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  • 创建该存储库中的代码是为了使二次曲面适合点云,该云具有很大的噪声或丢失的数据部分。 在这种情况下,拟合无约束的二次曲面可能会导致出现不良曲面,例如双曲面,扁平椭圆形或平面。 约束表面的一种方法是使用具有...
  • 利用matlab拟合三维离散点对应的二次曲面。 其中,二次曲面公式为z = x^2 + y^2 + xy + x + y
  • 二次曲面拟合

    2018-01-17 09:45:49
    完整的二次曲面拟合程序
  • 此提交有助于处理二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线等)和二次曲面(椭圆体、椭圆抛物面、双曲抛物面、双曲面、圆锥、椭圆圆柱、双曲圆柱、抛物线圆柱等)。方程 Q(x)= x'* A * x + b'* x + c = 0 其中使用了伪 ...
  • 此算法的主要功能即实现方式: 利用移动二次曲面拟合法,由格网点P(Xp,Yp)周围的10个已知点内插出待求格网点P的高程。 用c#语言编写,完整程序
  • 二次曲面拟合结合BP神经网络法用于GPS高程的转换,刘玉婵,张书毕,本文通过对GPS大地高和正常高进行分析,得出两者之间的转换关系,简单介绍了两种常用的GPS高程转换方法,然后结合两种方法的优点,
  • 使用 BlendBridge 库绘制每个顶点颜色的二次曲面的 Blender 插件。 BlendBridge 库在 TWINGSISTER 的内部众筹活动中作为特权分发。 Quadrics 插件可以在 Blender 中使用,也可以在 Blender + Sverchok 和 Blender + ...
  • c语言 二次曲面纹理

    2018-04-19 21:18:40
    二次曲面纹理 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
  • 此提交内容提供了一个工具套件,用于拟合2D圆锥(椭圆,圆,直线等)以及3D二次曲面(椭圆,球体,平面,圆柱等)。 每种拟合类型都由类层次结构中的一个对象表示。 对于每种拟合类型,都提供了重载方法来生成嘈杂的...
  • 采样点数据、matlab代码(注释详细)、文献一份、PPT一份。。DEM 内插就是根据参考点 上的高程求 出其他待 定点上的高程 ,在数学上属于插值问题。任意一种 内 插方法都是基于邻近数据点之间存在很大的相关性 , ...
  • 二次曲面高程拟合

    2013-08-15 11:48:04
    用c语言编写的高程拟合程序,通过对已知点坐标求二次曲面参数,用参数平差法进行拟合。得到二次曲面参数,以及插值点的高程。内附代码。
  • 通过二次曲面拟合的方式建立模型,实现大地高,正常高,高程异常值之间的相互转换,实现拟合模型成功建立。
  • 二次曲面的化简与分类方法探讨,张奇业,刘红英,结合微积分中比较常用的稳定点和线性代数中非常重要的矩阵特征值的概念, 在不同情况下给出了二次曲面的简化方程的直观特点, 并根�
  • 通过Python绘制九种二次曲面

    千次阅读 多人点赞 2021-10-09 10:21:44
    二次曲面 python中绘制三维图需要将坐标系声明为3d。 球面方程为 x2+y2+z2=R2 x^2+y^2+z^2=R^2 x2+y2+z2=R2 写为极坐标形式为 x=Rsin⁡θcos⁡φy=Rsin⁡θsin⁡φz=Rcos⁡θ \begin{aligned} x&=R\sin\theta\...

    二次曲面

    python中绘制三维图需要将坐标系声明为3d

    球面方程为

    x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x^2+y^2+z^2=R^2 x2+y2+z2=R2

    写为极坐标形式为

    x = R sin ⁡ θ cos ⁡ φ y = R sin ⁡ θ sin ⁡ φ z = R cos ⁡ θ \begin{aligned} x&=R\sin\theta\cos\varphi\\ y&=R\sin\theta\sin\varphi\\ z&=R\cos\theta\end{aligned} xyz=Rsinθcosφ=Rsinθsinφ=Rcosθ

    R = 1 R=1 R=1,则画图为

    在这里插入图片描述

    代码如下

    >>> import matplotlib.pyplot as plt
    >>> import numpy as np
    >>> theta = np.arange(0,6.4,0.1).reshape(64,1)
    >>> phi = np.arange(0,3.2,0.1).reshape(1,32)
    >>> x = np.sin(theta)*np.cos(phi)
    >>> y = np.sin(theta)*np.sin(phi)
    >>> z = np.cos(theta)
    >>> ax = plt.gca(projection='3d')
    >>> ax.plot_surface(x,y,z)
    <mpl_toolkits.mplot3d.art3d.Poly3DCollection object at 0x000001CECF13A730>
    >>> plt.show()
    

    二次曲面共有九种,代码均与椭球曲面类似,为了加强立体感,可在画图的时候设置颜色映射,下列各图部分用到

    from matplotlib import cm
    #...
    ax.plot_surface(x,y,z,cmap=cm.coolwarm)
    
    a,b,c均为1时的曲面
    椭圆锥面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 a2x2+b2y2c2z2=0
    在这里插入图片描述
    椭球面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
    在这里插入图片描述
    单叶双曲面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2c2z2=1
    在这里插入图片描述
    双叶双曲面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 a2x2+b2y2c2z2=1
    在这里插入图片描述
    椭圆抛物面
    z = x 2 a 2 + y 2 b 2 z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} z=a2x2+b2y2
    在这里插入图片描述
    双曲抛物面
    z = x 2 a 2 − y 2 b 2 z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} z=a2x2b2y2
    在这里插入图片描述
    椭圆柱面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
    在这里插入图片描述
    双曲柱面
    x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2b2y2=1
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    抛物柱面
    y 2 = 2 p x y^2=2px y2=2px
    在这里插入图片描述

    在上面各式中,椭圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面具有极为相似的表达式

    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = { < 0 双 叶 双 曲 面 = 0 椭 圆 锥 面 > 0 单 叶 双 曲 面 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\left\{\begin{aligned} &<0&双叶双曲面\\ &=0&椭圆锥面\\ &>0&单叶双曲面\\ \end{aligned}\right. a2x2+b2y2c2z2=<0=0>0

    故可绘制动态图来表示这一过程,由于animation中无法绘制plot_surface,所以采用将单张图片生成gif的方式。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from matplotlib import cm
    import imageio
    
    theta = np.arange(0,6.4,0.1)
    z = np.arange(-2,2,0.02).reshape(200,1)
    gifImgs = []
    fig = plt.figure()
    for i in np.arange(-1,1,0.02):
        theta = np.arange(0,6.4,0.1).reshape(1,64)
        Z = np.repeat(z,64).reshape(200,64)
        x = np.sqrt(z**2+i)*np.cos(theta)
        y = np.sqrt(z**2+i)*np.sin(theta)
        ax = plt.gca(projection='3d')
        ax.plot_surface(x,y,Z,cmap=cm.coolwarm)
        plt.savefig("%.2f.jpg" % i)
        gifImgs.append(imageio.imread("%.2f.jpg" % i))
    
    imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=5)
    

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  • 以减小空气阻力为主要目标,针对二次曲面共形光学整流罩进行研究,设计综合性能较为完善的整流罩面型。应用计算流体力学方法,计算了共形整流罩的空气阻力系数,建立了共形整流罩空气阻力评价函数。基于光线追迹理论...
  • 二次曲面拟合DEM内插

    2011-11-17 18:31:59
    运用二次曲面法拟合根据周围临近8点内插已知平面坐标的高程坐标 DEM 适合地球空间地理信息专业的课程设计,如测绘遥感空间……有点鸡肋
  • 一.二次曲面 二.二次曲面的旋转不变量 三.特征方程和特征根 四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类

    一.二次曲面
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    二.二次曲面的旋转不变量
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    三.特征方程和特征根
    1.特征根(特征值)与主方向(特征方向,特征向量):
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    2.不同直角坐标系下的主方向:
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    3.二次曲面的标准形式:

    引理1:非零实对称矩阵 D D D的特征根全是实数
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    引理2:非零实对称矩阵 D D D的3个特征根至少有1个不为0
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    引理3:可以选择对应的3个特征根(实根)的主方向,使得它们互相垂直
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    定理1:经过适当的坐标变换, Φ ( x , y , z ) Φ(x,y,z) Φ(x,y,z)总可以化为标准形式 λ 1 x ∗ 2 + λ 2 y ∗ 2 + λ 3 z ∗ 2 λ_1x^{*2}+λ_2y^{*2}+λ_3z^{*2} λ1x2+λ2y2+λ3z2,其中实数 λ 1 , λ 2 , λ 3 λ_1,λ_2,λ_3 λ1,λ2,λ3是系数矩阵 D D D的3个特征根
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    四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类
    1.二次曲面化为标准形式的过程
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    (1)特征根均不为0:
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    (2)特征根有且仅有1个为0:
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    (3)特征根有且仅有2个为0:
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    2.分类
    (1)二次曲面的分类:

    定理2:二次曲面化为标准形式,一共有17类
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    (2)二次曲线的分类:

    定理3:平面上二次曲线一共有9类:椭圆,虚椭圆,双曲线,1点,2条相交直线,抛物线,2条平行直线,2条虚平行直线,2条重合直线
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  • 为准确、快速地评定任意位姿的一般二次曲面轮廓度误差,提出以改进粒子群算法(IPSO)和角度分割逼近法为基础的最小区域评定方法。首先,提出角度分割逼近法计算的所有测量点与一般二次曲面的距离,并以其中最大值作为...
  • 现实世界中的一切,都可以用二次曲面表示,那么如何拟合二次曲面呢? 二次曲面是在三维坐标系(x、y、z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程(系数为实数,且二次项...

    现实世界中的一切,都可以用二次曲面表示,那么如何拟合二次曲面呢?

    一、定义

    二次曲面是在三维坐标系(x、y、z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程(系数为实数,且二次项系数不全为零)所表示的曲面。

    空间二次曲面的一般形式方程为:

                                                             F(x,y,z)=a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+a_{12}xy+a_{23}yz+a_{31}zx+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}=0

     

    二、分类:

    二次曲面有12种:

    (1)圆柱面(Cyindrical surface)

    (2)椭圆柱面(Elliptic cylinder)

    (3)双曲柱面(Hyperbolic cylinder)

    (4)抛物柱面(Parabolic cylinder)

    (5)圆锥面(Conical surface)

    (6)椭圆锥面(Elliptic cone)

    (7)球面(Sphherical surface)

    (8)椭球面(Ellipsoid)

    (9)椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)

    (10)单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)

    (11)双叶双曲面(Hyperboloid of two sheets)

    (12)双曲抛物面(马鞍面)(Hyperbolic paraboloid)

    最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面。此外,二次曲面还包括椭球面、双曲面(又分为单叶双曲面和双叶双曲面)和抛物面(又分为椭圆抛物面和双曲抛物面,后者又称马鞍面)。当表示二次曲面的一个方程,能分解为两个一次方程的乘积时,这个二次曲面就退化成两个或相交或平行或重合的平面。

    三、空间二次曲面的标准表达式:

    这里具体可以参考这个文章:二次曲面方程三维标准化及其图形实质

    空间二次曲面的标准表达式化为含abcdef6个参数的表达式。

    举例:如下以椭球面为例子进行二次曲面拟合:

    一下推导使用最小二乘:由于它的原理直观,算法简单,收敛性能好,且不要求先验的统计知识,因而被广泛应用。最小二乘法是在1795年由大数学家高斯(C.F.Gauss)研究天体运动轨道问题提出的,它的基本原理是实际观测值与模型计算值的误差的平方和最小原理,由此而得名“最小二乘”法。应该注意的是最小二乘法是一种思想,由它衍生出来的公式可以有很多种。本次的空间二次数据拟合算法的推导利用的也是最小二乘法,不同的是本次是先估计参数a,b,c,d,e,f,然后间接的得到参数x0, y0, z0, A, B, C,这样做给公式推导带来了很大的方便,而且结果与直接推导的完全一样。参考链接:https://blog.csdn.net/hj199404182515/article/details/53462512

    https://blog.csdn.net/HJ199404182515/article/details/59480954

     对于有N个三维椭球面样本对其进行椭球面拟合,我们只需要对参数a,b,c,d,e,f进行估计,从而就可以得到x0, y0, z0, A, B, C。那么怎么利用样本去估计这些参数呢?这实际上就是模型参数估计的内容,模型参数估计有很多种方法,其中最基本的方法就是最小二乘法(Least Squares Method)。

     

    之后求uv,第一基本量、第二基本量进而进行曲率求解。。。。。。。。。。。。。。(有空接着推导)

    参考连接:http://www.drhuang.com/chinese/science/mathematics/handbook/GC3/GC3.htm

      

    参考链接:http://www.drhuang.com/chinese/science/mathematics/handbook/GC4/GC4.htm

    第二基本二次型曲面曲线的曲率

       [第二基本二次型与第二基本量]

     

    百度解答:

    已知曲面z=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x^2+a5y^2的系数a0,a1,a2,a3,a4,a5,如何求曲面的第一基本量,第二基本量??

    先求 u = dz/dx, v = dz/dy, 然后再求baip = du/dx, q = dv/dy, r = zhi/dy , 继而求得曲dao面的zhuan法向量shu
    n = u×v / |u×v|; 由此回可以算出曲面的第一基本量答 E = u^2; F = uv; G = v^2; 第二基本量:L = p*n, M = r*n, N = q*n。

    以下是这个链接博主的推导过程和代码,以及结果,超级感谢指导。大牛博主链接:https://blog.csdn.net/qq_36686437/article/details/109350523

      

    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <pcl/io/pcd_io.h>  
    #include <pcl/point_types.h>  
    #include <pcl/kdtree/kdtree_flann.h>  //kdtree近邻搜索
    
    using namespace std;
    using namespace Eigen;
    int main()
    {
    	//-----------------读取点云数据--------------------
    	pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
    	if (pcl::io::loadPCDFile<pcl::PointXYZ>("desk2.pcd", *cloud) == -1)
    	{
    		PCL_ERROR("Cloudn't read file!");
    		return -1;
    	}
    	//---------------矩阵运算相关参数-------------------
    	MatrixXd Mean_curvature;
    	Mean_curvature.resize(cloud->size(), 1);    //初始化矩阵 cloud->size * 1;
    	MatrixXd Gauss_curvature;
    	Gauss_curvature.resize(cloud->size(), 1);
    	Matrix<double, 6, 6>Q;                      //求解方程组系数矩阵
    	Matrix<double, 6, 6>Q_Inverse;		        //系数矩阵的逆矩阵
    	Matrix<double, 6, 1>B;					    //方程组右值矩阵
    
    	Q.setZero();	  //初始化矩阵元素全为0
    	Q_Inverse.setZero();
    	B.setZero();
    	double a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, e = 0, f = 0;//二次曲面方程系数
    	double u = 0, v = 0;							//二次曲面参数方程参数
    	double E = 0, G = 0, F = 0, L = 0, M = 0, N = 0;//曲面第一、第二基本量
    	double Meancurvature = 0, Gausscurvature = 0;	//平均曲率、高斯曲率
    	//------------K近邻搜索查找最近点----------------
    	pcl::KdTreeFLANN<pcl::PointXYZ> kdtree;
    	kdtree.setInputCloud(cloud); 
    	for (size_t i_p = 0; i_p < cloud->points.size(); ++i_p) {
    
    		pcl::PointXYZ searchPoint = cloud->points[i_p]; //设置查找点
    		int K = 10;                                //设置需要查找的近邻点个数
    		vector<int> pNK(K);                       // 保存每个近邻点的索引
    		vector<float> pointNKNSquaredDistance(K); // 保存每个近邻点与查找点之间的欧式距离平方
    
    		if (kdtree.nearestKSearch(searchPoint, K, pNK, pointNKNSquaredDistance) > 0)
    		{
    
    			for (size_t i = 0; i < pNK.size(); ++i) {
    
    				cloud->points[pNK[i]];
         //---------------构建最小二乘平差计算矩阵-------------------
    				Q(0, 0) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 4);
    				Q(1, 0) = Q(0, 1) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 3) * cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(2, 0) = Q(0, 2) += pow(cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].y, 2);
    				Q(3, 0) = Q(0, 3) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 3);
    				Q(4, 0) = Q(0, 4) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 2) * cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(5, 0) = Q(0, 5) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 2);
    				Q(1, 1) += pow(cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].y, 2);
    				Q(2, 1) = Q(1, 2) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 3) * cloud->points[pNK[i]].x;
    				Q(3, 1) = Q(1, 3) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 2) * cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(4, 1) = Q(1, 4) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 2) * cloud->points[pNK[i]].x;
    				Q(5, 1) = Q(1, 5) += cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(2, 2) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 4);
    				Q(3, 2) = Q(2, 3) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 2) * cloud->points[pNK[i]].x;
    				Q(4, 2) = Q(2, 4) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 3);
    				Q(5, 2) = Q(2, 5) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 2);
    				Q(3, 3) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 2);
    				Q(4, 3) = Q(3, 4) += cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(5, 3) = Q(3, 5) += cloud->points[pNK[i]].x;
    				Q(4, 4) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 2);
    				Q(5, 4) = Q(4, 5) += cloud->points[pNK[i]].y;
    				Q(5, 5) += 1;
    		
    
    				B(0, 0) += pow(cloud->points[pNK[i]].x, 2) * cloud->points[pNK[i]].z;
    				B(1, 0) += cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].y * cloud->points[pNK[i]].z;
    				B(2, 0) += pow(cloud->points[pNK[i]].y, 2) * cloud->points[pNK[i]].z;
    				B(3, 0) += cloud->points[pNK[i]].x * cloud->points[pNK[i]].z;
    				B(4, 0) += cloud->points[pNK[i]].y * cloud->points[pNK[i]].z;
    				B(5, 0) += cloud->points[pNK[i]].z;
    
    				//---------------求解矩阵------------------
    				Q_Inverse =Q.inverse();
    				for (int j = 0; j < 6; ++j)
    				{
    					a += Q_Inverse(0, j) * B(j, 0);
    					b += Q_Inverse(1, j) * B(j, 0);
    					c += Q_Inverse(2, j) * B(j, 0);
    					d += Q_Inverse(3, j) * B(j, 0);
    					e += Q_Inverse(4, j) * B(j, 0);
    					f += Q_Inverse(5, j) * B(j, 0);
    				}
    				// 根据所求曲面方程的系数计算曲面第一第二基本量
    				u = 2 * a * cloud->points[pNK[i]].x + b * cloud->points[pNK[i]].y + d;
    				v = 2 * c * cloud->points[pNK[i]].y + b * cloud->points[pNK[i]].x + e;
    				E = 1 + u * u;
    				F = u * v;
    				G = 1 + v * v;
    				double u_v = sqrt(1 + u * u + v * v);
    				L = (2 * a) / u_v;
    				M = b / u_v;
    				N = (2 * c) / u_v;
    				// 高斯曲率
    				Gausscurvature = (L * N - M * M) / (E * G - F * F);
    				Gauss_curvature(i_p, 0) = Gausscurvature;
    				// 平均曲率
    				Meancurvature = (E * N - 2 * F * M + G * L) / (2 * E * G - 2 * F * F);
    				Mean_curvature(i_p, 0) = Meancurvature;
    			}			
    		}	
    	}
    	cout << "高斯曲率为:" << Gauss_curvature(1, 0) << endl;
    	return 0;
    }

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  • 二次曲面

    2013-04-20 18:34:20
    二次曲面图 立体空间图详细 可以更加方便的了解二次曲线方程所描述的空间概念
  • 含有nnn个变量x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1​,x2​,⋯,xn​的实二次齐次多项式 f(x1,x2,⋯ ,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{...

    二次型

    二次型及其矩阵表示

    • 含有 n n n个变量 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,,xn的实二次齐次多项式
      f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + ⋯ + 2 a 1 n x 1 x n + a 22 x 2 2 + 2 a 23 x 2 x 3 + ⋯ + 2 a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n +a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{nn}x_n^2 f(x1,x2,,xn)=a11x12+2a12x1x2++2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3++2a2nx2xn++annxn2称为一个n元二次型
    • 二次型与实对称矩阵是一一对应的:
      A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 12 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ) , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , A= \left( \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{12} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{nn} \end{matrix} \right), x= \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right), A=a11a12a1na12a22a2na1na2nann,x=x1x2xn,可以把二次型写成
      f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,x2,,xn)=xTAx这里的 A A A是一个实对称矩阵,称为二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n) f(x1,x2,,xn)的矩阵
    • 只含平方项,不含交叉项的二次型称为标准形式的二次型,简称标准形
    • 显然二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,x2,,xn)=xTAx为标准形当且仅当 A A A为对角矩阵

    化二次型为标准形

    • A , B A,B A,B为同阶方阵,若存在可逆矩阵 P P P使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B,则称 A A A B B B合同,记为 A ≃ B A\simeq B AB
    • 矩阵的合同关系具有反身性,对称性,传递性
    • 任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形
    • A A A为实对称矩阵,则 A A A与对角矩阵合同
    • (主轴定理) A A A n n n阶实对称矩阵,则二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,,xn)=xTAx可经正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy化为标准形 λ 1 y 1 2 + ⋯ + λ n y n 2 \lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 λ1y12++λnyn2,其中 λ 1 , ⋯   , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,,λn A A A的特征值
    • 与一般的可逆线性变换相比,正交变换的优点在于它能保持向量的长度与夹角不变,因而不改变几何图形的大小和形状
    • 有时只需可逆线性变换把一个二次型化为标准形就够了,这时可以采用Lagrange配方法

    惯性定理与规范形

    • 把实对称矩阵 A A A的秩称为二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,,xn)=xTAx,记为 r ( f ) r(f) r(f)
    • (惯性定理) A A A n n n阶实对称矩阵,则二次型
      f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,,xn)=xTAx可经可逆线性变换化为标准形
      f ( x 1 , ⋯   , x n ) = k 1 y 1 2 + ⋯ + k n y n 2 , f(x_1,\cdots,x_n)=k_1y_1^2+\cdots+k_ny_n^2, f(x1,,xn)=k1y12++knyn2,其中 k 1 , ⋯   , k n k_1,\cdots,k_n k1,,kn中非零的个数 r = r ( f ) r=r(f) r=r(f),并且正项个数 p p p与负项个数 q ( p + q = r ) q(p+q=r) q(p+q=r)是确定的,与所用的可逆线性变换无关。正项的个数 p p p和负项的个数 q q q分别称为该二次型(或矩阵 A A A)的正惯性指数负惯性指数
    • 设二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,,xn)的秩为 r r r,正惯性指数为 p p p,则可以通过可逆线性变换将其化为 y 1 2 + ⋯ + y p 2 − y p + 1 2 − ⋯ − y r 2 + 0 y r + 1 2 + ⋯ + 0 y n 2 , y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2+0y_{r+1}^2+\cdots+0y_n^2, y12++yp2yp+12yr2+0yr+12++0yn2,称之为二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,,xn)规范形,并且规范形是唯一的
    • n n n阶实对称矩阵 A A A的秩为 r r r,正惯性指数为 p p p,则存在可逆矩阵 P P P使得
      P T A P = ( 1 ⋱ 1 − 1 ⋱ − 1 0 ⋱ 0 ) P^TAP= \left( \begin{matrix} 1\\ &\ddots\\ &&1\\ &&&-1\\ &&&&\ddots\\ &&&&&-1\\ &&&&&&0\\ &&&&&&&\ddots\\ &&&&&&&&0 \end{matrix} \right) PTAP=111100p个1,(r-p)个-1,(n-r)个0
    • 两个 n n n阶实对称矩阵 A A A B B B合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数

    二次型的正定性

    • A A A n n n阶实对称矩阵,二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,,xn)=xTAx,若对于任意的 n n n维非零向量 x x x,有 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x > 0 , f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx>0, f(x1,,xn)=xTAx>0,则称该二次型和矩阵 A A A正定的。若对于任意的 n n n维非零向量 x x x,有 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x < 0 , f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx<0, f(x1,,xn)=xTAx<0,则称该二次型和矩阵 A A A负定
    • 二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = d 1 x 1 2 + ⋯ + d n x n 2 f(x_1,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2 f(x1,,xn)=d1x12++dnxn2是正定的当且仅当 d 1 , ⋯   , d n d_1,\cdots,d_n d1,,dn全大于零
    • 可逆线性变换不改变二次型的正定性。换言之,与正定矩阵合同的矩阵也是正定的
    • A A A n n n阶实对称矩阵,则下列条件等价:
       ① A A A是正定的
       ② A A A的正惯性指数为n
       ③ A A A的特征值均大于零
       ④ A A A与单位矩阵 E E E合同
       ⑤存在可逆矩阵 P P P使得 A = P T P A=P^TP A=PTP
    • A A A是正定矩阵,则 ∣ A ∣ > 0 |A|>0 A>0
    • n n n阶方阵 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) A= \left( \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{matrix} \right) A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann的子式
      Δ 1 = a 11 , Δ 2 = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ , ⋯   , Δ k = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 k a 21 a 22 ⋯ a 2 k ⋮ ⋮ ⋮ a k 1 a k 2 ⋯ a k k ∣ , ⋯   , Δ n = ∣ A ∣ \Delta_1=a_{11}, \Delta_2= \left|\begin{matrix}a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22}\end{matrix}\right|, \cdots, \Delta_k= \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1k}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2k}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{k1} &a_{k2} &\cdots &a_{kk} \end{matrix} \right|, \cdots, \Delta_n=|A| Δ1=a11,Δ2=a11a21a12a22,,Δk=a11a21ak1a12a22ak2a1ka2kakk,,Δn=A称为 A A A顺序主子式
    • (Sylvester定理) A A A n n n阶实对称矩阵,则二次型 f ( x 1 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_1,\cdots,x_n)=x^TAx f(x1,,xn)=xTAx正定的充分必要条件是矩阵 A A A的顺序主子式 Δ 1 , Δ 2 , ⋯   , Δ n \Delta_1,\Delta_2,\cdots,\Delta_n Δ1,Δ2,,Δn均大于零

    曲面和曲线

    几种常见的曲面

    • 1.球面
      ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2
    • 2.旋转面
      一条曲线 c c c(母线) 绕一条定直线 l l l(旋转轴) 旋转一周所得到的曲面称为旋转面
      例:记曲线 c : { f ( y , z ) = 0 , x = 0 c:\left\{\begin{aligned}&f(y,z)=0,\\&x=0\end{aligned}\right. c:{f(y,z)=0,x=0 z z z轴旋转一周所的旋转曲面 S S S f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0 f(±x2+y2 ,z)=0
    • 3.柱面
      动直线 l l l(母线) 沿着空间内一条定曲线 c c c(准线) 移动所产生的曲面 S S S称为柱面
      例:在 x O y xOy xOy平面内, x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1表示一个圆,而在空间内, x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1表示一个柱面,准线 { x 2 + y 2 = 1 , z = 0 \left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1,\\&z=0\end{aligned}\right. {x2+y2=1,z=0
    • 4.锥面
      一条动直线 l 1 l_1 l1绕另一条与之相交的定直线 l 2 l_2 l2旋转一周所得到的旋转曲面称为圆锥面。其中 l 1 l_1 l1 l 2 l_2 l2的交点和所夹的锐角分别成为该圆锥面的顶点半顶角

    几种常见的曲线

    • 1.圆柱螺线
      一动点 P P P从点 P ( a , 0 , 0 ) P(a,0,0) P(a,0,0)开始,一方面绕 z z z轴逆时针旋转,另一方面沿 z z z轴正方向上升,其轨迹称为圆柱螺线
      { x = a c o s ω t , y = a s i n ω t , z = v t . \left\{ \begin{aligned} &x=acos\omega t,\\ &y=asin\omega t,\\ &z=vt. \end{aligned} \right. x=acosωt,y=asinωt,z=vt.
    • 2.Viviani曲线
      球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x^2+y^2+z^2=a^2 x2+y2+z2=a2与圆柱面 x 2 + y 2 − a x = 0 ( a > 0 ) x^2+y^2-ax=0(a>0) x2+y2ax=0(a>0)的交线称为Viviani曲线
      { x = a 2 c o s t + a 2 , y = a 2 s i n t ,                − 2 π ≤ t < 2 π . z = a s i n t 2 , \left\{ \begin{aligned} &x=\frac{a}{2}cost+\frac{a}{2},\\ &y=\frac{a}{2}sint,~~~~~~~~~~~~~~-2\pi\le t<2\pi.\\ &z=asin\frac{t}{2}, \end{aligned} \right. x=2acost+2a,y=2asint,              2πt<2π.z=asin2t,
    • 3.双柱面曲线
      圆柱面 y 2 + z 2 = a 2 y^2+z^2=a^2 y2+z2=a2 x 2 + z 2 = b 2 ( b ≥ a > 0 ) x^2+z^2=b^2(b\ge a>0) x2+z2=b2(ba>0)的交线称为双柱面曲线
      { x = ± b 2 − a 2 s i n 2 t , y = a c o s t ,                           0 ≤ t < 2 π . z = a s i n t , \left\{ \begin{aligned} &x=\pm \sqrt{b^2-a^2sin^2t},\\ &y=acost,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0\le t<2\pi.\\ &z=asint, \end{aligned} \right. x=±b2a2sin2t ,y=acost,                         0t<2π.z=asint,

    投影柱面和投影区域

    • 给定一条空间曲线 c c c和一个平面 π \pi π,以 c c c为准线作一个柱面 S S S,使母线垂直于平面 π \pi π。这个柱面 S S S就称为曲线 c c c到平面 π \pi π投影柱面,而 S S S π \pi π的交线称为曲线 c c c在平面 π \pi π上的投影(曲线)

    二次曲面

    二次曲面的标准方程

    • 1.椭球面
      a , b , c a,b,c a,b,c为三个正数,则由方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1所表示的曲面称为椭球面
    • 2.单叶双曲面
      a , b , c a,b,c a,b,c为三个正数,则由方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2c2z2=1所表示的曲面称为单叶双曲面
    • 3.双叶双曲面
      a , b , c a,b,c a,b,c为三个正数,则由方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 a2x2+b2y2c2z2=1所表示的曲面称为双叶双曲面
    • 4.二次锥面
      a , b , c a,b,c a,b,c为三个正数,则由方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 a2x2+b2y2c2z2=0所表示的曲面称为二次锥面
    • 5.椭圆抛物面
      a , b a,b a,b为两个正数,则由方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 2 z \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z a2x2+b2y2=2z所表示的曲面称为椭圆抛物面
    • 6.双曲抛物面
      a , b a,b a,b为两个正数,则由方程 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 2 z \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z a2x2b2y2=2z所表示的曲面称为双曲抛物面(马鞍面)

    一般方程表示的二次曲面

    • 根据二次曲面的定义,其一般方程为
      a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 13 x z + 2 a 23 y z + b 1 x + b 2 y + b 3 z + c = 0 , a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_1x+b_2y+b_3z+c=0, a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+b1x+b2y+b3z+c=0,其中 a i j ( i , j = 1 , 2 , 3 ) a_{ij}(i,j=1,2,3) aij(i,j=1,2,3)不全为零
    展开全文
  • 介绍常见的九种二次曲面及其方程
  • 基于局部二次曲面拟合的SFS方法将图像中的每个像素视为具有决策能力的生命单元,以灰度图像为模板,在此模板引导下,模仿生物群体的自组织行为,实现自由曲面的三维重构。在图像平面的局部区域内,利用局部灰度信息...
  • 完整详细的二次曲面讲解教程,不明白的朋友可下载学习
  • 证明了n个二次曲面在平面截口处存在n+1次C1拼接曲面的条件是其中任意两个二次曲面存在三次C1拼接曲面,且系数满足一定的比例关系。
  • 一般使用重力数据与GPS/水准成果结合来确定似大地水准面。在无重力数据的情况下如何建立...根据GPS/水准成果,获得高精度高程异常值,使用二次曲面拟合法可以确定区域似大地水准面。经过精度评定,可以达到四等水准精度。
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  • 应用二次曲面的几何参数表达建立了二次曲面整体约束逼近的最优化数学模型,将几何约束情况「的二次曲面重建转化为数学模型的求解,使重建的CAD模型可有效再现二次曲面之间的几何约束工程应用实例表明:该方法稳定可靠,...

空空如也

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