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  • 自动控制领域大牛Alberto Bemporad博士课程“Model Predictive Control”讲义,讲解了线性系统的模型预测控制,并通过实例进行了仿真,讲义中附有MATLAB代码
  • 线性定常系统的串联校正,是自控实验的报告。
  • 在文 中, 求解线性定常系统状态方程时, 计算冗长烦琐, 十分不便。本文以最新版MATLAB6.5 为基础, 给出应用MATLAB 求解状态方程的两种实现方法.为了方便使用, 这两种方法被分别编制成MATLAB 的函数形式, 求解状态方程...
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  • 介绍了分数阶线性定常系统的能控性定义以及状态方程解的一般表达式,给出了状态转移矩阵的概念,并在此基础上提出并证明了分数阶线性定常系统能控性的格拉姆(Gram)矩阵判据,所得结论对分数阶控制系统的分析与综合是...
  • 在《自动控制原理》(胡寿松著第六版)这本书中的第12页,讲到了自动控制系统的分类,其中本书主要的研究的是线性定常系统,见图 但第一次见到它的表达式难免产生疑问:什么是线性微分方程?为什么线性定常...

    注明:本文部分内容摘自知乎的某些问题的某些回答,由于比较庞杂,故不一一标明出处,但是会推荐一些值得大家学习的答主,说不定他的某个回答或文章就能帮到你

    --------------------------------------------------------------------正文-----------------------------------------------------------------------

    在《自动控制原理》(胡寿松著第六版)这本书中的第12页,讲到了自动控制系统的分类,其中本书主要的研究的是线性定常系统,见图

    但第一次见到它的表达式难免产生疑问:什么是线性微分方程?为什么线性定常系统要用线性微分方程表示?

    下面是几个比较容易理解且相我认为正确的回答

     

    这位大神的文章都很好,感兴趣的可以搜一搜,看文章又不要钱,这里为了解决当前问题只截选了相关部分 

    你们如果懒得搜,这是他的知乎主页链接https://www.zhihu.com/people/galieluo/activities

     

    要研发一个成功的机电产品,在物理实体上需要解决什么问题呢?——以机器人为例(也是一个典型的机电产品),作为一个“人”,必须要解决好两个“流”的问题:一个是“信息流”,另一个是“动力流”。我们经常说的自动控制,信号处理、传感检测其实都属于“信息流”的范畴,解决的是大脑和神经的问题。

    而“动力流”,则是要解决躯干和肌肉问的题。“动力流”包括动力的产生、传递和执行,产生动力(机械能)的源泉一般是发动机(engine)或者是电动机(motor),一个是由化学能转化而来,一个是由电能转化而来。传动机构主要包括各种杆系、齿轮、滚珠丝杠、轴承等部件组成,部件之间又通过旋转运动副、直线运动副等连接。执行机构典型的如机械手等。

    数学上怎么解决两个“流”的事呢?——两类微分方程:一个是常微分方程(Ordinary Differential Equation)简称ODE;另一个是偏微分方程(Partial Differential Equation)简称PDE。有的童鞋可能纳闷啦?我们学的方程那么多,为啥必须是微分方程呢?——答案很简单,因为我们要研究的系统都是变化的,而变化也就意味着微分,如果一时不能理解,想一想微分的定义——函数改变量的线性主要部分。

    一个典型的常微分方程长成下面这个样子:

    变量只和时间 t 有关系,和空间位置没关系,换句话说,常微分方程描述的是单质点的变化规律,如:某个物体在重力作用下做自由落体运动,下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,飞行的轨道等等。常微分方程一般是把研究对象当成一个质点或者刚体,研究整体的运动规律。

    或者说

    偷个懒直接截图了,这样也方便你们找到出处 

    虽然到这可能还是对微分方程一知半解,但应该对微分方程的意义有了一个大概的了解了

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  • 线性定常系统的能控性和能观测性.doc
  • 控制系统 状态空间表达式 的 解 就是求解系统: x˙=Ax+Bux(0)=x0y=Cx+Du \begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu \qquad x(0)=x_{0}\\ y&=Cx+Du \end{aligned} x˙y​=Ax+Bux(0)=x0​=Cx+Du​ 在给定初始条件x(0)=...

    将这句话拆分开:
    控制系统 状态空间表达式

    就是求解系统:
    x ˙ = A x + B u x ( 0 ) = x 0 y = C x + D u \begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu \qquad x(0)=x_{0}\\ y&=Cx+Du \end{aligned} x˙y=Ax+Bux(0)=x0=Cx+Du
    在给定初始条件 x ( 0 ) = x 0 x(0)=x_{0} x(0)=x0控制输入 u ( t ) u(t) u(t)共同作用下

    状态向量输出向量的随时间变化的规律 x ( t ) x(t) x(t) y ( t ) y(t) y(t)


    1.线性系统一定满足叠加原理

    系统在初始状态 x 0 x_0 x0控制输入 u ( t ) u(t) u(t)共同作用下的运动状态 x ( t ) x(t) x(t),可以分解为由初始状态 x 0 x_0 x0控制输入 u ( t ) u(t) u(t)分别单独作用产生的运动状态 x 0 u ( t ) x_{0u}(t) x0u(t) x 0 x ( t ) x_{0x}(t) x0x(t)的叠加,即 x ( t ) = x 0 u ( t ) + x 0 x ( t ) {\color{00a100}x(t)}={\color{9100c9}x_{0u}(t)}+{\color{008b8b}x_{0x}(t)} x(t)=x0u(t)+x0x(t)

    2.零输入响应

    定义为只有初始状态作用即 x 0 ≠ 0 x_{0} \neq 0 x0=0,而无输入作用,即 u ≡ 0 u\equiv 0 u0是系统的状态响应 x 0 u ( t ) x_{0u}(t) x0u(t).

    零输入响应 x 0 u ( t ) x_{0u}(t) x0u(t)就是自治方程:
    x ˙ = A x , x ( 0 ) = x 0 \dot{x}=Ax, x(0)=x_{0} x˙=Ax,x(0)=x0
    非平衡初始状态 x 0 x_{0} x0作用下的自由解

    3.零状态响应

    定义为只有输入作用 u ≢ 0 u \not\equiv 0 u0,而无初始状态作用即 x 0 = 0 x_{0}=0 x0=0时系统的状态响应 x 0 x ( t ) . x_{0x}(t). x0x(t).

    零状态响应 x 0 x ( t ) x_{0x}(t) x0x(t)就是方程
    x ˙ = A x + B u x ( 0 ) = 0 \dot{x}=Ax+Bu \qquad x(0)=0 x˙=Ax+Bux(0)=0
    平衡初始状态时,输入 u u u激励作用下的强迫运动

    4.零输入响应计算

    线性定常系统其次状态方程:
    x ˙ = A x , x ( 0 ) = x 0 , t ≥ 0 ( 1 ) \dot{x}=Ax, x(0)=x_{0}, t \ge 0 \qquad(1) x˙=Ax,x(0)=x0,t0(1)
    的解,即系统的零输入响应 x 0 u x_{0u} x0u为:
    x 0 u = e A x x 0 , t ≥ 0 x_{0u}=e^{Ax}x_{0},\qquad t\ge 0 x0u=eAxx0,t0
    式中, e A t e^{At} eAt为系统矩阵 A A A的矩阵指数函数:
    e A t = d e f I + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + . . . = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! A k t k e^{At}\overset{def}{=}I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k} eAt=defI+At+2!1A2t2+...=k=0k!1Aktk

    证明:

    令方程 ( 1 ) (1) (1)的解为系数向量待定的一个幂级数,即:
    x 0 u ( t ) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + . . . = ∑ k = 0 ∞ b k t k ( 2 ) x_{0u}(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t{^k}\qquad (2) x0u(t)=b0+b1t+b2t2+...=k=0bktk(2)
    其必满足方程 ( 1 ) (1) (1),将上式代入方程 ( 1 ) (1) (1),可得:
    b 1 + 2 b 2 t + 3 b 3 t 2 + . . . = A ( b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + . . . ) b_{1}+2b_{2}t^{}+3b_{3}t^{2}+...=A(b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...) b1+2b2t+3b3t2+...=A(b0+b1t+b2t2+...)
    比较可得:
    b 1 = A b 0 b 2 = 1 2 A b 1 = 1 2 A 2 b 0 . . . b k = 1 k ! A k b 0 . . . \begin{aligned} b_{1}&=Ab_{0}\\ b_{2}&=\frac{1}{2}Ab_{1}=\frac{1}{2}A^{2}b_{0} \\ ...\\ b_{k}&=\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}\\ ... \end{aligned} b1b2...bk...=Ab0=21Ab1=21A2b0=k!1Akb0将求得的待定系数,代入式 ( 2 ) (2) (2)可得:
    x 0 u ( t ) = ( I + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + 1 3 ! A 3 t 3 . . . ) b 0 x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)b_{0} x0u(t)=(I+At+2!1A2t2+3!1A3t3...)b0
    有初始条件 x 0 u ( t ) = x 0 x_{0u}(t)=x_{0} x0u(t)=x0可得 b 0 = x 0 b_{0}=x_{0} b0=x0,故:
    x 0 u ( t ) = ( I + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + 1 3 ! A 3 t 3 . . . ) x 0 = e A t x 0 x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)x_{0}=e^{At}x_{0} x0u(t)=(I+At+2!1A2t2+3!1A3t3...)x0=eAtx0证毕

    5.线性定常系统零输入响应的几点说明

    • 如果 t t t取某个固定值,零输入响应就是状态空间中由初始状态 x 0 x_{0} x0经线性变换阵 e A t e^{At} eAt所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态 x 0 x_{0} x0出发,并由各个时刻的变换点 x ( t ) x(t) x(t)所组成的一条轨线;
    • 零输入响应轨线的形态有矩阵指数函数唯一的确定;
    • 线性定常系统渐进稳定的充要条件是: lim ⁡ x → + ∞ e A t = 0 \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{At}=0 x+limeAt=0
      系统渐进稳定的条件是:当 x → + ∞ x\rightarrow +\infty x+,自由运动的轨线将趋于系统的平衡状态 x e = 0 x_{e}=0 xe=0,即状态空间的原点
    • 求解零输入响应的核心是计算矩阵指数函数 e A t e^{At} eAt
    • x ( t 0 ) = x 0 , t 0 ≠ 0 x(t_{0})=x_{0}, t_{0}\neq0 x(t0)=x0,t0=0时,零输入响应表达式更一般的形式: x 0 u = e A ( t − t 0 ) x 0 t ≥ t 0 x_{0u}=e^{A(t-t_{0})}x_{0}\quad t\ge t_{0} x0u=eA(tt0)x0tt0
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  • 通过分析系统性质及矩阵A、B的特点,提出了两种新的有效的多输入线性定常系统闭环极点配置的算法.
  • 给定初始状态为零的线性定常系统: x˙=Ax+Bu,x(0)=0,t≥0 \dot x=Ax+Bu,x(0)=0,t\ge0 x˙=Ax+Bu,x(0)=0,t≥0 其中,xxx为nnn维状态向量,uuu为rrr维输入向量,AAA和BBB分别为n×n\timesn×n和n×rn\times rn×...

    零状态响应计算

    给定初始状态为的线性定常系统:
    x ˙ = A x + B u , x ( 0 ) = 0 , t ≥ 0 \dot x=Ax+Bu,x(0)=0,t\ge0 x˙=Ax+Bux(0)=0t0
    其中, x x x n n n维状态向量, u u u r r r维输入向量, A A A B B B分别为 n × n\times n×n和 n × r n\times r n×r的常阵,那么系统的零状态响应可以表示为:
    x 0 x ( t ) = ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ t ≥ 0 x_{0x}(t)=\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau\quad t\ge0 x0x(t)=0teA(tτ)Bu(τ)dτt0

    (累了累了,休息一会儿…)

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空空如也

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线性定常系统