反三角函数的导数的推导过程
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根据反函数求导法则：反函数的导  数等于直接函数的倒 数。
”
先给出所有反三角函数的导数的总结：
表1. 反三角函数的导数及其定义域
接下来依次证明：
1、反正弦函数  的导数
2、反余弦函数 的导数
证法I： 类似推导
证法II：由，于是
3、反正切函数  的导数
4、反余切函数  的导数
证法I：类似3，略。
证法II： 类似2，由，于是
5、反正割函数  的导数
标 部分主要是要把上一步完全由  表示，由于有以下恒等关系。
i) 。
因此: 
ii) 这时必须注意到  的取值范围  (见表1.)。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到：
 时： 都大等于 ；
 时： 都小等于 。
因此： 。
综上：标 步的写法可以保证这一不等关系始终成立。
6、反余割函数  的导数
证法I：类似5，略。
证法II： 类似2，由，于是

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反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：
常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容
本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。
一、常用三角函数与反三角函数
常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示
图1.三角函数及其对应三角形
​
反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y​ 调换位置则得到反三角函数的图示：
图2.反三角函数及其对应三角形
上述反三角函数的图象如下图所示：
图3.反三角函数的图象
在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。
表1. 反三角函数的定义值及值域 
二、反三角函数的导数的推导过程
反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数
反函数的导 
 数等于直接函数的导数的倒
 数。
先给结论：
表2. 反三角函数的导数及其定义域
接下来依次证明：
1、反正弦函数
的导数
2、反余弦函数 
的导数
证法I： 类似推导
证法II：由
，于是
3、反正切函数 
 的导数
4、反余切函数 
 的导数
证法I：类似3，略。
证法II： 类似2，由
，于是
5、反正割函数 
 的导数
 标 
部分主要是要把上一步完全由 
 表示，由于有以下恒等关系
i) 
因此: 
ii) 这时必须注意到 
 的取值范围 
 (见表1.）。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到：
 时：
 都大等于
 时： 
 都小等于 
因此： 
综上：标
 步的写法可以保证这一不等关系始终成立。
6、反余割函数 
 的导数
证法I：类似5，略。
证法II： 类似2，由
，于是
小结
本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。

有一组4096长度的数据，需要找到一阶导数从正到负的点，和三阶导数从负到正的点，截取了一小段。
394.0
388.0
389.0
388.0
388.0
392.0
393.0
395.0
395.0
394.0
394.0
390.0
392.0
按照之前所了解的，对离散值求导其实就是求差分，例如第i点的导数(差分)为：
即在一个宽度为2m+1的窗口内通过计算前后m个值加权后的和得到。但是在实际使用过程中效果不是很好。于是想到了同样在一个宽度为2k+1的窗口内，将这2k+1个点拟合成一个函数，然后求导就可以得到任意阶数的导数值。
首先是函数拟合，使用from scipy.optimize import leastsq即最小二乘拟合
from scipy.optimize import leastsq
class search(object):
def __init__(self, filename):
self.filename = filename
def func(self, x, p):
f = np.poly1d(p)
return f(x)
def residuals(self, p, x, y, reg):
regularization = 0.1 # 正则化系数lambda
ret = y - self.func(x, p)
if reg == 1:
ret = np.append(ret, np.sqrt(regularization) * p)
return ret
def LeastSquare(self, data, k=100, order=4, reg=1, show=1): # k为求导窗口宽度,order为多项式阶数,reg为是否正则化
l = self.len
step = 2 * k + 1
p = [1] * order
for i in range(0, l, step):
if i + step < l:
y = data[i:i + step]
x = np.arange(i, i + step)
else:
y = data[i:]
x = np.arange(i, l)
try:
r = leastsq(self.residuals, p, args=(x, y, reg))
except:
print("Error - curve_fit failed")
fun = np.poly1d(r[0]) # 返回拟合方程系数
df_1 = np.poly1d.deriv(fun) # 求得导函数
df_2 = np.poly1d.deriv(df_1)
df_3 = np.poly1d.deriv(df_2)
df_value = df_1(x)
df3_value = df_3(x)
fun = np.poly1d(r[0]),fun返回的是一个 polynomial class，具体使用可以见官方文档numpy.poly1d
polynomial对象可以使用deriv方法求导数，求得的依然是 polynomial对象。 df_value = df_1(x)所得到的就是x这个几个点求得的导数值。
看似大功告成，但是求导的结果并不是很好，如下图，实际最高点在100左右，但是拟合出来的曲线最高点在120左右，而原因在于使用多项式拟合很难准确拟合曲线。
于是想用高斯函数来实现对曲线的拟合，在matlab中试了下，三阶高斯拟合可以很好的拟合曲线，
但是numpy以及sicpy中没有找到类似poly1d这种对象，虽然可以自己定义高斯函数，如下
def gaussian(self, x, *param):
fun = param[0]*np.exp(-np.power(x - param[2], 2.) / (2 * np.power(param[4],    2.)))+param[1]*np.exp(-np.power(x - param[3], 2.) / (2 * np.power(param[5], 2.)))
return fun
但是，在通过最小二乘拟合得到函数参数后只能得到拟合后的点，无法直接求导数..所以并不适合。
所以还是只能回到多项式拟合，如果4阶多项式不能表征的话，更高阶的呢
总体来说，效果还是可以接受的。
如果下阶段找到好的高斯函数拟合方法，会继续更新。
以上这篇Python求离散序列导数的示例就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持脚本之家。

	

系列简介：这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上，以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本，并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容，我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导，也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异，对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”，我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章，欢迎关注数学若只如初见！
本节我们介绍反函数的求导法则，由于中学阶段对反函数及反三角函数的要求不高，本节我们先复习一些这方面的基础知识，再介绍反函数的求导法则，并利用其推导四个常用反三角函数的导数公式。(由于公式较多，故正文采用图片形式给出。)
一、反函数基础知识概述。
二、反函数的求导法则(了解即可)。
关于反函数连续性的基础知识介绍见下文：
高等数学入门——连续函数运算的基本定理及其应用
指数函数和对数函数的求导公式推导见下文，请读者对比这两种推导y=lnx导数公式的方法：
高等数学入门——基本导数公式的推导
三、反三角函数基础知识复习(特别注意它们的定义域和值域)。
关于基本初等函数的知识简介见下文：
高等数学入门——初等函数的连续性
四、以上四种反三角函数函数的图像。
五、对反三角函数的一些补充说明(注意只能在三角函数的单调区间上定义其反函数)。
六、利用反函数求导法则推导反正弦函数和反正切函数的导数公式。
七、反三角函数的求导公式总结。
上一篇：高等数学入门——判断含绝对值的函数可导性的方法和典型例题