一个变量的影响取决于另一个变量的取值----詹姆斯·杰卡德、罗伯特·图里西嗨！大家好，我是一棵树，今天和大家开启一个新篇章 ------《多元回归中的交互作用》，这是本次教程的第1篇《什么是交互作用》。
1. 交互作用的定义
自变量对因变量的影响，取决于调节变量的取值。这句话读起来有一些拗口，现在通过实例来解释一下。假设有1个结局变量y，有2个自变量age和sex，sex是一个2分类变量：男性(编码1)和女性(编码0)，回归后得到的公式是y = β0 + β1 * age + β2*sex + ε —(1)在(1)式中β0：表示age和sex都为0时，y的值
β1：表示age变化1个单位时，y的变化
β2：表示sex变化1个单位是，y的变化
ε：表示age和sex不能解释的部分，也就是残差age和sex对y这种简单的关系，我们叫做直接因果关系。现在我们假设有这样的关系：男性年龄和女性年龄对y的影响不同，也就是1.当sex为男性(sex=1)时，age对y的系数β1为2
2.当sex为女性(sex=0)时，age对y的系数β1为10请注意看，现在我们就得到了β1和sex的关系：β1 = 2 + 8*sex —(2)2表示sex等于0时，也就是男性时，β1的值是28表示sex从0变化到1时，β1增加了8，β1的取值是10现在，我们将(2)式带入(1)式，我们将得到:y = β0 + (2 + 8 * sex) * age + β2 * sex + ε
= β0 + 2 * age + 8 * sex * age + β2 * sex + ε—(3)在(3)式中，我们将y称作结局变量，age是主要自变量，sex是调节变量现在，我们将交互作用的定义(自变量对结局的影响，取决于调节变量取值)翻译一下：age对y的影响，随sex的取值不同而不同，即sex对age有交互作用。我还想用图形来展示一下sex对age的交互作用：从图中，我们可以看到age在sex=0和sex=1时，对y的作用是不一样的，这个就是交互作用。
你可以再品一品这就话：交互作用的定义 自变量对因变量的影响，取决于调节变量的取值。
2. 双向交互与单向交互
现在，我们已经明白了什么是交互作用，细心的你，肯定从(3)式中发现了端倪！既然可以叫sex对age的交互，那么为什么不能叫age对sex的交互？当然可以！我们把(3)式抽象一下：a * sex + b * age + c * age * sex —(4)如果是sex对age的交互(sex取值不同，age对结局影响不同)，我们可以写成：
a * sex + age * ( b + c * sex)如果是age对sex的交互(age取值不同，sex对结局影响不同)，我们可以写成：
b * age + sex * ( a + c * age )归根结底，都是一个式子而已，像(4)式这种形式的交互作用叫做双向交互作用，即age和sex互为交互。一方面：age在sex的不同水平对y的影响不同，另一方面：sex在age的不同水平对y的影响也不同。聪明的你，肯定会问，会不会存在这种情况：
y = (a + b * sex) * age + β0 + ε也就是
y = a * age + b * sex * age + β0 + ε这个时候，方程中只有1个交互作用，即age在sex的不同水平，对y的影响不同，这个叫做单向交互。我们平时在使用的时候，尽量不要使用单向交互作用，尽量使用双向交互作用。
3.β0
更加聪明的你，肯定会想到，我们上面说到的交互作用仅仅涉及到变量的回归系数，如β1，那么，sex的不同取值，会影响截距β0吗？答案是：会！
例如这样，sex取值不同，斜率相同，但是截距不同还有这样，sex不同取值，斜率和截距都不同：如果你能想到这里，那么恭喜你！你已经可以去学习混合线性模型(HLM)了！理解交互作用是学习HLM的基础。
4. 总结
今天就和大家聊到这里，今天我们主要讲了交互作用的定义：自变量对因变量的影响，取决于调节变量的取值。下一期我们继续聊。
快，关注这个公众号，一起涨姿势～

之前的双连续变量交互作用作图，和分类变量与连续变量的交互都给大家写了，今天给大家写写，两个分类变量的交互，及简单斜率图画法。
本文的例子为：
在研究导师类型和性别这个两个自变量学生GPA的影响时，我们想看一看导师类型和性别的交互作用，这个例子中，导师类型和性别都是分类变量。
数据模拟N 
Q 
G 
Y 
Y = (Y - min(Y)) / (max(Y) - min(Y))*4
GPA.Data.3
上面的代码就模拟出了个数据框，其中Q为导师类型，有3类，模拟的时候用的-1，0，1代替，性别用的0，1
接下来，我们得将分类变量转化为哑变量，R会自动将因子处理为哑变量，所以我们直接转为因子就行：GPA.Data.3$Tutor.F 
level=c(-1,0,1),
labels=c("No Tutor", "Group Tutor", "Private Tutor"))
GPA.Data.3$Gender.F 
level=c(0,1),
labels=c("Male", "Female"))
回归分析
然后我们进行回归分析，一个是有交互作用的，一个是不含交互作用的GPA.3.Model.1
GPA.3.Model.2
stargazer(GPA.3.Model.1, GPA.3.Model.2,type="html",
column.labels = c("Main Effects", "Interaction"),
intercept.bottom = FALSE,
single.row=TRUE,
notes.append = FALSE,
omit.stat=c("ser"),
star.cutoffs = c(0.05, 0.01, 0.001),
header=FALSE，
out="test.html")
运行代码得出回归分析的结果如下：
画简单斜率图
画斜率图的第一步依然是跑出每个子类的系数：Inter.GPA.3 
se=TRUE)
Inter.GPA.3.DF
我们可以看一看每个子类的拟合系数长啥样：
上图就显示了，在两个自变量的不同水平fit值是不一样的，而且通过回归的交互项显著性分析，也是知道这个fit是有显著性差异的
接下来就开始画图：Inter.GPA.3.DF$Tutor.F 
level=c("No Tutor", "Group Tutor", "Private Tutor"),
labels=c("No Tutor", "Group Tutor", "Private Tutor"))
Inter.GPA.3.DF$Gender.F 
level=c("Male", "Female"),
labels=c("Male", "Female"))
Plot.GPA.3
geom_line(size=2, aes(color=Gender.F))+
geom_ribbon(aes(ymin=fit-se, ymax=fit+se,fill=Gender.F),alpha=.2)+
ylab("GPA")+
xlab("Tutor")+
ggtitle("Tutors and Gender as GPA Predictors")+
theme_bw()+
theme(text = element_text(size=12),
legend.text = element_text(size=12),
legend.direction = "horizontal",
panel.grid.major = element_blank(),
panel.grid.minor = element_blank(),
legend.position="top")
Plot.GPA.3
到这儿，我们的简单斜率图就画好了，注意两自变量都是分类变量的时候，x轴上的自变量有3个水平，所以这个斜率图一般都不是直的，一般斜率在中间都会打个折。
小结
今天给大家写了双分类变量的交互以及简单斜率图的做法，感谢大家耐心看完。发表这些东西的主要目的就是督促自己，希望大家关注评论指出不足，一起进步。内容我都会写的很细，用到的数据集也会在原文中给出链接，你只要按照文章中的代码自己也可以做出一样的结果，一个目的就是零基础也能懂，因为自己就是什么编程基础没有从零学Python和R的，加油。数据分析问题咨询，代处理请私信。

6-交互作用图



6.0 交互作用图


  
包括顺序图和通信图，为系统的动态方面建模。交互作用图描述了对象间的交互作用，由对象、对象间的关系组成
  
  
顺序图和通信图以不同的方式表达了类似的信息。顺序图描述消息的时间顺序，适合于描述实时系统和复杂的脚本；通信图描述对象间的关系。两者在语义上相当，彼此转换而不损失信息。




6.0.1交互作用图主要组成元素

对象     
连接      
消息  
包含注释和约束
6.0.1交互图示例



顺序图





通信图





6.1  顺序图


  
存在两个轴，水平轴表示不同的对象，垂直轴表示时间。




顺序图标识元素


  
顺序图的五要素是：活动者、对象、生命线、控制焦点、消息


对象：带垂直虚线的矩形框
垂直虚线：对象的生命线
对象间通信：对象的生命线间画消息
消息(重要)


  
可以是信号、操作调用等。当收到消息，接收对象执行相应的活动，对象生命线上细长矩形框表示对象激活。
  
  
消息以带标签的箭头表示，省去序列号，可带条件表达式，即互斥的分支。




简单消息是从一个对象到另一个对象的控制流的转移。
同步消息是消息发出了以后，发送对象必须等到接收对象的应答，才能继续自己的操作。
异步消息是消息发出了以后，发送对象不必等到接收对象的应答，就可以继续自己的操作。
对象生命线


  
垂直的虚线，对象生命线代表对象创建直到结束的生命周期，生命线的终端标一个“X”。




有控制中心（激活）(重要)


  
细长的矩形，表示对象直接或通过子过程执行一个动作的时间段。矩形的顶端和动作的开始对齐，矩形的底部和动作的完成对齐（可以用返回消息来标记）。




顺序图实例




  
模拟一下三国演义的赤壁之战的时序图 





6.2  顺序图应用


  
客户端发消息给PrintService，Service接着发消息给Image创建工资单，在建立工资单的打印图象时，需要雇员的信息，及工资数，而后建立打印图象。最后，Service发消息到打印接口，打印工资单。






6.3  通信图


  
强调参与交互作用的对象的组织。描述了交互作用的对象的静态结构(上下文)，对象间交换的消息的时间顺序(交互作用) 。




区别于顺序图的特点(重要)

有路径：表示对象间如何连接  
有序列号：表示消息的时间顺序，如1、1.1、2、3.4，可以是任意深度的嵌套。
通信图示例





语义等价


  
顺序图与通信图在语义上是等价的，因而它们可以相互转换而不损失信息。但它们显式地可视化描述了不同的信息，通信图显式描述对象间如何连接，顺序图显式描述对象间交互消息的时间顺序。
  
  
前面描述打印工资单的顺序图和通信图是等价的，可以相互转换而不损失信息。




6.6 交互作用图应用


  
为系统的动态方面建模，上下文(建模环境)可以是整个系统、一个子系统、一个操作或一个类，还可为用例的一个脚本建模。




按时间顺序为控制流建模

确定交互作用的上下文
确定参与交互作用的对象，按重要性从左至右放在时序图中
确定每个对象的生命线
按消息发生的时间从上到下放置在生命线间
如需规定时间或空间约束，可为消息附加适当的时间或空间约束
如想更正式地描述这个控制流，可为每个消息添加前置条件和后置条件
按组织结构为控制流建模

确定交互作用的上下文
确定参与交互作用的对象，按重要性由中间到四周放在协作图中
确定每个对象的初始特性，显示对象在交互作用期间发生的变化，用复制对象表示变化后的对象以区别于原对象(体现对象随时间的变化)
确定对象间的连接 

(i) 先布置关联连接 

(ii) 再布置其他的连接：按消息发生的时间顺序确定消息序列号，可为消息附加适当的时间或空间约束，可为消息添加前置条件和后置条件。

  
单个顺序图只描述一个控制流。通常，采用多个交互作用图来描述系统的动态特性，一部分描述主要过程，其它的描述备选过程或例外过程。




随堂测试

示例简介 : 
-- 使用场景 : 汽车租赁公司;
-- 使用的对象 : Customer (客户), Worker (工作人员), 
            Order (请求), Record (记录), Car (汽车);
-- 工作流程 :   ① 客户 向 工人 提出租车要求, 
                ② 工人 检查 请求, 
                ③ 客户 付款,
                ④ 工人 填写 记录,
                ⑤ 工人 取车;
绘制相应的时序图?  并将所绘制的时序图转换为协作图？