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    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

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  • 复合函数求导公式复合函数求导法则证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f...

    复合函数如何求导?大学符合函数求导公式有哪些?下文有途网小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则,供参考!

    复合函数求导公式

    复合函数求导法则

    证法一:先证明个引理

    f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

    证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0

    因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

    所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

    所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)

    引理证毕。

    设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

    又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

    于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

    因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且

    F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

    证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

    当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu

    但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

    又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得

    dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

    又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

    则lim(Δx->0)α=0

    最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

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  • 第 期 总第 期年 月 黎明职业大学学报名 哪 哪工犯 性洲关〕 复合函数求导法则证明方法的探讨黄 永 正 摘要法则 。关键词 本文论述复合函数求导法则证明的 另 一种方法 , 并用 此 方 法论证参数方程求导 复合函数 ...

    第 期 总第 期年 月 黎明职业大学学报名 哪 哪工犯 性洲关〕 复合函数求导法则证明方法的探讨黄 永 正 摘要法则 。关键词 本文论述复合函数求导法则证明的 另 一种方法 , 并用 此 方 法论证参数方程求导 复合函数 求导法则 证明 众所周知 , 复合函数求导法则的经典证明方法和参数方程求导法则 的经典证明一直延用至今 。 关于复合函数求导法则的经典证明方法 , 对初学高等数学的人来说往往感到 比较 抽象 , 难 以掌握 而关于参数方程求导法则的证明则存在必须先引用待学的 “ 隐函数存在定理 ” 的缺点 。 为此 , 我们给出这两个法则的另一种证明方法 。 一 、 关于复合函数求导法则的证明 法 则 如果 甲 劝 在点 甸可导 , 而 。 在点 。 甲 翔 可导 , 则复合 函数 师 〕在点 句可导 , 且其导数为 证 明 、改 ⋯。、 由于 甲 劝 在点 句可导 , 了 ’ 坳 · 甲‘ 甸 因此 细 , , 、 黑而 一 甲 、句 , , 根据函数在某点可导 , 必在该点连续的性质知道 , 当 △二号 时 , 有 △ 号 或 △ 二两种情况存在 。 同理 , 由于 在 吻 甲 翔 处可导 , 因此 鱼笠 一 山 , 例」 ‘二 ‘ 询 。 黎 明 职 业 大 学 学 报 性涎涎 年 情况一 当 酝分 时 , 细 , 翔处 二 鱼卫 , 二 , 全』 卫些 、 瑟萄 纽 盆苟 、 劫 酝 尹涌 全 细茄肠 细 ‘石一 △ 一 恕瓮 · , ‘“ ’ 于 询 ·丫 甸 , 。 瓮 ⋯ 二 一 、一 ,, 、 , · , 、 , 情况二 当 时 , 细 一 , 在 、处 , 这时有 、 ‘、 , 一 恕瓮一 , 又 , 在 询 甲 甸 可导 , 因而 于 询 有意义 。 由于 么一沁 时 , 如 , 从而导致 △ , 这时不妨令 业 。 , — , 翔 这时亦有 要 一 , , ·‘ “ ,。 人 二 甸综合上述两种情况 , 本法则得证 。 二 、 关于参数方程所确定的函数的导数 传统的由参数方程所确定 的函数的导数的推理 , 除要求条件 “ 一般地 , 若参数方程甲 , 二 少 , 所确定的 与 的 函数关系 , 又若函数 甲 劝 、 。 中 都可导 , 而且 工 丫 笋 ’ 外 , 还必须假定 “ 函数 二 , 具有单调连续反 函数 甲一 ’ 一 ‘ ” 这一条件 。 后面这一条件 , 对 尚未学 习过隐函数存在定理的学生来说 , 无疑是个障碍 。 采用类似上述的证明方法能摆脱束缚使问题顺利解决 。 证明 因为 工 甲 可导 , 且 丫 护 , 所以 改 和 纽 是同阶无穷小 只有 丫时 , 酞 才是 改 的高阶无穷小因而 , 改弓 时 , 有 么令 反之亦然 。 △月旦且 仁 鱼 』一 。 一丝二 一 瑟萄 怂 崖瑟菊 公改 第 期 复合函数求导法则证明方法的探讨 又 中 可导 , 少一 下 “ 业酝一改 蜘一腼蜘卫‘ 一 同理 , 我们还可证明由参数方程所确定的函数的二阶导数公式正只 一兰上上处担止更土史延立时 〔丫二 。。 止工 , 鱼上二 日七 , , , 一 山一粗 ‘ △ ‘ 改 一 思 一瓦一以 丫 〕 参 考 文 献 樊映川编者 高等数学 人民教育出版社 , 陈传璋等编著 数学分析 人民教育出版社 , 印 责任编辑 东 红

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  • 复合函数求导课题复合函数求导法则课型:新授课主备教师:刘素梅总课时:第课时学习目标1、牢记基本初等函数求导公式2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数3、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导...

    复合函数求导

    复合函数求导法则

    课型:新授

    主备教师:

    素梅

    总课时:

    课时

    学习目标

    1

    、牢记基本初等函数求导公式

    2

    、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数

    3

    、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式

    4

    、会求简单的形如

    f

    ax

    b

    的复合函数的导数

    教学重难点

    重点

    会分解简单的复合函数及会求导

    难点

    正确分解复合函数的复合过程

    一.创设情景

    复习

    :求下列函数的导数

    (

    1

    )

    3

    2

    4

    y

    x

    x

    (

    3

    )

    s

    in

    x

    y

    x

    (

    2

    )

    3

    c

    o

    s

    4

    s

    i

    n

    y

    x

    x

    (

    4

    )

    2

    2

    3

    y

    x

    (

    5

    )

    l

    n

    2

    y

    x

    设置情境:

    (

    4

    )利用基本初等函数求导公式如何求导

    ?(5)

    能用学过的公式求导吗

    ?

    二.新课讲授

    探究

    1

    探究函数

    l

    n

    2

    y

    x

    的结构特点

    探究

    :

    指出下列函数的复合关系

    复合函数的概念

    一般地,对于两个函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    ,如果通过变

    u

    y

    可以表示成

    x

    的函数,那么称这个函数为函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    复合函数,

    记作

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    复合函数的导数

    复合函数

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    的导数和函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    导数间的关系为

    x

    u

    x

    y

    y

    u

    ,即

    y

    x

    的导数等于

    y

    u

    的导数与

    u

    x

    的导

    数的乘积.

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    ,则

    ()

    ()

    ()

    y

    f

    g

    x

    f

    g

    x

    g

    x

    三.典例分析

    1

    (课本例

    4

    )

    求下列函数的导数:

    (

    1

    )

    2

    (

    2

    3

    )

    y

    x

    (

    2

    )

    0

    .

    0

    5

    1

    x

    y

    e

    (

    3

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    y

    x

    (其中

    ,

    均为常数)

    备课札记

    1

    1

    )

    (

    )

    2

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    n

    m

    y

    a

    b

    x

    y

    x

    x

    展开全文
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  • 复合函数求导

    千次阅读 2017-04-25 16:14:51
    https://wenku.baidu.com/view/441521ba69dc5022aaea00fc.html
  • 有许多的同学是非常的想了解,复合函数求导公式是什么,小编整理了相关信息,期待会对大伙有所帮助!复合函数怎么求导规则:1、设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);2、设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x...
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  • 数学分析 复合函数求导法则

    千次阅读 2017-11-27 18:26:04
    复合函数求导法则
  • 信息举报时间:2021-01-14 本页为您甄选多篇描写分式复合函数求导公式大全,分式复合函数求导公式大全精选,分式复合函数求导公式大全大全,有议论,叙事 ,想象等形式。文章字数有400字、600字、800字....复合函数...
  • 复合函数求导是高考中必须掌握的东西,内容如下:设 ,对 求导得:而用复合函数求导法可以推导出隐函数求导的方法。隐函数求导是高等数学里面的东西,是一个挺有意思的概念,做一下了解也会有点帮助~一、隐函数求导...
  • 例如用ε-δ语言证明函数极限,以及教材中多数定理的详细证明过程,这些内容高等数学课程通常不要求掌握,我们不作过多介绍。相应地,我们补充了一些类似”利用泰勒公式推导二项式定理”等具有一定趣味性...
  • 9.4 多元复合函数求导

    2021-01-30 15:17:05
    emmm想了下这一篇就不做关于一元函数求导的回顾了,一元函数求导显函数、隐函数、复合函数、参数方程函数,要回顾也不是一两句能说清楚的,推荐去看以前的相关内容,在第二章。 多元函数求导的内容也分为显函数、...
  • 本篇就来讲一讲这个基本方法,掌握了它各种多元复合函数求导,包括各种隐函数求导,无论多复杂都手到擒来。一. 基本步骤非常简单:(1)先理清函数关系,画出函数关系图;(2)按照规则写出式子(有几条路径就是几...
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  • 028 导数求导工具总结之基本公式、四则求导法则、反函数导数、复合函数求导
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    2020-04-07 15:14:40
    课件和练习,
  • 本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数,今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下,今天的文章很重要,想要看懂机器学习各种...
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空空如也

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复合函数求导