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  • 复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案
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    2020-12-20 10:50:23

    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

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    复合函数如何求导?大学符合函数求导公式有哪些?下文有途网小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则,供参考!

    复合函数求导公式

    复合函数求导法则

    证法一:先证明个引理

    f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

    证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0

    因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

    所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

    所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)

    引理证毕。

    设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

    又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

    于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

    因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且

    F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

    证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

    当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu

    但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

    又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得

    dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

    又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

    则lim(Δx->0)α=0

    最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

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    定义

    若有两个一元函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) ,我们可以把 g g g 的函数值作为 f f f 的自变量,得到一个新的函数称为 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) 的复合函数,记为 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)]

    如果我们已知上述两个函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) 的导函数 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) g ′ ( x ) g^{\prime}(x) g(x) ,那么我们可以通过以下公式求复合函数 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)] 的导数。 f [ g ( x ) ] ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) f[g(x)]^{\prime}=f^{\prime}[g(x)] g^{\prime}(x) f[g(x)]=f[g(x)]g(x)

    多重复合函数

    f [ g ( h ( x ) ) ] f[g(h(x))] f[g(h(x))] 为例,要对多重复合函数 f [ g ( h ( x ) ) ] f[g(h(x))] f[g(h(x))] 求导,可以先对 g [ h ( x ) ] g[h(x)] g[h(x)] 求导得 g ′ [ h ( x ) ] h ′ ( x ) g^{\prime}[h(x)] h^{\prime}(x) g[h(x)]h(x) ,再得到 f [ g ( h ( x ) ) ] ′ = f ′ [ g ( h ( x ) ) ] g ′ [ h ( x ) ] h ′ ( x ) f[g(h(x))]^{\prime}=f^{\prime}[g(h(x))] g^{\prime}[h(x)] h^{\prime}(x) f[g(h(x))]=f[g(h(x))]g[h(x)]h(x) 其它任意多重的复合函数求导同理可得。

    链式法则

    至于复合函数的求导公式为什么称为链式法则,原因是如果把表示过程用导数的另外一种符号表示如下: d y = d y   d u   d u = d y   d u d u   d x   d x \mathrm{d} y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \mathrm{~d} u=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x dy= dudy du= dudy dxdu dx 得到: d y   d x = d y   d u d u   d x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}  dxdy= dudy dxdu

    举例

    求函数 f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3 f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3} f(x)=(x2+1)3 的导数。

    可设 g ( x ) = x 2 + 1 , h ( g ) = g 3 g(x)=x^{2}+1, h(g)=g^{3} g(x)=x2+1,h(g)=g3,那么则有 h ( g ( x ) ) = g ( x ) 3 h(g(x))=g(x)^{3} h(g(x))=g(x)3

    则求解过程为, f ′ ( x ) = [ h ( g ( x ) ) ] ′ = h ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = 3 ( g ( x ) ) 2 ( 2 x ) = 3 ( x 2 + 1 ) 2 ( 2 x ) = 6 x ( x 2 + 1 ) 2 f^{\prime}(x)=[h(g(x))]^{\prime}=h^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=3(g(x))^{2}(2 x)=3\left(x^{2}+1\right)^{2}(2 x)=6 x\left(x^{2}+1\right)^{2} f(x)=[h(g(x))]=h(g(x))g(x)=3(g(x))2(2x)=3(x2+1)2(2x)=6x(x2+1)2

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    复合函数求导公式有哪些2018-08-01 17:24:23文/丁雪竹

    有很多的同学是非常的想知道,复合函数求导公式是什么,小编整理了相关信息,希望会对大家有所帮助!

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    复合函数如何求导

    规则:1、设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);

    2、设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);

    拓展:

    1、设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为: y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。

    2、定义域:若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。

    3、周期性:设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).

    4、单调(增减)性的决定因素:依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增; 增+减=减;减+增=减”,可以简化为“同增异减”。

    复合函数求导法则

    Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′

    例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,

    y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)

    =(3x^2)/Ln(x^3)]

    例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3

    由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3

    复合函数性质是什么

    复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律:

    (1)单调性规律

    如果函数u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么

    若u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数y=f[g(x)]为增函数;若u=g(x),y= f(u)增减性不同,则y=f[g(x)]为减函数.

    (2)奇偶性规律

    若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数.

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空空如也

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复合函数

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