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  • 莫比乌斯

    2020-12-04 15:12:54
    } } } 其实,莫比乌斯反演的思想, 就是把一个很复杂的函数f(x), 转换为另一个很好求的函数g(x) 然后用g(x)来表示f(x), 从而降低时间复杂度 关于莫比乌斯反演的几个技巧 1、分块优化(也叫数论分块、整除分块) ...

    学习链接:https://blog.csdn.net/weixin_43914593/article/details/104229700
    https://blog.csdn.net/C20180602_csq/article/details/84668937
    线性筛代码

    bool vis[maxn];
    int prime[maxn];
    int Mob[maxn];
    void Mobius_sieve(){
         int cnt = 0;
         vis[1] = 1;
         Mob[1] = 1;
         for(int i = 2; i <= maxn; i++){
            if(!vis[i])
                prime[cnt++] = i, Mob[i] = - 1;
            for(int j = 0; j < cnt && 1LL * prime[j] * i <= maxn; j++){
                vis[prime[j] * i] = 1;
                Mob[i * prime[j]] = (i % prime[j] ? -Mob[i]: 0);
                if(i % prime[j] == 0)
                    break;
            }
        }
    }
    
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    其实,莫比乌斯反演的思想,

    就是把一个很复杂的函数f(x),

    转换为另一个很好求的函数g(x)

    然后用g(x)来表示f(x),

    从而降低时间复杂度

    关于莫比乌斯反演的几个技巧
    1、分块优化(也叫数论分块、整除分块)

    在这里插入图片描述

    long long solve(int n,int m,int k)
    {
    	if(n>m) swap(n,m);
    	if(!n||!m||!k) return 0;
    	n/=k;m/=k;
    	LL ans=0;
    	int last,i;
    	for(i=1;i<=n;i=last+1){
    		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
    		ans=1ll*ans+1ll*(n/i)*(m/i)*(mu[last]-mu[i-1]);
    	}
    	return ans;
    }
    

    在这里插入图片描述

    例题:
    在这里插入图片描述

    https://jkchen.blog.csdn.net/article/details/82712276

    https://keven.blog.csdn.net/article/details/104756102?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-2.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-2.control

    https://blog.csdn.net/qq_36424540/article/details/89287456?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-title-3&spm=1001.2101.3001.4242

    https://jkchen.blog.csdn.net/article/details/82708274

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  • 莫比乌斯反演

    2018-05-27 18:06:12
    莫比乌斯反演教程,讲的比较详细,并且附带例题,,,
  • 莫比乌斯函数 在学习这个函数之前,最好先了解欧拉函数 莫比乌斯函数:数论函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯(Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号。而据说,高斯...

    在学习下面的内容之前,最好先了解欧拉函数整除分块

    一、莫比乌斯函数

    简介:莫比乌斯函数是一种数论函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯(Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号。而据说,高斯(Gauss)比莫比乌斯早三十年就曾考虑过这个函数。莫比乌斯函数在数论中有着广泛应用。

    1、入门

    莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:
    1)莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
    2)μ(1)=1
    3)当n存在平方因子时,μ(n)=0
    4)当n是素数或奇数个不同素数之积时,μ(n)= -1
    5)当n是偶数个不同素数之积时,μ(n)=1
    例如:
    μ(8)=μ(2^3)=0,μ(12)=μ(2^2X3)=0,μ(18)=μ(2X3^2) = 0
    μ(2),μ(3),μ(30) =μ(2X3X5)= -1
    μ(1),μ(6)=μ(2X3),μ(10)=μ(2X5) = 1

    小结一下:给出一个数n, 如何计算n的莫比乌斯函数值μ(n)呢?请看下面的式子:
    在这里插入图片描述

    2、程序实现求莫比乌斯函数

    暴力方法不用说了,根据定义就可以 ,据说用欧拉筛更快:

    #include<cstdio>
    const int N = 1e6 + 5;
    int mu[N], vis[N], prime[N];
    int tot;//用来记录prime的个数
    void init(){
        mu[1] = 1;
        for(int i = 2; i < N; i ++){
            if(!vis[i]){
                prime[tot ++] = i;
                mu[i] = -1;
            }
            for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
                vis[i * prime[j]] = 1;
                if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
                else{
                    mu[i * prime[j]] = 0;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    int main(){
        init();
    }

    二、莫比乌斯反演

    什么是反演?可以暂时理解为一种神奇的、打破常规思维(高大上)的运算!

    1、和函数:

    已知函数F(n)满足F(n)=\sum_{d|n}f(d),称F(n)为f(n)的和函数

    F(n)的作用:如果f(n)函数是一个较复杂不好算的函数,而F(n)函数比较好算,那么莫比乌斯反演就是想根据已知的(或好算的)F(n)求出未知的(不好算的)f(n)。

    如果上面这句话比较难以理解,请先看下面的推导

    2、入门(推公式)

    例如:根据F(n)函数定义可知下列表格一(以计算到F(8)为例)

    1式 F(1)=f(1) 1的约数有1
    2式 F(2)=f(1)+f(2) 2的约数有1、2
    3式 F(3)=f(1)+f(3) 3的约数有1、3
    4式 F(4)=f(1)+f(2)+f(4) 4的约数有1、2、4
    5式 F(5)=f(1)+f(5) 5的约数有1、5
    6式 F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) 6的约数有1、2、3、6
    7式 F(7)=f(1)+f(7) 7的约数有1、7
    8式 F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8) 8的约数有1、2、4、8
      …… ……

    利用表格一解方程,我们得到表格二:

    f(1)=F(1)  
    f(2)=F(2)-F(1) 2式减1式
    f(3)=F(3)-F(1) 3式减1式
    f(4)=F(4)-F(2) 4式减2式
    f(5)=F(5)-F(1) ……
    f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1) ……
    f(7)=F(7)-F(1) ……
    f(8)=F(8)-F(4) ……
    …… ……

    观察发现,f(n)等于形式为+/-F(n/d),d|n,再结合前面的各个自然数的莫比乌斯函数值把上们的式子改一下成表格三:

    f(1) = F(1) = μ(1)*F(1)     μ(1)值是1
    f(2) = F(2) - F(1) = μ(1)*F(2/1) + μ(2)*F(2/2)     μ(1)值是1, μ(2)的值是-1
    f(3) = F(3) - F(1) = μ(1)*F(3/1) + μ(3)*F(3/3)     μ(1)值是1, μ(3)的值是-1
    f(4) = F(4) - F(2) = μ(1)*F(4/1) + μ(2)*F(4/2)      μ(1)值是1, μ(2)的值是-1
    f(5) = F(5) - F(1) = μ(1)*F(5/1) + μ(5)*F(5/5)     μ(1)值是1, μ(5)的值是-1
    f(6) = F(6) - F(3) - F(2) + F(1) = μ(1)*F(6/1) + μ(2)*F(6/2) + μ(3)*F(6/3)  + μ(6)*F(6/6)     μ(1)值是1, μ(2)的值是-1, μ(3)的值是-1, μ(6)的值是1
    f(7) = F(7) - F(1) = μ(1)*F(7/1) + μ(7)*F(7/7)     μ(1)值是1, μ(7)的值是-1
    f(8) = F(8) - F(4) = μ(1)*F(8/1) + μ(2)*F(8/2) + μ(4)*F(8/4) + μ(8)*F(8/8)     μ(1)值是1, μ(2)的值是-1, μ(4)的值是0, μ(8)的值是0
    …… ……

    所以我们推出一个公式:

    {\color{Red} f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F(n/d)}(一定要记住这个形式呀,否则后面你就不好理解了)。

    再来看表格三中任意一行,比如

    f(8) = F(8) - F(4) = μ(1)*F(8/1) + μ(2)*F(8/2) + μ(4)*F(8/4) + μ(8)*F(8/8)

    是不是可以倒过来?

    f(8) = - F(4) + F(8) = μ(8)*F(8/8) + μ(4)*F(8/4) + μ(2)*F(8/2) + μ(1)*F(8/1)

    再变一下

    f(8) = - F(4) + F(8) = μ(8/1)*F(1) + μ(8/2)*F(2) + μ(8/4)*F(4) + μ(8/8)*F(8)

    神奇吧!那么就有了第二种形式的公式:

    {\color{Red} f(n)=\sum_{d|n}\mu(n/d)*F(d)},nice!

    3、定义

    什么是莫比乌斯反演?

    对于求解函数f(n)

    先构造另一个函数F(n),它满足

    {\color{Red} F(n)=\sum_{d|n}f(d)}

    那么,可以通过F(n)、莫比乌斯函数μ()来求解f(n)

    {\color{Red} f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F(n/d)}或者{\color{Red} f(n)=\sum_{d|n}\mu(n/d)*F(d)}

    上述的过程就叫莫比乌斯反演(又叫莫比乌斯约数反演),上面的两个公式就叫莫比乌斯反演公式。

    4、数论中的应用一:

    设f1(n)=n,f2(n)=1

    F_1(n)=\sum_{d|n}f_1(d)                F_2(n)=\sum_{d|n}f_2(d)

    那么根据反演公式有

    n=\sum_{d|n}\mu (n/d)F_1(d)                   1=\sum_{d|n}\mu (n/d)F_2(d)

    很神奇,是吧。

    4、应用二:

    不知道你对欧拉函数那篇文章中的这个结论还有没有印象

    3、n的因数(包括1和它自己)的欧拉函数之和等于n。记为{\color{Red} \sigma (n)=\sum_{d|n}^{ }\varphi(n)}

    5、应用三:

    比如说给定n,m,求:

    f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x](n<=m)

    其中[gcd(i,j)==x]表示当gcd(i,j)=x时返回1,否则返回0。要求时间复杂度为O(n

    按照上面的公式,我们构造一个函数g(x)满足:

    g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)

    反演一波:

    f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(d/x)\cdot g(d)

    仿佛并没有什么用的样子。。。,那先来看一下“所谓”好求的g(x)

    g(x)=\sum_{x|d}^{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]

    可以发现gcd(i,j)是x的倍数时(因为d只能是x的倍数,所以gcd(i,j)也是x的倍数),才会对g(x)造成贡献,所以,g(x)可以简化为

    g(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|gcd(i,j)]

    我们设g=gcd(i,j),i=g*a,j=g*b ,我们在改变a,b的值时gcd(i,j)也会改变但始终是x的倍数(因为i,j至少都有一个因子g),所以,我们只需要取完a,b的所有的值就可以求出g(x)啦

    很明显a能取的值有\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor种,b能取的值有\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor种,所以g(x)=\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor,这玩意大大地降低了时间复杂度

    再把g(x)带进去

    f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu (d/x)\cdot g(d)

    =\sum_{x|d}^{n}\mu (d/x)\cdot \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor

    很明显可以O(n)做了

    6

    题意:给一个正整数,其中,求使得为质数的的个数,

     

    分析:对于本题,因为是使得为质数,所以必然要枚举小于等于的质数,那么对于每一个质数,只

         需要求在区间中,满足有序对互质的对数。

     

         也就是说,现在问题转化为:在区间中,存在多少个有序对使得互质,这个问题就简单啦,因为

         是有序对,不妨设,那么我们如果枚举每一个,小于有多少个互素,这正是欧拉函数。所以

         我们可以递推法求欧拉函数,将得到的答案乘以2即可,但是这里乘以2后还有漏计算了的,那么有哪些呢?

         是且为素数的情况,再加上就行了。

    代码:

    #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
    #include <bitset> 
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int N = 10000010; 
    bitset<N> prime;
    LL phi[N];
    LL f[N];
    int p[N];
    int k; 
    void isprime(){
        k = 0;
        prime.set();
        for(int i=2; i<N; i++){
            if(prime[i]){
                p[k++] = i;
                for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                    prime[j] = false;
            }
        }
    } 
    void Init(){
        for(int i=1; i<N; i++)  phi[i] = i;
        for(int i=2; i<N; i+=2) phi[i] >>= 1;
        for(int i=3; i<N; i+=2){
            if(phi[i] == i){
                for(int j=i; j<N; j+=i)
                    phi[j] = phi[j] - phi[j] / i;
            }
        }
        f[1] = 0;
        for(int i=2;i<N;i++)
            f[i] = f[i-1] + (phi[i]<<1);
    } 
    LL Solve(int n){
        LL ans = 0;
        for(int i=0; i<k&&p[i]<=n; i++)
            ans += 1 + f[n/p[i]];
        return ans;
    } 
    int main(){
        Init();
        isprime();
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%I64d\n",Solve(n));
        return 0;
    }
    嗯,上题不算太难,普通的欧拉函数就可以搞定,接下来我们来看看它的升级版。

     

    题意:给定两个数,其中,求为质数的有多少对?其中的范

         围是

     

    分析:本题与上题不同的是不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决,文章开头也说了它能大大简化

         运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为:

     

         

     

         其实它还有另一种描述,本题也是用到这种。那就是:

     

         

     

         好了,到了这里,我们开始进入正题。。。

     

         对于本题,我们设

     

         为满足的对数

         为满足的对数

     

         那么,很显然,反演后得到

     

         因为题目要求是为质数,那么我们枚举每一个质数,然后得到

     

         

     

         如果直接这样做肯定TLE,那么我们必须优化。

     

         我们设,那么继续得到

     

         到了这里,可以看出如果我们可以先预处理出所有的对应的的值,那么本题就解决了。

     

         我们设,注意这里为素数,

     

         那么,我们枚举每一个,得到,现在分情况讨论:

     

         (1)如果整除,那么得到

     

           

     

         (2)如果不整除,那么得到

     

           

    #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
     
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int N = 10000005;
     
    bool vis[N];
    int p[N];
    int cnt;
    int g[N],u[N],sum[N];
     
    void Init(){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        u[1] = 1;
        cnt = 0;
        for(int i=2;i<N;i++){
            if(!vis[i]){
                p[cnt++] = i;
                u[i] = -1;
                g[i] = 1;
            }
            for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<N;j++){
                vis[i*p[j]] = 1;
                if(i%p[j]){
                    u[i*p[j]] = -u[i];
                    g[i*p[j]] = u[i] - g[i];
                }else{
                    u[i*p[j]] = 0;
                    g[i*p[j]] = u[i];
                    break;
                }
            }
        }
        sum[0] = 0;
        for(int i=1;i<N;i++)
            sum[i] = sum[i-1] + g[i];
    }
     
    int main(){
        Init();
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--){
            LL n,m;
            cin>>n>>m;
            if(n > m) swap(n,m);
            LL ans = 0;
            for(int i=1,last;i<=n;i=last+1){
                last = min(n/(n/i),m/(m/i));
                ans += (n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
        return 0;
    }

     

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  • 莫比乌斯学习笔记

    2016-12-04 08:48:48
    莫比乌斯

    莫比乌斯函数定义

    μ(n)={(1)m0,,p1,p2...pm=1k|pk>1

    性质1(积性函数)

    μ(ab)=μ(a)μ(b)|gcd(a,b)=1

    性质2

    d|nμ(d)=0(n>1)
    证明:
    d=Πmi=1aipi
    k|pk>1μ(d)=0无需考虑
    相当于n分解的因数选或不选求μ的和的问题
    所以d|nμ(d)=mk=0Ckm(1)k
    根据二项式定理(a+b)n=nk=0Cknakbnk
    a=1,b=1代入得d|nμ(d)=(11)m=0
    特别的n=1时原式=μ(1)=1
    证毕

    前缀和求法

    M(N)=ni=1μ(i)
    =ni=1(d|iμ(d)d|i,d=iμ(d))
    =1ni=1d|i,d=iμ(d)
    =1ni=1(Ni1)μ(i)

    小的线性筛,大的递归(分段)

    另外的性质

    d|nϕ(d)=n
    证明:
    S={rn|r=1,2...n}
    |S|=n
    rn最简形式为cd
    |S|=d|n[gcd(c,d)=1]
    |S|=d|nϕ(d)
    证毕

    莫比乌斯反演

    g(n)=d|nf(d)
    f(n)=d|nμ(d)g(nd)

    证明:
    d|nμ(d)d|ndf(d)
    =dd|nμ(d)f(d)
    =d|nf(d)d|ndμ(d)
    由函数性质2可得
    当且仅当n/d=1时即n=d时d|ndμ(d)=1
    否则d|ndμ(d)=0
    所以原式=f(n)

    推论

    g(n)=n|df(d)
    f(n)=n|dμ(dn)g(d)
    证明:
    n|dμ(dn)g(d)
    =n|dμ(dn)d|df(d)
    =n|df(d)n|d|dμ(dn)
    =n|df(d)k|dnμ(k)
    由函数性质2得d’=n时才有效
    =f(n)

    例题1

    求i=1..n, j=1..m中gcd(i,j)=1的个数
    f(k)=ni=1mj=1[gcd(i,j)=k]
    g(k)=ni=1mj=1[k|gcd(i,j)]
    g(k)=k|df(d)
    f(k)=k|dμ(dk)g(d)
    =k|dμ(dk)ndmd
    =min(n,m)kp=1μ(p)nkpmkp
    p=dk

    扩展

    ni=1mj=1[gcd(i,j)=prime]
    =np=1is[p]npi=1mpj=1[gcd(i,j)=1]
    =np=1is[p]npi=1mpj=1d|i,d|jμ(d) 注:d|i,d|jd|gcd(i,j)
    =np=1is[p]npd=1μ(d)npdmpd
    =nk=1g(k)nkmk
    g(k)=p|kis[p]μ(kp)
    可知g(pk)=p|kpis[p]μ(kpp)
    ①当p’|k时
    g(pk)={μ(k)0,p=p,p!=p
    所以g(pk)=μ(k)
    ②当p/|k
    g(pk)=μ(k)μ(kp),p=p,p!=p
    p!=p部分的求和就是g(k)
    所以g(pk)=μ(k)g(k)

    展开全文
  • 莫比乌斯反演定理 若数论函数 满足 ,则 。若数论函数 满足 ,则 。莫比乌斯反演的证明和证明莫比乌斯反演需要一些前置知识,在下面我会详细讲到。1. 数论函数定义域为正整数,值域为整数的函数称为数论函数。2. 积...

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    莫比乌斯反演定理

    若数论函数

    满足

    若数论函数

    满足

    莫比乌斯反演的证明和证明莫比乌斯反演需要一些前置知识,在下面我会详细讲到。

    1. 数论函数

    定义域为正整数,值域为整数的函数称为数论函数。


    2. 积性函数

    积性函数这里有以下性质:

    1. 若

    为积性函数,都有

    证明如下:

    等式两边同时除以

    ,则

    ,证毕。

    2. 若

    为互不相同的素数,
    为积性函数,则

    由积性函数的定义显而易见。

    3.

    为积性函数 , 则
    也为积性函数。

    证明如下:

    因为

    为积性函数,所以有

    于是显而易见,对于左边的展开式中每一个

    右边的展开式均有
    与之
    一一对应,所以

    所以

    为积性函数,证毕。

    4. 若

    为积性函数,则

    常见积性函数:

    欧拉函数

    恒等函数

    元函数

    约数个数函数

    约数和函数


    3. 完全积性函数


    4. 狄利克雷卷积(Dirichlet product)

    对于两个数论函数

    ,它们的Dirichlet卷积
    也是一个
    数论函数,其定义为:

    记作:

    两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数。

    狄利克雷卷积满足分配律以及结合律:


    5. 单位元函数


    6. 莫比乌斯反演定理证明

    若数论函数

    满足

    若数论函数

    满足

    其中

    为莫比乌斯函数,我们先从它的定义出发。

    可以看出

    的式子可以表示为
    Dirichlet卷积的形式
    ,于是我们就定义
    的逆,也就是

    我们可以先反推一下莫比乌斯函数。

    对于素数

    可以看出

    项的系数为-1,所以

    可以看出

    项的系数为0,所以

    同理可以推出

    此时引出

    定义:

    莫比乌斯函数具有以下性质:

    证明过程:

    ,显而易见

    ,若m或n中有一能被素数的平方整除,那么显而易见

    若m与n均不能被素数的平方整除,

    显而易见

    2. 任意莫比乌斯函数都可以表示为

    3.

    证明过程:

    为互不相同的素数,

    若d为m的因子且不为n的因子,d必定包含素数的平方因子,因而

    若d为n的因子,则

    ,则

    ,则

    函数的和函数也是积性函数。
    [1]

    ,则

    由于等式右边每个因子都是0,故而得证

    那么就可以证明莫比乌斯反演了:

    第一种形式:

    第二种形式:令
    ,则有

    交换顺序有

    具体应用:

    以后填坑

    相关例题:

    以后填坑

    参考

    1. ^https://blog.csdn.net/NOIAu/article/details/74025240?utm_source=blogxgwz7
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空空如也

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