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  • 摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识。

    一、联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系

    1、若已知(X, Y)的联合分布率 => 可以求出X的边缘分布律和Y的边缘分布率
    ● X的边缘分布律为
    在这里插入图片描述
    ● Y的边缘分布律为
    在这里插入图片描述

    2、若已知(X, Y)的联合分布律和X的边缘分布律 => 可以求出Y的条件分布律
    在这里插入图片描述

    3、若已知X的边缘分布律和Y的条件分布律 => 可以求出(X, Y)的联合分布律
    在这里插入图片描述

    4、若已知X的边缘分布率和Y的边缘分布率 => 只有当X和Y相互独立时,才可以求出(X, Y)的联合分布率
    在这里插入图片描述


    ✔   综合应用:若已知X的边缘分布率和Y的条件分布律,如何求X的条件分布律?
            求解分析:只需综合运用上述的几种情况即可,思路如下图所示:
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            求解过程如下图所示,可以看出,我们始终是根据条件分布律的定义,对分子上的(X, Y)联合分布律和分母上的Y边缘分布律进行变形处理,将等式转化为题目已知的X边缘分布律和Y条件分布律进行表示。
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    二、问题的引入

            例:某矿山一年内发生的事故总数服从泊松分布X ~ P(λ),其中一个事故是致命的概率为 p (0 < p < 1),事故发生之间相互独立。设一年内发生发生致命事故的次数为Y,求Y的分布律。

    三、问题的分析

            分析:该问题含有两个随机变量:事故总数X和致命事故总数Y。题目所要求的Y的分布律实质上为该二维随机变量的边缘分布律。显然致命事故发生的次数Y与事故总数X之间必然有着某种联系,根据题目给出的其中一个事故是致命的概率为 p,可以求出Y在X = k(k为事故发生的次数)下的条件分布律,注意这里Y的条件分布律服从二项分布,即
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            由于矿山事故为稀有事件,所以事故总数X服从泊松分布(这与题目所给条件相符),利用泊松分布的公式可以直接得到随机变量X的边缘分布率如下式所示:
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            求解思路:有了X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过式(1.4)我们就可以得到(X, Y)的联合分布律,根据联合分布律由式(1.2)可以进一步求出Y的边缘分布率,求解过程如下图所示:
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    四、问题的求解

            根据X的边缘分布律和Y的条件分布律,通过乘法公式(式1.4)计算出二维随机变量(X, Y)的联合分布律。(注意致命事故发生的次数m一定小于或者等于事故发生的次数k)
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           根据联合分布律,遍历完X的所有可能取值,就可以得到Y的边缘分布律。当求P(Y = m)时,注意到隐含的条件是:事故发生的次数k只可能大于或者等于m,即k ≥ m。所以我们只需在Y = m的情况下,将k = m到k = ∞之间的所有联合分布律求和,即可得到P(Y = m)。
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            结果表明,致命事故发生的次数Y服从泊松分布,这与我们的预想的确是一致的,因为致命事故的发生是比单纯发生矿山事故更稀有的事件,所以自然也服从泊松分布,而泊松分布的均值恰好为λp(矿山事故发生的均值 * 事故发生后致命的概率)。

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  • 文章目录边缘分布律及边缘密度引例1.边缘分布律例1:2 . 边缘密度函数例 2 : 边缘分布律及边缘密度 引例 1.边缘分布律 以二维表的形式给出: 例1: 设甲、乙两人各进行两次射击,他们每次的命中率分别为0.8和...

    边缘分布律及边缘密度

    引例

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    1.边缘分布律

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    以二维表的形式给出:

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    例1:

    设甲、乙两人各进行两次射击,他们每次的命中率分别为0.8和0.6。甲先射击,且甲全部命中时乙的命中率下降
    10%,甲全部未命中时乙的命中率上升20%,甲命中1次时 乙不受影响。令X,Y分别表示甲、乙的命中次数, 分别求(X,Y )关于X,Y的边缘分布律
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    2 . 边缘密度函数

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    例 2 :

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    求解过程 (它的联合密度应该为e 的 -y 次方。)

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    小练习题:

    例1:

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    例2:

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    例3:

    在这里插入图片描述

    图解:

    二维随机变量的联合密度函数含有丰富的信息,主要有三个方面:
    (1)单变量的密度函数,即边缘密度函数;
    (2)利用边缘密度函数的信息去判别两个变量之间的相依关系,且利用相关系数去判断它们的相依程度;
    (3)当一个变量固定不变时,另一个变量如何变化,具有什么样的密度,这就是条件密度。

    因此,确定边缘密度尤为重要。利用二维随机变量的联合密度函数求取边缘密度,在视频和习题中我们已经进行了大量的推演和练习。下面我们将利用图形可视化加深对边缘密度的理解。
    在这里插入图片描述
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    clear;clc;
    rou=0.3;
    [x,y]=meshgrid(-3:0.05:3);
    z=(1/(2*pi*sqrt(1-rou^2)))*exp((x.^2+y.^2-2*rou*x.*y)/(-2*(1-rou^2)));
    ii=find(x<-1);
    z(ii)=zeros(size(ii));
    surf(x,y,z)  %画曲面(带切面)
    hold on 
    iii=find(x==-1);
    plot3(x(iii),y(iii),z(iii),'--w','LineWidth',2)  %画截痕
    hold on
    iiii=find(x==-1.2);
    plot3(x(iiii),y(iiii),z(iiii),'--w','LineWidth',2)  %显示截痕所围截面
    hold on
    text('Interpreter','latex',...
     'String','$$f_X(c)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(c,y)dy}$$',...
     'Position',[-3 1.5 0.17],...
     'FontSize',24)
    xlabel('X轴');
    ylabel('Y轴');
    zlabel('Z轴');
    view(3)
    %%% 图2的matlab 代码
    
    
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  • 本节包括:随机向量的基础定义多元正态分布随机向量函数的分布条件分布和条件密度基础定义随机向量 设为定义在概率空间的随机变量,则为上的n维随机向量 为的联合分布为的边缘分布注记 (1) 由联合分布可以推出边缘...

    055bd8c1195f2fbcb3120babb453361e.png

    本节包括:

    • 随机向量的基础定义
    • 多元正态分布
    • 随机向量函数的分布
    • 条件分布和条件密度

    基础定义

    随机向量

    为定义在概率空间
    的随机变量,则
    上的
    n维随机向量
    联合分布
    边缘分布

    注记

    (1) 由联合分布可以推出边缘分布,但反之不成立

    (2) 由联合分布和边缘分布可以推得

    的独立性

    离散随机向量

    为离散随机变量,则
    离散随机向量,称
    联合概率

    注记

    设离散随机向量

    有联合概率
    ,则
    独立的
    充要条件为:

    连续随机向量

    为随机向量,若存在一非负可积函数

    使得对任意

    就称
    连续随机变量
    联合密度

    注记

    若对任意

    ,随机向量
    有密度
    ,则
    独立的充要条件为
    的联合密度

    多元正态分布

    二元正态分布

    ,若随机向量
    有概率密度

    其中

    则称
    服从
    二元正态分布,记作

    注记

    (1)

    独立当且仅当

    (2) 记

    则可将
    重写为

    多元正态分布

    对于随机向量
    ,设
    为实向量,
    为正定矩阵,若有概率密度

    则称
    服从
    n元正态分布

    随机向量函数的分布

    设随机向量
    的联合密度为

    定义随机变量

    则随机向量
    联合分布
    其中

    注记

    即通过

    ,找到对应
    区间
    ,在区间
    上积分
    ,获得
    ,再微分即可获得密度函数

    m=1时

    • 离散型:用分布律,分析各种情况
      • ,若
        独立
      • ,若
        独立
    • 连续型:先求
      ,再求导得到
      • 均为连续随机变量

    m=n时

    有联合密度
    的函数,
    是平面上的区域使得
    ,如果存在
    上的函数
    使得:
    1. ,有
    2. 到其值域
      的可逆映射,有连续偏导数,

    3. 集合
      互不相交

    有联合密度

    条件分布和条件密度

    离散

    是离散型随机向量,有概率分布
    则称

    为在条件
    条件分布

    注记

    独立的充要条件为

    连续

    设随机向量
    有联合密度
    有边缘密度

    若在确定的
    ,则称

    为条件
    条件分布
    为条件
    条件密度

    注记

    (1)

    (2)

    独立的
    充要条件为对
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  • 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布

    1 二维随机变量
    2 边缘分布
    3 条件分布
    4 相互独立的随机变量
    5 两个随机变量的函数的分布

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  • 二维连续型随机变量的相关计算,比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点,考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数...
  • 边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布四、二维均匀分布五、二维正态分布 一、边缘分布函数 定义: 联合分布函数和边缘分布函数的关系: 二、离散型随机变量边缘分布...
  • 二维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连...
  • 文章目录3.2 边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘分布 边缘分布函数 定义: 已知分布函数:这个取无穷就是消除这个随机变量对分布函数的影响。用图形解释:对y取+∞+\infty+∞...
  • 离散型随机变量的边缘分布 设二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的分布律为: P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2…P(X=xi)=∑j=1+∞...称为二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律 记做pi.p_{i.}pi.​ 同理 P(Y=yj)=∑i=1+∞
  • 1. 内容回顾 2.二维随机变量的联合分布函数与...3. 联合分布律可以确定边缘分布律,反之不然(即,边缘分布律不能确定联合分布律) 4. 二维连续型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数的关系 ...
  • 【概率论】边缘分布函数

    千次阅读 2020-04-29 17:47:21
    例1:昆虫产卵,设某种昆虫产卵数X∼P(λ)X \sim P(\lambda...b)X,YX,YX,Y的边缘分布律. 解:a) 由题意知, 当产卵数x固定时,Y∼B(x,p),Y \sim B(x, p),Y∼B(x,p),故由乘法公式: pij=P{X=i,Y=j}=P{Y=j∣X=i}⋅P{X=i}...
  • (1)联合分布函数:   多个变量组成是联合分布的基础,比如F(x,y),对x,y的约束,通常二维的可以通过计算面积获得联合分布的概率 ...(2) 联合分布律和联合概率密度的区别 ...(3)边缘分布 ...
  • 多维随机变量及其分布

    千次阅读 2019-05-30 20:04:10
    联合分布 其函数值等于以(x,y)为顶点左下角区域: 由上图可知 边缘分布 例如,对于随机变量D、F: 分布律: ...从表的“”边缘”看,有边缘分布律(这也是边缘分布律的由来): 条件分布 ...
  • 边缘概率函数

    万次阅读 2018-10-17 21:12:00
    分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布或边缘分布律。   随机变量的独立性 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布依次为,,则随机变量X和Y相互独立的充要条...
  • 2.边缘分布律 3.条件分布律 三:二维连续型随机变量 1.联合概率密度 2.边缘概率密度 3.条件概率密度 4.二维均匀分布 5.二维正态分布 四:独立性 1.概念 2.相互独立的充要条件 3.性质...
  • 一.多维随机变量 实际中,只用一个随机变量无法描述关心事物的数字特征,因此出现了多维随机变量 ...离散型二维随机变量与非离散型二维随机变量概念: ...3.边缘分布律 : 只关心一个随机变量 ...
  • 1.已知二维离散型分布律,求???已知二维随机变量X,Y的分布律如下表XY12300.20.10.110.30.20.1求:(1)P(X=0),P(Y=2)(2)P(X<1,Y≤2)(3)P(X+Y=2)(4)X,Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解:(1)P...
  • 随机变量的独立性随机变量的独立性回顾...联合分布率等于两个边缘分布律率 例2 连续型随机变量的独立性 联合概率密度是否等于两个边缘概率密度 例3 例4 例5 正态分布随机变量相互独立 二级目录 三级目录 ...
  • 概率论

    2020-07-12 22:38:33
    边缘分布律的活用 条件概率 正确使用字母表达事件 判断是否相互独立 f(x,y)是否=fX(x)*fY(y) 中心极限定理 z() 无偏估计量 E(θ) 相关系数、协方差系数与方差关系 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y) 置信区间,拒绝域...
  • 第一章 概率论的基本概念 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型 条件概率 独立性 第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续性随机变量及其概率密度 随机...
  • 二维随机变量的联合分布函数:二维随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的概率分布:二维随机变量的概率分布二维离散型随机变量的边缘分布:二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的条件分布:二维...
  • 哦豁,同时开坑,我怕不是要猝死,草稿箱里已经堆满了自己挖的坑……加上自己拖延...想边缘分布什么的,连续型的一开始可能不好理解的话,可以先把离散型的分布律写出来,就一目了然了,然后再做类比推理一下,连续...
  • 文章目录1.2.3.4.5.6.7. $已知二维随机向量的概率密度函数,求边缘概率密度...设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为: 若X和Y相互独立。 (1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分;(1)填写上表空白部分; (2)求U=...
  • 概率统计2

    2019-10-19 10:03:06
    3.1.1联合分布函数,分布律 3.2边缘分布 3.2.1边缘概率密度: 3.2.2二维正态分布 3.3条件分布 3.4相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 3.5.1 Z=X+Y的分布 4 随机变量的数学特征 4.1数学期望...
  • ►核心考点:I、分布函数、分布律、概率密度的相关性质;II、联合分布、边缘分布与条件分布的计算;III、随机变量函数的分布以及随机变量独立性的判断;IV、常见分布的相关性质;以上考点中,要重点掌握边缘分布...
  • 离散变量对应概率质量函数(就是离散变量的概率,加起来为1,教材叫分布律) 连续变量对应概率密度函数(积分为1) 边缘概率 已知一组变量的联合概率分布,其中变量的一个子集的概率分布称为边缘概率分布。 比如...
  • 摘要:在考研数学中,概率论与数理统计是非常重要的一部分,这部分要想拿分,就要了解下它里面内容的重要考点和常考题型。...bull重要考点: I、分布函数、分布律、概率密度的相关性质 II、联合分布、边缘分布与条件...
  • 统计建模与R

    2020-06-01 19:00:49
    第一章 概率统计 1.1随机事件与概率 随机试验: 随机事件之间的关系 随机事件的运算 概率 概率的性质 古典概型 ...边缘分布 二维均匀分布 二维正态分布 1.3随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差 相

空空如也

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边缘分布律