微分方程包括：常微分方程ode与偏微分方程pde

偏微分方程阶数：方程中存在的最高阶数

线性偏微分方程：方程中未知函数u及其导数都是线性的

齐次偏微分方程：齐次+线性偏微分方程，齐次是指f(x,t)=0

拟线性偏微分方程/半线性偏微分方程：最高阶项是线性的非线性pde

完全非线性偏微分方程：最高阶是非线性的

 

 

范定方程：描写一类物理现象的，不含定解条件的pde

定解条件包括初值条件，边值条件，衔接条件

范定方程+定解条件来构成定解问题

 

1.1 波动方程及其定解问题

1.1.1 波动方程的导出

利用动量守恒列出弦的横向微振动方程

利用动量守恒列出杆的横向振动方程

 

1.1.2定解条件 下面以弦的横线振动为例

初始条件/柯西条件：已知初始位移与初始速度

第一类边界条件/狄利克雷条件：已知两端的运动规律

第二类边界条件/诺伊曼条件：已知两端受力情况

第三类边界条件/罗宾条件：已知两端的支撑情况

衔接条件：载荷及材料变化处，两端的位移关系与受力关系

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u对t求一阶导表示速度，求两阶导表示加速度

横向振动：u对x求导表示斜率；纵向振动：u对x求导表示相对伸长量，相当于应变。

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传播速度

a=sqrt(E/ρ) 弹性纵波沿杆的纵向传播速度   杆的纵向振动

a=sqrt(G/ρ)剪切弹性波的纵向传播速度      轴的扭转振动

a=sqrt(T/ρ)弹性横波的纵向传播速度         弦的横向振动    T为弦的张力

a=(EI/ρA)**(1/4) 梁弯曲振动的横向传播速度  梁的横向振动

 

三维波动方程的定解条件

初始条件：已知初始位移与初始速度

第一类边值：已知边界上的u

第二类边值：已知边界上u沿法线的变化率 ∂u/∂n

第三类边值：已知边界上的K*u+h*∂u/∂n

 

 

1.2热传导方程及其定解问题

热传导：分子碰撞，一个分子将自己的动能传递给另一个分子

热对流：分子运动，从一个区域运动到另一个区域，那么他就带走了原先区域的能量，送给了现在的区域

 

1.2.1 热传导方程

傅里叶热传导定理推导热传导方程

dt时间内，沿法线n流过一微小曲面dS的热量。

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热量守恒定律：V内增加的热量 = 通过边界进入的热量 + V内热源产生的热量

通过边界进入的热量由 高斯公式+傅里叶热传导方程 求出

注：比热容低，则散热快，吸热后 温度升高的多

 

1.2.1扩散方程

菲克定律推出扩散方程

其形式同热传导方程一样

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质量守恒定律：V内增加的质量 = 通过边界进入的质量 + V内质量源产生的质量

通过边界进入的热量由 高斯公式+菲克扩散方程 求出

 

1.2.2定解条件

初始条件：已知初始时刻，物体的温度分布

第一类边界条件：已知物体边界上的温度分布

第二类边界条件：已知物体边界上通过的热量

第三类边界条件：由 牛顿冷却定律+傅里叶传导定律 推出，表示边界上的温度与通过热量的关系

自然边界条件：

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牛顿冷却定律：物体冷却放出的热量和物体与外界的温差成正比

 

注：波动方程u指位移，热传导方程u指温度，扩散方程u指密度

 

1.2.3三维热传导方程及其定解问题

定解问题即 范定方程+初值条件+第n类边界条件

 

1.2.4最值原理

是扩散与热传导方程的特性，波动方程没有。

最值原理：温度的最值点在边界上可以找到

解的唯一性与稳定性：在边界包含的区域内有唯一解，且依赖于初始条件与边界条件

 

1.3位势方程及其定解问题

位势方程包括泊松方程与拉普拉斯方程/调和方程

电位势，重力势，磁位势，速度势，温度势

注：位能与位势

 

1.3.3最值原理

位势方程同样满足最值原理

注：传导方程不随时间变化，即可推出位势方程

 

1.4.2 二阶偏微分方程的分类

双曲型，椭圆型，抛物型

波动方程：双曲型

热传导方程与扩散方程：抛物型

位势方程(拉普拉斯方程与泊松方程)：椭圆型

 

注：

控制方程：在流动与传热问题中满足守恒定律的数学表达式

二次曲线/圆锥曲线：平面截圆锥得到 椭圆，抛物线，双曲线。

流体力学中的控制方程是什么曲线？？？

弹性力学中的平衡 几何 物理方程进行组合得到由位移表示的基本微分方程(二阶)，也可以得到由应力表示的基本微分方程。推导可得，由材料的μ决定方程是双曲型还是椭圆型。

数理学院的课程真的离谱，我本以为数学物理方程会侧重讲物理意义，没想到只是推导微分方程。早知道我就不报了，还不如报个概率论也好过这个。

联想到上学期上的矩阵论。如果面对工科生更应该讲物理含义，而不是如何解题，照着书一步一步来解。