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  • 数学物理方程

    2015-06-28 13:58:59
    数学物理方程,上海交通大学上课的课件,仅用于学业交流,
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    2011-11-27 10:01:11
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    微分方程包括:常微分方程ode与偏微分方程pde

    偏微分方程阶数:方程中存在的最高阶数

    线性偏微分方程:方程中未知函数u及其导数都是线性的

    齐次偏微分方程:齐次+线性偏微分方程,齐次是指f(x,t)=0

    拟线性偏微分方程/半线性偏微分方程:最高阶项是线性的非线性pde

    完全非线性偏微分方程:最高阶是非线性的

     

     

    范定方程:描写一类物理现象的,不含定解条件的pde

    定解条件包括初值条件,边值条件,衔接条件

    范定方程+定解条件来构成定解问题

     

    1.1 波动方程及其定解问题

    1.1.1 波动方程的导出

    利用动量守恒列出弦的横向微振动方程

    利用动量守恒列出杆的横向振动方程

     

    1.1.2定解条件 下面以弦的横线振动为例

    初始条件/柯西条件:已知初始位移与初始速度

    第一类边界条件/狄利克雷条件:已知两端的运动规律

    第二类边界条件/诺伊曼条件:已知两端受力情况

    第三类边界条件/罗宾条件:已知两端的支撑情况

    衔接条件:载荷及材料变化处,两端的位移关系与受力关系

    ------------------------------------------------

    u对t求一阶导表示速度,求两阶导表示加速度

    横向振动:u对x求导表示斜率;纵向振动:u对x求导表示相对伸长量,相当于应变。

    --------------------------------------------------

    传播速度

    a=sqrt(E/ρ) 弹性纵波沿杆的纵向传播速度   杆的纵向振动

    a=sqrt(G/ρ)剪切弹性波的纵向传播速度      轴的扭转振动

    a=sqrt(T/ρ)弹性横波的纵向传播速度         弦的横向振动    T为弦的张力

    a=(EI/ρA)**(1/4) 梁弯曲振动的横向传播速度  梁的横向振动

     

    三维波动方程的定解条件

    初始条件:已知初始位移与初始速度

    第一类边值:已知边界上的u

    第二类边值:已知边界上u沿法线的变化率 ∂u/∂n

    第三类边值:已知边界上的K*u+h*∂u/∂n

     

     

    1.2热传导方程及其定解问题

    热传导:分子碰撞,一个分子将自己的动能传递给另一个分子

    热对流:分子运动,从一个区域运动到另一个区域,那么他就带走了原先区域的能量,送给了现在的区域

     

    1.2.1 热传导方程

    傅里叶热传导定理推导热传导方程

    dt时间内,沿法线n流过一微小曲面dS的热量。

    --------------------

    热量守恒定律:V内增加的热量 = 通过边界进入的热量 + V内热源产生的热量

    通过边界进入的热量由 高斯公式+傅里叶热传导方程 求出

    注:比热容低,则散热快,吸热后 温度升高的多

     

    1.2.1扩散方程

    菲克定律推出扩散方程

    其形式同热传导方程一样

    ----------------

    质量守恒定律:V内增加的质量 = 通过边界进入的质量 + V内质量源产生的质量

    通过边界进入的热量由 高斯公式+菲克扩散方程 求出

     

    1.2.2定解条件

    初始条件:已知初始时刻,物体的温度分布

    第一类边界条件:已知物体边界上的温度分布

    第二类边界条件:已知物体边界上通过的热量

    第三类边界条件:由 牛顿冷却定律+傅里叶传导定律 推出,表示边界上的温度与通过热量的关系

    自然边界条件:

    --------------

    牛顿冷却定律:物体冷却放出的热量和物体与外界的温差成正比

     

    注:波动方程u指位移,热传导方程u指温度,扩散方程u指密度

     

    1.2.3三维热传导方程及其定解问题

    定解问题即 范定方程+初值条件+第n类边界条件

     

    1.2.4最值原理

    是扩散与热传导方程的特性,波动方程没有。

    最值原理:温度的最值点在边界上可以找到

    解的唯一性与稳定性:在边界包含的区域内有唯一解,且依赖于初始条件与边界条件

     

    1.3位势方程及其定解问题

    位势方程包括泊松方程拉普拉斯方程/调和方程

    电位势,重力势,磁位势,速度势,温度势

    注:位能与位势

     

    1.3.3最值原理

    位势方程同样满足最值原理

    注:传导方程不随时间变化,即可推出位势方程

     

    1.4.2 二阶偏微分方程的分类

    双曲型,椭圆型,抛物型

    波动方程:双曲型

    热传导方程与扩散方程:抛物型

    位势方程(拉普拉斯方程与泊松方程):椭圆型

     

    注:

    控制方程:在流动与传热问题中满足守恒定律的数学表达式

    二次曲线/圆锥曲线:平面截圆锥得到 椭圆,抛物线,双曲线。

    流体力学中的控制方程是什么曲线???

    弹性力学中的平衡 几何 物理方程进行组合得到由位移表示的基本微分方程(二阶),也可以得到由应力表示的基本微分方程。推导可得,由材料的μ决定方程是双曲型还是椭圆型。

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    数理学院的课程真的离谱,我本以为数学物理方程会侧重讲物理意义,没想到只是推导微分方程。早知道我就不报了,还不如报个概率论也好过这个。

    联想到上学期上的矩阵论。如果面对工科生更应该讲物理含义,而不是如何解题,照着书一步一步来解。

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    2013-04-24 22:49:19
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