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  • 向量的叉乘运算法则
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    2021-01-13 03:30:55

    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    点乘和叉乘的区别

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    物理学中的应用

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

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    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

                          

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a·b=0    正交,相互垂直

    a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

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    先阐述一下向量的概念和公式,再结合例子去验证这些公式

    1、向量的模:向量的大小就是向量各分量平方和的平方根。

    向量的模公式: 设 a = (x, y, z),|a|= sqr(x * x + y * y + z * z);

    对应unity中的Vector3.magnitude;比较模的大小时,用Vector3.sqrMagnitude,表示模的平方,这样少了一个开根号的运算。

    2、单位向量:模等于1的向量,用向量的模分之一乘以原向量,设向量a,则单位向量 n=a/|a|

    对应unity中的Vector3.normalized

    3、向量的距离公式: 设 a = (x1, y1, z1),b=(x2,y2,z2),距离dis=sqr((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)+(z2-z1)*(z2-z1))

    对应unity中的Vector3.Distance(a,b)

    4、向量的点乘:对应分量乘积的和,结果是一个标量,不是一个向量

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    运算法则为向量向量b=|a||b|cos叉乘,也叫向量的外积、向量积。运算法则为|向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin。运算法则点乘点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。向量向量b=|a||b|...

    点乘,也叫向量的内积、数量积。运算法则为向量a·向量b=|a||b|cos叉乘,也叫向量的外积、向量积。运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin。

    运算法则

    点乘

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    因此向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    几何意义

    点乘的几何意义

    可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。

    叉乘的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。

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两向量点乘坐标运算