精华内容
下载资源
问答
  • 考研概率论

    2021-04-26 16:19:49
    随机事件与概率 基本概念 随机试验 试验可以在相同的条件下重复进行 试验所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个 每一次试验会出现哪一个结果,事先并不确定 事件 随机事件A,B,C...A,B,C...A,B,C... ...

    随机事件与概率

    基本概念

    随机试验

    • 试验可以在相同的条件下重复进行
    • 试验所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个
    • 每一次试验会出现哪一个结果,事先并不确定

    事件

    • 随机事件A,B,C...A,B,C...
    • 必然事件Ω\Omega
    • 不可能事件\varnothing

    样本空间

    • 样本点:随机试验的每一个可能结果称为样本点,记为ω\omega
    • 样本空间:样本点的全体组成的集合称为样本空间,记为Ω\Omega
    • 基本事件:由一个样本点构成的事件称为基本事件
    • 随机事件AA是由若干个基本事件组成的

    概率

    • 描述性定义

      通常将随机事件AA发生的可能性大小的度量,称为事件A发生的概率,记为P(A)P(A)

    • 统计性定义

      在相同条件下做重复实验,事件A出现的次数k和总的实验次数n之比kn\frac{k}{n},称为事件AA在这nn次试验中出现的频率。当试验次数nn充分大时,频率将稳定于某常数pp的附近。nn越大,频率偏离这个常数pp的可能性越小。这个常数pp就称为事件AA的概率

    • 公理化定义

      设随机试验的样本空间为Ω\Omega,如果对每一个事件A都有一个确定的实数P(A)P(A),且事件函数P()P(\cdot)满足:

      • 非负性:P(A)0P(A) \geq0
      • 规范性:P(Ω)=1P(\Omega) = 1
      • 可列可加性:对于任意可列个互不相容的事件P(i=1nAi)=i=1P(Ai)P(\cup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)

      则称P()P(\cdot)为概率,P(A)P(A)为事件AA的概率

    事件的独立性和独立重复实验

    事件的独立性

    P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B),则AB相互独立,AB代表一个事件或几个事件。只判断两个基本事件独立只能说明是两两独立,想证明相互独立需要多维判断

    试验的独立性

    各个试验结果是相互独立的

    独立试验序列概型

    在相同条件下独立重复进行完全相同的试验,每次实验结果相关结果概率相同

    n重伯努利概型

    只有两个结果AAA\overline{A}的试验重复n次

    事件的关系和运算

    概念 定义
    ABA \cup B
    ABA \cap B
    AB=AAB=ABA-B=A-AB=A\overline{B}
    包含 ABA \subset B
    相等 A=B    AB&BAA=B \iff A \subset B \& B \subset A
    相容 AB=AB=\varnothing
    互斥 ABAB \neq \varnothing
    对立 A\overline{A}
    完备事件组 i=1nAi=Ω,AiAj=\cup_{i=1}^nA_i=\Omega,A_iA_j= \varnothing
    运算法则 吸收律、交换律、结合律、分配律、对偶律
    运算顺序 先逆再交后并差

    概率的基本性质与公式

    名称 公式
    有界性 0P(A)1,P()=0,P(Ω)=10 \leq P(A) \leq 1,P(\varnothing)=0,P(\Omega)=1
    单调性 ABP(BA)=P(B)P(A),P(B)P(A)A \subset B \Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) \geq P(A)
    逆事件概率 P(A)=1P(A)P(\overline{A})=1-P(A)
    加法 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
    加法三维 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)P(A\cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
    减法 P(AB)=P(A)P(AB)=P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline B)
    条件概率 $P(B
    乘法 $P(AB)=P(A)P(B
    多维乘法 $P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2
    全概率公式 $\cup_{i=1}^nA_i=\Omega,A_iA_j= \varnothing \Rightarrow B=\cup_{i=1}nA_iB,P(B)=\sum_{i=1}nP(A_i)P(B
    贝叶斯公式 $\cup_{i=1}^nA_i=\Omega,A_iA_j= \varnothing \Rightarrow P(A_j

    古典概型和几何概型

    要素 古典概型 几何概型
    定义 基本事件有限、等可能 基本事件无限且具有几何度量、等可能
    概率计算 P(A)=knP(A)=\frac{k}{n} P(A)=SASΩP(A)=\frac{S_A}{S_\Omega}

    一维随机变量及其分布

    随机变量

    随机变量就是“其值会随机而定”的变量。设随机试验E的样本空间为Ω=ω\Omega={\omega},如果对每一个ω\omega,如果对每一个ωΩ\omega \in \Omega,都有唯一的实数X(ω)X(\omega)与之对应,并且对任意实数xx,{ωX(ω)x,ωΩ}\{\omega|X(\omega) \leq x,\omega \in \Omega\}是随机事件,则称定义在Ω\Omega上的实值单值函数X(ω)X(\omega)为随机变量。简记为XX

    分布函数

    设X是随机变量,xx是任意实数,称函数F(x)=P{Xx}F(x)=P\{X \leq x\}为随机变量X的分布函数,或称XX服从分布F(x)F(x),记为XF(x)X\sim F(x)

    性质 公式
    F(x)F(x)单调不减 x1<x2F(x1)F(x2)x_1<x_2\Rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)
    F(x)F(x)是右连续的 limxx0+F(x)=F(x0+0)=F(x0)\lim_{x \rightarrow x_0^+}F(x)=F(x_0+0)=F(x_0)
    上下界 F()=limx=0,F(+)=limx+=1F(-\infty)=\lim_{x\rightarrow -\infty}=0,F(+\infty)=\lim_{x\rightarrow +\infty}=1
    计算 P{Xa}=F(a)P{X<a}=F(a0)P{X=a}=F(a)F(a0)P\{X \leq a\}=F(a)\\P\{X < a\}=F(a-0)\\P\{X = a\}=F(a)-F(a-0)

    离散型随机变量和连续型随机变量

    对比 离散随机变量 连续随机变量
    描述 P{X=xi}=piP\{X=x_i\}=p_i F(x)=xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt
    概念 P{X=xi}=piP\{X=x_i\}=p_iXX的分布列、分布律、概率分布 f(x)f(x)XX的概率密度函数
    表示 表格或矩阵
    特性1 P{X=xi}=P{Xxi}P{X<xi}=F(xi)F(xi0)P\{X=x_i\}=P\{X \leq x_i\}-P\{X<x_i\}=F(x_i)-F(x_i-0) P{X=c}=0P\{X=c\}=0
    特性2 P{XB}=xiBP{X=xi}P\{X\in B\}=\sum_{x_i \in B}P\{X=x_i\} P{XB}=Bf(x)dxP\{X\in B\}=\int_Bf(x)dx
    特性3 P{a<Xb}=P{Xb}P{Xa}=F(b)F(a)P\{a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X\leq a\}=F(b)-F(a) P{a<X<b}=P{aX<b}=P{a<Xb}=P{aXb}=abf(x)dx=F(b)F(a)P\{a<X<b\}=P\{a\leq X <b\}\\=P\{a<X\leq b\}=P\{a\leq X \leq b\}\\=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

    常见的随机变量分布类型

    分布名称 符号 定义 期望 方差
    0-1分布 B(1p)B(1-p) P{X=1}=p,P{X=0}=1pP\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1-p pp p(1p)p(1-p)
    二项分布 B(n,p)B(n,p) P{X=k}=Cnkpk(1p)nkP\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} npnp np(1p)np(1-p)
    泊松分布 P(λ)P(\lambda) P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} λ\lambda λ\lambda
    几何分布 G(P)G(P) P{X=k}=(1p)k1pP\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p 1p\frac{1}{p} 1pp2\frac{1-p}{p^2}
    超几何分布 H(n,N,M)H(n,N,M) P{X=k}=CMkCNMnkCNnP\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N_M}^{n-k}}{C_N^n}
    均匀分布 U(a,b)U(a,b) f(x)=1ba(a<x<b),else=0f(x)=\frac{1}{b-a}(a<x<b),else =0 a+b2\frac{a+b}{2} (ba)212\frac{(b-a)^2}{12}
    指数分布 E(λ)E(\lambda) f(x)=λeλx(x>0),else=0f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x>0),else =0 1λ\frac{1}{\lambda} 1λ2\frac{1}{\lambda^2}
    正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) f(x)=12πσe12(xuσ)2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-u}{\sigma})^2} μ\mu σ2\sigma^2
    标准正态分布 N(0,1)N(0,1) f(x)=12πe12x2,f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}, 0 1

    有关正态分布的特性

    XN(0,1)Φ(0)=12,Φ(x)=1Φ(x),P{X>μα}=α,μααX \sim N(0,1) \Rightarrow \Phi(0)=\frac{1}{2},\Phi(-x)=1-\Phi(x),P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha,\mu_\alpha为标准正态分布的上侧\alpha分位数
    XN(μ,σ2)F(x)=Φ(xuσ)aX+bN(aμ+b,a2σ2)F(μx)+F(u+x)=1 \begin{aligned} X\sim N(\mu,\sigma^2) \Rightarrow &F(x)=\Phi(\frac{x-u}{\sigma})\\ &aX+b \sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\\ &F(\mu-x)+F(u+x)=1 \end{aligned}

    一维随机变量函数的分布

    XX为随机变量,函数y=g(x)y=g(x),则以随机变量X作为自变量的函数Y=g(X)Y=g(X)也是随机变量,称为随机变量X的函数

    • 离散P{Y=g(xi)}=piP\{Y=g(x_i)\}=p_i
    • 连续:FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=g(X)yfX(x)dxfY(y)=FY(y)F_Y(y)=P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\}=\int_{g(X)\leq y}f_X(x)dx,f_Y(y)=F_Y'(y)

    多维随机变量及其分布

    基本概念

    多维随机变量

    如果X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是定义在同一个样本空间Ω\Omega上的n个随机变量,则称(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)为n维随机变量或n维随机向量。

    多维随机变量的分布函数

    联合分布函数:对任意的nn个实数x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n,称n元函数F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn}F(x_1,x_2,...,x_n)=P\{X_1 \leq x_1,X_2 \leq x_2,...,X_n\leq x_n\}为n维随机变量的联合分布函数

    性质:单调性、右连续性、有界性、非负性

    边缘分布函数

    设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布函数为F(X,Y)F(X,Y),随机变量X与Y的分布函数FX(x)F_X(x)FY(Y)F_Y(Y)分别称为(X,Y)(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。

    FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y+}=F(x,+)F_X(x)=P\{X \leq x\}=P\{X \leq x,Y \leq +\infty\}=F(x,+\infty)

    FY(y)=F(+,y)F_Y(y)=F(+\infty,y)

    两类二维随机变量

    二维离散随机变量 二维连续随机变量
    概率分布 pij=P{X=xi,Y=yi}p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_i\}
    联合分布函数 F(x,y)=P{X=xi,Y=yj}=xixyjypijF(x,y)=P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum_{x_i \leq x}\sum_{y_j \leq y}p_{ij} F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudvF(x,y)=P\{X \leq x,Y \leq y\}=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv
    P{(X,Y)G}=(xi,yj)GpijP\{(X,Y)\in G\}=\sum_{(x_i,y_j)\in G}p_{ij} P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdyP\{(X,Y)\in G\}=\iint_Gf(x,y)dxdy
    边缘分布 pi=j=1pij,pj=i=1pijp_{i \cdot}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij},p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij} FX(x)=+xdu+f(u,v)dv,fX(x)=+f(x,y)dyF_X(x)=\int_{+\infty}^xdu\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)dv,f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy
    条件分布 $P{X=x_i Y=y_j}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$

    f(x,y)=1SD(x,y)Df(x,y)=\frac{1}{S_D}(x,y) \in D

    f(x,y)=12πσ1σ21ρ2exp{12(1ρ2)[(xμ1σ1)22ρ(xμ1σ1)(xμ2σ2)+(yμ2σ2)2]}f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2]\}

    随机变量的相互独立性

    如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),则XYX与Y相互独立

    P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}恒成立(离散)

    f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)恒成立(连续)

    多维随机变量函数的分布

    XX,YY是随机变量,g(x,y)g(x,y)是二元函数,则U=g(x,y)U=g(x,y)也是随机变量

    F(z)=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdyF(z)=P\{g(X,Y) \leq z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy

    名称 函数 概率密度
    和的分布 Z=X+YZ=X+Y fZ(z)=+f(x,zx)dx=+f(zy,y)dyf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy
    差的分布 Z=XYZ=X-Y fZ(z)=+f(x,xz)dx=+f(y+z,y)dyf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y+z,y)dy
    积的分布 Z=XYZ=XY $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{
    商的分布 Z=XYZ=\frac{X}{Y} $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}
    最大值 Z=max{X,Y}Z=max\{X,Y\} Fmax(z)=F(z,z)F_{max}(z)=F(z,z)
    最小值 Z=min{X,Y}Z=min\{X,Y\} Fmin(z)=FX(z)+FY(z)F(z,z)F_{min}(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F(z,z)

    常见分布的可加性

    随机变量分布 随机变量相加后分布
    XB(n,p),YB(m,p)X \sim B(n,p),Y\sim B(m,p) X+YB(n+m,p)X+Y\sim B(n+m,p)
    PP(λ1),YP(λ2)P \sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) X+YP(λ1+λ2)X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)
    XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22)X\sim N(\mu_1,\sigma^2_1),Y\sim N(\mu_2,\sigma^2_2) X+YN(μ1+μ2,σ12+σ22)X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma^2_1+\sigma^2_2)
    Xχ2(n),Yχ2(m)X \sim \chi^2(n),Y \sim \chi^2(m) X+Yχ(n+m)X+Y \sim \chi(n+m)

    随机变量的数字特征

    数学期望

    EX=i=1xipi,E[g(x)]=i=1g(xi)piEX=+xf(x)dx,E[g(x)]=+g(x)f(x)dxE(i=1naiXi)=i=1naiEXiE(i=1nXi)=i=1nEXi \begin{aligned} &EX=\sum_{i=1}^\infty x_ip_i,E[g(x)]=\sum_{i=1}^\infty g(x_i)p_i\\ &EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx,E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\\ &E(\sum_{i=1}^na_iX_i)=\sum_{i=1}^na_iEX_i\\ &E(\prod_{i=1}^nX_i)=\prod_{i=1}^nEX_i \end{aligned}

    方差、标准差、切比雪夫不等式

    DX=E[(XEX)2]=E(X2)(EX)2()σ(X)=DX()Dc=0D(aX+b)=a2DXD(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)P{XEXε}DXε2 \begin{aligned} &DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-(EX)^2 & (方差) \\ &\sigma(X)=\sqrt{DX}& (标准差)\\ &Dc=0\\ &D(aX+b)=a^2DX\\ &D(X \pm Y)=DX+DY \pm 2Cov(X,Y)\\ & P\{|X-EX|\geq \varepsilon \}\leq \frac{DX}{\varepsilon^2} \end{aligned}

    二维随机变量数学期望

    E[g(X,Y)]=i=1j=1g(xi,yj)pijE[g(X,Y)]=++g(x,y)f(x,y)dxdy \begin{aligned} &E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}\sum_{j=1} g(x_i,y_j)p_{ij}\\ &E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy \end{aligned}

    协方差与相关系数

    Cov(X,Y)=E(XY)EXEYE(XY)={ijxiyjP{X=xi,Y=yj}xyf(x,y)dxdypXY=Cov(X,Y)DXDYCov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,X)=DXCov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2) \begin{aligned} &Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY\\ & E(XY)=\begin{cases} \sum_{i}\sum_jx_iy_jP\{X=x_i,Y=y_j\}\\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dxdy \end{cases}\\ &p_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} &相关系数\\ &Cov(X,Y)=Cov(Y,X) &对称性\\ &Cov(X,X)=DX\\ &Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)\\ &Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2) \end{aligned}

    大数定理与中心极限定理

    依概率收敛

    设随机变量XX与随机变量序列{Xn}\{X_n\},如果对于任何ε0\varepsilon\>0,有
    limnP{XnXε}=0limnP{XnX<ε}=1 \lim_{n\rightarrow \infty}P\{|X_n-X|\geq \varepsilon\}=0或\lim_{n\rightarrow \infty}P\{|X_n-X|< \varepsilon\}=1
    则称随机变量序列{Xn}\{X_n\}依概率收敛于随机变量XX,记为
    limnXn=X(P)XnPX(n) \lim_{n \rightarrow \infty}X_n=X(P)或X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} X (n \rightarrow\infty)

    大数定律

    大数定律 条件 内容
    切比雪夫大数定律 假设{Xn}\{X_n\}是相互独立的随机变量序列,如果方差DXiDX_i存在且一致有上界,寄存在常数CC,使得DXICDX_I \leq C都成立,则{Xn}\{X_n\}服从大数定律 1ni=1nXiP1ni=1nEXi\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\stackrel{P}{\longrightarrow} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nEX_i
    伯努利大数定律 假设μn\mu_nnn重伯努利试验中事件A发生的次数,在每次试验中事件A发生的概率为pp,则 μnnPp\frac{\mu_n}{n}\stackrel{P}{\longrightarrow}p
    辛钦大数定律 假设{Xn}\{X_n\}是相互独立的随机变量序列,如果EXi=μEX_i=\mu存在,则 1ni=1nXiPμ\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\stackrel{P}{\longrightarrow}\mu

    中心极限定理

    中心极限定理 条件 内容
    列德-林德伯格定理 假设{Xn}\{X_n\}是独立同分布的随机变量序列,如果EXi=μ,DXi=σ2EX_i=\mu,DX_i=\sigma^2存在 i=1nXiN(nμ,nσ2)\sum_{i=1}^nX_i \sim N(n\mu,n\sigma^2)
    利莫夫-拉普拉斯定理 假设随机变量YnB(n,p)Y_n\sim B(n,p) YnN(np,np(1p))Y_n\sim N(np,np(1-p))

    数理统计

    总体与样本

    总体

    研究对象的全体称为总体,组成总体的每一个元素称为个体。在对总体进行统计研究时,我们所关心的是表征总体状况的某个(某几个)数量指标X和该指标在总体中的分布情况。我们把总体与随机变量X等同起来,说“总体X”。所谓总体的分布就是指随机变量X的分布

    样本

    n个相互独立且与总体X具有相同概率分布的随机变量X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n所组成的整体(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)称为来自总体X,容量为n的一个简单随机样本,简称样本。一个抽样结果的n个具体数值(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)称为样本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n的一个观测值

    样本的分布

    总体X的分布函数为F(x1,x2,...,xn)=i=1nF(xi)F(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^nF(x_i)

    P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}=i=1nP{Xi=xi}P\{X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n\}=\prod_{i=1}^nP\{X_i=x_i\}

    f(x1,x2,...,xn)=i=1nf(xi)f(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^nf(x_i)

    统计量及其分布

    统计量

    X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n为来自总体的一个样本,g(x1,x2,...,xn)g(x_1,x_2,...,x_n)为n元函数,如果g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,...,Xn)g(X_1,X_2,...,X_n)为样本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n的一个统计量。若(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)为样本值,则称g(x1,x2,...,xn)g(x_1,x_2,...,x_n)g(X1,X2,...,Xn)g(X_1,X_2,...,X_n)的观测值

    常用统计量

    常用统计量 计算公式
    样本均值 X=1ni=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i
    样本方差 S2=1n1i=1n(XiX)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2
    样本标准差 SS
    样本k阶矩 Ak=1ni=1nXikA_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^k
    样本k阶中心矩 Bk=1ni=1n(XiX)kB_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k
    顺序统计量 X(1)X(2)...X(n),X(k)kX_{(1)} \leq X_{(2)} \leq ... \leq X_{(n)},X_{(k)}为第k顺序统计量
    常用统计量的性质 EXi=μ,DXi=σ2,EX=EX=μ,DX=1nDX=σ2n,E(S2)=DXEX_i=\mu,DX_i=\sigma^2,E\overline{X}=EX=\mu,D\overline{X}=\frac{1}{n}DX=\frac{\sigma^2}{n},E(S^2)=DX

    三大分布

    三大分布 描述 性质
    χ2\chi^2 若随机变量X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n相互独立,且都服从标准正态分布,则随机变量X=i=1nXi2X=\sum_{i=1}^nX_i^2服从自由度为nnχ2\chi^2分布,记为Xχ2(n)X \sim \chi^2(n) X1+X2χ2(n1+n2)EX=nDX=2nX_1+X_2 \sim\chi^2(n_1+n_2)\\EX=n\\DX=2n
    tt 设随机变量XN(0,1),Yχ2(n)X \sim N(0,1),Y \sim \chi^2(n),XYXY相互独立,则随机变量t=XY/nt=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布,记为tt(n)t \sim t(n) t1α(n)=tα(n)t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)
    FF 若随机变量Xχ2(n1),Yχ2(n2)X \sim \chi^2(n_1),Y \sim \chi^2(n_2),且XYXY相互独立,则F=X/n1Y/n2F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}服从自由度为(n1,n2)(n_1,n_2)FF分布,记为FF(n1,n2)F \sim F(n_1,n_2) 1FF(n2,n1)F1α(n1,n2)=1Fα(n2,n1)\frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1) \\F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}

    常用结论

    X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是来自正态总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)的一个样本,X,S2\overline{X},S^2分别为样本的均值和方差
    XN(μ,σ2n)1σ2i=1n(Xiμ)2χ2(n)(n1)S2σ2=i=1n(XiXσ)2χ2(n1)XS2n(Xμ)St(n1)n(Xμ)2S2F(1,n1) \begin{aligned} &\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\\ &\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \sim \chi^2(n)\\ &\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^n(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1)\\ &\overline{X}与S^2相互独立,\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)\\ &上面的进一步,有 \frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2} \sim F(1,n-1) \end{aligned}

    参数的点估计

    概念

    设总体XX的分布函数为F(x;θ)F(x;\theta),其中θ\theta是一个未知函参数,X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n是取自总体XX的一个样本。由样本构造一个适当的统计量θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)作为参数θ\theta的估计,则称统计量θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)θ\theta估计量,通常记为θ^=θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)

    如果(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)是样本的一个观察值,将其带入估计量θ^\hat{\theta}中得值θ^(x1,x2,...,xn)\hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n),并且此值作为未知参数θ\theta的近似值,统计中称这个值为未知参数θ\theta估计值

    建立一个适当的统计量作为未知参数θ\theta的估计量,并以相应的观察值作为未知参数估计值的问题,称为参数θ\theta点估计问题

    方法

    1. 矩估计法

      样本矩=总体矩

      1ni=1nXil=E(Xl)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^l=E(X^l)

    2. 最大似然估计法

      • 写出样本的似然函数
        L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ1,θ2,...,θk)=i=1np(xi;θ1,θ2,...,θk)i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θk) L(\theta)=L(x_1,x_2,...,x_n;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)=\prod_{i=1}^np(x_i;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)或\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)

      • L(θ)L(\theta)的最大值,通过上下界或者求偏导得到最大似然估计
        L(θ)θi=0lnL(θ)θi=0 \frac{\partial L(\theta)}{\partial\theta_i}=0 或者\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial\theta_i}=0

    估计量的评价标准

    评价 定义
    无偏移 Eθ^=θE\hat{\theta}=\theta
    有效性 D(θ1^)<D(θ2^)D(\hat{\theta_1}) <D(\hat{\theta_2}),则称θ1^\hat{\theta_1}更有效
    一致性 如果对任意$\lim_{n \rightarrow \infty}P{

    参数的区间估计

    θ\theta是总体XX的一个未知参数,对于给定α\alpha,如果由样本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n确定的两个统计量θ1^=θ1^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(X_1,X_2,...,X_n),θ2^=θ2^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(X_1,X_2,...,X_n),使

    P{θ1^(X1,X2,...,Xn)<θ<θ2^(X1,X2,...,Xn)}=1αP\{\hat{\theta_1}(X_1,X_2,...,X_n) < \theta < \hat{\theta_2}(X_1,X_2,...,X_n)\}=1-\alpha

    则称随机区间(θ1^,θ2^)(\hat{\theta_1},\hat{\theta_2})θ^\hat{\theta}置信度为1α1-\alpha的置信区间,θ1^\hat{\theta_1}θ2^\hat{\theta_2}分别称为θ\theta的置信度为1α1-\alpha的双侧置信区间的置信下限置信上限1α1-\alpha称为置信度置信水平,α\alpha称为显著性水平

    正态总体均值的置信区间

    待估参数 其他参数 枢轴量的分布 置信区间
    μ\mu σ2\sigma^2已知 Z=Xμσ/nN(0,1)Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) (X±σnzα/2)(\overline{X}\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})
    μ\mu σ2\sigma^2未知 t=XμS/nt(n1)t=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) (X±Sntα/2(n1))(\overline{X}\pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1))

    (课本中有更多,看情况是否补充)

    假设检验

    在统计假设中,对假设进行检验。原问题称为原假设H0H_0,其否定称述为对立假设H1H_1。对原假设作出否定或不否定的推论,称为对H0H_0的显著性检验。使用的思想是小概率事件为假

    在假设检验中,由拒接原假设H0H_0的全体样本点所组成的集合C称为否定域,C的补集称为H0H_0的接受域

    正态总体下的六大检验及拒绝域

    σ2\sigma^2 uu H0H_0 统计量 拒绝域
    已知 未知 μ=μ0\mu=\mu_0 Z=Xμσ/nZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} $
    未知 未知 μ=μ0\mu=\mu_0 T=XμSn/nT=\frac{\overline{X}-\mu}{S_n^*/\sqrt{n}} $
    已知 未知 μμ0\mu \leq \mu_0 Z=Xμσ/nZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} zzαz \geq z_\alpha
    已知 未知 μμ0\mu \geq \mu_0 Z=Xμσ/nZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} zzαz \leq -z_\alpha
    未知 未知 μμ0\mu \leq \mu_0 T=XμSn/nT=\frac{\overline{X}-\mu}{S_n^*/\sqrt{n}} ttα(n1)t \geq t_{\alpha}(n-1)
    未知 未知 μμ0\mu \geq \mu_0 T=XμSn/nT=\frac{\overline{X}-\mu}{S_n^*/\sqrt{n}} ttα(n1)t \leq t_{\alpha}(n-1)

    (课本中有更多,看情况是否补充)

    两类错误

    两类错误 描述 发生概率
    第一类错误:弃真 H0H_0为正,按检验法则,否定H0H_0,此时犯了弃真错误。 $\alpha=P{拒绝H_0
    第二类错误:取伪 H0H_0不真,按检验法则,接受H0H_0,此时犯了取伪错误。 $\beta=P{接受H_0
    展开全文
  • 考研概率论大总结

    2019-04-20 14:13:52
    考研概率论总结,每个知识点简绍详细透彻,专门分享给考研或读博的同学。
  • 概率论定义定理推论等脑图
  • 考研 概率论与数理统计 笔记(含试题及答案)!相信对你考研绝对有很大帮助!希望喜欢!
  • 考研资料,数学方面。。有价值的 东东。。。。。。。。。。。。。。
  • 概率论与数理统计习题全解指南 大家可以看看 对于考数一的或许有帮助
  • 考研概率论与数理统计

    千次阅读 2013-08-31 05:17:40
     据了解,2014年考研大纲九月中旬即将对外公布,届时2014年考研”百米冲刺“即将开始。  这是一个”导向文件“,内容随时更新,敬请读者注意。   《微积分阅览室》  2013年8月26日 注意:

    《微积分阅览室》公告:

             据了解,2014年考研大纲九月中旬即将对外公布,届时2014年考研”百米冲刺“即将开始。

            这是一个”导向文件“,内容随时更新,敬请读者注意。

                                                                   《微积分阅览室》        2013826

    注意:

    1、经过近一年的分析与研究历年的《考研数学大纲》,我们终于确信:J.Keisler《基础微积分》的主要内容完全适用,符合《考研数学大纲》的基本要求。

    2、只要搜索关键字“微积分阅览室”即可进入《微积分阅览室》查阅资料。

    3、请查看“什么是考研电子书?”一文。

    4、请查看”考研:无穷小微积分的不适症“。

    5、请查看”考研:微积分考研模拟题从何而来?“一文。

    6、请查看”考研:进入紧张状态,掌握正确方法“一文。

    7、请查看“考研:如何准确把握考试大纲的要求?”一文。
    8
    、请查看“考研:如何阅读、理解数学考试大纲?”一文。

    9、请查看”考研:数学试卷的内容与题型结构“一文。




    展开全文
  • 考研过来人总结考研数学之概率论知识点归纳
  • 东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题东北大学概率论考研真题...
  • 考研数学概率论基础知识
  • 考研数学概率论浙大内部课件,我自己收集的就拿出给大家共享一哈!!!!!!!!!!!!!!!!
  • 某知名培训机构概率论讲义,考研数学概率论零基础 ,浙大教材版。以考研大纲为纲 以大学教材为基 零基础全面复习 抓住核心与重点
  • 考研基础概率论笔记

    2021-02-05 23:06:41
    两个选择题一个填空题,一条概率论大题,一条数理统计大题。 五大问题: 如何处理复杂事件 P(A) 如何求分部 f(x) 如何求数字特征:期望和方差 如何使用极限定理(大样本 n足够大) 如何做估计与评价 求复杂...

     

    目录

     

    第一章 如何处理复杂事件

    第二章 如何求分布 (常见的分布)

    第三章 如何求数字特征

    第四章 如何使用极限定理(大样本)

    第五章 如何做估计(只考估计,不考检验)

    老师课件


    第一章 如何处理复杂事件

    考试题型:

    两个选择题一个填空题,一条概率论大题,一条数理统计大题。

    五大问题:

    1. 如何处理复杂事件 P(A)
    2. 如何求分部  f(x)
    3. 如何求数字特征:期望和方差
    4. 如何使用极限定理(大样本 n足够大)
    5. 如何做估计与评价

    求复杂事件概率的方法:

    1. 古典概型(有限可能性)
    2. 几何概型(无限可能性)
    3. 重要公式求概率:对立,减法,加法,独立事件加法公式,贝叶斯定理

    第二章 如何求分布 (常见的分布)

    1. 0~1分布

    2. 二项分布: C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

    3.几何分布: p(1-p)^{^{k-1}}^{^{}}

    4.超几何分布:\frac{C_{m}^{k}C_{N-m}^{n-k}}{C_{N}^{n}}

    5.泊松分布:\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }

    6.均匀分布:\frac{1}{b-a}

    7.指数分布:\lambda e^{-\lambda x}

    8.正态分布:\frac{1}{\sqrt{\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\upsilon ))^{2}}{2\sigma ^{2}}}

    *联合分布

    *边缘分布

    第三章 如何求数字特征

    EX, DX, cov(x,y), \rho _{xy}

    cov(x,y) = E(X-EX)(Y-EY) = EXY - EX*EY

    \rho = \frac{cov(x,y))}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}

    第四章 如何使用极限定理(大样本)

    1.依概率收敛。大数定理,中心极限定理。

    第五章 如何做估计(只考估计,不考检验)

    1.距估计(令期望与平均值相等,列方程解未知数)

    2.最大似然估计(根据已发生的事实,列方程求最大值)

     

    老师课件

    来自2018年新东方张宇老师的基础课程。

    链接:https://pan.baidu.com/s/1kGz_BEJKzKPd-WwjaVLhoQ 
    提取码:k468 

     

     

     

     

    展开全文
  • 编者主讲考研数学《概率论与数理统计》已有十几年,积累了较为丰富的教学实践经验。本书正是根据编者的讲稿精心提炼而成,力图用*少的篇幅、全面周到的讲解和精心设计的题目让同学们在较短的时间内学好概率论与数理...
  • 概率论考研真题

    2018-04-14 23:07:58
    笔记期末题等是针对西安交通大学考研备考复习最新编撰的考研复习全套资料,能够有效的帮助你进行西安交通大学考研专业课复习。
  • 考研复习之概率论word文档考研复习之概率论word文档
  • 本书包含考研高等数学所考查的所有知识点,详略得当,适合考生备考练习,重点突破,消除短板。 2.考查要求明确。每章开始都列出大纲的考查要求,方便学生自测复习效果。 3.题型总结详尽。全书在每一章后均根据本章...
  • 2021考研数学概率论与数理统计常考内容1、随机事件和概率 本章的重点内容: 四个关系:包含,相等,互斥,对立 五个运算:并,交,差 四个运算律:交换律,结合律,分配律,对偶律(德摩根律) 概率的基本性质:...

    2021考研数学概率论与数理统计常考内容1、随机事件和概率

      本章的重点内容:

      四个关系:包含,相等,互斥,对立

      五个运算:并,交,差

      四个运算律:交换律,结合律,分配律,对偶律(德摩根律)

      概率的基本性质:非负性,规范性,有限可加性,逆概率公式

      五大公式:加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

      条件概率

      利用独立性进行概率计算

      n重伯努利概型的计算

      近几年单独考查本章的考题相对较少,从考试的角度来说不是重点,但第一章是基础,大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核,都会用到第一章的知识。

      常见典型题型:

      1)随机事件的关系运算

      2)求随机事件的概率

      3)综合利用五大公式解题,尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容2、随机变量分布

      本章的重点内容:

      随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)

      分布律和概率密度的性质(充要条件)

      八大常见的分布:0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用

      会计算与随机变量相联系的任一事件的概率

      随机变量简单函数的概率分布

      近几年单独考核本章内容不太多,主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。

      常见典型题型:

      1)求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数

      2)一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定

      3)反求或判定分布中的参数

      4)求一维随机变量在某一区间的概率

      5)求一维随机变量函的分布

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容3、二维随机变量

      本章的重点内容:

      二维随机变量及其分布的概念和性质

      边缘分布,边缘密度,条件分布和条件密度

      随机变量的独立性及不相关性

      一些常见分布:

      二维均匀分布,二维正态分布,几个随机变量的简单函数的分布

      本章是概率论重点部分之一,应着重对待。

      常见典型题型:

      1)求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度

      2)已知部分边缘分布,求联合分布律

      3)求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度

      4)两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明

      5)与二维随机变量独立性相关的命题

      6)求两个随机变量的相关系数

      7)求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容4、随机变量特征

      本章的重点内容:

      随机变量的数字特征定义(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)

      常见分布的数字特征

      利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征

      根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望

      常见典型题型:

      1)求一维随机变量函数的数字特征

      2)求二维随机变量或函数的数字特征

      3)求两个随机变量的协方差或相关系数

      4)数字特征在经济中的应用题

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容5、中心极限定理

      本章的重点内容:

      三个大数定律:切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律

      两个中心极限定理:棣莫弗——拉普拉斯定理、列维——林德伯格定理

      本章的内容不是重点,也不经常考,只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以.

      常见典型题型:

      1)估计概率的值

      2)与中心极限定理相关的命题

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容6、参数估计与假设检验

      本章的重点内容:

      参数的点估计、估计量与估计值的概念

      一阶或二阶矩估计和最大似然估计法

      未知参数的置信区间

      单个正态总体均值和方差的置信区间

      两个总体的均值差和方差比的置信区间

      本章重点是矩估计法和最大似然估计法,是常考题型,有时题目会要求验证所得估计量的无偏性。

      常见典型题型:

      1)统计量的无偏性、一致性或有效性

      2)参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征

      3)参数的最大似然估量或估计量或估计量的数字特征

      4)求单个正态总体均值的置信区间

      2021考研数学概率论与数理统计常考内容7、数理统计概念

      本章的重点内容:

      数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩

      常见统计量:

      包括标准正态分布、卡方分布、t分布和F分布,要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定,这些分布的分位数和相应的数值表

      正态总体的抽样分布,包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布

      本章是数理统计的基础,也是重点之一。

      常见典型题型:

      1)样本容量的计算

      2)分位数的求解或判定

      3)总体或统计量的分布函数的求解或判定或证明

      4)求总体或统计量的数字特征23ce2ff050ddf21605cfaee55dc40b49.png

    展开全文
  • 考研数学-概率论笔记.doc考研数学-考研数学-概率论笔记.doc概率论笔记.doc
  • 考研数学概率论浙大内部课件(盛骤)。内容详细
  • 这是从同学那考的,感觉不错,尤其是对想考研的同学来说。
  • 2009XDF考研数学概率论与数理统计 (费允杰)
  • 这是王式安的考研概率论强化班课程视频的百度网盘地址。 王式安,1987-2001年间担任全国研究生入学考试数学命题组组长,教育部考研数学命题组资深专家。原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任、教授,是享受...
  • 张宇/王式安 概率论争议题 【Python版】 ...原文链接: 张宇/王式安 考研数学 概率论争议题 【Java验证版】 一、题目 本题为1987年实考题 设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,其中有10 件一等品, 第...
  • 概率论 考研复习资料

    2009-03-14 16:02:03
    经典哦!是有关概率论基础知识,是考研第一轮复习的好辅导材料。
  • 考研的同学有福了,2022勘验如火如荼,我会不定分享一些最新的考研资料,有疑问可以随时联系我哦 预祝2022考研的同学,只要看贴点赞的,下载有用的,全部考上自己理想的大学 链接:...
  • 该资源为2018年浙江财经大学892概率论考研真题,资源高清无水印哦! 该资源为2018年浙江财经大学892概率论考研真题,资源高清无水印哦!
  • 该资源为2019年浙江财经大学892概率论考研真题,资源高清无水印哦! 该资源为2019年浙江财经大学892概率论考研真题,资源高清无水印哦!

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 3,089
精华内容 1,235
关键字:

考研概率论