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  • 流体力学

    千次阅读 2015-10-02 07:49:58
    流体力学 流体力学是力学的一门分支,是研究流体(包含气体、液体及等离子体)现象以及相关力学行为的科学。流体力学可以按照研究对象的运动方式分为流体静力学和流体动力学,前者研究处于静止状态的流体...

    流体力学

    流体力学力学的一门分支,是研究流体(包含气体液体等离子体)现象以及相关力学行为的科学。流体力学可以按照研究对象的运动方式分为流体静力学流体动力学,前者研究处于静止状态的流体,后者研究对于流体运动的影响。流体力学按照应用范围,分为:水力学空气力学等等。

    流体力学是连续介质力学的一们分支,是以宏观的角度来考虑系统特性,而不是微观的考虑系统中每一个粒子的特性。流体力学(尤甚是流体动力学)是一个活跃的研究领域,其中有许多尚未解决或部分解决的问题。流体动力学在数学上非常复杂,最佳的处理方式是利用电脑进行数值分析。有一个现代的学科称为计算流体力学,就是用数值分析的方式求解流体力学问题。粒子图像测速技术是一个将流体流场视觉化并进行分析的实验方式,也利用了流体高度可见化的特点。

    理论流体力学的基本方程是纳维-斯托克斯方程简称N-S方程,纳维-斯托克斯方程由一些微分方程组成,通常只有通过一些边界条件或者通过数值计算的方式才可以求解。它包含速度\vec{v}=(u,v,w)压强p密度\rho黏度\eta,和温度T变量,而这些都是位置(x,y,z)时间t的函数。通过质量守恒能量守恒动量守恒,以及热力学方程f(\rho, p,T)介质材料性质,我们可以确定这些变量。



    简史[编辑]

    流体力学的研究至少可以追溯到古希腊时代,当时阿基米德研究流体静力学和浮力,并提出现在称之为阿基米德定律的定律.定律是记载在阿基米德的著作《论浮体》中,此书被视为是第一本以流体力学为主的著作。后来在列奥那多·达芬奇(观察和实验)、埃万杰利斯塔·托里拆利(发明气压表)、艾萨克·牛顿(研究粘度)和布莱兹·帕斯卡(研究流体静力学及帕斯卡定律)的推动下,流体力学迅速的发展,后来由丹尼尔·伯努利在1738年的《Hydrodynamica》导入了流体动力学的数学模型。

    流体力学中可以省略粘性的无粘性流较为简单,有许多数学家分析无粘性流(像莱昂哈德·欧拉让·勒朗·达朗贝尔约瑟夫·拉格朗日皮耶尔-西蒙·拉普拉斯西莫恩·德尼·泊松等)。较复杂的粘性流也被许多工程师所发现(像让·路易·马利·普瓦泽伊戈特希尔夫·哈根等)。由克劳德-路易·纳维乔治·加布里埃尔·斯托克斯提出的N-S方程,以及边界层的相关研究(路德维希·普朗特西奥多·冯·卡门)对流体力学进行进一步的数学修正。而后来像奥斯鲍恩·雷诺安德雷·柯尔莫哥洛夫杰弗里·泰勒等科学家对流体粘度湍流有更多的了解。



    和连续介质力学的关系[编辑]

    以下是流体力学和连续介质力学的关系

    连续介质力学:研究连续介质的物理学 固体力学:研究固体连续介质(不受力时有固定的形状)的物理学 弹性理论:其固体在受到应力作用后,会恢复原来的形状
    塑性理论:固体在受到相当大的应力后,产生的永久变形 流变学:研究在外力作用下,物体的变形和流动
    流体力学:研究流体连续介质(其形状随容器而变化)的物理学 非牛顿流体
    牛顿流体

    流体力学的基本假设[编辑]

    由一控制表面包围的控制体积内,某积分量的平衡

    任一个真实世界的数学模型都有其基本假设,流体力学也不例外。这些基本假设是可以用方程式的形式表示,若基本假设成立,其方程式也必定成立。

    例如考虑三维空间下的流场,质量守恒的假设意味着针对任何被控制表面包围的控制体积(例如球体),体积内质量的变化率等于质量由外往内通过控制表面的速率,再减去质量由内往外通过控制表面的速率(其中的一个特例是控制体积内外的质量均为定值),这可以转换成控制体积内积分形式的方程式[1]:74

    流体力学假设所有流体满足以下的假设:

    若在次音速的条件下,也常假设流体是不可压缩流体,也就是流体的密度为定值。一般情形下的液体可以算是不可压缩流体,气体则不一定。

    有时也会假设流体的黏度为零,此时流体即为非黏性流体。气体常常可视为非黏性流体。若流体黏度不为零,而且流体被容器包围(如管子),则在边界处流体的速度为零。若是黏性流体,而且容器边界不是多孔材质,则在边界处流体和边界之间的剪力也是零,称为无滑动条件。若容器边界是多孔材质,在进入容器的前沿,滑动条件造成速度不为零.在容器多孔材质中流体和自由流体之间会有不连续的速度场,这和比佛尔和约瑟夫条件(Beavers and Joseph condition)有关。

    连续体假设[编辑]

    流体是由分子组成,不论分子之间还是及分子和固体之间都会有碰撞。不过连续体假设认为流体是连续的。像是密度、压力、温度和速度等特性都假设为即使是在“无限”小的点上都有明确定义,甚至是参考体积元素的尺度接近和流体中二相邻分子距离的情形也是如此。假设特性在一点和一点之间是连续的变化,而在参考体积元素中的特性为其平均值,不考虑流体是由离散分子所组成的事实。

    连续体假设基本上是一个近似值,就像在处理天体力学时,将行星假设为质点一样,因此所得的解只是近似解。连续体假设所得的结果可能无法达到所需的精度。不过在适当的情况下,连续体假设可以产生极为精确的结果。

    有关那些应用连续体假设后,无法得到所需精度的问题,可以利用统计力学的方法求解。至于一问题是否应该用统计力学求解,可以借由计算此问题的克努森数得知。克努森数定义为分子平均自由程与问题特征长度之比,问题特征长度可能是流体中一物体的半径(简单来说.克努森数是指一粒子在撞到另一粒子之前,平均可以移动几个本身半径的长度)。若问题的克努森数大于或等于一,使用统计力学可以得到较可靠的结果。

    纳维-斯托克斯方程[编辑]

    纳维-斯托克斯方程得名自克劳德-路易·纳维乔治·加布里埃尔·斯托克斯,是一组描述流体运动的方程式,其中描述流体粒子动量的变化()只和流体外部的压强及流体内部的黏滞力(类似摩擦力)有关。因此纳维-斯托克斯方程描述流体内任一区域内的力平衡。

    纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的微分方程。这样的方程描述一些物理量的变化率和其他物理量之间的关系,例如针对一个没有黏度的理想流体,其纳维-斯托克斯方程可表示为加速度(速度的变化率)和内部压强的导数成正比。

    这意味着,对于一个特定的物理问题,纳维-斯托克斯方程至少需要利用微积分来求解。实务上只有最简单的例子可以用此方式求解,例如非紊流、恒定流(流场不随时间改变)而且雷诺数小的情形。

    对于一些复杂的,和紊流有关的问题,例如全球气象系统、空气力学等,纳维-斯托克斯方程的求解需要用电脑才能进行,相关的科学称为计算流体力学

    牛顿与非牛顿流体[编辑]

    牛顿流体得名于牛顿,定义为流体的剪切应力和垂直剪切平面的的速度梯度呈正比。不管作用于流体的力大小如何,流体都会继续流动。例如,水是牛顿流体,因为它无论怎様被搅拌,都还是保持流体的性质。另一个不较不严谨的定义是在流体中轻轻移动小物体的阻力和其施力成正比。重要的流体,例如水以及空气,在地表的正常环境下其特性都很接近牛顿流体[1]:145

    非牛顿流体是流体的剪切应力和垂直剪切平面的的速度梯度不呈正比的的流体。在搅动非牛顿流体时,会在流体表面产生一个“凹洞”,不过凹洞在一小段时间后就会慢慢消失。这种特性出现在像布丁、太白粉水悬浊液、以及沙子(虽然严格来说沙子不算流体)。搅拌非牛顿流体会使其粘度降低,所以流体看起来比较没那么浓稠。非牛顿流体有很多种,没办法用依照某一个特殊性质的方式(例如说大部分有长分子链的流体会有非牛顿流体的行为)来加以定义,[1]:145

    流体静力学[编辑]

    • 静态液体的压力分布
    • 容器壁的受力
    • 自由表面的形成
    • 静浮力
    • 浮力定律
    • 浮动物体的稳定性考虑
    • 不可压缩流体内的压力变化
    • 静态可压缩流体的压力随高度之变化
    • 标准的大气
    • 使被局限流体保持静态的表面力效应
    • 静态不可压缩流体之潜浸表面上的液体静态作用力
    • 力作用于平面上的问题
    • 潜浸曲面上之流体静态作用力

    流体动力学[编辑]

    流体力学应用领域[编辑]

    参见[编辑]

    参考文献[编辑]

    1. 1.0 1.1 1.2 Batchelor, George K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, ISBN 0-521-66396-2

    外部链接[编辑]

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  • 流体力学流体力学课堂笔记、对于考研专业课复习可以提供一定参考作用。
  • 工程流体力学

    2018-05-08 18:20:49
    工程流体力学
  • 流体力学概论\流体力学基础PDF版.pdf

    热门讨论 2009-07-02 17:06:50
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  • 第二章 流体力学基础 2.1 连续介质假设 流体力学基本建立在最基本的假设之上——连续介质假设 假设内容: 真实流体由流体质点连续无间隙充满着 每个空间点上、每个时刻都有确定的宏观物理量 这些物理量均为空间,...

    第二章 流体力学基础

    2.1 连续介质假设

    流体力学基本建立在最基本的假设之上——连续介质假设

    假设内容:

    1. 真实流体由流体质点连续无间隙充满着
    2. 每个空间点上、每个时刻都有确定的宏观物理量
    3. 这些物理量均为空间,时间的连续函数,除了个别的点线面外

    *流体质点是微观无穷大,宏观无穷小的流体单元

    使用无量纲量判断:

    可使用条件:

    Kn=λL<0.001{K_n} = \frac{\lambda }{L} < 0.001

    λ\lambda是平均自由程,LL是所研究对象的特征尺寸。

    2.2 流体的性质和分类

    流体的性质:

    1. 易流动性
    2. 粘性
    3. 可压缩性

    流体的分类:

    1. 牛顿流体、非牛顿流体
    2. 理想流体、粘性流体
    3. 可压缩流体、不可压缩流体

    2.3 流体运动的两种描述

    2.3.1 拉格朗日法

    r(a,b,c,t)=0\vec r(a,b,c,t)=0

    2.3.2 欧拉法

    定常/非定常是针对欧拉表述下的

    r(x,y,z,t)=0\vec r(x,y,z,t) = 0

    2.4 流体运动的可视化

    2.4.1 迹线

    dxu=dyv=dzw=dt\frac{{{\rm{d}}x}}{u} = \frac{{{\rm{d}}y}}{v} = \frac{{{\rm{d}}z}}{w} = {\rm{d}}t

    tt是自变量。

    2.4.2 流线

    dxu=dyv=dzw\frac{{{\rm{d}}x}}{u} = \frac{{{\rm{d}}y}}{v} = \frac{{{\rm{d}}z}}{w}

    tt参数,积分时当作常数。

    2.4.3 脉线

    先求迹线方程,再使用变量替换x0,y0,z0)(x,y,z),st(x_0,y_0,z_0)替换(x,y,z),s替换t

    2.4.4 时间线

    每一个时刻拍下流场中烟线的变化情况称为时间线。

    2.5 应力张量,速度梯度,应变率张量,旋转张量

    速度梯度的概念,矢量的梯度是一个二阶张量

    Dij=[uxuyuzvxvyvzwxwywz]=[v]TD_{i j}=\left[\begin{array}{lll}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\nabla \vec{v}\end{array}\right]^{T}

    这里写成其转置的形式。

    任何一个量都可以分解为对称形式和反对称形似:

    Dij=uixj=12(uixj+ujxi)+12(uixjujxi){D_{ij}} = \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} - \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right)

    前一项记为SijS_{ij},为应变率张量,表示剪切变形,第二项记为Ωij\Omega _{ij},为旋转张量,表示旋转变形。

    2.6 亥姆霍兹速度分解定理

    任一点的速度可以展开求得其他邻域内的点的速度,称为亥姆霍兹速度分解定理。

    vq=vp+δv=vp+δxvx+δyvy+δzvz=vp+12(×v)×δr+Sδr\begin{aligned} \vec{v}{q} &=\vec{v}{p}+\delta \vec{v}=\vec{v}{p}+\delta x \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}+\delta y \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}+\delta z \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \\ &=\vec{v}{p}+\frac{1}{2}(\nabla \times \vec{v}) \times \delta \vec{r}+\mathbf{S} \cdot \delta \vec{r} \end{aligned}

    2.7 漩涡的基本概念

    2.7.1 漩涡运动的基本概念

    定义流体的速度的旋度为流场的涡量ω=×v{\bf{\omega }} = \nabla \times {\bf{v}}

    ω\bf{\omega}也是一个矢量场,称为涡量场,涡量场可以给出类似流场的表述形式,如涡线,类比流线:

    dxωx=dyωy=dzωz\frac{{dx}}{{{\omega _x}}} = \frac{{dy}}{{{\omega _y}}} = \frac{{dz}}{{{\omega _z}}}

    涡面,涡管都可以类比流面,流管的概念。

    涡通量 在流场中,涡量在某一曲面上的积分称为涡通量。

    J= ⁣ ⁣ ⁣ωdAJ = \int\!\!\!\int {\boldsymbol{\omega }} \cdot {\rm{d}}{\bf{A}}

    涡管强度 取涡管的一个横截面上的涡通量。

    速度环量 对流场中某时刻的封闭曲线做线积分

    Γ=Lvdl\Gamma = \oint_L {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}}

    由斯托克斯定理可得

    Γ=Lvdl= ⁣ ⁣ ⁣ωdA\Gamma = \oint_L {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}} =\int\!\!\!\int {\boldsymbol{\omega }} \cdot {\rm{d}}{\bf{A}}

    微分形式

    dΓdA=ωn\frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{dA}}}} = {\omega _n}

    2.7.2 漩涡运动的基本性质

    对欧拉方程取旋得到

    dωdt(ω)v+ω(v)=×f+1ρ2ρ×p\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})=\nabla \times \mathbf{f}+\frac{1}{\rho^{2}} \nabla \rho \times \nabla p

    这就是无粘流体涡量必须满足的方程

    若体力有势,且流体正压,则可以写成

    dωdt(ω)v+ω(v)=0\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})=0

    由此可以得到开尔文定律——正压无粘流体在体力有势时,沿着封闭流体线的速度环量在流动过程中保持不变

    dΓdt=Lvdtdl=0\frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{d}}t}} = \oint_L {\frac{{\bf{v}}}{{{\rm{d}}t}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}} = 0

    由此条性质可以得到Lagrange定理:

    在体力有势、流体正压的条件下,无粘流体若在某一时刻无旋,则该流体运动就永远无旋。漩涡不会产生,也不会消失。

    和亥姆霍兹涡线、涡面、涡管保持定理(亥姆霍兹第一定理):

    在某一时刻组成涡面、涡管的流体质点在其他时刻也仍在组成涡面和涡管。

    dΓdt=dJdt\frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{d}}t}}=\frac{{{\rm{d}}J }}{{{\rm{d}}t}}

    涡管强度保持不变时亥姆霍兹第二定理,表面涡管只能在流场的边界开始或结束。

    2.8 势函数和流函数

    1 势函数

    当流体无旋时,满足 ×v=0\nabla \times {\bf{v}} = 0

    由张量分析得知 梯度的散度等于0,即 ×(φ)=0\nabla \times (\nabla \varphi ) = 0

    因此,流体无旋时,速度有势。

    u=φxv=φy,w=φzu = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}},v = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}},w = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}

    且势函数是调和函数,流动为不可压缩时,满足Laplace方程

    Δφ=0\Delta \varphi = 0

    2 流函数

    流函数只适用于二维,不可压缩。

    天然满足不可压缩的条件

    v=0\nabla \cdot {\rm{v}}=0

    u=ψyv=ψxu = \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}、v = -\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}}

    同时当流体无旋时,满足Laplace方程

    Δψ=0\Delta \psi = 0

    当流体有旋时,不满足Laplace方程

    Δψ=ω\Delta \psi = -\omega

    2.9 应力张量、主应力、主平面、主轴

    某一个面的应力张量的求法

    Ti=σijnj\vec T_i = {\sigma _{ij}}{n_j}

    求特征值就是求主应力

    T(n)=σnσijnj=σni(σijσδij)nj=0σijσδij=0\begin{array}{l} \vec T(\vec n) = \sigma \vec n\\ {\sigma _{ij}}{n_j} = \sigma {{\vec n}_i}\\ ({\sigma _{ij}} - \sigma {\delta _{ij}}){n_j} = 0\\ \left| {{\sigma _{ij}} - \sigma {\delta _{ij}}} \right| = 0 \end{array}

    2.10 (雷诺)输运定理

    ddtVL(x,t)dV(x)=ddtV0L(x(a),t)JdV(a)=V0ddt[L(x(a),t)J]dV(a)=V0(JddtL+LdJdt)dV(a)=V0(JddtL+LJv)dV(a)=V(dLdt+Lv)dV(x)=V[Lt+(Lv)]dV(x)\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{V} L(\vec{x}, t) \mathrm{d} V(\vec{x}) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{V_{0}} L(\vec{x}(\vec{a}), t) J \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[L(\vec{x}(\vec{a}), t) J] \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}}\left(J \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L+L \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} t}\right) \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}}\left(J \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L+L J \nabla \cdot \vec{v}\right) \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V}\left(\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}+L \nabla \cdot \vec{v}\right) \mathrm{d} V(\vec{x}) \\&=\int_{V}\left[\frac{\partial L}{\partial t}+\nabla \cdot(L \vec{v})\right] \mathrm{d} V(\vec{x})\end{aligned}

    连续方程、动量方程、动能方程可以统一左边的格式。

    2.11 流体运动的控制方程

    1. 连续方程 L(x,t)=ρL(\vec{x}, t)=\rho
    2. 动量方程 L(x,t)=ρvL(\vec{x}, t)=\rho v
    3. 能量方程 L(x,t)=(12ρv2+ρε)L(\vec{x}, t)=(\frac{1}{2}\rho v^2+\rho \varepsilon )

    加上状态方程、本构关系、热力学方程即可组成完备的流体力学控制方程

    tρ+(ρv)=0tvi+vjjvi=fi+jσij/ρtε+vjjε=(σijjuijqj)/ρ+Qf(p,ρ,T)=0σij=pδij+2μSij+λSkkδijεTqT\begin{array}{l}\partial_{t} \rho+\nabla \cdot(\rho \vec{v})=0 \\\partial_{t} v_{i}+v_{j} \partial_{j} v_{i}=f_{i}+\partial_{j} \sigma_{i j} / \rho \\\partial_{t} \varepsilon+v_{j} \partial_{j} \varepsilon=\left(\sigma_{i j} \partial_{j} u_{i}-\partial_{j} q_{j}\right) / \rho+Q \\f(p, \rho, T)=0 \\\sigma_{i j}=-p \delta_{ i j}+2 \mu S_{i j}+\lambda S_{k k} \delta_{i j} \\\varepsilon \sim T \\\vec{q} \sim \nabla T\end{array}

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  • 在下一个卑微物竞党兼数竞党,目前高一,坐标四川成都,最近在学习流体力学,为了检验自己的学习成果和之后能够好好复习,所以决定写下这一系列的文章,第一次就从预备知识入手,首先默认大家都会简单的求导和积分...

    在下一个卑微物竞党兼数竞党,目前高一,坐标四川成都,最近在学习流体力学,为了检验自己的学习成果和之后能够好好复习,所以决定写下这一系列的文章,第一次就从预备知识入手,首先默认大家都会简单的求导和积分(如果要从头说起的话就太多了,因为我懒...

    开始之前还是再次申明一下,由于在下水平有限,如有错误,请在评论区友好留言,不喜勿喷(狗头

    好了,那咱们开始吧!!!

    这篇文章主要是讲在流体力学当中用到的一些数学知识,在流体力学中用不到的不会提及。

    Part 1: 矢量分析

    说到矢量分析,我们首先要介绍

    (哈密顿算符),这个东西,既是一个矢量又是一个算符,其中
    =
    ,若对于一个函数f进行一个算符运算,则可以得到函数f的
    梯度,其中
    , 注意到这里的f是一个标量场,
    是一个矢量场。

    但光给一个这个定义确实非常难以理解梯度是个啥,简单来说,

    表示的是函数
    变化快慢与方向,比如假设
    是电势,则
    就是电场。

    欧克,理解了梯度,又注意到我们刚才讲过这个所谓的哈密顿算符

    是一个矢量,既然是矢量,那我们就会想一个问题,如果再找一个矢量与之点乘或者叉乘会咋样呢?

    若找一个矢量场

    点乘,这个量我们称为矢量场
    散度,记作

    如果你是第一次看到这个符号,一定会被这个可怕的符号吓到,没有关系,之后还有更恐怖的,比如

    ,这个,就是散度的表达式,但还是一样的问题,太抽象了啊。

    生动的来讲,散度表示的是矢量场上某个点上变多的程度,负数则是变少的程度。

    若找一个矢量场

    叉乘,这个量我们称为矢量场
    的旋度,记作

    其中

    ,哎,看似很复杂,但实际上跟矢量的叉乘一样的(狗头

    按照惯例,生动的来讲,旋度表示矢量场在某个点的旋转程度以及旋转方向(右手螺旋)。

    为了更好的理解散度与旋度,接下来,我们会介绍两个非常重要的定理。

    Part 2: 两个非常重(e)要(xin)的定理

    高斯定理:

    首先这是研究一个闭合曲面s在矢量场

    中的通量的一个定理,大多会在电磁学中运用,但为了更好的理解这个变态的散度,我们还是讲一讲吧(狗头

    很容易得到,通量

    (其中,
    表示在一个闭合曲面内进行积分)

    再考虑,将s里面的区域记为V,又知道

    表示某个点上变化了多少,那么它对V的积分就是A在闭合曲面s里面有多少,则与通量
    一样,由此,得
    ,这个就是大名鼎鼎的高斯定理。

    stokes定理:

    刚才的高斯定理讲的是一个闭合曲面s在矢量场中的通量,此时,我不考虑一个闭合曲面,而是去考虑一个在三维空间中的环L,我们想要去计算其在矢量场中的环通量C。

    显然得到,

    又考虑到,

    表示小面元上的旋转程度,如果考虑很多很多个这样的小面元相加,两个相邻的公共便上的A会抵消,剩下的都是C,那么就可以得到
    ,这个就是声名远扬的stokes定理。

    Part 3: 张量的介绍

    ,这个是a矢量在三维坐标轴中的展开,但这样写是不是稍微有点麻烦,科学家都是简约主义,所以,他们发明了一个有趣的东西,来简化矢量的书写,名为张量(这个是本人的强制定义,严谨定义还得去看教材(狗头,我们这里只介绍在笛卡尔坐标系下的张量。

    克罗内克尔

    张量:

    ,其中
    ,其实不难理解,如果两个矢量一样,他们点乘就是1,而如果不一样,在笛卡尔坐标系中,必然是垂直的,所以点乘为0。

    这里,爱因斯坦出来说了一个约定,称之为爱因斯坦求和约定,当进行求和的时候,如果下标一致,则可以不写求和符号。例如

    ,其中,i称之为哑指标。

    我们来举个关于克罗内克尔张量的栗子,已知

    ,
    ,则经过一通爆算,很快速的可以得到

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  • 第1章 流体力学与计算流体力学基础 FLUENT 14.0超级学习手册流体力学是力学的一个重要分支,它主要研究流体本身的静止状态和运动状态 ,以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律,在...

    本节书摘来自异步社区《FLUENT 14.0超级学习手册》一书中的第1章,第1.1节,作者: 唐家鹏 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

    第1章 流体力学与计算流体力学基础

    FLUENT 14.0超级学习手册
    流体力学是力学的一个重要分支,它主要研究流体本身的静止状态和运动状态 ,以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律,在生活、环保、科学技术 及工程中具有重要的应用价值。

    计算流体力学或计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics, CFD),是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。

    本章先介绍流体力学中支配流体流动的基本物理定律,然后在此基础上介绍用数值方法求解流体力学问题的基本思想,进而阐述计算流体力学的相关基础知识,最后简要介绍常用的计算流体力学商业软件。

    学习目标:

    • 学习流体力学的基础知识,包括基本概念和重要理论;
    • 学习计算流体力学的相关理论和方法;
    • 了解CFD软件的构成;
    • 了解常用的商业CFD软件。

    1.1 流体力学基础

    FLUENT 14.0超级学习手册
    流体力学是连续介质力学的一个分支,是研究流体(包含气体及液体)现象以及相关力学行为的科学。

    1.1.1 流体力学概述
    1738年,伯努利在他的专著中首次采用了水动力学这个名词并作为书名;1880年前后出现了空气动力学这个名词;1935年以后,人们概括了这两方面的知识,建立了统一的体系,统称为流体力学。

    在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体,因此流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。大气和水是最常见的两种流体,大气包围着整个地球,地球表面的70%是水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。

    20世纪初,世界上第一架飞机出现以后,飞机和其他各种飞行器得到迅速发展。20世纪50年代开始的航天飞行,使人类的活动范围扩展到其他星球和银河系。航空航天事业的蓬勃发展是同流体力学的分支学科——空气动力学和气体动力学的发展紧密相连的。这些学科是流体力学中最活跃、最富有成果的领域。

    石油和天然气的开采、地下水的开发利用,要求人们了解流体在多孔或缝隙介质中的运动,这是流体力学分支之一——渗流力学研究的主要对象。渗流力学还涉及土壤盐碱化的防治,化工中的浓缩、分离和多孔过滤,燃烧室的冷却等技术问题。

    燃烧离不开气体,这是有化学反应和热能变化的流体力学问题,是物理—化学流体动力学的内容之一。爆炸是猛烈的瞬间能量变化和传递过程,涉及气体动力学,从而形成了爆炸力学。

    沙漠迁移、河流泥沙运动、管道中的煤粉输送、化工中气体催化剂的运动等,都涉及流体中带有固体颗粒或液体中带有气泡等问题,这类问题是多相流体力学研究的范围。

    等离子体是自由电子、带等量正电荷的离子以及中性粒子的集合体。等离子体在磁场作用下有特殊的运动规律。研究等离子体运动规律的学科称为等离子体动力学和电磁流体力学,它们在受控热核反应、磁流体发电、宇宙气体运动等方面有广泛的应用。

    风对建筑物、桥梁、电缆等的作用使它们承受载荷和激发振动;废气和废水的排放造成环境污染;河床冲刷迁移和海岸遭受侵蚀,研究这些流体本身的运动及其同人类、动植物间的相互作用的学科称为环境流体力学(其中包括环境空气动力学、建筑空气动力学)。这是一门涉及经典流体力学、气象学、海洋学和水力学、结构动力学等学科的新兴边缘学科。

    生物流变学研究人体或其他动植物中有关的流体力学问题。例如血液在血管中的流动,心、肺、肾中的生理流体运动和植物中营养液的输送。此外,还研究鸟类在空中的飞翔,动物在水中的游动等。

    因此,流体力学既包含自然科学的基础理论,又涉及工程技术科学方面的应用。

    目前,研究流体力学问题的方法有理论分析研究、实验模拟研究和数值模拟方法研究3种。

    流体力学理论分析的一般过程是:建立力学模型,用物理学基本定律推导流体力学数学方程,用数学方法求解方程,然后检验和解释求解结果。理论分析结果能揭示流动的内在规律,物理概念清晰,物理规律能公式化,具有普遍适用性,但分析范围有限,只能分析简单的流动。而且,线性问题能得到结果,非线性问题分析非常困难。

    实验研究的一般过程是:在相似理论的指导下建立模拟实验系统,用流体测量技术测量流动参数,处理和分析实验数据。

    典型的流体力学实验有风洞实验、水洞实验、水池实验等。测量技术有热线、激光测速,粒子图像、迹线测速,高速摄影,全息照相,压力密度测量等。现代测量技术在计算机、光学和图像技术配合下,在提高空间分辨率和实时测量方面已取得长足进步。

    实验结果能反映工程中的实际流动规律,发现新现象,检验理论结果等,现象直观,测试结果可靠。但流体的实验研究对测试设备要求较高,设计制造周期长,且调试复杂。实验研究的方法只能得到有限的实验数据,真实模拟物理问题比较困难。

    数值研究的一般过程是:对流体力学数学方程进行简化和数值离散化,编制程序进行数值计算,将计算结果与实验结果比较。

    常用的数值模拟方法有:有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、谱分析法等。计算的内容包括:飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场的计算,湍流、流动稳定性、非线性流动等的数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题的有力武器。数值模拟方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程(适用于线性和非线性问题),能处理各种复杂流动问题,比实验方法省时省钱。但毕竟是一种近似解方法,适用范围受数学模型的正确性和计算机的性能所限制。

    流体力学的3种研究方法各有优缺点,在实际研究流体力学问题时,应结合实际问题,取长补短,互为补充和印证。

    1.1.2 连续介质模型
    如固体一样,流体也是由大量的分子组成的,而分子间都存在比分子本身尺度大得多的间隙,同时,由于每个分子都在不停地运动,因此,从微观的角度看,流体的物理量在空间分布上是不连续的,且随时间不断变化。

    在流体力学中仅限于研究流体的宏观运动,其特征尺寸(如日常见到的是米、厘米、毫米那样的量级)比分子自由程大得多。描述宏观运动的物理参数,是大量分子的统计平均值,而不是个别分子的值。在这种情形下,流体可近似用连续介质模型处理。

    连续介质模型认为,物质连续地分布于其所占有的整个空间,物质宏观运动的物理参数是空间及时间的可微连续函数。

    根据连续介质模型假设,可以把流体介质的一切物理属性,如密度、速度、压强等都看做是空间的连续函数。因而,对于连续介质模型,微积分等现代数学工具可以加以应用。

    连续介质模型假设成立的条件是建立在流体平均自由程远远小于物体特征尺寸的基础上的,即


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    在式1-1中,L为求解问题中物体或空间的特征尺寸;为流体分子的平均自由程。

    在某些情况下,例如,在120 km的高空,如果空气分子的平均自由程和飞行器的特征尺寸在同一数量级,连续介质模型假设就不再成立。这时,必须把空气看成是不连续的介质,这个范围属于稀薄空气动力学范畴。

    1.1.3 流体的基本概念及性质


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    2.质量力和表面力
    作用在流通微团上的力可分为质量力与表面力。

    与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力称为质量力,如在重力场中的重力mg、直线运动的惯性力ma等。质量力是一个矢量,一般用单位质量所具有的质量力来表示,其形式如下


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    大小与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。表面力按其作用方向可分为两种:一种是沿表面内法线方向的压力,称为正压力;另一种是沿表面切向的摩擦力,称为切向力。

    作用在精致流体上的表面力只有表面内法线方向的正压力,单位面积上所受到的表面力称为这一点处的静压强。静压强有两个特征。

    静压强的方向垂直指向作用面。
    流场内一点处静压强的大小与方向无关。
    对于理想流体流动,流体质点只受到正压力,没有切向力。

    对于粘性流体流动,流体质点所受到的给力既有正压力,也有切向力。单位面积上所受到的切向力称为切应力。对于一元流动,切应力由牛顿内摩擦定律给出;对于多元流动,切应力可由广义牛顿内摩擦定律求得。

    3.绝对压强、相对压强和真空度


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    6.传热性
    当气体中沿某一方向存在温度梯度时,热量就会由温度高的地方传向温度低的地方,这种性质称为气体的传热性。实验证明,单位时间内所传递的热量与传热面积成正比,与沿热流方向的温度梯度成正比,即


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    式中q为单位时间通过单位面积的热量,负号表示热流量传递的方向永远和温度梯度的方向相反。

    流体的导热系数随流体介质而不同,同一种流体介质的导热系数随温度变化而略有差异。

    7.扩散性
    当流体混合物中存在组元的浓度差时,浓度高的地方将向浓度低的地方输送该组元的物质,这种现象称为扩散。

    流体的宏观性质,如扩散,粘性和热传导等,是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规则运动,在各层流体间交换着质量、动量和能量,使不同流体层内的平均物理量均匀化。这种性质称为分子运动的输运性质。质量输运在宏观上表现为扩散现象,动量输运表现为粘性现象,能量输运则表现为热传导现象。

    理想流体忽略了粘性,即忽略了分子运动的动量输运性质,因此,在理想流体中也不应考虑质量和能量输运性质——扩散和热传导,它们具有相同的微观机制。

    8.流线和迹线
    所谓流线,就是这样一种曲线,在某时刻,曲线上任意一点的切线方向正好与那一时刻该处的流速方向重合。可见,流线是由同一时刻的不同流点组成的曲线,它给出了该时刻不同流体质点的速度方向,是速度场的几何表示。

    所谓迹线,就是流体质点在各时刻所行路经的轨迹线(或流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线),如喷气式飞机飞过后留下的尾迹、台风的路经、纸船在小河中行走的路经等。

    流线具有以下性质:

    同一时刻的不同流线,不能相交;

    流线不能是折线,而是一条光滑的曲线;

    流线族的疏密反映了速度的大小;

    实际流场中,除驻点或奇点外,流线不能突然转折。


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    13.正激波和斜激波
    气流发生参数发生显著、突跃变化的地方,称为激波。激波常在超音速气流的特定条件下产生;激波的厚度非常小,约为10−4mm,因此一般不对激波内部的情况进行研究,所关心的是气流经过激波前后参数的变化。气流经过激波时受到激烈的压缩,其压缩过程是很迅速的,可以看做是绝热的压缩过程。


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    1.1.4 流体流动分类
    1.理想流体与粘性流体
    如果忽略流动中流体粘性的影响,则可以近似地把流体看成是无粘的,称为无粘流体(inviscid liquid),也叫做理想流体。这时的流动称为理想流动,理想流体中没有摩擦,也就没有耗散损失。

    事实上,真正的理想流体是不存在的。但是在一定的情形下,至少在特定的流动区域中,某些流体的流动非常接近于理想的流动条件,在分析处理中可以当做理想流体。

    例如,在空气绕物体的流动(空气动力学)中,除去邻近与物体表面的薄层(称为边界层)之外,在其余的流动区域中,空气动力学中都处理成理想流动,此时所求解的控制方程组是不考虑粘性的欧拉方程组。

    2.牛顿流体与非牛顿流体
    根据内摩擦剪应力与剪应力变率的关系不同,粘性流体又可分为牛顿流体与非牛顿流体。

    如果流体的剪应力与剪应力变率遵守牛顿内摩擦定律,即公式tau = mu frac{{du}}{{dy}},则这种流体就称为牛顿流体。尽管这个线性的牛顿关系式只是一种近似,但是却很好地适用于一类范围很广的流体。水、空气和气体等绝大多数工业中常用的流体都是牛顿流体。

    但是,对于某些物质而言,剪应力不只是速度梯度的函数(速度梯度和剪应变率是相同的),通常还可以是应变的函数,这种物质称为粘—弹性流体。剪应力只依赖于速度梯度的简单粘性流体,也可以不是牛顿流体。

    事实上存在这样的流体,其剪应力与应变率之间有着相当复杂的非线性关系。如果流体的应力—应变关系还取决于事前的工况,即应变工况,则称为触变流体(如印刷油墨)。

    非牛顿流体具有塑性行为,其特征是有一个表现的屈服应力,在达到表现的屈服应力之前,流体的性态像固体一样,一旦超过这个表现的屈服应力,则和粘性流体一样。

    一些油脂和淤泥的性能就是这样。塑性流体的另一个极端情形是:在低应变率时,粘性系数很小,很容易流动,但随着应变率的增加,变得越来越像固体(如流沙)。这种流体称为膨胀流体。在图1-1中用曲线说明了牛顿流体和非牛顿流体的特征。


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    3.可压流体与不可压流体
    流体的压缩性是指在外界条件变化时,其密度和体积发生了变化。这里的条件有两种,一种是外部压强发生了变化;另一种就是流体的温度发生了变化。描述流体的压缩性常用以下两个量。


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    4.定常流动与非定常流动
    根据流体流动过程以及流动过程中的物理参数是否与时间相关,可将流动分为定常流动与非定常流动两种。

    流体流动过程中,各物理量均与时间无关的流动称为定常流动。

    流体流动过程中,某个或某些物理量与时间有关的流动称为非定常流动。

    5.层流流动与湍流流动
    流体的流动分为层流流动和湍流流动,从试验的角度来看,层流流动就是流体层与层之间相互没有任何干扰,层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递;而湍流流动中层与层之间相互有干扰,而且干扰的力度还会随着流动的加速而加大,层与层之间既有质量的传递,又有动量的传递。


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    1.1.5 流体流动描述的方法
    描述流体物理量有两种方法,一种是拉格朗日描述,一种是欧拉描述。

    拉格朗日(Lagrange)描述也称随体描述,它着眼于流体质点,并将流体质点的物理量认为是随流体质点及时间变化的,即把流体质点的物理量表示为拉格朗日坐标及时间的函数。

    设拉格朗日坐标为(a,b,c),以此坐标表示的流体质点的物理量,如矢径、速度、压强等在任一时刻t的值,便可以写为a、b、c及t的函数。


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    1.1.6 流体力学基本方程组
    流体力学基本方程组包括质量守恒方程、动量守恒方程、组分质量守恒方程、能量方程、本构方程、状态方程及通用形式守恒方程。

    下面对各种形式方程进行总结和对比,并分析它们之间的转化关系,以帮助读者理解流体力学基本方程组的数学物理意义,为离散计算这些方程组打下基础。

    1.质量守恒方程
    质量守恒方程可由4种方法得到,分别在拉格朗日法(L法)下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法(E法)下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。


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    上述运动方程是以应力表示的粘性流体的运动方程,它们对任何粘性流体和任何运动状态都是适用的。但它没有反映出不同属性的流体受力后的不同表现。

    另外,方程数和未知量之数不等,运动方程有3个,加上连续性方程共4个,但未知量却有9个(6个应力张量分量(9个张量分量因对称关系减少为6个)和3个速度分量),所以该方程组不封闭。为使该方程组可解,必须考虑应力张量和变形速度张量之间的关系(将应力张量用速度分量表示出来),补足所需的方程。

    3.本构方程
    本构方程是表征流体宏观性质的一种微分方程,它用于表达流体粘性定律的应力张量和变形速度张量之间的关系。


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    为便于以后引用,表1-3列出了本节的守恒型控制方程。

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    1.1.7 湍流模型
    描述流体运动(层流)的流体力学基本方程组是封闭的,而描述湍流运动的方程组由于采用了某种平均(时间平均或网格平均等)而不封闭,必须对方程组中出现的新未知量采用模型而使其封闭,这就是CFD中的湍流模型。

    湍流模型的主要作用是将新未知量和平均速度梯度联系起来。目前,工程应用中湍流的数值模拟主要分三大类:直接数值模拟(DNS)、大涡模拟(LES)和基于雷诺平均N-S方程组(RANS)的模型。

    1.直接数值模拟DNS
    直接数值模拟(DNS)方法直接求解湍流运动的N-S方程,得到湍流的瞬时流场,即各种尺度的随机运动,可以获得湍流的全部信息。

    随着现代计算机的发展和先进数值方法的研究,DNS方法已经成为解决湍流的一种实际的方法。但由于计算机条件的约束,目前只能限于一些低Re数的简单流动,不能用于工程应用。

    目前国际上正在做的湍流直接数值模拟还只限于较低的需诺数(Re~200)和非常简单的流动外形,如平板边界层、完全发展的槽道流,以及后台阶流动等。

    用直接数值模拟方法处理工程中的复杂流动问题,即使是当前最先进的计算机也还差3个量级。

    2.大涡模拟(LES)
    大涡模拟(LES)方法即对湍流脉动部分的直接模拟,将N-S方程在一个小空间域内进行平均(或称之为滤波),以使从流场中去掉小尺度涡,导出大涡所满足的方程。

    小涡对大涡的影响会出现在大涡方程中,再通过建立模型(亚格子尺度模型)来模拟小涡的影响。

    由于湍流的大涡结构强烈地依赖于流场的边界形状和边界条件,难以找出普遍的湍流模型来描述具有不同的边界特征的大涡结构,所以宜做直接模拟。

    相反地,由于小尺度涡对边界条件不存在直接依赖关系,而且一般具有各向同性性质。所以亚格子尺度模型具有更大的普适性,比较容易构造,这是它比雷诺平均方法要优越的地方。

    LES方法已经成为计算湍流的最强有力的工具之一,应用的方向也在逐步扩展,但是仍然受计算机条件等的限制,使之成为解决大量工程问题的成熟方法仍有很长的路要走。

    3.基于雷诺平均N-S方程组(RANS)的模型
    目前能够用于工程计算的方法就是模式理论。所谓湍流模式理论,就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果,对Reynolds应力做出各种假设,即假设各种经验的和半经验的本构关系,从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。

    从对模式处理的出发点不同,可以将湍流模式理论分类成两大类:一类称为二阶矩封闭模式,另一类称为涡粘性封闭模式。

    (1)雷诺应力模式

    雷诺应力模式即二阶矩封闭模式,是从Reynolds应力满足的方程出发,将方程右端未知的项(生成项、扩散项、耗散项等)用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来。

    典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论由于保留了Reynolds应力所满足的方程,如果模拟得好,可以较好地反映Reynolds应力随空间和时间的变化规律,因而可以较好地反映湍流运动规律。

    因此,二阶矩封闭模式是一种较高级的模式,但是,由于保留了Reynolds应力的方程,加上平均运动的方程,整个方程组总计15个方程,是一个庞大的方程组,应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题,计算量很大,这就极大地限制了二阶矩封闭模式在工程问题中的应用。

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    在零方程模式的框架下,得到最为广泛应用的是Baldwin-Lomax模式。该模式是对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长假设。

    这是因为靠近壁面处,湍流脉动受到很大的抑制,含能涡的尺度减小很多,因此长度尺度减小很多;另一方面,在边界层外缘,湍流呈间歇状,质量、动量和能量的输运能力大大下降,即湍流的扩散能力减小。

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    平均流场的任何变化立刻为当地的湍流所感知,这表明零方程模式是一个平衡态模式,假定湍流运动永远处于与平均运动的平衡之中。

    实际上对于大多数湍流运动而言并非如此,特别是对于平均流空间和时间有剧烈变化的情形,再有因为坐标y显式地出现在湍流模式中,零方程模式不具有张量不变性,所以将它应用到复杂几何外形的流动的数值模拟会带来困难。

    当流动发生分离时,Baldwin-Lomax模式会遇到困难,这是因为在分离点和再附点附近,摩擦速度{u_tau }为0,此时要引入一些人为的干涉来消除这些困难。

    计算实践表明,只要流动是附体的,零方程模式一般都可以较好地确定压强分布,但是摩阻和传热率的估算不够准确,特别是当流动有分离和再附时。这是因为附体流压强分布对湍流应力不敏感。

    总之,对于附体流动,如果只关心压强分布,应用零方程模式通常可以给出满意的结果,而且模式应用起来十分简便。但是对于计算摩阻的需求,零方程模式是不能满足要求的。对于有分离、再附等复杂流动,零方程模式是不适用的。

    ② 半方程模式。

    为了能计算具有较强压强梯度,特别是较强逆压梯度的非平衡湍流边界层,Johnson-King于1985年提出了一个非平衡代数模型(JK模型),该模型仍采用涡粘性假设,把涡粘性的分布与最大剪切应力联系在一起,内层涡粘性与外层涡粘性分布用一个指数函数作为光滑拟合,外层涡粘性系数作为一个自由参数,由描述最大剪切应力沿流向变化的常微分方程来确定,此常微分方程是由湍流动能方程导出的,故此模型又称为半方程模型。

    JK模型虽然仍采用涡粘性假设,却包含雷诺应力模型的特点。由于求解常微分方程比一方程、两方程模型中求解偏微分方程要简单、省时得多,故用JK模型的工作量只略高于通常平衡状态的零方程代数模型的工作量。

    ③ 一方程模式。

    Baldwin-Barth(BB)模型是在两方程模型中,将某一导出的应变量作为基本物理量而得到的,应用此一方程模型可避免求解两方程时会遇到的某些数值困难。BB一方程模型所选择的导出应变量为“湍流雷诺数”Rt。

    BB模型对计算网格的要求低,壁面的网格可以与采用BL代数模型的相当,而不像两方程k - varepsilon模型那样要求壁面网格很细,这样就避免了在k - varepsilon模型中流场求解的刚性问题。

    Spalart-Allmaras(SA)模型与BB模型不同,它不是直接利用k - varepsilon两方程模型加以简化而得,而是从经验和量纲分析出发,由针对简单流动再逐渐补充发展,进而适用于带有层流流动的固壁湍流流动的一方程模型,模型中选用的应变量是与涡粘性{v_T}相关的量 {tilde v},除在粘性次层外, {tilde v}与{v_T}是相等的。

    上述两种一方程模型具有相似的特点,它们不像代数模型那样需要分为内层模型、外层模型或壁面模型、尾流模型,同时也不需要沿法向网格寻找最大值,因此易于应用到非结构网格中;但由于在每个时间步长内,需要对整个流场求解一组偏微分方程,故比BL和JK模型更费机时。

    ④ 两方程模式。

    常用的两方程模式有:标准k− ε两方程模式、可实现型k− ε两方程模型、低Reynolds数k− ε模型及k−ω两方程模式等。

    标准k− ε两方程模式。
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    可实现型 k− ε两方程模型。
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    低Reynolds数k− ε模型。
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    k-ω两方程模式。
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