一、线性和非线性的区别？
线形指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；飞线性则指不按比例、不成直线的关系代表不规则的运动和突变。

二、如何判断一个系统是线形还是非线性系统？
如果从系统状态空间表达式来观察，线性系统和非线性系统最明显的区别方式就是线性系统符合叠加原理，而非线性系统不然。换句话说线性系统只有状态变量的一次项。高次、三角函数以及常数项都没有，只要有任意一个非线性环节就是非线性系统。

三、非线性系统有一种方式是局部转化成线性系统才能控制？
非线性系统不是不能控制而是不能掌控设想一下汽车的油门是非线性控制，如果踩一小点速度猛然上升，这种现象在现实中不希望看到，现实中需要缓慢的线性变化，而不是突变的非线性变化。线形系统具有规律可循，只要找到系统的一部分就可以推算出其他部分，非线性系统无规律可循，于是将非线性系统近似为线性系统也是飞线性系统的一种计算方式。

四、非线性系统和线性系统相比具有什么特点？
（1）线性系统的稳定性和输出特性，只取决于本身的结构和参数。而非线性系统的稳定性和输出动态过程。不仅与本身的结构和参数有关，而且还与系统的初始条件和输入信号大小有关。

（2）非线性系统的平衡运动状态，除平衡点外还可能有周期解。周期解有稳定和不稳定两类，前者观察不到，后者是实际可观察到的。因此在某些非线性系统中，即使没有外部输入作用也会产生有一定振幅和频率的振荡，称为自激振荡，相应的相轨线为极限环。改变系统的参数可以改变自激振荡的振幅和频率。这种特性可用于实际工程问题，以达到某种技术目的。例如根据温度来影响自激振荡，可以构成双位式温度调节器。

（3）线性系统的输入为正弦函数时，其输出的稳态过程也是同频率的正弦函数，两者仅在相位和幅值上不同。但非线性系统的输入为正弦函数时，其输出则包含有高次谐波的非正弦周期函数，即输出会产生倍频、分频、频率


作者：侯马骁

来源：CSDN

原文：https://blog.csdn.net/qq_38943626/article/details/87453501

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非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
7.1非线性系统的基本概念
一、非线性系统的特点
二、典型非线性特性

第7章 非线性系统的分析
实际的自动控制系统都是非线性系统。原因在于控制元件或多或少地带有非线性特性

非本质非线性系统


非线性系统看做线性系统进行处理


①系统的非线性不明显，可近似为线性系统；


②某些系统的非线性特性虽较为明显，但在某些条件下可进行线性化处理，作为线性系统分析。

本质非线性


采用非线性系统理论来分析


系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理

7.1非线性系统的基本概念
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能用线性微分方程(一般只能用非线性微分方程来描述,具有非线性数学模型)来描述,则称为非线性系统，或称为本质非线性系统。

一、非线性系统的特点
1.稳定性方面


线性系统—只取决于系统结构和参数，与输入信号及初始条件无关。


非线性系统—不仅取决于系统的结构和参数，还与输入信号和初始条件有关。即可能在某个初始条件下稳定，在另一个初始条件下系统可能不稳定。


例如：某系统的数学模型为非线性方程的解为$x(t)=\frac{x_0e^{-t}}{1-x_0+x_0e^{-t}}$

（1）当初始条件$x_0＜1$时,$1－x_0＞0$,其暂态过程

按指数规律衰减,该系统稳定。


（2）当$x_0=1$时,$1-x_0=0$,其暂态过程为一常量。


（3）当$x_0＞1$时,$1-x_0＜0$, 系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。



2.响应过程


线性系统—与输入信号的大小及初始条件无关。如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减震荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减震荡形式


非线性系统—可能出现在某一初始条件下的响应过程为单调衰减，而在另一初始条件下衰减震荡。



3.自激振荡


线性二阶系统—只在阻尼比$ζ=0$时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程,这时系统处于临界稳定状态。实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么发散至无穷大,要么衰减至零。


非线性系统—没有外作用时，可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该响应过程物理上可实现并保持，称之为自激振荡或自振荡。
4.频率响应畸变


线性系统—在正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信号同频率的正弦信号。


非线性系统—在正弦信号的作用下，非线性系统的响应很复杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号。输出信号频率有时是输入频率的倍频、分频。


非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都属于非线性控制范畴。
5.系统共振


线性系统—如果外加信号的频率与系统的无阻尼振荡频率相等，则发生共振现象，振幅理论上可达无穷大


非线性系统—不会发生线性系统那样的共振现象。原因在于：其周期解的频率随幅值的变化而变化，即使外加信号的频率与系统周期响应不断变化的自振频率相等，也只发生在短暂时刻
二、典型非线性特性
常见的典型非线性特性有：死区、饱和、间隙、继电器特性
1.死区(不灵敏区)特性


测量机构和元件都不同程度地存在死区，即输入信号未超过某一特征数值时，输出信号为零。只有当输入信号的幅值超过该特征数值时，输出信号随输入信号线性变化。


死区的典型特性如下图所示：


其非线性特性的数学表达式如下：

$x_2=\begin{cases}
0,&\mid x_1\mid<=\vartriangle \\ k(x_1-\vartriangle signx_1),&\mid x_1\mid>\vartriangle
\end{cases}$

式中$signx_1\begin{cases}
1,&x>0 \\ -1,&x<0
\end{cases}$为符号函数


死区特性的影响：


（1）造成控制系统的稳态误差:这是由于当死区环节输入信号幅值未超过死区特征值时，其输出信号为零，系统前向通道处于断开状态，不能产生调节作用。


（2)有时人为地引入死区特性，

用于消除高频小幅度振荡，

减少系统中器件的磨损。
2.饱和特性


环节输入信号在某个特征数值以内时，输出信号随输入信号线性变化，超过该特征数值后，输出不再变化。


所有放大器均存在饱和现象。


典型饱和非线性特性如下图所示：


其数学表达式为：

$x_1=\begin{cases}
ka,&x_1>a \\ kx_1,&\mid x_1\mid<=a \\ -ka,&x_1<-a
\end{cases}$

输入信号$\mid x_1\mid<a$时，该环节是放大倍数为k的比例环节,当$\mid x_1\mid>a$时出现饱和。
饱和特性的影响：


大信号作用下的等效增益降低；

深度饱和时，可能使系统失去闭环控制作用；

出于对系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其特性也属饱和特性。



3.间隙特性(回环)


在传动机构之中，由于加工精度及运动部件的动作需要，总会存在一些间隙。为保证转动灵活不至于卡死，必须有少量的间隙。由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始仍保持原有的位置，直到主动轮转过了2b间隙，在相反方向与从动轮相啮合后，从动轮才开始转动。

典型的间隙非线性的输入输出特性如下图所示：


其表达式为：

$x_2=\begin{cases}
k(x_1-b),&x_2>0 \\ csgn(x_1),&x_2=0 \\ k(x_1+b),&x_2<0
\end{cases}$

b为间隙宽度；一般来说，间隙的存在对系统总是不利的： (1)首先它使系统的

稳态误差扩大：（2) 使系统的动态性能变差（相位滞后增大），使振荡加剧，稳定性变差。
4.继电器特性


继电器的输入输出特性如下图所示：


由于继电器的动作电流大于返回电流，故继电器特性中不仅含有死区特性，而且还含有间隙和饱和特性。

继电器的返回电流与动作电之比称为返回系数。
若返回系数 m=1，则无滞环，其特性称为具有死区的单值继电器特性，如图7-9(a)所示。


若返回系数m=-1，即继电器的正向返回电流等于反向动作电流时，其特性称为具有滞环的继电器特性，如图7-9(b)所示。


若a=0，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电器特性，如图7-9©所示。 

线性系统
线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。对于线性连续控制系统，可以用线性的微分方程来表示。不满足叠加性和均匀性的系统即为非线性系统。

非线性系统
非线性系统：一个系统,如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。叠加原理可以通过两种方式失效。其一，方程本身是非线性的。其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的。
线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。

简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。

二、如何判断一个系统是线性还是非线性系统
换句话说，线性系统的表达式中只有状态变量的一次项，高次、三角函数以及常数项都没有，只要有任意一个非线性环节就是非线性系统。

三、非线性系统为什么不能控制要转换为线性系统才能控制
非线性系统不是不能控制 而是不能掌控 设想一下 假如汽车的油门是非线性控制  那么很可能只踩了一丁点 速度却猛然飙升  这样的现象相信任何司机都不想见到  人们日常生活中需要的是缓慢的线性变化 而不是突然的非线性变化
线性系统有规律可循，只需要找到系统的一部分就可以推算出其他部分，非线性系统不规律无迹可寻，于是必须先把非线性系统转化为线性；那么既然不是线性系统咋转换呢，非线性系统也是由多个线性系统组成的，只是规律不同而已，对非线性系统按照范围进行转化就行。
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