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  • 极大线性无关组

    千次阅读 2016-08-14 22:14:30
    极大线性无关组

    题目大意

    给你n(<=300)个最大质因数不超过2000的数x(x<=10^18)
    求从中选取若干个数乘积为完全平方数的方案数

    思路

    选取的数因式分解后每个质因数的出现偶数次

    问题

    如何维护当前数能否与之前的数相乘得到完全平方数呢
    必选当前的数对答案的贡献如何统计呢

    题解

    将每个数因式分解后用01串表示,维护当前极大线性无关组
    若当前的数能由极大线性无关组得到,则当前的数与极大线性无关组凑成的0可以加入任意一个答案集合(贡献为ans),也可以不加入任何一个原有答案集合(贡献为1),则加入该元素后答案数为ans*2+1
    否则将当前01串加入线性无关组

    题目

    hdu5833

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  • 极大线性无关组的方法讨论,王婷,,介绍了线性无关组和极大线性无关组的几个基本性质; 分析了在求极大线性无关组时出现的误区; 给出了极大线性无关组的几种求解方法;
  • 关于极大线性无关组的计算方法

    极大线性无关组求解步骤:
    1、按列构造矩阵
    2、化为最简矩阵观察主元位置
    3、主元位置在哪些列,那哪列就是极大线性无关组

    就以这一个例子为例分析
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  • 向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...


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    1 极大线性无关组

    如下,四个向量构成的向量组,其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示
    (10)(20)(010)(05)(10)(05) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\10\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) 极大线性无关组:α1,α2,α3,α4,α5\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}的部分组α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}满足
    1)α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}线性无关
    2)每个向量均可由α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}表示
    则称α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}是这个向量组的极大无关组(这里的极大是指:找无关的向量组的向量个数最大),比如上面的示例可以选择是 (10)(05)\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right)也可以是(20)(05)\left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right),故极大无关组不是唯一的,但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的

    2 向量组的秩

    定义:极大线性无关组含向量的个数,记作r(α1,α2,...,αs)r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})
    回故一下矩阵的秩:非零子式的最高阶数

    1)0<=r(α1,α2,...,αs)<=s0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=s

    比如下面向量组,根据上述结论,可知极大无关组的个数在0-5之间,但是实际上根据上一节里面的结论:n+1个n维向量组必定线性相关,所以0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{,}0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=min\{向量的个数,向量的维数\}
    (112)(110)(122)(189)(345) \left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\8\\9\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 3\\4\\5\end{matrix}\right) 2)α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}线性无关     r=s\iff r =s
    3)α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}线性相关     r<s\iff r <s

    定理:α1,α2,...,αs\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}可由β1,β2,...,βt\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}表示,则r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) <= r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t})
    注意:等价的向量组有相同的秩,但是有相同秩的向量组不一定等价

    行秩与列秩
    比如
    A=(111113021156910011)A = \left(\begin{matrix} 1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{matrix}\right) 这个向量可以分作行向量组α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)\alpha_{1} = (1,1,1,1,1,3),\alpha_{2}=(0,2,1,1,5,6),\alpha_{3} = (9,1,0,0,1,1)与列向量组β1,β2,β3,β4,β5,β6\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6}

    结论:行秩 = 列秩 = 矩阵的秩r(A)r(A)

    就是利用上面的式子,直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值

    B=(33321553134311)(111033000000)B = \left(\begin{matrix} 3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right)

    3 极大线性无关组的求解

    定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
    (105013000)(105013118)\left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{matrix}\right) 比如将第一行和第二行都加到第三行上面去,将向量拆解成向量组进行表示,左侧为α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0)\alpha_{1} = (1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3} = (5,3,0) ,其中α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}线性无关的,α3=5α1+3α2\alpha_{3} = 5\alpha_{1}+3\alpha_{2}。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示,β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8)\beta_{1} = (1,0,1),\beta_{2}=(0,1,1),\beta_{3} = (5,3,8),显然β1,β2\beta_{1},\beta_{2}是线性无关的,而且β3=5β1+3β2\beta_{3} = 5\beta_{1}+3\beta_{2},也就证明了定理。

    例题,若α1=(1,2,2,1),α2=(2,4,8,0),α3=(2,4,2,3),α4=(3,6,0,6)\alpha_{1} = (1,-2,2,-1),\alpha_{2}=(2,-4,8,0),\alpha_{3} = (-2,4,-2,3),\alpha_{4} = (3,-6,0,-6),求解向量组的极大线性无关组

    基本步骤:

    • 1)不管向量是行或者列,均按照列构成矩阵
    • 2)只用初等行变换,化为行简化阶梯型
    • 3)首非零元所在列做极大无关组
    • 4)其余向量表示系数,直接写出来即可

    解:首先按照前两个步骤完成下列的操作,还是以左侧为α\alpha,右侧为β\beta,发现β1,β2\beta_{1},\beta_{2}线性无关,按照第三步就是直接作为极大无关组,β3,β4\beta_{3},\beta_{4}直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来,比如β3=3β1+12β2,β4=6β132β2\beta_{3} = -3\beta_{1}+\frac{1}{2}\beta_{2},\beta_{4} = 6\beta_{1}-\frac{3}{2}\beta_{2}
    (1223244628201036)(103601123200000000)\left(\begin{matrix} 1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)最后按照刚刚梳理的定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系,故对于β\beta适应的线性关系,对于α\alpha同样适用,所以原向量组的极大线性无关组为α1,α2,α3=3α1+12α2,α4=6α132α2\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3} = -3\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2},\alpha_{4} = 6\alpha_{1}-\frac{3}{2}\alpha_{2}

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  • 极大线性无关组: 在向量组α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_sα1​,α2​,...,αs​中,若存在部分组αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}αi1​​,αi2​​,...,αir​​...

    极大线性无关组:
    在向量组α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s中,若存在部分组αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}满足:
    αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}线性无关;
    ②向量组中任一向量αi(i=1,2,...s)\alpha_i(i=1,2,...s)均可由αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}线性表出。
    则称向量组αi1,αi2,...,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}是原向量组的极大线性无关组。

    注意
    1.向量组的极大线性无关组一般不唯一
    2.只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组
    3.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量本身

    【张宇考研数学基础30讲 2021版】p345 eg.2.3.8 设向量组
    α1=[1,1,2,4]T,α2=[0,3,1,2]T,α3=[3,0,7,14]T,α4=[1,2,2,0]T,α5=[2,1,5,10]T\alpha_1=[1,-1,2,4]^T,\alpha_2=[0,3,1,2]^T,\alpha_3=[3,0,7,14]^T,\alpha_4=[1,-2,2,0]^T,\alpha_5=[2,1,5,10]^T
    则该向量组的极大线性无关组是()
    (A)α1,α2,α3(B)α1,α2,α4(A)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \qquad (B)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4
    正确的做法:
    将向量组合并成矩阵,并做初等行变换,化为阶梯型矩阵,最后化为
    A=[α1,α2,α3,α4,α5]{10312011010001000000}=[β1,β2,β3,β4,β5]=B A = [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5] \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1 &2\\ 0 & 1 &1& 0 &1 \\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0 \end{matrix}\right\} = [\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5] = B
    B中的一组极大线性无关组为β1,β2,β4\beta_1,\beta_2,\beta_4,与对应的极大线性无关组为α1,α2,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4

    错误的方法
    将原来各个向量转置之后拼成了新的矩阵;
    A=[α1T,α2T,α3T,α4T,α5T]T={1124031230714122021510}[α1T,α2T,α3T3α1T,α4Tα1T,α5T2α1T]T={11240312031201040312}A = [\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T,\alpha_5^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\3 & 0& 7 & 14 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \\2 & 1 & 5 & 10 \end{matrix}\right\} \Rightarrow [\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T-3\alpha_1^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T,\alpha_5^T-2\alpha_1^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & -4 \\0 & 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right\}
    此时我们容易看出第一个、第二个、第四个行向量是线性无关的,但是注意了此时与原来的向量的对应关系已经发生了改变,这里变成了α1T,α2T,α4Tα1T\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T线性无关,虽然在本例中不影响最终的结论,但是在其他情形中是无法保证的。所以列向量合并之后做的是初等行变化,不能是初等列变化。 即合并列向量做初等行变化,合并行向量做初等列变化。

    那么为什么列向量组经过初等行变化,化成新的列向量组后,对应关系没有发生改变呢?
    解释:列向量组经过初等行变化,化成新的列向量组,即
    [α1,α2,,αs][β1,β2,,βs][\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s] \longrightarrow [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]
    [α1,α2,,αs]x=0[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]x =0[β1,β2,,βs]x=0[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]x=0是同解方程组(读者朋友可以考虑一下为什么是同解方程组),故α1,α2,,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sβ1,β2,,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s有相同的线性相关性。同样,任何对应的部分向量组
    [αi1,αi2,,αir][βi1,βi2,,βir][\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}] \longrightarrow [\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}]
    [αi1,αi2,,αir]x=0[\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}]x = 0[βi1,βi2,,βir]x=0[\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}]x=0同解,故αi1,αi2,,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}βi1,βi2,,βir\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}有相同的线性相关性

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