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  • 三重积分

    2020-03-13 08:19:03
    一、三重积分的概念 1.1、直角坐标系中的体积元素dxdydzdxdydzdxdydz 1.2、函数f(x,y,z)自有界闭区域Ω连续时f(x,y,z)自有界闭区域\Omega 连续时f(x,y,z)自有界闭区域Ω连续时,和的极限比存在,三重积分必然存在 ...

    前言: 二重积分概念与性质

    一、三重积分的概念

    在这里插入图片描述

    1.1、直角坐标系中的体积元素dxdydzdxdydz

    在这里插入图片描述

    1.2、函数f(x,y,z)Ωf(x,y,z)自有界闭区域\Omega 连续时,和的极限必存在,三重积分必然存在

    1.3、三重积分性质与二重积分性质类似

    1.4、几何意义:物体质量

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二、三重积分计算方式

    2.1、直角坐标

    2.1.1、XY型区域

    在这里插入图片描述

    2.1.1.1、投影区域D的类型,按照二重积分中定义X,Y中一样

    在这里插入图片描述

    2.1.2、先二后一

    参考知识: 平行截面面积已知的立体的体积求法

    在这里插入图片描述

    2.1.2.1、物理意义

    在这里插入图片描述

    2.2、柱面坐标

    在这里插入图片描述

    2.2.1、常见曲面的柱面坐标

    在这里插入图片描述

    2.2.2、习题

    2.2.2.1、例1

    在这里插入图片描述

    2.3、球面坐标

    在这里插入图片描述

    2.3.1、常见曲面的球面坐标方程以及区域的球面坐标

    在这里插入图片描述

    2.3.2、例题

    2.3.2.1、例1

    在这里插入图片描述

    四、区域关于变量的轮换对称性

    在这里插入图片描述

    4.1、例题

    4.1.1、例1

    在这里插入图片描述

    4.1.2、例2

    在这里插入图片描述

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  • 三重积分化为累次积分有两种方法:先一后二法、先二后一法。首先确定坐标系,一般三重积分的坐标系有三种:直角坐标系柱坐标系球坐标系而该方法适用的坐标系是直角坐标系其次是累次积分的口诀:先一后二法:后积先定限:...

    将三重积分化为累次积分有两种方法:先一后二法、先二后一法。

    首先确定坐标系,一般三重积分的坐标系有三种:

    • 直角坐标系
    • 柱坐标系
    • 球坐标系

    而该方法适用的坐标系是直角坐标系

    其次是累次积分的口诀:

    先一后二法:

    • 后积先定限:后积变量上下限一般为常数(二重积分)或者确定的区域(三重积分),在这个区域中先积变量才有意义,因此后积先定限.
    • 限内画条线:先积变量只有一个,而后积的两个变量可以视为定值,那么先积变量就等同于一条直线.所以先一后二也叫做穿线法
    • 先交为下限
    • 后交为上限

    先二后一法:

    • 后积先定限
    • 限内截个面:与上类似,一个变量视为定值,因此先积变量相当于一个平面,先二后一法也叫做截面法
    • 先交为下限
    • 后交为上限

    例:计算

    equation?tex=I%3D%5Ciiint_%5COmega+zdv%2C+%5Cquad%5COmega%3Az%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%2Cz%3D1%2Cz%3D2. 围成的区域.

    图像:

    aeedf76d04297c86a9acdba3515aacef.png

    可以看到是一个圆台.

    先一后二法:

    equation?tex=I%3D%5Ciiint_%5COmega+zdv%3D%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%5Cint%5E2_1zdz+%2B+%5Ciint_%7BD_2%7Ddxdy%5Cint%5E2_%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7Dzdz%2C%5C%5C+D_1%3D%5C%7B+%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%5Cleq1+%5C%7D%2CD_2%3D%5C%7B+%28x%2Cy%29%7C+1%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq4%5C%7D

    equation?tex=%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%5Cint%5E2_1zdz%2B%5Ciint_%7BD_2%7Ddxdy%5Cint%5E2_%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7Dzdz%5C%5C%3D%5Cfrac32%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%2B%5Ciint_%7BD_2%7D%282-%5Cfrac%7B%28x%5E2%2By%5E2%29%7D2%29dxdy%5C%5C%3D+%5Cfrac32%5Cpi%2B%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_0d%5Ctheta%5Cint%5E2_1%282-%5Cfrac%7Br%5E2%7D2%29rdr%3D%5Cfrac%7B15%7D4%5Cpi

    先二后一法:

    equation?tex=I%3D%5Ciiint_%5COmega+zdv%3D%5Cint%5E2_1zdz%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%2CD_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq+z%5E2%5C%7D

    equation?tex=%5Cint%5E2_1zdz%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%3D%5Cint%5E2_1+%5Cpi+z%5E3dz%3D%5Cfrac%7B15%7D4%5Cpi .

    先二后一的应用边界(应用条件):

    • 某个变量(z)的范围确定
    • 先二后一法要求函数只与这某个变量(z)有关,或者为常量
    • 截面面积易求

    先一后二的区域特征:

    equation?tex=%5COmega%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7C%28x%2Cy%29%5Cin+D_%7Bxy%7D%2Cz_1%28x%2Cy%29%5Cleq+z%5Cleq+z_2%28x%2Cy%29%5C%7D

    例二:

    equation?tex=%5Ciiint_%7B%5COmega%7Dzdxdydz%2C%5Cquad%5COmega%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7C-1%5Cleq+x%5Cleq+1%2C-%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%5Cleq+y+%5Cleq%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%2C%5Csqrt%7B%7Cxy%7C%7D%5Cleq+z%5Cleq%7Cxy%7C%5C%7D.

    很明显变量xy是圆,z的范围是一个关于xy的函数,故使用先一后二法

    不能使用先二后一法,因为z的范围不确定,如果z后积的话最后会产生一个关于x,y的函数

    equation?tex=%5Ciiint_%7B%5COmega%7Dzdxdydz%3D%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%5Cint%5E%7B%5Csqrt%7B%7Cxy%7C%7D%7D_%7B%7Cxy%7C%7Dzdz%2CD_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%5Cleq1%5C%7D

    equation?tex=%3D%5Cfrac12%5Ciint_%7BD_1%7D%28%7Cxy%7C-x%5E2y%5E2%29dxdy%3D%5Cfrac12%5Cint%5E1_0dr%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_%7B0%7D%5Cfrac%7Br%5E3%7D2%7C%5Csin2%5Ctheta%7C%2B%5Cfrac%7Br%5E5%281-%5Ccos4%5Ctheta%29%7D8d%5Ctheta%5C%5C%3D%5Cfrac12%5Cint%5E1_04r%5E3%2B%5Cfrac%7B%5Cpi+r%5E5%7D4dr%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%2B24%7D%7B48%7D

    例3:

    equation?tex=%5Ciiint_%7B%5COmega%7Dzdxdydz%2C%5COmega%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7C%28%5Cfrac%7Bx%7Da%29%5E2%2B%28%5Cfrac+yb%29%5E2%2B%28%5Cfrac+zc%29%5E2%5Cleq1%5C%7D .

    equation?tex=%5COmega%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7C%28%5Cfrac+xa%29%5E2%2B%28%5Cfrac+yb%29%5E2%5Cleq1-%28%5Cfrac+zc%29%5E2%2C-1%5Cleq+z%5Cleq1%5C%7D

    equation?tex=%5Ciiint_%7B%5COmega%7Dzdxdydz%3D%5Cint%5E1_0zdz%5Ciint_Ddxdy%2CD%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C%28%5Cfrac+xa+%29%5E2%2B%28%5Cfrac+yb%29%5E2%5Cleq+1-%28%5Cfrac+zc%29%5E2%5C%7D

    equation?tex=%3D%5Cpi%5Cint%5E%7B1%7D_%7B-1%7Dz%281-%28%5Cfrac+zc%29%5E2%29dz%3D%5Cpi%281-%5Cfrac1%7B2c%5E2%7D%29 .

    例4:

    曲面

    equation?tex=z+%3D+x%5E2%2By%5E2-14 将球体
    equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D16 分为两部分,分别求出这两个部分的体积.

    图像大致如下(matlab操作不熟练,见谅

    fffe2a3aa89c2d2b73669b0a8dc00d77.png

    联立求出两个图形相交的两个曲线:

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+x%5E2%2By%5E2-z%3D14%5C%5C+x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D16+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.%5CRightarrow+z%5E2%2Bz-2%3D0%5C%5C%5CRightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+z%3D1%5C%5C+z%3D-2+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.

    equation?tex=C_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7Cz%3D1%2Cx%5E2%2By%5E2%3D15%5C%7D%2CC_2%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%7Cz%3D-2%2Cx%5E2%2By%5E2%3D12%5C%7D

    equation?tex=V_1 为球体截的内侧,
    equation?tex=V_2 为外侧.

    equation?tex=V_1%3D%5Ciiint_%7BV_1%7Ddxdydz%3D%5Cint%5E4_1dz%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%2B%5Cint%5E1_%7B-2%7Ddz%5Ciint_%7BD_2%7Ddxdy%2B%5Cint%5E%7B-2%7D_%7B-4%7Ddz%5Ciint_%7BD_3%7Ddxdy%5C%5C%5C+D_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%3D16-z%5E2%2C1%5Cleq+z%5Cleq4%5C%7D%2CD_2%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%3D14%2Bz%2C-2%5Cleq+z%5Cleq1%5C%7D++++++++++++++++%5C%5C%5C+D_3%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%3D16-z%5E2%2C-4%5Cleq+z%5Cleq-2%5C%7D

    equation?tex=%3D%5Cpi%28%5Cint%5E4_1%2816-z%5E2%29dz%2B%5Cint%5E1_%7B-2%7D%2814%2Bz%29dz%2B%5Cint%5E%7B-2%7D_%7B-4%7D%2816-z%5E2%29dz%29+%5C%5C%3D%28%5Cfrac%7B121%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B81%7D2%29%5Cpi+%3D%5Cfrac%7B485%7D%7B6%7D%5Cpi

    equation?tex=V_2%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi+r%5E3%7D3-%5Cfrac%7B485%7D6%5Cpi%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%5Cpi

    算外部面积应该简单一点的...

    例4拓展:

    1):曲面

    equation?tex=z+%3D+2%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D 将球体
    equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2B%28z-2%29%5E2%5Cleq1 分为两部分,分别求出这两个部分的体积.

    曲面为圆锥面,不难想象出两物体相交的场景,求出相交的曲线:

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%5E2%2By%5E2%2B%28z-2%29%5E2%3D1+%5C%5C%264x%5E2%2B4y%5E2-z%5E2%3D0+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.++++++%5CRightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%5E2%2By%5E2%3D1%5C%5C++++++++%26z%3D1%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.%E6%88%96%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%5E2%2By%5E2%3D0.6+%5C%5C%26z%3D0.6%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.

    equation?tex=V_1%3D%5Cint%5E1_%7B0.6%7Ddz%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%2CD_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B4%7D%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq-z%5E2%2B4z-3%5C%7D

    equation?tex=%3D%5Cpi%5Cint%5E1_%7B0.6%7D%28-%5Cfrac54z%5E2%2B4z-3%29dz%3D%5Cpi%28-%5Cfrac5%7B12%7Dz%5E3%2B2z%5E2-3z%29%7C%5E1_%7B0.6%7D%3D%5Cfrac%7B169%7D%7B300%7D%5Cpi

    equation?tex=V_2%3D%5Cfrac43%5Cpi+R%5E3-%5Cfrac%7B169%7D%7B300%7D%5Cpi%3D%5Cfrac%7B231%7D%7B300%7D%5Cpi

    2):曲面

    equation?tex=%28z%2B1%29%5E2+%3D+x%5E2%2By%5E2 将球体
    equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%5Cleq4 分为三部分,分别求出这三个部分的体积.

    感觉这道题有必要画个图了...

    大概长这样...

    5c5523a81895d32be8d6db7da89b2563.png

    可以理解为球体被两个圆锥曲面截成三部分.从上至下分别命名为

    equation?tex=V_1%2CV_2%2CV_3

    然后计算两物体相交的曲线:

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D4+%5C%5C+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++%26x%5E2%2By%5E2-%28z%2B1%29%5E2%3D0+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.++++++%5CRightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%5E2%2By%5E2%3D2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D2%5C%5C+%26z%3D%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt7%7D2+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%E6%88%96%5Cleft+%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%5E2%2By%5E2%3D+2-%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D%7B2%7D%5C%5C%26z%3D%5Cfrac%7B-1-%5Csqrt7%7D%7B2%7D+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.+

    equation?tex=V_1 上下分别是球面和圆锥面,无侧面,因此适合用穿线法

    equation?tex=V_1%3D%5Ciint_%7BD_1%7Ddxdy%5Cint%5E%7B4-x%5E2-y%5E2%7D_%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D-1%7Ddz%2CD_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7Cx%5E2%2By%5E2%5Cleq2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D%7B2%7D%5C%7D

    equation?tex=%3D%5Ciint_%7BD_1%7D5-x%5E2-y%5E2-%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%3D%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_0d%5Ctheta%5Cint%5E%7B%5Csqrt%7B2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D2%7D%7D_0r%285-r%5E2-r%29dr+%5C%5C%3D%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_0d%5Ctheta%5Cint%5E%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt7%7D2%7D_0%285r-r%5E3-r%5E2%29dr%3D%28%5Cfrac%7B127%7D%7B24%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt7%7D3%29%5Cpi

    equation?tex=V_2 为旋转体,适合用截面法:

    equation?tex=V_2%3D%5Cint%5E%7B%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7D_%7B%5Cfrac%7B-1-%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7Ddz%5Ciint_%7BD_2%7Ddxdy%2CD_2%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C%28z%2B1%29%5E2%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq4-z%5E2%5C%7D

    equation?tex=%3D
    equation?tex=%5Cpi%5Cint%5E%7B%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7D_%7B%5Cfrac%7B-1-%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7D%283-2z-2z%5E2%29dz%3D%5Cpi%283z-z%5E2-%5Cfrac%7B2z%5E3%7D%7B3%7D%29%7C%5E%7B%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7D_%7B%5Cfrac%7B-1-%5Csqrt7%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D%7B3%7D%5Cpi

    equation?tex=V_3 还是用穿线法,也可以用体积减去,但还是用新的方法计算吧

    equation?tex=V_3%3D
    equation?tex=%5Ciint_%7BD_3%7Ddxdy%5Cint%5E%7B-1-%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D_%7B4-x%5E2-y%5E2%7Ddz%2CD_3%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq2-%5Cfrac%7B%5Csqrt7%7D2%5C%7D

    equation?tex=%5Ciint_%7BD_3%7Dx%5E2%2By%5E2-5-%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddxdy%3D%5Cint%5E%7B2%5Cpi%7D_0d%5Ctheta%5Cint%5E%7B%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt7%7D2%7D_%7B0%7Dr%28r%5E2-5-r%29dr

    equation?tex=%3D%28-%5Cfrac%7B127%7D%7B24%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt7%7D%7B3%7D%29%5Cpi

    好像加起来并不等于球体的体积...8管了,就这样吧,算着真的费劲.

    例5:

    equation?tex=I%3D%5Ciiint_%7B%5COmega%7D%5Cfrac%7Bdxdydz%7D%7B%281%2Bx%2By%2Bz%29%5E3%7D%2C%5COmega 是由
    equation?tex=x%3D0%2Cy%3D0%2Cz%3D0 以及
    equation?tex=x%2By%2Bz%3D1 所围成的四面体.

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega%5Cfrac%7Bdxdydz%7D%7B%281%2Bx%2By%2Bz%29%5E3%7D%3D%5Ciint_Ddxdy%5Cint%5E%7B1-x-y%7D_%7B0%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7B%281%2Bx%2By%2Bz%29%5E3%7D%2CD%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleq+x%2By+%5Cleq1%2C%5Cmin%28x%2Cy%29%5Cgeq0%5C%7D+%5C%5C%3D%5Ciint_D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%281%2Bx%2By%29%5E2%7D-%5Ciint_D%5Cfrac18dxdy%3D%5Ciint_D%5Cfrac1%7B2%281%2Bx%2By%29%5E2%7Ddxdy-%5Cfrac18%5Ciint_Ddxdy%3D%5Cfrac12%5Cint%5E%7B1%7D_%7B0%7Ddy%5Cint%5E%7B1-y%7D_%7B0%7D%5Cfrac1%7B%281%2Bx%2By%29%5E2%7Ddx-%5Cfrac1%7B16%7D%5C%5C%3D%5Cfrac12%5Cint%5E1_0%28%5Cfrac1%7B1%2By%7D-%5Cfrac12%29dy-%5Cfrac1%7B16%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cln2%7D2-%5Cfrac%7B5%7D%7B16%7D

    例6:计算

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega+e%5E%7B%7Cz%7C%7Ddv%2C%5COmega%3Ax%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%5Cleq1.

    这道题可以利用对称性简化计算.

    被积区域是一个球体,可以使用截面法,显然被积函数与积分区域关于

    equation?tex=xOy 平面对称.因此:

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega+e%5E%7B%7Cz%7C%7Ddv%3D2%5Ciiint_%7B%5COmega_1%7D+e%5E%7B%7Cz%7C%7Ddv%2C%5COmega_1%3Ax%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%5Cleq1%2Cz%5Cgeq0.++%5C%5C%3D2%5Cint%5E1_0e%5Ezdz%5Ciint_Ddxdy%2CD%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq1-z%5E2%5C%7D++%5C%5C+%3D2%5Cpi%5Cint%5E1_0%281-z%5E2%29e%5Ezdz%3D2%5Cpi

    最后这个定积分可以使用表格法求出,最近知乎公式换行老是出bug,游戏体验很不好.

    柱面坐标系:三重积分转化为累次积分后,一些积分不好算,这时候可以使用二重积分的极坐标换元,上面有几道题已经用到了,这里单独提一下.

    equation?tex=I%3D%5Ciiint_%5COmega%28x%5E2%2By%5E2%29dv%2C%5COmega 为平面曲线
    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D++%26y%5E2%3D2z+%5C%5C+%26x%3D0+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.
    equation?tex=z 轴旋转一周形成的曲面.与平面
    equation?tex=z%3D8 围成的区域.

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega%28x%5E2%2By%5E2%29dv%3D%5Cint%5E8_0dz%5Ciint_D%28x%5E2%2By%5E2%29dxdy%2CD%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleq+x%5E2%2By%5E2%5Cleq+2z%5C%7D+%5C%5C%3D%5Cint%5E8_0%5Ciint_%7BD_1%7Dr%5E3drd%5Ctheta%2CD_1%3D%5C%7B%28r%2C%5Ctheta%29%7C0%5Cleq%5Ctheta%5Cleq2%5Cpi%2C0%5Cleq+r%5Cleq%5Csqrt%7B2z%7D%5C%7D+%5C%5C%3D2%5Cpi%5Cint%5E8_0z%5E2dz%3D%5Cfrac%7B1024%5Cpi%7D%7B3%7D

    球面坐标系:

    适用情况:

    1.被积函数中含有

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B+%5Cbegin%7Baligned%7D+f%28x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%29%2C+%5C%5Cf%28x%5E2%2By%5E2%29%2C+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.

    2.积分区域为球/球的部分,锥/锥的部分

    具体推导见同济版高数下,我就不再班门弄斧了.直接写结论

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega+f%28x%2Cy%2Cz%29dv%3D%5Ciiint_%5COmega+f%28r%2C%5Ctheta%2C%5Cvarphi%29r%5E2%5Csin%5Cvarphi+dr+d%5Ctheta+d%5Cvarphi%2C

    fc8041cf830895c85024d498acd16b76.png

    equation?tex=r%2C%5Ctheta%2C%5Cvarphi 分别是原点与M的距离,M在xOy平面投影与x轴逆时针旋转的夹角,OM与z轴的夹角.

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3DOP%5Ccos%5Ctheta%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta+++%5C%5C%26y%3DOP%5Csin%5Ctheta%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta+%5C%5C%26z%3Dr%5Ccos%5Cvarphi+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.

    球面坐标变换推导中一些有意思的结论:在计算微元体积的时候,顶角为微分增量的三角形,底边的长度就是微分增量乘以边长.

    定限:

    r:从原点出发的射线

    equation?tex=%5Ctheta :过z轴的半平面旋转

    equation?tex=%5Cvarphi :顶点在原点,对称轴为z轴正半轴的圆锥半顶角

    例7:

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega%28x%5E2%2By%5E2%29dv%2C%5COmega 是右半球面
    equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3Da%5E2%28y%5Cgeq0%29
    equation?tex=xOz 面所围成的区域.

    作球面坐标变换,有

    equation?tex=%5Cleft+%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3DOP%5Ccos%5Ctheta%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Ctheta+%5C%5C%26y%3DOP%5Csin%5Ctheta%3Dr%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Ctheta++%5C%5C%26z%3Dr%5Ccos%5Cvarphi+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cright.

    (知乎换行真的脑壳疼,)

    equation?tex=%5Ciiint_%5COmega%28x%5E2%2By%5E2%29dv%3D%5Ciiint_%5COmega+r%5E2%5Csin%5E3%5Cvarphi+r%5E2+drd%5Ctheta+d%5Cvarphi+%5C%5C%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B0%7D%5Csin%5E3%5Cvarphi+d%5Cvarphi%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B0%7D+d%5Ctheta%5Cint%5E%7Ba%7D_%7B0%7Dr%5E4dr%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi+a%5E5%7D%7B15%7D
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  • [1]相比于单积分,三重积分让我们可以处理一些更加general情况下的问题,如三维形状的体积,三维区域上的平均值等。三重积分还引出了矢量场[2]和流量[3]的问题,在16章中介绍。三重积分 是定义在空间中有界封闭区域 ...

    [1]相比于单积分,三重积分让我们可以处理一些更加general情况下的问题,如三维形状的体积,三维区域上的平均值等。三重积分还引出了矢量场[2]和流量[3]的问题,在16章中介绍。


    三重积分

    是定义在空间中有界封闭区域
    上的函数,要求
    上的积分,首先还是要将区域进行切分。把区域分为许多立方体型的"cell",并且只取完全在区域内的cell,将它们编号,每一个cell的体积为
    。取每一个cell内的点
    ,三重积分对应的黎曼和为:

    c67a9d264970740e7241ee3dd26e2db2.png

    同样,cell的三维

    ,
    ,
    中最大的称之为norm。如果无论怎样进行切分,当norm趋近于0时,黎曼和都收敛于同一个极限,那么
    在区域
    上就是
    可积的。实际上只要
    连续,并且围成区域
    的曲面是由有限个平滑的曲面连接成的,那么
    就是可积的。

    当norm趋近于0,cell的数目趋近于无穷大时,黎曼和的极限称为

    上的三重积分。

    能够使连续函数在其上可积的区域,称其有"reasonably-smmoth"边界。


    空间中区域的体积

    如果令

    恒等于1,那么黎曼和成为cell体积的和,极限最终将会趋近于所区域的总体积。
    定义:空间中封闭、有界区域
    体积

    按dz dy dx的顺序找到积分的上下限

    要求三重积分,也与二重积分一样,通过Fubini定理的空间形式将三重积分转换为累次积分,一个关键的问题就是找到积分的上下限。书中给出的推导是按照

    ,
    ,
    的顺序进行的,调换顺序进行积分也类似。
    1. 画图 - 画出区域
      以及它的"shadow" R(在
      平面上的正投影),分别标记出围成
      的下方和上方的曲线
    2. 找到对
      积分的上下限 - 过
      内的一点
      作一条沿着
      轴向上的直线,标记出这条直线进入、穿出区域
      时的值,这就是对
      积分的上下限
    3. 找到对
      积分的上下限 - 做一条沿
      轴方向的直线穿过区域
      ,分别标记它进入、离开区域
      时的值,即为对
      进行积分的上下限
    4. 找到对
      积分的上下限 - 区域
      (也就是区域
      )所对应的最大、最小的
      值,即为对
      积分的上下限

    9fb1fe14b40a4133c90323d6587f0698.png

    最后的结果为

    有必要时,可以调换积分的顺序,只需要找到在不同方向的"shadow"。


    空间中函数的均值

    空间中函数的均值定义为


    三重积分的性质

    同二重积分的代数性质相一致

    [^1]: triple integrals [^2]: vector field [^3]: fluid flow

    参考

    1. ^triple integrals
    2. ^vector field
    3. ^fluid flow
    展开全文
  • 二重积分讲完了就再加一层,变成了三重积分(triple integrals)。按照套路,三重积分的本质是二重积分再加一维推广,积分区域分为长方形区域、极坐标和球形坐标三种。掌握了三重积分本质和积分区域的变换,再加上能求...

    二重积分讲完了就再加一层,变成了三重积分(triple integrals)。按照套路,三重积分的本质是二重积分再加一维推广,积分区域分为长方形区域、极坐标和球形坐标三种。掌握了三重积分本质和积分区域的变换,再加上能求三维物体的质心(center of mass, COM)就行了。

    47a8a726df54322889ab994982c20d91.png

    三重积分的本质是对三维定义域上的函数求积分,因此分割的小块在

    plane中就是小立方体了。
    此外,求体积公式为

    具体解法

    我们直接上例题了。

    ce5864faff22e7ab8791e3632977464d.png
    Fig. 1

    长方体坐标系下三维积分需要先求定义域在某个平面上的投影(二重积分),再对第三维积分。Fig. 1中把定义域投影在

    plane上,对这个区域
    进行二重积分。

    c0e7607534c2faaea3441657eb38c9bf.png
    Fig. 2

    第二步,作一条平行于

    轴的线,把从下部进入的函数(下表面)记为
    上部分穿出的函数(上表面)记为
    两者即为对
    积分的上下限。

    835bef95609633fdbedb0bba55d1d5f6.png

    接着(第三步)找到

    轴方向的上下限:
    再找到
    轴的上下限:

    最后(第四步),写出积分式

    平均值(Average Value)

    类推,average value of

    over
    is

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    Jerry:微积分II (长方形区域)多重积分15.1 (17)

    Jerry:微积分II 二元泰勒多项式14.9 (16)

    Jerry:微积分II 拉格朗日算子求极值14.8 (15)

    Jerry:微积分II 极值&鞍点14.7 (14)

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    Reference

    Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2014).Thomas' calculus(Thirteenth ed.).

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