在这篇文章里希望把很多文章中语焉不详的推导,以及符号的定义阐释清楚,并加入一些自己的理解,希望和大家分享。第一次写博客,markdown编辑器的用法还不熟悉,公式编辑会花去很多时间。所以直接用图片代替了,希望大家能够理解,以后我会慢慢按照标准的格式来编辑公式的。
    一、基本卡尔曼滤波器(BKF)
    卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文最早由Swerling(1958)发表了这种想法。
    1、基本动态模型
    假设1:k时刻的真实状态是从k-1时刻的真实状态演化而来;
    假设2:演化与测量的过程由线性算子来描述。
    2、两个基本的方程
    四个状态值的定义:
    这里写图片描述
    状态转移方程:
    这里写图片描述
    状态测量方程:
    这里写图片描述
    基于k-1时刻状态对k时刻状态的估计值与真实值之间的差称为估计误差,该估计误差的协方差矩阵的定义为后验估计误差协方差矩阵,用下式表示:
    这里写图片描述
    其模型拓扑结构用隐马尔科夫链可以表示成图1(维基百科:卡尔曼滤波)这样:
    这里写图片描述
    图1 卡尔曼滤波的隐马尔可夫链式模型
    3、两个基本的过程
    3.1 预测过程
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    从公式(3)*推导公式(2):
    这里写图片描述
    3.2 更新过程
    我们基于k-1时刻对k时刻状态的估计是否正确,需要用与实际测量值之间的误差来衡量,并且考虑用这个误差来补偿。所以在更新之前,我们应该计 算实际测量值与估计输出值之间的差值及其协方差矩阵。
    这里写图片描述
    (3)式的协方差矩阵表示为:
    这里写图片描述
    下面推导公式(4):
    这里写图片描述
    然后我们再进行更新的步骤。更新是指:由基于k-1时刻对k时刻状态的估计值应当如何得到k时刻的估计值。卡尔曼的思想就是:用基于k-1时刻对k时刻状态的估计值与预测输出值和实际输出值之间的差进行线性组合得到k时刻的估计值,连接这两者的就是卡尔曼增益。这里体现的就是反馈的思想,更新过程的第一步用下式表示:
    这里写图片描述
    那么现在问题来了,如何求取这个卡尔曼增益呢?
    这时候我们应该回到我们的出发点,我们希望的是滤除干扰真实状态的噪声,是滤波器的估计状态与真实状态最为接近。最为接近可以理解为k时刻的真实状态与k时刻的估计状态之间的误差二范平方和最小,也就等价于协方差矩阵的迹最小。可以表示为:
    这里写图片描述
    在这种情况下求取的卡尔曼增益称为最优卡尔曼增益。求取的过程就是直接上式对卡尔曼增益求一阶导数。
    更新过程的第二步,就是计算卡尔曼增益:
    这里写图片描述
    下面给出推导过程:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    最优卡尔曼增益计算出来之后,我们发现在最优卡尔曼增益情况下可以对后验误差协方差矩阵进行简化。第三步就是计算在最优卡尔曼增益下的后验误差协方差矩阵:
    这里写图片描述
    推导过程:
    这里写图片描述
    4、总结
    卡尔曼在滤波器的推导过程就已经完成了,下面我们再将它们整合到一起,有个更清晰的认识:
    这里写图片描述
    将这些方程做成框图:
    这里写图片描述
    从中可以看到,只要对初始状态进行设定,卡尔曼滤波器就可以完成迭代了。
    下面的图是我用白巧克力亦唯心提到的匀加速的例子做了三张GIF来动态展示这个过程,以示其效果。
    这里写图片描述
    图2 理论值
    这里写图片描述
    图3 测量值
    这里写图片描述
    图4 卡尔曼滤波结果
    该卡尔曼滤波器是从第10个时间步才开始测量的,之前保持为0。
    二、扩展卡尔曼滤波器(EKF)
    EKF只是在KF的基础之上改变了状态转移函数和测量函数,从而将卡尔曼滤波器的线性算子变为非线性算子。下面只给出与KF不同的地方的公式推导。其他部分参考KF的推导。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    可以看出,EKF依然是在KF的框架内进行的改进,所以思路与KF是完全一致的。只是这里写图片描述这里写图片描述的计算方法不同。
    下面给出推导过程。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    到这一步,近似最优卡尔曼增益的计算就与KF的推导过程完全一致了,在此不再赘述。
    只是需要注意一下的是:此处为什么是近似最优卡尔曼增益而不是最优卡尔曼增益。这是因为计算这里写图片描述这里写图片描述的时候理论上应该计算函数f和h的雅可比矩阵。但是实际操作起来非常困难,特别是对于一些复杂的非线性系统。因此往往采用泰勒展开去一阶线性的部分。由于近似,得到的卡尔曼在增益也就不是最优卡尔曼增益,而是近似最优卡尔曼增益。这就直接导致了EKF在高度非线性系统下性能锐减的必然结果。而且系统初始状态估计错误或者说建模不正确,EKF也会迅速发散。所以在第三部分介绍的UKF则避免了求取函数的雅可比矩阵,从而提高了滤波器的性能和鲁棒性。
    三、无向卡尔曼滤波器(UKF)
    UKF依然没有脱离KF的框架。只不过对下一时刻状态的预测方法变成了sigma点集的扩充与非线性映射。这样做有两个优点:1、避免了复杂非线性函数雅可比矩阵的复杂运算;2、保证了非线性系统的普遍适应性。此外,由于高斯分布sigma点集的扩展,使高斯分布的噪声得到抑制。
    预测过程:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    更新过程:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    在准确建模的前提下,KF,EKF和UKF都有不错的表现。但是对于很多复杂的系统而言,建模就是一个复杂的问题。如果模型参数没办法准确估计,那么卡尔曼滤波器的应用就会受到限制。在不知道模型参数的情况下,可以通过蒙特卡洛采样,特别是粒子滤波的方法来对参数进行估计。这也是笔者继续研究的方向。以上内容,仅供参考。限于水平,难免纰漏。如有不妥之处,还请告知。

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  • 卡尔曼滤波器

    2020-09-09 11:03:53
    卡尔曼滤波器

    卡尔曼滤波器

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    1298c6d264006c0fe0c77be6dde4c488.png
    如果有同学对微积分与线性代数有疑惑,非常建议去哔哩哔哩上去看3Blue1Brown的视频,这位老师在数学方面的可视化教学能够让你在很短的时间内抓住很多本质的东西。

    Computing the Derivative计算导数

    如果你已经学习到这里了,恭喜你啊,你已经可以很好的理解卡尔曼滤波器、多维卡尔曼滤波器及扩展卡尔曼滤波器的很多概念了。但是,还有两件事要考虑:

    1. 在不知道它的基本函数的情况下,如何从实际信号中计算一阶导数;
    2. 如何将我们的单值非线性状态/观测模型推广到我们一直在考虑的多值系统中;

    为了回答第一个问题,我们注意到函数的一阶导数定义为当

    接近零时,该函数的连续值之间的差除以
    的极限(微分概念):

    2108aabca5fb543f3bbb0b9dcca58b3f.png

    如果你不明白这个等式,别担心:想想减去信号y的连续差来近似其第一个差导数:

    4a18490d717f9b6f84caaf930c861deb.png

    实际上,正如下面的演示,这种有限差分公式通常是一阶导数的一个非常好的近似值。演示允许我们在与上一页相同的三个函数中进行选择(如间隔[0,1]所示),但这次我们可以在导数和有限差之间进行选择(下面演示的是非线性方程的微分图示):

    6979332467032574032e8702cae2191b.png

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    如果一个信号(如传感器值

    )是另一个信号的函数(如状态
    ), 我们可以使用第一个信号的连续差除以第二个信号的连续差:

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    A Nonlinear Kalman Filter非线性滤波器

    那么我们能用一阶导数做什么呢?这里是我们的线性卡尔曼滤波器的方程组,使用一个没有状态转换或控制信号的模型,仅有过程噪声,一个传感器和一个状态值:

    7a2f8b4b8d880addfc65991fed4ac846.png

    使用我们在第五部分多维卡尔曼滤波器的写法就是:

    f632c03965c192c938187be7711fff27.png

    这里需要明确,1)传感器观测模型在第五部分写成

    ,在这里写作
    .2)卡尔曼增益我们一直使用符号K表示,这里使用的是
    。只是符号表示上发生来一些变化。

    现在我们将修改这些方程以反映传感器的非线性关系。使用一个函数h代表任何非线性函数(比如我们的例子中的

    ),
    表示在时间k时的一阶导数,我们可以得到:

    8d3511e68d934b2907f2a7d38e79b7c9.png

    下面的演示显示了温度随着时间的波动,但是单个传感器具有非线性响应且没有偏差。我们可以从三种不同的非线性传感器函数中进行选择,并将我们的非线性卡尔曼滤波器与线性版本进行比较。如我们所见,在线性版本中,对c参数的任何调整都不足以获得与原始信号一样好的拟合效果。右边的图显示了非线性函数本身的形状,供参考:

    0a6914ca8f31ef43e9936bfa3224b1d1.png

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